Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:

1. Nguyên hàm

a. Định nghĩa: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số ^{F x}

 

được gọi là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{trên K nếu F x'}

   

^{ f x với mọi x K .}

b. Định lí:

1) Nếu ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{trên K} thì với mỗi hằng số C, hàm số

   

G x F x C cũng là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K.}

2) Nếu ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{trên K} thì mọi nguyên hàm của ^{f x}

 

trên K đều có dạng ^{F x}

 

^{C, với C} là một hằng số.

Do đó ^{F x}

 

^{C C, } là họ tất cả các nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K.}

Ký hiệu



^{f x x F x}

 

^{d }

 

^{C .}

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:

 

^{f x x}

 

^d



^{  f x}

 

^và



^{f x x'}

 

^{d  f x}

 

^C

Tính chất 2:



kf x x k f x x

 

^d 

  

^{d với k} là hằng số khác 0 . Tính chất 3:



^_^{f x}

   

^{g x }_^dx



^{f x x}

 

^{d }



^{g x x}

 

^d

Chú ý:

         

   

 

d d d d d

. . ; f x f x xd .

f x g x x f x x g x x x

g x g x x

   

 



    

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ^{f x}

 

liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp



^{u ax b a  ; 0}



Nguyên hàm của hàm số hợp



^{u u x}

  

0dx C

 

^{0du C}

dx x C

 

^{du u C }

NGUYÊN HÀM_CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

d 1 ¹ x x^ 1x^ C



  







^{ 1}



 

^{d 1. 1}

 

¹

ax b x 1 ax b C

a

 



    







^{  1}



d 1 ¹

u u^ 1u^ C



  







^{  1}



1d

ln

x x C

x  

 

_{ax b}¹_ ^dx1_a^{lnax b C }



_u^{1dulnu C}

xd x

e x e C

 

^{eax bdx1}_a^{eax b C}



^{e u eud  uC}

d ln

x

x a

a x C

 a





^a0,a1



d 1

.ln

ax b

ax b A

A x C

a A

   





^a0,a1



d ln

u

u a

a u C

 a





^a0,a1



sinx xd  cosx C

    

d cos

sin ax b

ax b x C

a

    

 

^{sinudu cosuC}

cosx xd sinx C

    

d sin

cos ax b

ax b x C

a

   

 

^{cosu ud sinu C}

2 d

1 tan

cos x x C

x  

 

_cos²



¹_{ax b}



^dxtan



^{ax b}_a ^



^C 2 ^d

1 tan

cos u u C

u  



2 d

1 cot

sin x x C

x   

 

_sin²



¹_{ax b}



^{dx cot}



^{ax b}_a ^



^C 2 ^d

1 cot

sin u u C

u   



II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu



^{f u du F u}

 

^

 

^{C và u u x}

 

là hàm số có đạo hàm liên tục thì

   

^'

 

^d

   

f u x u x x F u x C



Hệ quả: Nếu ^{u ax b a }



^0



^{thì ta có f ax b x}

 

^{d 1F ax b}

 

^C

 a  



2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số ^{u u x}

 

^{và v v x}

 

có đạo hàm liên tục trên K thì

   

^{' d}

   

^'

   

^d

u x v x x u x v x  u x v x x

 

Vì v x dx dv u x dx dv^'

 

 ^{, '}

 

 nên đẳng thức còn được viết dưới dạng:



u v uvd  



v ud

II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

Ví dụ 1: Xác định:

a)

 

^x1

 

^{2 2x1}



^{dx. b)}



^x43x2_x^{4x2dx. c)}

 

^{43x34 x}



^dx.



^{x0 .}



Lời giải:

a) Ta có:



¹

 

^{2 2 1}



^d



^{2 2 1 2}

 

¹



^d



^{2 3 3 2 1}



^{d 4 3 .}

2

x x x x  x x x x  x  x x x  x C

  

b) Ta có: d d

4 2 4 2

3 4 2 3 2 3

3 4 4 2 ln .

4 2

x x x x x

x x x x x x C

x x

             

 

 

c) Ta có, với x0:



^{43 34}



^{d 4 13 3 14 d 4}₄ ^{43 3}₅ ^{54 3 3 12}₅ ^{4 .}

3 4

x x

x x x  x x  x x x x x C

         

 

 

Ví dụ 2: Xác định:

a)



4^2x1dx. ^b)



^ex



^2ex



^{2dx. c) 2x 2}x ^{4x d .}

e e

e^ x



 

Lời giải:

a) Ta có: d

2 1

2 1 4

4 .

2 ln 4

x

x x C

   



Nhận xét:

2 1 2 1 2

4 4 4 1 1 4

.16 .2

2 ln 4 4 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

x x x

x x

 

    (để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm).

b) Ta có:



²



^2d



^{4 4 2}



^d



^{4 4 2 3}



^{d 4 2 2 3 .}

3

x

x x x x x x x x x x e

e e x e  e e x e  e e x e  e  C

  

c) Ta có: ^{2x 2}x ^4xd



^{3x 2 x 5x}



^d ₃^{3x 2 x} ₅^{5x .}

e e e e

x e e e x e C

e^

        

 

Ví dụ 3: Xác định:

a)

 

^{2 sin 4x3cos 5x1}



^{dx. b)}

 

^{4 sin 22 x6 cos2x x}



^{d .}

c)



2 sin 3⁴ x xd . ^d)

 

^{sin 24 xcos 24 x x}



^{d .}

Lời giải:

a) Ta có:



^{2 sin 4 3cos 5 1}



^{d cos 4 3sin 5 .}

2 5

x x

x x x    x C



b) Ta có:

 

^{4 sin 22 x6 cos2x x}



^{d }



^_^{2 1 cos 4}



^{ x}

 

^{3 1 cos 2 x}



^_^dx

 

^{3cos 2x2 cos 4x5}



^dx

3sin 2 sin 4

5 .

2 2

x x

   x C

c) Ta có: ^{2 sin 34 2 sin 3}



²



^{2 2 1 cos 6 2 1}



^{1 2 cos 6 cos 62}



2 2

x x    x   x x

 

1 1 cos12 3 cos12

1 2 cos 6 2 cos 6 .

2 2 4 4

x x

x x

  

      

 

Vậy ⁴ d 3 cos12 d 3 sin 6 sin12

2 sin 3 2 cos 6 .

4 4 4 3 48

x x x x

x x   x  x   C

 

 

d) Ta có: sin 2⁴ cos 2⁴ 1 ¹sin 4² 1 ^{1 1 cos 8}. ^{3 cos 8} .

2 2 2 4 4

x x

x x x 

      

Vậy



^{sin 24 xcos 24 x x}



^{d  }³₄^{cos 8}₄ ^x^{dx 3}₄^{xsin 8}₃₂^xC.

 

 

Ví dụ 4: Xác định:

a)



2 sin 3 cos 2x x xd . ^b)



6 sin 4 sin 2x x x^d . c)



cos 5 cos 2x x xd . ^d)



8 sin 3 cos 2 sin 6x x x x^d . Lời giải:

a) Ta có: 2 sin 3 cos 2 ^d



sin sin 5



^d cos ^{cos 5} . 5

x x x x x x  x xC

 

b) Ta có: 6 sin 4 sin 2 ^d 3 cos 2



cos 6



^{d 3sin 2 sin 6} .

2 2

x x

x x x x x x  C

 

c) Ta có: cos 5 cos 2 ^{d 1}



cos 3 cos7



^{d sin 3 sin7} .

2 6 14

x x

x x x x x x  C

 

d) Ta có: 8sin 3 cos 2 sin 6x x x4 sin



xsin 5 sin 6x



x4sin sin 6x x4sin 5 sin 6x x

   

2 cos 5x cos7x 2 cosx cos11x 2cosx 2cos 5x 2cos7x 2cos11x

        .

Vậy



8sin 3 cos 2 sin 6x x x x^d 

 

2cosx2cos 5x2cos7x2cos11x x



^d

2 sin 5 2 sin 7 2 sin11

2 sin .

5 7 11

x x x

x C

    

Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau:

1)

 

^3x1

 

^{2 2x1}



^{dx. 2)}



^x47x_x^{222x5dx.}

3)

 

^{43 x5 x}



^dx.



^{x0 .}



⁴⁾



^92x1dx.

5)



^e2x



^3ex



^{2dx. 6) 2x 2}x ^{4x d .}

e e

e x



 

7)

 

^{3sin 2x2 cos7x1}



^{dx. 8)}

 

^{2 sin 22 x4 cos 42 x x}



^{d .}

9)



6 sin 2⁴ x xd . ¹⁰⁾

 

^{sin4xcos4x x}



^{d .}

11)



8 sin 3 cos 6x x xd . ¹²⁾



10 sin 2 sin 8x x x^d . 13)



4 cos 5 cos 3x x xd . ¹⁴⁾



16 sin 2 cos 3 sin 6x x x x^d . Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC Nội dung:

Để tìm nguyên hàm của hàm số ^{( )} ( ) P x

Q x , trong đó ( ),P x Q x( ) là các đa thức, ta thực hiện như sau:

- Nếu bậc của P x( ) không nhỏ hơn bậc của Q x( ), thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu biễn: ( ) ¹( )

( ) ( ) ( ) P x P x

Q x M x Q x , trong đó M x( ) là đa thức, và ¹( ) ( ) P x

Q x là phân thức có bậc của

1( )

P x nhỏ hơn bậc của ( )Q x .

- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm:

2 2

( ) ( ) ...(^m )ⁿ 4 0

Q x  x a x px q  p  q

- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản:

         

     

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

( ) ... ...

1

...

m m n

n n

n n

A

A A

P x

m x a

x a x px q x a x a

B x C

B x C B x C

x px q x px q x px q ^

    

 

    



 

  

 

   

-Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số A A₁, ₂,...,A B_m, ₁,..., B_n.

Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản.

LUYỆN TẬP:

Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:

a) d b) d

4

1 2

3 1 4 2

4 2 1

x x x

I x I x

x x

  

 

 

 

Lời giải

a) Ta có: ₁ 3 1d 3( 4) 13d d 1 d

3 13 3 13ln 4

4 4 4

x x

I x x x x x x C

x x x

  

       

  

   

b) Biểu diễn:

4 4 2 3 2 47 1 1

2 1 2 6 12 24 24 2. 1

x x x x x

x x

 

    

 

Lúc đó:

d d

4 3 2 4 3 2

2

4 2 31 63 1 31 63

. ln 2 1 .

2 1 2 4 8 16 16 2 1 8 12 16 16 32

x x x x x x x x x

I x x x C

x x

 

 





 



             

Ví dụ 2: Xác định các nguyên hàm sau:

a) ₁ d b) ₂ d c) ₃ d

2 2 2

3 1 1

4 5 6 2 3 1

I x I x I x

x x x x x

  

    

  

Lời giải a) Ta có:

d d d d

1 2

3 1 3 ( 2) ( 2) 3 1 1 3 2

3 ln

( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 4 2 2 4 2

4

x x x

I x x x x C

x x x x x x x

x

     





 



  



  



       

b) Tương tự:

d d d d

2 2

1 1 ( 2) ( 3) 1 1 3

( 2)( 3) ( 2)( 3) 3 2 ln 2

5 6

x x x

I x x x x C

x x x x x x x

x x

     





  



  



  



        c) Phân tích:

 

2

1 1

1

2 3 1

2 1

2

x x

x x

  

     

 

Hướng 1:

 

 

 

d d d

3 2

1 1

1 1 2

1 1

2 3 1

2 1 1

2 2

x x

I x x x

x x

x x x x

    

  

 

 

  

 

   

           

     

  

1 1 d 1 2 2

ln ln

1 1

1 2 1

2 2

x x

x C C

x x

x x

 

   

           



Hướng 2: ^{I3 }



^{2x213x1dx}

 

^{x1 2}



^{1 x1}



^dx



⁽²



^{xx 1) 2(1 2}



^xx1



^1)dx

1 2 d 1

ln 1 ln 2 1 ln

1 2 1 2 1

x x x C x C

x x x

  





            

Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.

Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:

a) d b d c) d

2 3

2 2 2

2 1 2

5 4 ) 5 6 3 2

x x x x x

x x x

x x x x x x

  

     

  

Lời giải a) Phân tích:

  

2

2 1 2 1

1 4

1 4

5 4

x x A B

x x

x x

x x

    

 

 

 



^{x 21x}



^{x1 4}



^{A x(}



^{x 4)1}



^{xB x(4}



^{1) (*)}

 

   

Cách 1:

      

 

⁴



2 1

(*) 1 4 1 4

A B x A B

x

x x x x

   

  

   

   

^{2 1}

2 1 4

4 1 3

A B A

x A B x A B

A B B

     

            Cách 2: Từ (*) đồng nhất ta có: 2x 1 A x(  4) B x( 1)(**)

Thay x1 vào (**): 3 3A  A 1.

Thay x4 vào (**): 9 3 B B 3.

Lúc đó:

d d d

2 2

2 1 1 3 2 1 1 1

3 ln 1 3ln 4

1 4 1 4

5 4 5 4

x x

x x x x x C

x x x x

x x x x

              

   

 



 

 

Cách 3:

    

     

d d d d

2

2 1 3

2 1 2 1 2 3

4 .

1 4 1 4 1 4

5 4

x x x

x x x x

x

x x x x x x

x x

 

   

            

   

   

Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.

Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:

     

a) d b) d c d

2 2 2

1 3 2 2 2 3 5

4 1

3 2 1 3 ) 1

x x x x

I x I x I x

x x x x x x

  

  

    

  

Lời giải a) Phân tích:

 

2 2 2

3 2 2

4 4 4

( 1)( 2)

3 2 3 2

x x x x x x

x x x

x x x x x x

     

 

 

   

Sử dụng đồng nhất thức: ^{2 4}

 

( 1)( 2) 1 2

x x A B C

x x x x x x x

     

   

2 4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x A x x Bx x Cx x

x x x x x x x

       

  

   

2

4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

x x A x x Bx x Cx x x

           (*)

Thay x0 vào (*), ta được: 4 2 A A 2 Thay x1 vào (*), ta được: 4    B B 4 Thay x2 vào (*), ta được:  6 2C C 3.

Lúc đó: d d

2

1 3 2

4 2 4 3

2 ln 4 ln 1 3ln 2

1 2

3 2

x x

I x x x x x C

x x x

x x x

    





  



            b) Phân tích:

  

²2



2

 

1

1 ( 1) 3

1 3

x A B C

x x x x

x x

    

  

 

         

 

^(*)

2 2

2 2

2 2

1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

1 3 1 3

1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

x A x x B x C x

x

x x x x

x A x x B x C x x

      

  

   

         

Thay x1 vào (*) ta được: 1

2 4 .

B B 2

  

Thay x 3 vào (*) ta được: 10 16 ⁵. C C 8

  

Thay x0 vào (*) ta được: 3 1 3

1 3 3 .

3 8

A B C A B C 

      

Lúc đó:

   

^d

2

2 2 2

3 1 5

1 8 2 8 3ln 1 1. 1 5ln 3

1 ( 1) 3 8 2 1 8

1 3

I x dx x x x C

x x x x

x x

 

  

         

     

 

   

 

c) Phân tích:

 

2

5 1 ( 1)2 ( 1)3 ( 1)4 ( 1)5

1

x A B C D E

x x x x x

x

    

    



Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.

Bài tập tương tự: Xác định các nguyên hàm sau:

1) d 2) d 3) d

3

2 2 2

2 2 1 2

4 9 5 4 3 2

x x x

x x x

x x x x x

 

    

  

        

4) d 5) d 6) d

2 6 2 2 6 2

2 3 1 1 2 4 3

x x x x

x x x

x x x x x x x

   

     

  

     

7) d 8) d 9) d

3 3 2

2 2 2 3

1 5 17 18 5

6 5 2 1 2

x x x x x

x x x

x x x x x x

   

    

  

     

10) d d 12) d

3 2 5

2 2 4 2

2

2 1 1

11) 1 3 8 16

1

x x x x

x x x

x x

x x

x

  

 

 





 

Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

DẠNG 1: d

cos ( ) sinx

I f x x





x , trong đó ( )f x : đa thức.

Phương pháp: Đặt ^{d d} d sin d chän: d

( ) /( )

sin

u f x u f x x

v x x v x x

   

  





Ví dụ 1: Xác định:

a)

 

^{x1 sin 2}



^{x xd . b)}

 

^{x2 x}



^{cosx xd .}

Lời giải a) Đặt

d d

d d chän 1

cos 2 sin 2

2

u x u x

x x v v x

    



   



Ta có:

     

d 1 cos 2 cos 2 d 1 cos 2 sin 2

1 sin 2 .

2 2 2 4

x x x x x x

x x x  x  C

       

 

Đặt ^d

 

^d

d d chän

2 2 1

cos sin

u x x u x x

x x v v x

     



  

 . Ta có:

 

^x2x



^{cosx xd }



^x2x



^sinx

 

^{2x1 sin}



^{x xd .}

Xét

 

^{2x1 sin}



^{x xd . Đặt  }_sin^u _{x x}²_d^{x }_¹_dv ^d_^u _chän ^2dx _{v cosx}

Ta có:

 

^{2x1 sin}



^{x xd  }



^{2x1 cos}



^x



^{2cosx xd  }



^{2x1 cos}



^{x2sinx C .}

Vậy

 

^{x2 x}



^{cosx xd }



^x2x



^sinx



^{2x1 cos}



^{x2 sinx C '.}

DẠNG 2: I



f x e x( ). ^xd ^{, trong đó f x( )}: đa thức.

Phương pháp: Đặt ^{d d}

d d chän: d

( ) /( )

x x

u f x u f x x

v e x v e x

   

  





Ví dụ 2: Xác định:

a)

 

^x1



^{e2xdx. b)}

 

^{x2 4x e x}



^{xd .}

Lời giải a) Đặt

d d

d d chän

2 2

1

. 2

x x

u x u x

e x v v e

    



  

 Ta có:

     

d

2 2 2 2

2 1 1

1 .

2 2 2 4

x x x x

x x e e x e e

x e x  dx  C

     

 

b) Đặt ^d

 

^d

d d chän

2 4 2 4

x x

u x x u x x

e x v v e

     



  

 . Ta có:

 

^{x24x e x}



^{xd }



^{x24x e}



^x

 

^2x4



^{e xxd}

Xét

 

^2x4



^{e xxd . Đặt  }_^u_{e x}^x_d²_^{x }_{d v}⁴ _^du _chän ^2d_{v e}^x_ ^x.

Ta có:

 

^2x4



^{e xxd }



^2x4



^ex



^{2e xxd }



^2x4



^{ex2exC.}

Vậy

 

^{x2 4x e x}



^{xd }



^{x2 4x e}



^x



^2x4



^{ex2exC'.}

DẠNG 3: ln d

( ) log_a

I f x x x





x , trong đó ( )f x : đa thức.

Phương pháp: Đặt d d

d d chän: d

ln 1

( ) ( )

u x u x

x v f x x v f x x

   



  





Ví dụ 3: Xác định:

a)

 

^{2x1 ln}



^{x xd . b)}



^xln



^{x2x x}



^{d .}

Lời giải a) Đặt

 

d

d d chän ²

ln 1

.

2 1

u x du x

x

x x v v x x

   



     



Ta có:



^{2 1 ln}



^d



²



^ln



¹



^d



²



^{ln 2}

2

x x x x x x x x x x xx  x C

 

a) Đặt

 

^{d d}

d d chän

2

2 2

2 1

ln

2

u x x u x x

x x

x x v v x

     

 

   



Ta có:



²



^{d 2}



²



²



2



^d

2 1

ln ln 1

2 2

x x

x x x x x x x x

x x

    

 



 

^d

 

2 2 2

2 1 1 2 1

ln 2 1 ln ln 1 .

2 2 1 2 2 2 2

x x x x

x x x x x x x C

x

 

  



           

Bài tập tương tự:

1) Xác định các nguyên hàm sau:

1 sin d

I 



x x x ^{I2 }



^{xcos 2x xd I3 }



^{2 cosx 2x xd}

 

^{2 d}

4 2 1 cos

I 



x x x I5 



x²1 sin



x x^d I6 

 

xcos²x



sinx x^d



²



^d

7 sin cos

I 



x x x x ^{I8 }



^x_cos^sin2_x^xdx 9 ^d

sin 1 cos

x x

I x

x

 







²



^d

10 2 cos 1

I 



x x x ^I11



_cos^xsin3_x^{xdx I12}



^{xsin x xd}

13 sin d

I 



x x ^{I14 }



^{xtan2x xd} I15 

 

x²2x3 cos



x x^d

16 cos2 d

I x x





x I17 

 

x²5 sin



x x^{d I18 }



_{cos 2}^x_x1^dx

2) Xác định các nguyên hàm sau:

1 d

I 



xe xx ^{I2 }



^{x e x2 xd I3 }

 

^x1



^2e2xdx

4 d

I 



e x x ^{I5 }



^{x e3 x2dx I6 }



^{2xx xd}



²



^d

7 2 1 ^x

I 



x  x e x ^{I8 }



^{ecosx.sin 2x xd I9 }



^exlnxdx

3) Xác định các nguyên hàm sau:

1 ln d

I 



x x ^{I2 }



^{xlnx xd I3 }



^{ln2x xd}

d

4

lnx x

I 



x ^{I5 }



^log2



^x3



^{dx I6 }



^{lgx xd}

 

^d

7 2 ln 1

I 



x x x I8 



xln 1



x²



^dx I9 



ln



x²x x



^d



²



^d

10 ln 1

I 



x  x ^I11



^{x2ln dx x I12 }



^{x3ln2x xd}

13 3 d

lnx

I x





x ^{I14 }



^{ln ln}

 

_x ^{x dx I15 }

 

^{1 ln x}



^2dx

 

^d

16 2

ln 1

I x x

x





 I17 



xln



x²1



^dx ^{I18  }



^_^x2_x^1_^{lnx xd}

4) Xác định các nguyên hàm sau:

1 ^xcos d

I 



e x x ^{I2 }



^{cos ln}

 

^{x xd} I³ 



sin .ln(tan )x x x^d

4 5 sin 2^x d

I 



e x x ^{I5 }



^{e3x.sin 5x xd} I⁶ 



cos .ln 1 cosx



 x x



^d

2 2 d

7 ^xsin

I 



e x x ^{I8 }



^{sin ln cosx}



^{x x}



^d I9 



ln



x²x x



^d

 

^d

10 cos sin

I 



x x x x ^I11



^{xsin cosx 2x xd I12 }



^{( ln )x x 2dx}

Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN

Ví dụ 1: Xác định a)A



tanx xd . ^{b) B}



^{cotx xd .}

Lời giải

a) d sin d

tan cos

A x x x x









x

Đặt tcosxdt sinx xd . Khi đó: d

ln ln cos

A t t C x C

 



t       ^.

b) d cos d

cot sin

B x x x x









x

Đặt tsinxdtcosx xd . Khi đó: d

ln ln sin

A t t C x C





t     ^. Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

trong các trường hợp sau:

a) ^{f x}

 

^{e1 cos xsin .x b) f x}

 

^{sin3xcos5x.}

Lời giải

a) ^{I }



^{f x x}

 

^{d }



^{e1 cos xsinx xd .}

Đặt t 1 cosx^dt sinx x^d . Khi đó: I 



e t^td     e^t C e^{1 cos x}C. b) ^{I }



^{f x x}

 

^{d }



^{sin3xcos5x xd }



^sinx



^{1 cos 2x}



^{cos5x xd .}

Đặt tcosxdt sinx xd .

Khi đó: ^{I }

 

^{1t t dt2}



^{5 }

 

^{t7 t dt5}



^t₈^{8 t}₆^{6  C cos}₈^8xcos₆^6xC.

Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:

a) d

2

3 2

9 12

2 5 .

x x

A x

x x

 

 



^{b) 1 d .}

1

B x x

x

 



 Lời giải

a)

 

d d

2 2

3 2 3 2

3 3 4

9 12

2 5 2 5 .

x x

x x

A x x

x x x x

 

 

   

 

Đặt ^{tx32x2 5 dt}



^{3x24x x}



^{d . Khi đó: A 3dt 3lnt C 3ln x3 2x2 5 C.}





t      

b) 1 d 1 .

B x x

x

 





Đặt t x    1 t² x 1 2t td dx.

Khi đó: ^B



^{t2  }_t¹



^{12t td 2}



^t22



^{dt2t}₃^{3 2tC}

 

 

1 ^{2 1}



⁵



2 1 2 .

3 3

x x

x  x  C   C

      

 

Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:

a)

 

d ln 1 2

x .

A x

x





 ^{b) B}



^{xln ln lnxdx}

 

^{x .}

Lời giải

a)

 

d ln 1 2

x .

A x

x







Đặt ln 1 d ^dx.

t x t

    x Khi đó:

 

d

3 3

2 ln 1

3 3 .

t x

A t t C  C





   

b) ^B



^{xln ln lnxdx}

 

^{x .}

Đặt ^{ln ln}

 

^{d 1 d .}

t x t ln x

x x

   Khi đó: ^{I dt lnt C ln ln ln}

 

^{x C.}





t    

Ví dụ 5: Xác định các nguyên hàm sau:

a) 1d

.

x x

I e x

x e





 



 ^b)



^{sin cos}



^{2 d .}

sin cos

x x

J x

x x

 



 Lời giải

a) 1d

.

x x

I e x

x e





 





Đặt ^{t 1 ex dt }



^{1 ex}



^{dx. Khi đó: I dt lnt C ln 1 e x C.}

t

 



        a) ^J



^{sinsinxx coscosxx}



^{2 dx.}

 





Đặt ^{tsinxcosxdt}



^{cosxsinx x}



^{d . Khi đó: d}₂ ^{1 1}

sin cos

J t C C

t x x

 t      



 ^.

Bài tập tương tự: Xác định các nguyên hàm sau:

1) 1 cot₂ d sin .

A x x

x





 ^{6) F}



^{1 3ln ln} _x ^{x xdx.}

2)

 

cos ln d x .

B x





x ^{7) G}



^{ecos2xsin cosx x xd .}

3) C



sin²xcos³x xd . ^{8) 1}₂ ^{d .}

1

H x

x x







4) d .

x x

x x

e e

D x

e e





 



 ^{9) I }



_{4 cos}^{sin 2}_ ^x2_x^dx.

5) E



x³³ x²1 .dx ^{10) K}



^{cos4x xd .}

Nhóm kỹ năng: DÙNG VI PHÂN

Ví dụ 1: Xác định a) I 



tanx xd . ^{b) I }



^{cotx xd .}

Lời giải

a) Ta có: ^d

 

d sin d cos

tan ln cos .

cos cos

x x

I x x x x C

x x









 



  

b) Ta có: ^d

 

d cos d sin

cot ln sin .

sin sin

x x

I x x x x C

x x













 

Ví dụ 2: Xác định a) sin sin d 1 2 2

1 2

I x x

x

 



 ^{. b) I }

 

^esinxcosx



^{cosx xd .}

Lời giải

a) Ta có: ^{sin d cos d d}



^sin

 

^sin



sin sin sin

2 1 2

1 2 2 1 1

ln 1 2 .

1 2 1 2 2 1 2 2

x x x

I x x x C

x x x

 

     

  

  

Nhận xét: So với phép đổi biến t 1 sin2x thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn.

b) Ta có:



^{sin cos}



^{cos d sin cos d cos2 d sin d}



^sin



^{1 cos 2 d}

2

x x x x

I



e  x x x



e x x



x x



e x 



 x

sin 1 1

sin 2 .

2 4

e x x x C

   

Ví dụ 3: Xác định a) ^d

x 1 I x

 e



 ^{. b)}

 

d 1 3

x

x

I e x

e







Lời giải

a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:

 

^d

 

d 1 d d d d 1

1 1 1 1

x x x x

x x x x

e e e

x e

I x x x x

e e e e

  

     

   

     

ln ^x 1 .

x e C

  �