Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:

1. Nguyên hàm

a. Định nghĩa: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số ^{F x}

 

được gọi là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^trên^K^nếu^{F x}^'

   

^ ^{f x} ^{với mọi}^{x K}^ ^.

b. Định lí:

1) Nếu ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^trên^K thì với mỗi hằng số C, hàm số

   

G x F x C cũng là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^trên^K^.

2) Nếu ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^trên^K thì mọi nguyên hàm của ^{f x}

 

trên K đều có dạng ^{F x}

 

^^C^{, với}^C là một hằng số.

Do đó ^{F x}

 

^^{C C}^, ^^ là họ tất cả các nguyên hàm của ^{f x}

 

^trên^K^.

Ký hiệu



^{f x x F x}

 

^d ^

 

^^C ^.

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:

 _

^{f x x}

 

^d



^{ } ^{f x}

^{ }

^và

_

^{f x x}^'

^{ }

^d ^ ^{f x}

^{ }

^^C

Tính chất 2:



kf x x k f x x

 

^d 

  

^d ^với^k là hằng số khác 0 . Tính chất 3:



^_^{f x}

   

^^{g x} ^_^d^x^



^{f x x}

 

^d ^



^{g x x}

 

^d

Chú ý:

         

   

 

d d d d d

. . ; f x f x xd .

f x g x x f x x g x x x

g x g x x

   

 



    

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ^{f x}

 

liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp



^{u ax b a}^ ^ ^; ^⁰



Nguyên hàm của hàm số hợp



^{u u x}^

  

0dx C

 

⁰^d^{u C}^

dx x C

 

^{du u C}^{ }

NGUYÊN HÀM_CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

(2)

d 1 ¹ x x^ 1x^ C



  







^^{ }¹



 

^d ¹^. ¹

 

¹

ax b x 1 ax b C

a

 



    







^ ^{ }¹



d 1 ¹

u u^ 1u^ C



  







^ ^{ }¹



1d

ln

x x C

x  

 

_{ax b}¹_ ^d^x^¹_a^ln^{ax b C}^{ }



_u¹^d^u^^ln^{u C}^

xd x

e x e C

 

^e^{ax b}^^d^x^¹_a^e^{ax b}^ ^^C



^{e u e}^u^d ^ ^u^^C

d ln

x

x a

a x C

 a





^a^^0,^a^¹



d 1

.ln

ax b

ax b A

A x C

a A

   





^a^^0,^a^¹



d ln

u

u a

a u C

 a





^a^^0,^a^¹



sinx xd  cosx C

    

d cos

sin ax b

ax b x C

a

    

 

^sin^u^du^{ }^cos^u^^C

cosx xd sinx C

    

d sin

cos ax b

ax b x C

a

   

 

^cos^{u u}^d ^^sin^{u C}^

2 d

1 tan

cos x x C

x  

 

_cos²

_

¹_{ax b}_

_

^d^x^^tan

^

^{ax b}_a ^

^

^^C 2 ^d

1 tan

cos u u C

u  



2 d

1 cot

sin x x C

x   

 

_sin²

_

¹_{ax b}_

_

^d^x^{ }^cot

^

^{ax b}_a ^

^

^^C 2 ^d

1 cot

sin u u C

u   



II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu



^{f u du F u}

 

^

 

^^C^và^{u u x}^

^{ }

là hàm số có đạo hàm liên tục thì

   

^'

 

^d

   

f u x u x x F u x C



Hệ quả: Nếu ^{u ax b a}^ ^



^⁰



^{thì ta có} ^{f ax b x}

 

^d ¹^{F ax b}

 

^C

 a  



2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số ^{u u x}^

 

^và^{v v x}^

 

có đạo hàm liên tục trên K thì

   

^' ^d

   

^'

   

^d

u x v x x u x v x  u x v x x

 

Vì v x dx dv u x dx dv^'

 

 ^{, '}

 

 nên đẳng thức còn được viết dưới dạng:



u v uvd  



v ud

(3)

II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

Nhóm kỹ năng: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

Ví dụ 1: Xác định:

a)

 

^x^¹

 

² ²^x^¹



^d^x^. ^b)



^x⁴^³^x²_x^⁴^x^²^d^x^. ^c)

 

⁴³^x^³⁴ ^x



^d^x^.

^

^x^^{0 .}

^

Lời giải:

a) Ta có:



¹

 

² ² ¹



^d



² ² ^{1 2}

 

¹



^d



² ³ ³ ² ¹



^d ⁴ ³ ^.

2

x x x x  x x x x  x  x x x  x C

  

b) Ta có: d d

4 2 4 2

3 4 2 3 2 3

3 4 4 2 ln .

4 2

x x x x x

x x x x x x C

x x

             

 

 

c) Ta có, với x0:



⁴³ ³⁴



^d ⁴ ¹³ ³ ¹⁴ ^d ⁴₄ ⁴³ ³₅ ⁵⁴ ³ ³ ¹²₅ ⁴ ^.

3 4

x x

x x x  x x  x x x x x C

         

 

 

a)



4²^x^¹dx. ^b)

_

^e^x



²^^e^x



²^d^x^. ^c) ²^x ²x ⁴^x ^d ^.

e e

e^ x



 

Lời giải:

a) Ta có: d

2 1

2 1 4

4 .

2 ln 4

x

x x C

   



Nhận xét:

2 1 2 1 2

4 4 4 1 1 4

.16 .2

2 ln 4 4 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

x x x

x x

 

    (để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm).

b) Ta có:



²



²^d



^{4 4} ²



^d



⁴ ⁴ ² ³



^d ⁴ ² ² ³ ^.

3

x

x x x x x x x x x x e

e e x e  e e x e  e e x e  e  C

  

c) Ta có: ²^x ²x ⁴^x^d



³^x ² ^x ⁵^x



^d ₃³^x ² ^x ₅⁵^x ^.

e e e e

x e e e x e C

e^

        

 

a)

 

^{2 sin 4}^x^^{3cos 5}^x^¹



^d^x^. ^b)

_ 

^{4 sin 2}² ^x^^{6 cos}²^{x x}



^d ^.

c)



2 sin 3⁴ x xd . ^d)

_ 

^{sin 2}⁴ ^x^^{cos 2}⁴ ^{x x}



^d ^.

Lời giải:

a) Ta có:



^{2 sin 4} ^{3cos 5} ¹



^d ^{cos 4} ^{3sin 5} ^.

2 5

x x

x x x    x C



(4)

b) Ta có:

_ 

^{4 sin 2}² ^x^^{6 cos}²^{x x}



^d ^

_

^_^{2 1 cos 4}

^

^ ^x

^{ }

^^{3 1 cos 2}^ ^x

^

^_^d^x^

_ ^

^{3cos 2}^x^^{2 cos 4}^x^⁵

^

^d^x

3sin 2 sin 4

5 .

2 2

x x

   x C

c) Ta có: ^{2 sin 3}⁴ ^{2 sin 3}



²



² ² ^{1 cos 6} ² ¹



^{1 2 cos 6} ^{cos 6}²



2 2

x x    x   x x

 

1 1 cos12 3 cos12

1 2 cos 6 2 cos 6 .

2 2 4 4

x x

  

      

 

Vậy ⁴ d 3 cos12 d 3 sin 6 sin12

2 sin 3 2 cos 6 .

4 4 4 3 48

x x x x

x x   x  x   C

 

 

d) Ta có: sin 2⁴ cos 2⁴ 1 ¹sin 4² 1 ^{1 1 cos 8}. ³ ^{cos 8} .

2 2 2 4 4

x x

x x x 

      

Vậy



^{sin 2}⁴ ^x^^{cos 2}⁴ ^{x x}



^d ^ ^³₄^^{cos 8}₄ ^x^^d^x^ ³₄^x^^{sin 8}₃₂^x^^C^.

 

 

a)



2 sin 3 cos 2x x xd . ^b)



6 sin 4 sin 2x x x^d . c)



cos 5 cos 2x x xd . ^d)



8 sin 3 cos 2 sin 6x x x x^d . Lời giải:

a) Ta có: 2 sin 3 cos 2 ^d



sin sin 5



^d cos ^{cos 5} . 5

x x x x x x  x xC

 

b) Ta có: 6 sin 4 sin 2 ^d 3 cos 2



cos 6



^d ^{3sin 2} ^{sin 6} .

2 2

x x

x x x x x x  C

 

c) Ta có: cos 5 cos 2 ^d ¹



cos 3 cos7



^d ^{sin 3} ^sin7 .

2 6 14

x x

x x x x x x  C

 

d) Ta có: 8sin 3 cos 2 sin 6x x x4 sin



xsin 5 sin 6x



x4sin sin 6x x4sin 5 sin 6x x

   

2 cos 5x cos7x 2 cosx cos11x 2cosx 2cos 5x 2cos7x 2cos11x

        .

Vậy



8sin 3 cos 2 sin 6x x x x^d 

 

2cosx2cos 5x2cos7x2cos11x x



^d

2 sin 5 2 sin 7 2 sin11

2 sin .

5 7 11

x x x

x C

    

Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau:

1)

 

³^x^¹

 

² ²^x^¹



^d^x^. ²⁾



^x⁴^⁷^x_x²²^²^x^⁵^d^x^.

(5)

3)

 

⁴³ ^x^⁵ ^x



^d^x^.

^

^x^^{0 .}

^

⁴⁾



⁹²^x^¹^d^x^.

5)

_

^e²^x



³^^e^^x



²^d^x^. ⁶⁾ ²^x ²x ⁴^x ^d ^.

e e

e x



 

7)

 

^{3sin 2}^x^^{2 cos7}^x^¹



^d^x^. ⁸⁾

_ 

^{2 sin 2}² ^x^^{4 cos 4}² ^{x x}



^d ^.

9)



6 sin 2⁴ x xd . ¹⁰⁾

_ 

^sin⁴^x^^cos⁴^{x x}



^d ^.

11)



8 sin 3 cos 6x x xd . ¹²⁾



10 sin 2 sin 8x x x^d . 13)



4 cos 5 cos 3x x xd . ¹⁴⁾



16 sin 2 cos 3 sin 6x x x x^d . Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC Nội dung:

Để tìm nguyên hàm của hàm số ^{( )} ( ) P x

Q x , trong đó ( ),P x Q x( ) là các đa thức, ta thực hiện như sau:

- Nếu bậc của P x( ) không nhỏ hơn bậc của Q x( ), thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu biễn: ( ) ¹( )

( ) ( ) ( ) P x P x

Q x M x Q x , trong đó M x( ) là đa thức, và ¹( ) ( ) P x

Q x là phân thức có bậc của

1( )

P x nhỏ hơn bậc của ( )Q x .

- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm:

2 2

( ) ( ) ...(^m )ⁿ 4 0

Q x  x a x px q  p  q

- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản:

    ^     

     

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

( ) ... ...

1

...

m m n

n n

A

A A

P x

m x a

x a x px q x a x a

B x C

B x C B x C

x px q x px q x px q ^

    

 

    



 

  

 

   

-Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số A A₁, ₂,...,A B_m, ₁,..., B_n.

Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản.

LUYỆN TẬP:

Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:

(6)

a) d b) d

4

1 2

3 1 4 2

4 2 1

x x x

I x I x

x x

  

 

 

 

Lời giải

a) Ta có: ₁ 3 1d 3( 4) 13d d 1 d

3 13 3 13ln 4

4 4 4

x x

I x x x x x x C

x x x

  

       

  

   

b) Biểu diễn:

4 4 2 3 2 47 1 1

2 1 2 6 12 24 24 2. 1

x x x x x

x x

 

    

 

Lúc đó:

d d

4 3 2 4 3 2

2

4 2 31 63 1 31 63

. ln 2 1 .

2 1 2 4 8 16 16 2 1 8 12 16 16 32

x x x x x x x x x

I x x x C

x x

 

 





 



             

a) ₁ d b) ₂ d c) ₃ d

2 2 2

3 1 1

4 5 6 2 3 1

I x I x I x

x x x x x

  

    

  

Lời giải a) Ta có:

d d d d

1 2

3 1 3 ( 2) ( 2) 3 1 1 3 2

3 ln

( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 4 2 2 4 2

4

x x x

I x x x x C

x x x x x x x

x

     





 



  



  



       

b) Tương tự:

d d d d

2 2

1 1 ( 2) ( 3) 1 1 3

( 2)( 3) ( 2)( 3) 3 2 ln 2

5 6

x x x

I x x x x C

x x x x x x x

x x

     





  



  



  



        c) Phân tích:

 

2

1 1

1

2 3 1

2 1

2

x x

  

     

 

Hướng 1:

 

d d d

3 2

1 1

1 1 2

1 1

2 3 1

2 1 1

2 2

x x

I x x x

x x

x x x x

    

  

 

 

  

 

   

           

     

  

1 1 d 1 2 2

ln ln

1 1

1 2 1

2 2

x x

x C C

x x

 

   

           



Hướng 2: ^I³ ^



²^x²^¹³^x^¹^d^x^

 

^x^^{1 2}



¹ ^x^¹



^d^x^



⁽²



^x^x^{ }^^{1) 2(}^{1 2}



^x^x^^¹



¹⁾^d^x

(7)

1 2 d 1

ln 1 ln 2 1 ln

1 2 1 2 1

x x x C x C

x x x

  





            

Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.

a) d b d c) d

2 3

2 2 2

2 1 2

5 4 ) 5 6 3 2

x x x x x

x x x

x x x x x x

  

     

  

Lời giải a) Phân tích:

  

2

2 1 2 1

1 4

5 4

x x A B

x x

    

 

 



^x ²¹^x



^^x¹ ⁴



^{A x}⁽



^x^{ }⁴⁾¹



^x^{B x}⁽⁴^



¹⁾^(*)

 

   

Cách 1:

      

 

⁴



2 1

(*) 1 4 1 4

A B x A B

x

x x x x

   

  

   

   

² ¹

2 1 4

4 1 3

A B A

x A B x A B

A B B

     

            Cách 2: Từ (*) đồng nhất ta có: 2x 1 A x(  4) B x( 1)(**)

Thay x1 vào (**): 3 3A  A 1.

Thay x4 vào (**): 9 3 B B 3.

Lúc đó:

d d d

2 2

2 1 1 3 2 1 1 1

3 ln 1 3ln 4

1 4 1 4

5 4 5 4

x x

x x x x x C

x x x x

              

   

 



 

 

Cách 3:

    

     

d d d d

2

2 1 3

2 1 2 1 2 3

4 .

1 4 1 4 1 4

5 4

x x x

x x x x

x

x x x x x x

x x

 

   

            

   

   

Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.

     

a) d b) d c d

2 2 2

1 3 2 2 2 3 5

4 1

3 2 1 3 ) 1

x x x x

I x I x I x

x x x x x x

  

  

    

  

Lời giải a) Phân tích:

 

2 2 2

3 2 2

4 4 4

( 1)( 2)

3 2 3 2

x x x x x x

x x x

x x x x x x

     

 

 

   

(8)

Sử dụng đồng nhất thức: ² ⁴

 

( 1)( 2) 1 2

x x A B C

x x x x x x x

     

   

2 4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x A x x Bx x Cx x

x x x x x x x

       

  

   

2

4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

x x A x x Bx x Cx x x

           (*)

Thay x0 vào (*), ta được: 4 2 A A 2 Thay x1 vào (*), ta được: 4    B B 4 Thay x2 vào (*), ta được:  6 2C C 3.

Lúc đó: d d

2

1 3 2

4 2 4 3

2 ln 4 ln 1 3ln 2

1 2

3 2

x x

I x x x x x C

x x x

    





  



            b) Phân tích:

  

²2



2

 

1

1 ( 1) 3

1 3

x A B C

x x x x

x x

    

  

 

         

 

^(*)

2 2

1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

1 3 1 3

1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

x A x x B x C x

x

x x x x

x A x x B x C x x

      

  

   

         

Thay x1 vào (*) ta được: 1

2 4 .

B B 2

  

Thay x 3 vào (*) ta được: 10 16 ⁵. C C 8

  

Thay x0 vào (*) ta được: 3 1 3

1 3 3 .

3 8

A B C A B C 

      

Lúc đó:

   

^d

2

2 2 2

3 1 5

1 8 2 8 3ln 1 1. 1 5ln 3

1 ( 1) 3 8 2 1 8

1 3

I x dx x x x C

x x x x

x x

 

  

         

     

 

   

 

c) Phân tích:

 

2

5 1 ( 1)2 ( 1)3 ( 1)4 ( 1)5

1

x A B C D E

x x x x x

x

    

    



Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.

Bài tập tương tự: Xác định các nguyên hàm sau:

1) d 2) d 3) d

3

2 2 2

2 2 1 2

4 9 5 4 3 2

x x x

x x x x x

 

    

  

        

4) d 5) d 6) d

2 6 2 2 6 2

2 3 1 1 2 4 3

x x x x

x x x

x x x x x x x

   

     

  

(9)

  ^ ^{ } ^

7) d 8) d 9) d

3 3 2

2 2 2 3

1 5 17 18 5

6 5 2 1 2

x x x x x

x x x

x x x x x x

   

    

  

  ^ ^{ } ^

10) d d 12) d

3 2 5

2 2 4 2

2

2 1 1

11) 1 3 8 16

1

x x x x

x x x

x x

x

  

 





 

Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

DẠNG 1: d

cos ( ) sinx

I f x x





x , trong đó ( )f x : đa thức.

Phương pháp: Đặt ^d ^d d sin d chän: d

( ) /( )

sin

u f x u f x x

v x x v x x

   

  





a)

 

^x^^{1 sin 2}



^{x x}^d ^. ^b)

_ 

^x² ^^x



^cos^{x x}^d ^.

Lời giải a) Đặt

d d

d d chän 1

cos 2 sin 2

2

u x u x

x x v v x

    



   



Ta có:

     

d 1 cos 2 cos 2 d 1 cos 2 sin 2

1 sin 2 .

2 2 2 4

x x x x x x

x x x  x  C

       

 

Đặt ^d

 

^d

d d chän

2 2 1

cos sin

u x x u x x

x x v v x

     



  

 . Ta có:

_ 

^x²^^x



^cos^{x x}^d ^



^x²^^x



^sin^x^

_ ^

²^x^^{1 sin}

^

^{x x}^d ^.

Xét

 

²^x^^{1 sin}



^{x x}^d ^.^Đặt^{ }^__sin^u _{x x}²_d^x^{ }_¹_d_v ^d_^u^_chän²^d^x _v_{ }_cos_x

Ta có:

 

²^x^^{1 sin}



^{x x}^d ^{ }



²^x^^{1 cos}



^x^



^2cos^{x x}^d ^{ }



²^x^^{1 cos}



^x^^2sin^{x C}^ ^.

Vậy

_ 

^x² ^^x



^cos^{x x}^d ^



^x²^^x



^sin^x^

^

²^x^^{1 cos}

^

^x^^{2 sin}^{x C}^ ^'.

DẠNG 2: I



f x e x( ). ^xd ^{, trong đó} ^{f x}^{( )}: đa thức.

Phương pháp: Đặt ^d ^d

d d chän: d

( ) /( )

x x

u f x u f x x

v e x v e x

   

  





a)

 

^x^¹



^e²^x^d^x^. ^b)

_ 

^x² ^⁴^{x e x}



^x^d ^.

(10)

d d

d d chän

2 2

1

. 2

x x

u x u x

e x v v e

    



  

 Ta có:

     

d

2 2 2 2

2 1 1

1 .

2 2 2 4

x x x x

x x e e x e e

x e x  dx  C

     

 

b) Đặt ^d

 

^d

d d chän

2 4 2 4

x x

u x x u x x

e x v v e

     



  

 . Ta có:

_ 

^x²^⁴^{x e x}



^x^d ^



^x²^⁴^{x e}



^x^

_ ^

²^x^⁴

^

^{e x}^x^d

Xét

 

²^x^⁴



^{e x}^x^d ^{. Đặt}^{ }^^_^u_{e x}^x_d²_^x^{ }_d_v⁴ _^du_chän^²^d_{v e}^x_ ^x^.

Ta có:

 

²^x^⁴



^{e x}^x^d ^



²^x^⁴



^e^x^



²^{e x}^x^d ^



²^x^⁴



^e^x^²^e^x^^C^.

Vậy

_ 

^x² ^⁴^{x e x}



^x^d ^



^x² ^⁴^{x e}



^x^

^

²^x^⁴

^

^e^x^²^e^x^^C^'.

DẠNG 3: ln d

( ) log_a

I f x x x





x , trong đó ( )f x : đa thức.

Phương pháp: Đặt d d

d d chän: d

ln 1

( ) ( )

u x u x

x v f x x v f x x

   



  





a)

 

²^x^^{1 ln}



^{x x}^d ^. ^b)

_

^x^ln



^x²^^{x x}



^d ^.

 

d

d d chän ²

ln 1

.

2 1

u x du x

x

x x v v x x

   



     



Ta có:



² ^{1 ln}



^d



²



^ln



¹



^d



²



^ln ²

2

x x x x x x x x x x xx  x C

 

a) Đặt

 

^d ^d

d d chän

2

2 2

2 1

ln

2

u x x u x x

x x

x x v v x

     

 

   



Ta có:



²



^d ²



²



²

^

2

^

^d

2 1

ln ln 1

2 2

x x

x x x x x x x x

x x

    

 



 

^d

 

2 2 2

2 1 1 2 1

ln 2 1 ln ln 1 .

2 2 1 2 2 2 2

x x x x

x x x x x x x C

x

 

  



           

(11)

Bài tập tương tự:

1) Xác định các nguyên hàm sau:

1 sin d

I 



x x x ^I² ^



^x^{cos 2}^{x x}^d ^I³ ^



^{2 cos}^x ²^{x x}^d

 

² ^d

4 2 1 cos

I 



x x x I5 



x²1 sin



x x^d I6 

 

xcos²x



sinx x^d



²



^d

7 sin cos

I 



x x x x ^I⁸ ^



^x_cos^^sin²_x^x^d^x 9 ^d

sin 1 cos

x x

I x

x

 







²



^d

10 2 cos 1

I 



x x x ^I¹¹^



_cos^x^sin³_x^x^d^x ^I¹²^



^x^sin ^{x x}^d

13 sin d

I 



x x ^I¹⁴ ^



^x^tan²^{x x}^d I15 

 

x²2x3 cos



x x^d

16 cos2 d

I x x





x I17 

 

x²5 sin



x x^d ^I¹⁸ ^



_{cos 2}^x_x_₁^d^x

1 d

I 



xe xx ^I² ^



^{x e x}² ^x^d ^I³ ^

 ^

^x^¹

^

²^e²^x^d^x

4 d

I 



e x x ^I⁵ ^



^{x e}³ ^x²^d^x ^I⁶ ^



²^x^{x x}^d



²



^d

7 2 1 ^x

I 



x  x e x ^I⁸ ^



^e^cos^x^{.sin 2}^{x x}^d ^I⁹ ^



^e^x^^ln^x^d^x

1 ln d

I 



x x ^I² ^



^x^ln^{x x}^d ^I³ ^



^ln²^{x x}^d

d

4

lnx x

I 



x ^I⁵ ^



^log²

^

^x^³

^

^d^x ^I⁶ ^



^lg^{x x}^d

 

^d

7 2 ln 1

I 



x x x I8 



xln 1



x²



^dx I9 



ln



x²x x



^d



²



^d

10 ln 1

I 



x  x ^I¹¹^



^x²^{ln d}^{x x} ^I¹² ^



^x³^ln²^{x x}^d

13 3 d

lnx

I x





x ^I¹⁴ ^



^{ln ln}

^{ }

_x ^x ^d^x ^I¹⁵ ^

 ^

^{1 ln}^ ^x

^

²^d^x

 

^d

16 2

ln 1

I x x

x





 I17 



xln



x²1



^dx ^I¹⁸ ^{ }



^_^x²_x^¹^^_^ln^{x x}^d

1 ^xcos d

I 



e x x ^I² ^



^{cos ln}

^{ }

^{x x}^d I³ 



sin .ln(tan )x x x^d

4 5 sin 2^x d

I 



e x x ^I⁵ ^



^e³^x^{.sin 5}^{x x}^d I⁶ 



cos .ln 1 cosx

^

 x x

^

^d

(12)

2 2 d

7 ^xsin

I 



e x x ^I⁸ ^



^{sin ln cos}^x

^

^{x x}

^

^d I9 



ln



x²x x



^d

 

^d

10 cos sin

I 



x x x x ^I¹¹^



^x^{sin cos}^x ²^{x x}^d ^I¹² ^



^{( ln )}^x ^x ²^d^x

Nhóm kỹ năng: ĐỔI BIẾN

Ví dụ 1: Xác định a)A



tanx xd . ^b) ^B^



^cot^{x x}^d ^.

Lời giải

a) d sin d

tan cos

A x x x x









x

Đặt tcosxdt sinx xd . Khi đó: d

ln ln cos

A t t C x C

 



t       ^.

b) d cos d

cot sin

B x x x x









x

Đặt tsinxdtcosx xd . Khi đó: d

ln ln sin

A t t C x C





t     ^. Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

trong các trường hợp sau:

a) ^{f x}

 

^^e^{1 cos}^ ^x^{sin .}^x ^b)^{f x}

 

^^sin³^x^cos⁵^x^.

Lời giải

a) ^I ^



^{f x x}

 

^d ^



^e^{1 cos}^ ^x^sin^{x x}^d ^.

Đặt t 1 cosx^dt sinx x^d . Khi đó: I 



e t^td     e^t C e^{1 cos}^ ^xC. b) ^I ^

_

^{f x x}

 

^d ^

_

^sin³^x^cos⁵^{x x}^d ^

_

^sin^x



^{1 cos}^ ²^x



^cos⁵^{x x}^d ^.

Đặt tcosxdt sinx xd .

Khi đó: ^I^{ }

_ 

¹^^{t t dt}²



⁵ ^

_ 

^t⁷ ^^{t dt}⁵



^^t₈⁸ ^^t₆⁶ ^{ }^C ^cos₈⁸^x^^cos₆⁶^x^^C^.

a) d

2

3 2

9 12

2 5 .

x x

A x

x x

 

 



^b) ¹ ^d ^.

1

B x x

x

 



 Lời giải

a)

 

d d

2 2

3 2 3 2

3 3 4

9 12

2 5 2 5 .

x x

A x x

x x x x

 

 

   

 

Đặt ^t^^x³^²^x²^{ }⁵ ^d^t^



³^x²^⁴^{x x}



^d ^. ^{Khi đó:}^A ³^d^t ^3ln^t ^C ^3ln ^x³ ²^x² ⁵ ^C^.





t      

(13)

b) 1 d 1 .

B x x

x

 





Đặt t x    1 t² x 1 2t td dx.

Khi đó: ^B^



^t² ^{ }_t¹



¹²^{t t}^d ^²



^t²^²



^d^t^²^^^t₃³ ^²^t^^^^C

 

 

1 ² ¹



⁵



2 1 2 .

3 3

x x

x  x  C   C

      

 

a)

 

d ln 1 2

x .

A x

x





 ^b)^B^



^x^{ln ln ln}^x^d^x

 

^x ^.

Lời giải

a)

 

d ln 1 2

x .

A x

x







Đặt ln 1 d ^dx.

t x t

    x Khi đó:

 

d

3 3

2 ln 1

3 3 .

t x

A t t C  C





   

b) ^B^



^x^{ln ln ln}^x^d^x

 

^x ^.

Đặt ^{ln ln}

 

^d ¹ ^d ^.

t x t ln x

x x

   Khi đó: ^I ^d^t ^ln^t ^C ^{ln ln ln}

 

^x ^C^.





t    

a) 1d

.

x x

I e x

x e



 



 ^b)

_

^sin ^cos

_

² ^d ^.

sin cos

x x

J x

x x

 



 Lời giải

a) 1d

.

x x

I e x

x e



 





Đặt ^t^{ }¹ ^e^^x ^^dt^{ }



¹ ^e^^x



^d^x^{. Khi đó:}^I ^d^t ^ln^t ^C ^{ln 1} ^e ^x ^C^.

t

 



        a) ^J



^sin^sin^x^x ^cos^cos^x^x



² ^d^x^.

 





Đặt ^t^^sin^x^^cos^x^^d^t^



^cos^x^^sin^{x x}



^d ^{. Khi đó:} ^d₂ ¹ ¹

sin cos

J t C C

t x x

 t      



 ^.

Bài tập tương tự: Xác định các nguyên hàm sau:

1) 1 cot₂ d sin .

A x x

x





 ⁶⁾^F^



^{1 3ln ln}^ _x ^x ^x^d^x^.

Các phương pháp xác định nguyên hàm – Lê Bá Bảo - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

 

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 



 



 

 



 

  



   



 



 

         

   

 



    

 







  

 

 







 

 













 



 





















    

 

    

 

 











 _

^{ }

_

^{ }

^{ }

_

_

^

^

_

_

^

^

^{ }

^

^

_

_ 