Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 năm học 2017 – 2018 trường THPT Yên Dũng 3 – Bắc Giang - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 1

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN 11

Năm học: 2017-2018 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Tóm tắt một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác.

1.Phương pháp:

Để tìm TXĐ của hàm số y=f(x) ta thực hiện theo các bước:

B1: Tìm điều kiện của x để f(x) có nghĩa.

B2: Kết luận TXĐ dưới dạng tập hợp.

Chú ý: Với các hàm lượng giác cơ bản ta có:

- Hàm số y=sinx và y=cosx xác định với  x R. - Hàm số y=tanx xác định khi   , 

x 2 k k Z

- Hàm số y=cotx xác định khi xk,kZ 2. Ví dụ

Câu1:Tìm tập xác định của các hàm số sau :

2x 1-sinx

. y = tan (x+ ) c.y = b. y= cot (2x+ ) d. y=

4 sinx+cosx 6 1+cosx

a  

Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số lượng giác:

1. Phương pháp:

+) Sử dụng miền giá trị của hàm số lượng giác.

         

         

     

2 2

2 2 2 2

1 sinx 1; 1 cosx 1 ; 0 cos x 1 ; 0 sin x 1 ;

0 sinx 1 ; 0 cosx 1 ; 0 cosx 1 ; 0 sinx 1, khi sinx 0, cosx 0.

a sin cos .

a b x b x a b

+) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức : cộng các vế của bất đẳng thức với cùng 1 số, nhân các vế của bất đẳng thức với cùng 1 số,...

2. Ví dụ

Câu2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số sau :

    



. y = 3sin6x+5 2 d. y= sin2 23 1 . 2cos 3 e.y= sinx-cosx . 3s in2x +4cos2x -1 f. y= 3cosx-5

a x b y x

c y

Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số 1.Phương pháp giải:

Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước sau:

B1: Tìm tập xác định D của hàm số,khi đó:

+) Nếu D là tập đối xứng (tức là : xD  x D),ta thực hiện tiếp bước 2.

+) Nếu D không phải là tập đối xứng( tức là  x D m -xD),ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

B2: Xấc định f(-x), khi đó:

. Nếu f(-x) = f(x) với xD thì y =f(x) là hàm số chẵn . Nếu f(-x) = -f(x) với xD thì y = f(x) là hàm số lẻ.

. Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Chú ý:

1. cos(- ) = cos ; sin(- ) = -sin ; tan(- ) = -tan ;cot(- ) = -cot        2. Với các hàm số lượng giác cơ bản ,ta có:

Các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là các hàm số lẻ; Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

3.Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng; Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng.

(2)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 2 2. Ví dụ

Câu3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

2 2 2

a. y= sin x-cos x c. y =cosx-sin b. y= sinxcos3x d.y = sinx -cosx

x Dạng 4 : Giải phương trình lượng giác : 1. Phương pháp chung:

Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi tìm nghiệm.

*) Chú ý: Pt

sinx  a ;cos x a 

có nghiệm nếu

   1 a 1

; pt

t anx  a ;cot x a 

luôn có nghiệm với mọi a.

*) Các công thức lượng giác:

Công thức lượng giác cơ bản:

2 2 2 2

2 2

1 1

cos sin 1; 1 tan ; 1 cot ; tan .cot 1

os sin

   c   

 

      

1. Công thức cộng cung:

cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb sin( a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

tan(a + b) =

tan tan 1 tan tan

a b





tan(a - b) =

tan tan 1 tan tan

a b





2.Công thức nhân đôi:

cos2a = cos²a - sin²a = 2cos²a – 1 = 1 - 2sin²a sin2a = 2sina.cosa

tan2a =

2 tan 1 tan 2

a

 a

3.Công thức nhân ba:

cos3a = 4cos³a - 3cosa

4.Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan

2 a

sin 1 2 2

a t

 t



^; ^cosa=

1

2

1 2 t t





; tana=

2 1 2

t

 t

^.

5.Công thức hạ bậc:

2 1 2 2 cos a

cos a  

;

sin 2 1 2 2 cos a a  

6.Công thức biến đổi tích thành tổng.

cosa.cosb=1

2[cos(a-b) + cos(a+b)]

sina.sinb=1

2[cos(a-b) - cos(a+b)]

sina.cosb=1

2[sin(a-b) + sin(a+b)]

7.Công thức biến đổi tổng thành tích.

sin( ) tan tan

cos cos sin( ) tan tan

cos cos a b a b

a b a b a b

a b

  

  

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

a  a     a          a     

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

a  a     a           a     

(3)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 3

cos cos 2cos cos

2 2

cos cos 2sin sin

2 2

sin sin 2sin cos

2 2

sin sin 2cos sin

2 2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

 

 

 

  

 

 

 

 

*) Công thức nghiệm của ptlg cơ bản:

1.  

   

  

 



sinx = sin k2 ( )

x = - +k2

x k  ;

2.  

  

  

 



cosx =cos k2 ( )

x = - +k2

x k 

3. tanx = tan   x  k (k); 4. cotx = cot  x  k (k)

2. Ví dụ

Câu 4: Giải các phương trình lượng giác sau :

 

2

2 2

a. 2sin 3 sin 1 =0 b. cos2x- 3sin2x= - 2 c. 3tanx - 4cotx+1 = 0 d. 3cos x+2 3 sinxcosx+5sin x=2 e. 3sin7x - cos7x = 2

x x

  

 

 

  

2 2

2 2 2 2

2 2

f. 6cos x+ -3sinxcosx-cos x=1 g. 2 - 5sinx+cos2x = 0 2

h.sin 3 os 4 sin 5 os 6 i.1+cosx+cos2x+cos3x=0 k. 4 sin 2x+8cos x - 9 = 0 l. 1+sinx +cos

x c x x c x

 

 

2 2

2

x+sin2x+2cos2x =0 3 1-cosx cos

m. 2sin 3 sin 1 =0 n . 5cosx - 2 = sin

x x x

x II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Phương trình sinx 3 cosx1 có tất cả các nghiệm là

A. 2 , 2

6 2

x  k  x   k  , k Î. B. 2 , 2

6 2

x   k  x  k  , k Î.

C. 2

2 , 2

x k  x 3 k , k Î. D. 2 , 2

6 2

x  k  x  k , k Î. Câu 2: Giải phương trình sin²x 3 sin cosx x2cos²x1 ta được tất cả các nghiệm là

A. , ,

2 6

x  k x  k k Î. B.

x 6 k, k Î.

C. 2 ,

2 6

x  k  x  k , k Î. D. 2 , 2

x  k  x 6 k , k Î. Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. ysin 2x. B. ycos 2x. C. ycosx. D. ysinx1. Câu 4: Hàm số ysinx đồng biến trên khoảng

A. ; 2 p p æ ö÷

ç ÷

çè ø. B.

( )

^0;^p ^. ^C.^æ^ç^çççè^0;₂^p^ö÷^÷÷÷ø. D. 3

; 2 p p

æ ö÷

ç ÷

çè ø.

(4)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 4 Câu 5: Phương trình 2 cos 3 3 0

x 4

   

 

  có tất cả các nghiệm là

A. 2

36 3

x_{ }  _k  _và 5 2

36 3

x_{ }  _k  _,k Î.

B. 13 2

36 3

x_{ }  _k  _và 7 2

36 3

x_  _k  _,kÎ.

C. 2

36 3

x_  _k  _và 5 2

36 3

x_{ }  _k  _,kÎ.

D. 2

36 3

x_  _k  _và 5 2

36 3

x_  _k  _,k Î. Câu 6: Giải phương trình sin 1

x  2 được tất cả các nghiệm là

A. 5

2 , 2

4 4

x   k  x  k , k Î. B. 5

2 , 2

4 4

x   k  x   k , k Î.

C. 2 , 5 2

4 4

x  k  x  k  , kÎ. D. 2 , 5 2

4 4

x  k  x   k , k Î. Câu 7: Phương trình cos²x3cosx 2 0 có tất cả các nghiệm là

A. x k 2, k Î. B. x k 2 , x arccos 2k2 , kÎ.

C. 2

x_k _,k Î. D. x k  , kÎ. Câu 8: Tập xác định của hàm số 1

sin 1 y x

 là

A. ^^\

{

^k^{2 ,}^p ^k ^Î^

}

^. ^B.^^\

{

^p⁺^k^{2 ,}^p ^k ^Î^

}

^.

C. 3

\ 2 ,

2p k k

ì p ü

ï ï

ï + Î ï

í ý

ï ï

î þ

  . D. \ 2 ,

2 k k

p p

ì ü

ï ï

ï + Î ï

í ý

ï ï

î þ

  .

Câu 9: Trong khoảng 0;

2 æ pö÷

ç ÷

çè ø, phương trình sin 4² x3sin 4 cos 4x x4 cos 4² x0 có A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm.

Câu 10: Phương trình cos²xcos 2² xcos 3² xcos 4² x2 tương đương với phương trình A. cos .sin 5 .sin 2x x x0. B. cos .cos5 .cos 2x x x0.

C. cos .sin 4 .sin 2x x x0. D. sin .sin 5 .sin 2x x x0.

Câu 11: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3cos 2

y x3 lần lượt là

A. 1 và -5. B. -3 và 1. C. 1 và 5. D. -1 và 5.

Câu 12: Tập giá trị của hàm số ysin 2x là

A. éêë-2;2ùúû. B. éêë-1;1ùúû. C.

(

^-^1;1

)

^. ^D.^é_ê_ë^-^1;2^ù_ú_û^.

Câu 13: Tìm tập xác định của hàm số tan(2 ^)

y x 4

A.  ^ ^ ^  ^

 

 3 

\ ,

7 2

D k k B.  ^ ^ ^  ^

 

 3 

\ ,

8 2

D k k

C.  ^ ^ ^  ^

 

 3 

\ ,

5 2

D k k D.  ^ ^ ^  ^

 

 3 

\ ,

4 2

D k k

Câu 14: Cho hàm số: ycos x12x, TXĐ của hàm số là:

A.



1;



B.(1;) C.(;1) D. R

(5)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 5 Câu 15: Cho hàm số: y2sin 1x² 3cosx, TXĐ của hàm số là:

A.



1;



B.(;1) C.

 

1;1 D. R Câu 16: Cho hàm số:

1 sin 2

cos 3

  x

y x , TXĐ của hàm số là:

A. 



  2

\ 1 R

D B.







  

R k k

D 2 ,

\ 6 

C. D=R D.







   

R k k k

D 2 ,

;6 6 2

\ 5   

Câu 17: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số lẻ?

(A) y = sinx. (B) y = cosx. (C) y = tanx (D) y = cotx.

Câu 18: Gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 3 4 cos 2² x

A.miny 1,maxy4 B.miny 1,maxy7 C.miny 1,maxy3 D.miny 2,maxy7 Câu 19: ytan 5x là hàm số tuần hoàn với chu kì:

A. T  B. ²

T_ 5 C.

T_5 D. T2

Câu 20: Tìm tập xác định của hàm số sau tan( ^).cot( ^)

4 3

y x x

A.  ^  ^   

 

\ , ; 

4 3

D k k k B.   ^  ^   

 

 3 

\ , ;

4 5

D k k k

C.   ^  ^   

 

 3 

\ , ;

4 3

D k k k D.   ^  ^   

 

 3 

\ , ;

5 6

D k k k

Câu 21: Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ? (A) ysin cos .x x (B) y cos2x (C) 1

y sinx (D) ysin³x Câu 22: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2 sin²xcos 2² x

A.maxy4, 3

miny 4 B.maxy3,miny2 C.maxy4,miny2 D.maxy3, 3

miny 4

Câu 23: Nghiệm của phương trình 5 5sin x2cos²x0 là:

A. k,k. B. k2 , k.

C. 2 ,

2 k k

   . D. 2 ,

6 k k

   . Câu 24: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin²x5sinx 3 0 là A. 3sinx 3 0 B. 2 cos²xcosx 1 0

C. tanx 2 0 D. 2sinx 3 0

Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2cos 2x3sinx 1 0 là

A. 1

arcsin 2

4 k

  ^ ^  B. 1

arcsin 2

4 k

 ^ ^ 

C. 1 1

arcsin

2 2 4 k

  ^ ^  D. 1 arcsin

2 4 k

  ^ ^ 

(6)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 6

CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

I. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM.

1) Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án. Nếu phương án một có m cách thực hiện , phương án hai có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Chú ý: Có thể mở rộng quy tắc cộng như sau :

Một công việc được hoàn thành bởi một trong k phương án A1 , A2 , …, Ak . phương án A1 có n1

cách thực hiện, phương án A² có n² cách thực hiện , …, phương án A^k có n^k cách thực hiện .Tất cả các phương án này không trùng nhau. Khi đó số cách hoàn thành công việc là : n₁n₂ n₃ ....n_k cách .

2) Quy tắc nhân :

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp .Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc đó .

Chú ý : Có thể mở rộng quy tắc nhân như sau :

Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động A1 , A2 , …, Ak liên tiếp nhau. Hành động A1 có n1 cách thực hiện, hành động A2 có n2 cách thực hiện , …, hành động Ak có nk cch thực hiện . Khi đó số số cách hoàn thành công việc là : n¹ n² …n^k cách .

VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP.

1. Hoán vị a. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n1). Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó .

Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự xắp xếp.

b. Số các hoán vị

Kí hiệu P_nlà số các hoán vị của n phần tử. Ta có :

Quy ước: 0! 1, 1! 1  . 2. Chỉnh hợp

a. Định nghĩa

! .( 1).( 2)...2.1 Pn  n n n n

(7)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 7 Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

b. Số các chỉnh hợp

Kí hiệu A_n^k l số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 k n ) . Khi đó ta có :

Chú ý : Một chỉnh hợp chập n của n phần tử là một hóan vị của n phần tử.Như vây : A_nⁿ P_n n! 3. Tổ hợp

a.Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n1). Mỗi tập con có k phần tử của tập A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử .

b.Số các tổ hợp

Kí hiệu C_n^k là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n ) . Khi đó ta có :

c.Các tính chất của tổ hợp Ta có : a) C_n^k C_n^{n k}^ b) C_n^k C_n^k_₁C_n^k_^₁¹ VẤN ĐỀ 3:NHỊ THỨC NIU-TƠN.

Nhị thức Newton dùng để khai triển biểu thức dạng : (a b ) ,ⁿ n N Công thức nhị thức Newton :

Hoặc :

Số hạng tổng quát trong khai triển triển là: T_k C a b_n^k ^{n k k}^ , 0 k n VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1. Phép thử

Phép thử ngẫu nhiên( hay phép thử ) là một thí nghiệm hay một hành động mà

!

( )!

k n

A n

 n k



!

!( )!

k n

C n

k n k

 

0 1 1 2 2 2 1 1

(a b )ⁿC a_n ⁿC a b C a b_n ⁿ^  _n ⁿ^  ... C a b_n^k ^{n k k}^  ... C ab_nⁿ^ ⁿ^ C b_n^{n n}

0

( )ⁿ ⁿ _n^k ^{n k k}, 0

k

a b C a b^ k n



 



 

(8)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 8

 Ta không đoán trước được kết quả xảy ra

 Tuy nhiên ta có thể liệt kê được tất cả các trường hợp có thể xảy ra của phép thử đó . 2.Không gian mẫu

Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu . Kí hiệu : 

3. Biến cố

Biến cố là một tập con của không gian mẫu .

 Biến cố không thể : là biến cố không bao giờ xảy ra.

4.Tính chất của biến cố a.Biến cố đối

Gọi A là biến cố của một phép thử . Khi đó tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A.

Kí hiệu : ^__A . Vậy ^__A \A b.Biến cố xung khắc

Gọi A và B là 2 biến cố của một phép thử nào đó . A và B được gọi là 2 biến cố xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra hay A B  .

5. Xác suất của biến cố

a.Định nghĩa cổ điển của xác suất

Gọi A là biến cố của một phép thử . Khi đó tỉ số ( ) ( ) n A

n được gọi là xác xuất củ a biến cố A.

Kí hiệu : ( )

( ) ( ) P A n A

 n

 b.Các tính chất của biến cố 1. ( ) 0P  

2. ( ) 1P   3. 0P A( ) 1, A

4. A ta có : P A( ) 1^___  P A( ) c. Các quy tắc tính xác suất.

Qui tắc cộng: Nếu A B   P A B(  )P A( )P B( ) Qui tắc nhân: Nếu ,A Bđộc lập thì ( . )P A B P A P B( ). ( )

II. TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM.

Dạng toán 1:Sử dụng quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm số phương án Để sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:

(9)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 9 Bước 1. Phân tích các phương án thành k nhóm độc lập với nhau.

Bước 2. Nếu nhóm 1 có n1 cách chọn khác nhau Nhóm 2 có n2 cách chọn khác nhau

…

Nhóm k có n^k cách chọn khác nhau

Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n1+n2+...+nkphương án.

• Để sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Phân tích một hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp Bước 2. Nếu công việc 1có n1 cách thực hiện khác nhau

Công việc có n²cách thực hiện khác nhau …

Công việc k có nk cách thực hiện khác nhau

Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n1.n2...nk cách thực hiện.

Dạng toán 2 :Sử dụng các quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm các số hình thành từ 1 tập hợp số cho trước nào đó

+ Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Số cần tìm có dạng: a a a a_{1 2}... ,_k _iA i, 1, 2,..., ,k a₁0..

Bước 2. Đếm số cách chọn a_i (không nhất thiết phải theo thứ tự) giả sử có n_i cách.

Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n n n₁. ...₂ _k số.

+ Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Chia các số cần đếm thành các tập con H1, H2 , … độc lập với nhau.

Bước 2. Sử dụng qui tắc nhân để đếm số phần tử của các tập H1, H2 , …, giả sử bằng k1, k2,...

Bước 3. Khi đó, ta có tất cả k¹+ k² +... số.

VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP.

Dạng toán 1:Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để thực hiện bài toán đếm.

Phương pháp:

1. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

- Tất cả n phần tử đều có mặt - Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.

- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.

(10)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 10 2. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.

- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.

3. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:

- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.

- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.

Dạng toán 2:Các bài toán: rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình trong đó có chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Phương pháp:

• Sử dụng thành thạo các công thức ,P A C_n _n^k, _n^k .

• Nắm được các tính chất của ,P A C_n _n^k, _n^k chẳng hạn:

     

! 1 ! 2 ! 1 ...

n  n n n n n

1

1 1

k n k, k k k

n n n n n

C C ^ C _^ C _ C

Ta thường sử dụng một trong các cách sau:

• Cách 1. Sử dụng các phép biến đổi.

• Cách 2. Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức.

• Cách 3. Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp

• Cách 4. Sử dụng phương pháp đếm.

VẤN ĐỀ 3:NHỊ THỨC NIU-TƠN.

Dạng toán 1: Khai triển nhị thức Niuton Phương pháp giải: Sử dụng công thức

0 1 1 2 2 2 1 1

(a b )ⁿ C a_n ⁿC a b C a b_n ⁿ^  _n ⁿ^  ... C a b_n^k ^{n k k}^  ... C ab_nⁿ^ ⁿ^ C b_n^{n n}

0 1 1 2 2 2 1 1 1

(a b )ⁿC a_n ⁿC a b C a b_n ⁿ^  _n ⁿ^   ... ( 1)^kC a b_n^k ^{n k k}^   ... ( 1)ⁿ^ C ab_nⁿ^ ⁿ^  ( 1)ⁿC b_n^{n n} - Trong khai triển nhị thức cần chú ý:

+Số mũ của a giảm dần từ n về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, tổng số mũ của a và b luôn bằng n.

+Có n+1 số hạng trong khai triển.

Dạng toán 2: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển.

Phương pháp giải: Với yêu cầu về hệ số trong nhị thức Niu-tơn, ta cần làm theo các bước:

Bước 1. Viết số hạng tổng quát.

Bước 2. Dùng công thức lũy thừa rút gọn số hạng tổng quát.

(11)

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 11 Bước 3. Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau.

Chú ý:

- Số hạng khơng chứa x tức là số hạng chứa x⁰.

- Phải phân biệt được yêu cầu đề hỏi là số hạng hay hệ số mà trả lời cho chính xác.

- Các cơng thức lũy thừa cần nhớ:

 

^.

. ; am; n

m n m n m n m m n

a a a a an a a

    

Dạng tốn 3: Tính tổng

Phương pháp giải: Sử dụng nhị thức Niu-tơn, kết hợp với việc:

- Lựa chọn giá trị thực phù hợp.

- Sử dụng các phép biến đổi đại số.

VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Dạng 1. Mơ tả khơng gian mẫu. Tìm số phần tử của khơng gian mẫu

Phương pháp giải: Yêu cầu được chuyển thành đếm số phần tử của tập hợp, từ đĩ mơ tả tập hợp này bằng phương pháp liệt kê.

+ Dựa vào định nghĩa về khơng gian mẫu.

+ Nắm chắc các kiến thức về hốn vị – chỉnh hợp – tổ hợp để áp dụng tính số phần tử của khơng gian mẫu.

Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biết cố. Tính số phần tử của tập hợp này

Phương pháp giải:

+ Nắm được khái niệm về biến cố liên quan đến phép thử T .

+ Sử dụng định nghĩa một kết quả thuận lợi cho biến cố A. Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của A.

+ Vận dụng kiến thức về đại số tổ hợp để tính số phần tử của khơng gian mẫu ΩA . Dạng 3. Tính xác suất của một biến cố

+ Xác định được số phần tử của khơng gian mẫu và của biến cố.

+ Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất và các quy tắc tính xác suất.

III. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển biểu thức : 2 ¹⁰ (x )

x Bài 2: Trong khai triển ² 1 ²⁰

( )

x 2 thành đa thức, tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

(12)

Đề cương ơn thi HK1 Tốn 11 – Trang 12 Bài 3: Tìm hệ số của x²⁶ trong khai triển 1₄ ⁷

( x )ⁿ

x  biết rằng

1 2 3 20

2_n1 2_n1 2_n1 ... 2ⁿ_n1 2 1

C _ C _ C _  C _   , n Z ^.

Bài 4: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (1 2 x3 )x^{2 10} theo lũy thừa của x. Bài 5: Tính các tổng sau:

16 0 15 1 14 2 16

1 3 16 3 16 3 16 ... 16

S  C  C  C  C

0 2 2 4 4 2016 2016

2 2017 3 2017 3 2017 ... 3 2017

S C  C  C   C

0 2019 1 2018 1 2 2017 2 2018 1 2018 2019

3 20193 20193 4 20193 4 ... 20193 4 4

S C C C  C 

Bài 6: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.

Bài 7: Một hộp đựng 12 viên bi, trong đĩ cĩ 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẩu nhiên một lần 3 viên bi. Tính xác suất trong các trường hợp sau:

a. Lấy được 3 viên bi màu xanh.

b. Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.

c. Lấy được 3 bi cùng màu.

d. Lấy được 3 bi khác màu.

Bài 8: Một lớp học cĩ 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi cĩ cả nam và nữ.

Bài 9: Hai xạ thủ A và B cùng nhắm bắn một con thỏ. Xác suất để xạ thủ A bắn trúng là 2 7; xác suất để xạ thủ B bắn trúng là 1

8. Tính xác suất để:

a. Cả hai xạ thủ điều bắng trúng.

b. Chỉ một trong 2 xạ thủ bắn trng.

c. Ít nhất một trong 2 xạ thủ bắn trng.

d. Cả hai đều bắn trượt.

Bài 10: Một thầy giáo cĩ 12 quyển sách đơi một khác nhau trong đĩ cĩ 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Vật lý, và 3 quyển sách Hĩa học.Ơng muốn lấy ra 6 quyển đem tặng cho 6 học sinh A,B,C,D,E,F mỗi em một quyển.Tính xác suất để sau khi tặng sách xong mỗi một trong ba loại Tốn, Vật lý, Hĩa học đều cịn lại ít nhất một quyển.

IV. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn trịn?

A.12 B.24 C.4 D.6

Câu 2: Số tự nhiên n thỏa mãn A_n²C_nⁿ_^₁¹5 là:

(13)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 13

A.n3 B.n5 C.n4 D.n6

Câu 3: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh luôn ngồi cạnh nhau?

A.207360 B.120096 C.120960 D.34560

Câu 4: Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 hoc sinh?

A.85 B.58 C.508 D.805

Câu 5: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho có đúng 3 học sinh nữ.

A.110790 B.119700 C.117900 D.110970

Câu 6: Cho 10 điểm phân biệt A A₁, ₂, , A₁₀ trong đó có 4 điểm A A A A₁, ₂, ,₃ ₄ thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi cs bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 diểm trên?

A.96 tam giác B.60 tam giác C.116 tam giác D.80 tam giác Câu 7: Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh?

A. 105 B.924 C.917 D.665280

Câu 8: Có 120 cách sắp xếp n người vào một bàn tròn. Khi đó giá trị của n là:

A. n10 B. n7 C. n5 D. n6

Câu 9: Tính tích các nghiệm của phương trình ¹

1

P P 1

P 6

x x

x





  .

A. 6. B. 12. C. 5. D. 3.

Câu 10: Một tổ công nhân có 12 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ công tác gồm 3 người sao cho có 1 người làm tổ trưởng, 1 người làm tổ phó và 1 người làm thư kí. Biết rằng không có ai kiêm nhiệm và ai cũng có thể được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

A. 3!A₁₂³ B. 12! C. C₁₂³ D. A₁₂³

Câu 11: Hệ số của x⁸ trong khai triển



^x²^²



¹⁰ ^là:

A. C₁₀⁶2⁴ B.C₁₀⁶ C.C₁₀⁴ D.C₁₀⁶2⁶ Câu 12: Số hạng của x³¹ trong khai triển

40 2

1 x x

 

 

   là:

A. C x₄₀^{37 31} B.C x₄₀³ ³¹ C.C x₄₀² ³¹ D.C x₄₀⁴ ³¹

Câu 13: Tìm hệ số của x y^{3 3} trong khai triển của



^x^²^y



⁶^.

A. 8. B. 120. C. 20. D. 160.

Câu 14: Số số hạng trong khai triển ^x



¹^^x



²⁰¹⁷^là:

(14)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 14

A. 2017 B. 2018 C. 1 D. 4034

Câu 15: Tính S C¹₂₀₁₇C²₂₀₁₇C³₂₀₁₇  C²⁰¹⁷₂₀₁₇.

A. S2²⁰¹⁷. B. 2²⁰¹⁷1. C. 2²⁰¹⁷1. D. 2²⁰¹⁶. Câu 16: Với hai số thực ,a b bất kì, khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



^{a b}^



⁴^^a⁴^⁴^a³^⁶^{a b}^{2 2}^⁴^b³^^b⁴^. ^B.



^{a b}^



⁴ ^^a⁴^^{a b a b}³ ^ ^{2 2}^^ab³^^b⁴^.

C.



^{a b}^



⁴^^a⁴^^b⁴. D.



^{a b}^



⁴ ^^a⁴^⁴^{a b}³ ^⁶^{a b}^{2 2}^⁴^ab³^^b⁴^.

Câu 17: Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau đây?

A. 2ⁿ C_n⁰C¹_nC_n² ... C_nⁿ B. ⁰Cn⁰Cn¹Cn²  ^...

 

¹ ⁿCnⁿ

C. ¹Cn⁰²C¹n⁴Cn²  ^...

 

² ⁿCnⁿ D. 3ⁿC_n⁰2C¹_n4C_n² ... 2ⁿC_nⁿ Câu 18: Tính giá trị của biểu thức ⁰₂₀₁₈ 1 ²₂₀₁₈ 1 ⁴₂₀₁₈ ₂₀₁₈1 ²⁰¹⁸₂₀₁₈

C C C C

4 16 2

S      .

A.

2018 2019

3 1

S 2  . B.

2018 2018

3 1

S 2  . C.

2018 2019

3 1

S 2  . D.

2018 2018

3 1

S 2  . Câu 19: Tổng A C ¹₂₀₁₇2²C₂₀₁₇² 3²C₂₀₁₇³  ... 2016²C₂₀₁₇²⁰¹⁶2017²C₂₀₁₇²⁰¹⁷ bằng

A. 2016.2017.2²⁰¹⁶. B. 2017.2018.2²⁰¹⁵.

C. 2016.2017.2²⁰¹⁵. D. 2016.2017.2²⁰¹⁷.

Câu 20: Tìm số hạng không chứax trong khai triển biểu thức 1₄ ,

n

x x x

  

 

  biếtC_n²C¹_n 44 ?

A. 525 B. 238 C. 165 D. 485

Câu 21. Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp bốn lần. Tính xác suất của biến cố A: “Cả bốn lần đều xuất hiện mặt ngửa”.

A. ^{P A}

 

^³₈^. ^B.^{P A}

 

^₁₆³ ^. ^C.^{P A}

 

^¹₈^. ^D.^{P A}

 

^₁₆¹ ^.

Câu 22. Bài kiểm tra một tiết này có 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời (A, B, C, D) và chỉ có một phương án đúng. Tính xác suất để tất cả các đáp án đều là phương án C.

A.1

4. B. 1₂₀

4 . C. 1₄

20 . D. 1

80.

Câu 23. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.

A. 11

36. B. 1

3. C. 1

36. D. 1

9.

(15)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 15 Câu 24: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình 1 quả bóng.

Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của mỗi người tương ứng là 1 5 và 2

7. Xác suất để cả hai người cùng ném bóng vào rổ là:

A.12

35 B. 1

25 C. 4

49 D. 2

35

Câu 25:Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố A: ” Tổng số chấm xuất hiện là 7”.

A. 1

6 B. 2

9 C. 5

18 D. 1

9

Câu 26: Một tổ học sinh gồm có 6 nam và 4 . Chọn ngẫu nhiên 3 em. Tính xác suất 3 em được chọn có ít nhất 1 nữ.

A. 5

6 B. 1

6 C. 1

30 D. 1

2

Câu 27: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.

A. 2

7 B. 1

21 C. 37

42 D. 5

42

Câu 28: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán.

A. 2

7 B. 1

21 C. 37

42 D. 5

42

Câu 29: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán.

A. 2

7 B. 1

21 C. 37

42 D. 5

42

Câu 30: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

A. 1

( ) 2

P A  B. 3

( ) 8

P A  C. 7

( ) 8

P A  D. 1

( ) 4 P A 

(16)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 16

CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1.1. Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến ^{A n}

 

là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n , ta thực hiện như sau:

 Bước 1:Kiểm tra mệnh đề đúng với n1.

 Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n k tuỳ ý



^k ^¹



, chứng minh rằng mệnh đề đúng với n k 1.

1.2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề ^{A n}

 

là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì :

 Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p

 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n k  p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n k 1.

Vấn đề 2. DÃY SỐ

2.1.Định nghĩa :Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên : * ( )

u N R

n u n





2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm



 

un là dãy số tăng u_n_₁u_n , n N^*

 

* 1

1 *

0,

1 , 0 ,

n n

n

n n

u u n N

u



    

    



 

un là dãy số giảm u_n_₁u_n , n N^*

 

* 1

1 *

0,

1 , 0 ,

n n

n

n n

u u n N

u



    

    

2.3.Dãy số bị chặn



 

un là dãy số bị chặn trên  MR u: _n M , n N^*.



 

un là dãy số bị chặn dưới   m R u: _n m , n N^*.



 

un là dãy số bị chặn  m M, R m u:  _nM , n N^*. Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG

+ Định nghĩa :Dãy số

 

un là cấp số cộng u_n_₁u_nd , n ^* d là số không đổi , gọi là công sai của cấp số cộng .

(17)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 17 + Số hạng tổng quát : ^uⁿ ^{  }^u¹ ⁽ⁿ ^{1) ,}^d



^{ }ⁿ ^{2 ,}ⁿ^^*



^.

+ Tính chất : k ^k ¹₂ ^k ¹ ^,



^{2 ,} ^*



u u

u ^  ^ k k

    .

+ Tổng n số hạng đầu tiên :



1



1 2 1

2 ( 1)

( )

... 2 2

n n n

n u n d n u u

S    u u u      Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN

+ Định nghĩa :Dãy số

 

un là cấp số nhân ^^uⁿ^¹^{ }^{u q}ⁿ ^,



^{ }ⁿ ^^*



q là số không đổi , gọi là công bội của cấp số nhân . + Số hạng tổng quát : ^uⁿ ^^{u q}¹^. ⁿ^¹ ^,



^{ }ⁿ ^{2 ,}ⁿ^^*



^.

+ Tính chất : ^u^k² ^^{u u}^k^¹^. ^k^¹^,



^{ }^k ^{2 ,}^k^^*



^.

+ Tổng n số hạng đầu tiên :

1 2 1

... khi 1

(1 )

... 1

1

n n

n

n n

S u u u nu q

u q

S u u u q

q

     

 

      

 

 khi

II. TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp

Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước :

 Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi n1 (hoặc n p) .

 Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi n k với k1



^{hay k} ^ ^p



^{,ta phải}

chứng minh đẳng thức đó cũng đúng khi n k 1.

2. Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bằng hệ thức truy hồi .

Phương pháp :

 Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng quát thì muốn tìm số hạng thứ k ta chỉ việc thay n k vào công thức tổng quát . Nếu dãy số cho dưới dạng truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm .

 Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều cách nhưng thông thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đoán công thức và chứng minh lại bằng quy nạp .

3. Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số . Phương pháp : Dựa theo định nghĩa :

(18)

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 18 o

 

un là dãy số tăng u_n_₁u_n , n ^*

 

* 1

1 *

0,

1 , 0 ,

n n

n

u u n

u



    

    



o

 

^u_n là dãy số giảm u_n_₁u_n , n ^*

 

* 1

1 *

0,

1 , 0 ,

n n

n

n n

u u n

u



    

    



o

 

un là dãy số bị chặn  m M, : m u _n M , n ^*. 4. Chứng minh các dãy số là cấp số

Phương pháp : Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh

 ^{CSC u}

 

_n ^û_n_₁^û_n^{ }^d û_n_₁^û_n ^