Đề khảo sát đội tuyển Toán 10 lần 2 năm 2021 - 2022 trường THPT Trần Phú - Vĩnh Phúc

MA TRẬN ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN LẦN 2 TOÁN 10- NĂM HỌC 2021-2022

NỘI DUNG

CẤP ĐỘ TƯ DUY TỔNG

NHẬN BiẾT THÔNG HiỂU VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO

TL TL TL TL

ĐẠI

Hàm số Câu 1, câu 2

2 2

Hệ pt 1 ẩn Câu 3

1 1 PT và HPT quy

về bậc nhất , bâc 2

Câu 4a Câu 4b, câu 5

3 1 2

Bất đẳng thức Câu 9

1

1

HÌNH

Vec tơ Câu 6 Câu 7

1 1 2

Hệ thức lượng

trong tam giác Câu 8

1 1

Tổng

5 3 2

   

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ 

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN TOÁN LẦN 2 Năm học: 2021 - 2022

Môn: Toán – Lớp 10

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: (1 điểm) Cho Parabol

 

^{P y x:  2 2x2} và đường thẳng

 

^{d :y  2x 1. Biết}

 

^{P và}

 

^d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Tính độ dài đoạn AB

Câu 2: (1 điểm) Tìm tập xác định của hàm số ₂ ¹

4 19 12

y x x

  .

Câu 3: (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình

2 5 4 0

0 x x x m

   



   có nghiệm.

Câu 4: (2 điểm)

a) Giải phương trình x3 + x2 = x²3x2 b) Giải hệ phương trình:

( )

2 3 2

4 2

1

2 1 1

x x y xy xy y x y xy x

ìï + - + - = ïíï + - - = ïî

Câu 5: (1 điểm) Gọi

x x

₁

;

₂ là hai nghiệm của phương trình x² mxm10.

Đặt

) 1

( 2

6 4

2 1 2

2 2 1

2 1

x x x

x

x A x







  . Tìm giá trị của tham số mđể A đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 6: (1 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,DA. Gọi O là giao điểm của MP và NQ, G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng ba điểm A, O, G thẳng hàng.

Câu 7: (1 điểm) Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  MA MB MC    3MA MB MC   

.

Câu 8: (1 điểm) Cho tứ giác lồi ABCDcó ACBD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R 1010. Đặt diện tích tứ giác ABCD bằng S và AB a BC b CD c DA d ,  ,  ,  . Tính giá trị biểu thức

  

4

ab cd ad bc

T S

 

 .

Câu 9: (1 điểm) Cho x y, là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



¹



²



¹



^{2 2 2}

A x ^y  x y  y

---HẾT---

Họ và tên thí sinh...SBD...

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN TOÁN LẦN 2 Năm học: 2021 - 2022

Môn: Toán – Lớp 10 (Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 Cho Parabol

 

^{P y x:  22x2} và đường thẳng

 

^{d :y  2x 1. Biết}

 

^{P và}

 

^{d cắt nhau}

tại hai điểm phân biệt A và B . Tính độ dài đoạn AB 1 điểm

Phương trình hoành độ giao điểm: x²2x    2 2x 1 x²4x 3 0 1 3 x x

  

    0,5



^{1;1 ;}

 

^3;5



A B

   . Ta có AB2 5

0,5 Câu 2

Tìm tập xác định của hàm số ₂ 1

4 19 12

y x x

  . 1 điểm

Hàm số ₂ 1

4 19 12

y x x

  xác định khi và chỉ khi 4x²19x12 0   4 3 4 x x

 

 

 0,5

 

4 3

; 4;

3 4

4 x x D

 

 

      



0,5

Câu 3

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình ^{2 5 4 0} 0 x x x m

   



   có nghiệm. 1 điểm

Ta có

 

 

2 5 4 0 1 4 1

0 2 x x x x m x m

 

    

 

 

  

 

  0,5

Để hệ bất phương trình có nghiệm thì giao hai tập nghiệm của hai bất phương trình

   

^{1 , 2}

khác rỗngm4 0,5

Câu 4 a) Giải phương trình x3 + x2 = x²3x2

1 điểm Đk x3

PT     x 3 x 2 2 x²5x 6 x²3x2 x²5x 6 2 x²5x  6 3 0 0,25

Đặt t x²5x6, t 0. Ta được pt : t²  2t 3 0 0,25

2 1(

2 3 0

3( ) t l t t

t n

  

       0,25

2 2

3 5 6 3 5 3 0

5 37 2 ( ) 5 37

2 ( )

t x x x x

x l

x n

        

 

 



  



. KL pt có nghiệm là 5 37 x 2

0,25

b)Giải hệ phương trình:

( )

2 3 2

4 2

1

2 1 1

x x y xy xy y x y xy x

ìï + - + - = ïíï + - - =

ïî 1 điểm

+ Ta có:

( ) ( )

2 3 2

4 2

1 (1) 2 1 1 (2) * x x y xy xy y x y xy x

ìï + - + - = ïíï + - - = ïî

( ) ( )

( )

2 2

2 2

1 1

x y xy x y xy x y xy

ìï - + - + =

 íïïïïïî - + = + Đặt

a x2 y b xy ìï = - ïíï =

ïî . Hệ trở thành ₂ ¹

( )

**

1 a ab b a b ì + + = ïïíï + = ïî

0,25

+ Hệ ^{3 2}

(

²

)

2 2

2 0

2 0

(**) 1 1

a a a

a a a

b a b a

ì ì

ï + - = ï + - =

ï ï

ïíïïïî = - íïïî = - Từ đó ta tìm ra

(

^{a b; { 0;}

) (

^{Î 1 ; 1;}

) (

^{0 ; 2; 3 }}

) (

^{- -}

)

0,25

Với

(

a b; 0;

) (

= 1

)

ta có hệ

2 0

1 1 x y

x y xy

ìï - =

ï  = =

íï =ïî

 Với

(

^{a b; 1;}

) (

^{= 0}

)

ta có hệ ^{2 1}

(

; 0; 1 ; 1;

) ( ) (

0 ;

) (

1; 0

)

0 x y xy x y ìï - =

ï  = - -

íï =ïî

0,25

Với

(

a b; 2; 3

) (

= - -

)

ta có hệ

 

2

2 3

3 3

2 1; 3

3 2 3 0 ( 1) 3 0

y y

x y x x x y

xy x x x x x

         

      

  

           



.

Vậy hệ có 5 nghiệm



x y^;

   

{ 1; 1 ; 0; 1 ; 1; 0 : 1; 0 ; 1; 3 }

   



 





.

0,25

Câu 5 Gọi

x x

₁

;

₂ là hai nghiệm của phương trình x² mxm10.

Đặt 2(1 )

6 4

2 1 2

2 2 1

2 1

x x x

x

x A x







  . Với giá trị nào của mthì A đạt giá trị nhỏ nhất.

+ PT có hai ngiệm khi 0m² 4m40,m; x₁x₂ m; x₁x₂ m1 0,25

1 2

2 2

1 2

4 6 4 2

( ) 2 2

x x m

A x x m

 

 

   0,25

2 2

( 2)

1 1

2 m m

    

 0,25

A nhỏ nhất khi m2 0,25

Câu 6

Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,DA. Gọi O là giao điểm của MP và NQ, G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng ba điểm A, O, G thẳng hàng.

MN, PQ lần lượt là đường trung bình của ABC, ACD

// //

1 2 MN PQ AC MN PQ AC



    Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành O là trung điểm của MP.

0,25

Ta có: OA OB OC OD      



OM MA 

 

 OM MB 

 

 OP PC 

 

 OP PD 



 

2 OM OP

 ^{ } 0

. 0,25

G là trọng tâm BCDOB OC OD    3OG

. 0,25

Khi đó: OA OB OC OD       0

3 0

OA OG

  

 OA 3OG

. Vậy ba điểm A, O, G thẳng hàng (đpcm).

0,25 Câu

7

Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  MA MB MC    3MA MB MC   

. 1 điểm

Gọi G là trọng tâm ABC thì G cố định.

Vẽ CD BA 

, vì ABC đều nên tứ giác ABCD là hình thoi và D cố định.

0,25

Khi đó ta có

3 3 3

T  MA MB MC     MA MB MC     MG   BA MC

 

3MG 3CD MC 3MG 3MD 3 MG MD 3GD.

  ^{ }   ^{}    0,25

Do MG không đổi nên T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3GD khi M G D, , thẳng hàng. Khi đó,

M là trung điểm đoạn AC. 0,25

Giá trị nhỏ nhất của Tlà

1 4 4 3 2 3

3 .

3 3 3 2 3

a a

GD GM MD GM MB     MB MB  MB  . 0,25 Câu 8

Cho tứ giác lồi ABCDcó ACBD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R 1010. Đặt diện tích tứ giác ABCD bằng S và AB a BC b CD c DA d ,  ,  ,  . Tính giá trị biểu

thức

  

4

ab cd ad bc

T S

 

 .

1 điểm

0,25

Ta có : . . .4 4

ABC ABC

S R

a b AC

S ab

R AC

  

Tương tự ta cũng có : S_ADC.4R

cd AC , S_ABD.4R

ad  BD , S_BCD.4R bc BD

  

4

ab cd ad bc

T S

 

 .

.4 .4 .4 .4

4

ABC ADC ABD BCD

S R S R S R S R

AC AC BD BD

S

    

  

  

 .

 

4 2 . . . .

. .

ABC ABD ABC BCD ADC ABD ADC BCD

R S S S S S S S S

S AC BD

  

 .

0,25

   

4040

. .

ABC ABD BCD ADC ABD BCD

S S S S S S

S AC BD

  

 

 

 . 0,25

   

4040 . . 4040 4040 .

. . . . .2 2020

ABC ADC ABC ADC

S S S S S S S S S

S AC BD S AC BD S S

 

    .

Vậy T 2020.

0,25

Câu 9 Cho x y, là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



¹



²



¹



^{2 2 2}

A x ^y  x y  y

1 điểm



¹



^{2 2}



¹



^{2 2 2}



^{1 1}

 

²



^{2 2}

A x y  x y   y   x x  y y  y Vậy A 4 4 y²  y 2

0,25

TH1: y  2 A 2 1y² 2 5 0,25

TH2: y  2 A 2 1y²  2 y

  3 2 12 12 y2 2 y 3.1 1.y 2 y 3 2

          

0,25

2 3

A  khi và chỉ khi 1

0, 3

x y Ta có 2 3 2 5 minA 2 3

0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.