PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán 6
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0 điểm).
a) Tính: 2 2 2 2
A ...
3.5 5.7 7.9 49.51
b) Tìm x biết:
x 1
2 1 1 34 2 4
c) Cho S 1 3 3 2 33... 3 30. Chứng minh S không là số chính phương.
Bài 2 (3,0 điểm).
a) Chứng minh: 10n 18n 1 chia hết cho 27, với n là số tự nhiên.
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11.
Bài 3 (3,0 điểm).
a) So sánh:
2015 2016
2017 1
B 2017 1
và
2014 2015
2017 1
C 2017 1
b) Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn điều kiện p = q + 2.
Tìm số dư khi chia (p + q) cho 12.
Bài 4 (4,0 điểm). Cho 3n 2
P 2n 1
trong đó n là số tự nhiên.
a) Tìm n để P là số nguyên tố nhỏ nhất.
b) Tìm n để P là số nguyên.
c) Tìm n để P có giá trị lớn nhất.
Bài 5 (5,0 điểm).
Hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Ot, Oz sao cho 0 1
yOt 60 ; xOz yOt
2 . Trên nửa mặt phẳng bờ xy không chứa tia Ot, vẽ tia On sao cho xOn 1500.
a) Trong ba tia Ox, Ot, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ? b) Chứng tỏ rằng tia Oz và On đối nhau.
c) Tia Ot có là phân giác của góc nOz không ? Vì sao ?
d) Hỏi phải vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng các tia Ox, Oy, Oz, Ot, On để được 105 góc tạo thành từ tất cả các tia trên ?
Bài 6 (1,0 điểm). Tı̀m số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:
7 8 9 31
, , ... ,
n9 n 10 n 11 n33 ---HẾT---
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: …………..………
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 – NĂM HỌC 2016-2017
Câu Nội dung Điểm
1
a) Tính: 2 2 2 2
A ...
3.5 5.7 7.9 49.51
b) Tìm x biết:
x 1
2 1 1 34 2 4
c) Cho S 1 3 3 233 ... 3 30. Chứng minh S không là số chính phương.
a) 2 2 2 2
A ...
3.5 5.7 7.9 49.51
1 1 1 1 1 1 1 1
A ...
3 5 5 7 7 9 49 51
0,5
1 1 16
A35151
0,25
Vậy 16
A51 0,25
b)
x 1
2 1 1 34 2 4
x 1
2 1 0,25
x 1
2 1 0,25Ta được: x 1 1 hoặc x 1 1 0,25
Giải ra ta được : x = 2 hoặc x = 0 0,5
Vậy x = 2 hoặc x = 0 0,25
c) 3S 3 32 33... 3 31 3S S 331 1
0,25
331 1
S 2
0,25
Ta có: 331 34.7 3
34 7.33
...1 . ...77 ...7 0,25 3311 có tận cùng là 6 S có tận cùng là 3 hoặc 8 0,25 Mà không có số chính phương nào có tận cùng là 3, 8 0,25
Vậy S không phải là số chính phương. 0,25
2
a) Chứng minh: 10n 18n 1 chia hết cho 27, với n là số tự nhiên.
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11.
a) +) Với n = 0 luôn đúng 0,25
+) Với n* ta có
n n
10 18n 1 10 1 9n27n
n n
99...9 9n 27n 9 11...1 n 27n
0,25
Ta có
n
11...1 có tổng các chữ số bằng n, do đó
n
11...1 và n khi chia cho 9 có cùng
0,5
số dư
n
11...1 n chia hết cho 9
n n
9 11...1 n 27 9 11...1 n 27n
chia hết cho 27 0,25
Vậy 10n 18n 1 chia hết cho 27 0,25
b) Gọi số cần tìm là a
a
0,25Ta có: (a - 6) 11; (a - 1) 4; (a - 11) 19 0,25 Suy ra: (a - 6 + 33) 11 ; (a - 1 + 28) 4 ; (a - 11 +38 ) 19.
Hay (a + 27) 11 ; (a + 27) 4 ; (a + 27) 19. 0,25 Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất
Suy ra: a +27 = BCNN (4, 11, 19). 0,25
Từ đó tìm được: a = 809 (thỏa mãn) 0,25
Vậy số cần tìm là 809 0,25
3
a) So sánh:
2015 2016
2017 1
B 2017 1
và
2014 2015
2017 1
C 2017 1
b) Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn điều kiện p = q + 2.
Tìm số dư khi chia (p + q ) cho 12.
a) HS chứng minh: a
0 1
b thì a a n * (n N )
b b n
0,5
Vì
2015
2015 2016 2015 2016
2016
2017 1
2017 1 2017 2017 2017 1 2017 1 1
2017 1
0,25
2015 2015 2015
2016 2016 2016
2017 1 2017 1 2016 2017 2017
B 2017 1 2017 1 2016 2017 2017
0,25
2014 2014
2015 2015
2017(2017 1) 2017 1
2017(2017 1) 2006 1 C
0,25
Vậy B < C 0,25
b) Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 ((k*) 0,25 + Nếu q = 3k + 1 thì p = 3k + 3 nên p 3 , loại vì p là số nguyên tố lớn hơn 3. 0,25
+ Nếu q = 3k + 2 thì p = 3k + 4. 0,25
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên k lẻ k + 1 chẵn 0,25
Ta có pq6(k 1) 12 0,25
Vậy (pq) 12 hay số dư khi chia pq cho 12 bằng 0. 0,25
4
Cho 3n 2
P 2n 1
trong đó n là số tự nhiên.
a) Tìm n để P là số nguyên tố nhỏ nhất.
b) Tìm n để P là số nguyên.
c) Tìm n để P có giá trị lớn nhất.
a) Vì n là số tự nhiên nên 2n 1 0 0,25
Số nguyên tố nhỏ nhất là 2 nên ta có:3n 2 2n 1 2
hay: 3n22 2n 1
0,25Giải ra tìm được n = 4 (thỏa mãn) 0,25
Vậy n = 4 0,25
b) Vì P là số nguyên nên 2P cũng là số nguyên 0,25
2 3n 2 6n 4 3 2n 1 7 7
2P 3
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
0,25
2P có giá trị nguyên 7
2n 1
có giá trị nguyên
7 2n 1
2n 1 Ư(7)=
7; 1;1;7
(vì 2n 1 )0,25 TH1: 2n 1 7 n 3(loại)
TH2: 2n 1 1 n0
0,25 TH3: 2n 1 1 n1
TH4: 2n 1 7n4 0,25
Thử lại: n = 0 thì P = -2; n = 1 thì P = 5; n = 4 thì P = 2
(các giá trị của n tìm được thỏa mãn) 0,5
Vậy n
0;1; 4
thì P nguyên 0,25c) P max 2P max 7 3 2n 1
max 7
2n 1 max 0,25
2n – 1 là số dương nhỏ nhất 0,25
Vì n nên 2n – 1 là số dương nhỏ nhất khi n = 1 0,25
Với n = 1 thì max P = 5 0,25
5
Hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Ot, Oz sao cho 0 1
yOt 60 ; xOz yOt
2 . Trên nửa mặt phẳng bờ xy không chứa tia Ot, vẽ tia On sao cho xOn 1500.
a) Trong ba tia Ox, Ot, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ? b) Chứng tỏ rằng tia Oz và On đối nhau.
c) Tia Ot có là phân giác của góc nOz không ? Vì sao ?
d) Hỏi phải vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng các tia Ox, Oy, Oz, Ot, On để được 105 góc tạo thành từ tất cả các tia trên ?
y
t
z
n
150°
60° O 30° x
0,5
a) Vì hai tia Ox, Oy đối nhau => xOy yOt tOx tOx1200 0,75 Hai tia Oz và Ot cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và
0 0 xOzxOt (30 120 )
0,25 0,25
Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot. 0,25
b) Vì Oz và On thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia
Ox nOx; xOz là hai góc kề (vì chung tia Ox). 0,5 Mà nOx xOz 1500 300 1800nOx; xOz là hai góc kề bù. 0,25
Hai tia Oz và On đối nhau. 0,25
c) Vì Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot
xOt xOz zOtzOt xOt xOz1200300 900 tOn900 0,5 Vì Oz và On là hai tia đối nhau Ot nằm giữa hai tia On và Oz. 0,25 Mà nOt tOz 900 Ot là tia phân giác góc zOn 0,25 d) Từ hai tia phân biệt chung gốc ta vẽ được một góc.
Vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox, Oy, Oz, Ot, On. Tất cả trong hình vẽ có n + 5 tia phân biệt.
0,25 Cứ 1 trong n + 5 tia đó tạo với n + 4 tia còn lại thành n + 4 góc.
Có n + 5 tia nên tạo thành (n + 4).(n + 5) góc.
Nhưng mỗi góc tính hai lần Số góc được tạo thành từ n + 5 tia phân biệt chung gốc là:
n 4 . n
5
2
góc.
0,25
Theo bài ra ta có
n 4 . n 5
105 n 4 . n 5 210 14.15 2
Vì n + 4; n + 5 là tích hai số tự nhiên liên tiếp n + 4 = 14 n = 10
0,25 Vậy phải vẽ thêm 10 tia phân biệt gốc O và không trùng với các tia Ox, Oy, Oz,
Ot, On để được 105 góc tạo thành từ tất cả các tia trên. 0,25
6
Tı̀m số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:
7 8 9 31
, , ... ,
n9 n 10 n 11 n33 Các số đã cho có da ̣ng: k
k(n2) (với k = 7, 8, … , 31) 0,25 Nếu k
k(n2) là phân số tối giản thı̀ k (n 2) k
cũng là phân số tối giản 0,25
Mà k (n 2) n 2
k 1 k
tối giản (n + 2, k) = 1
n + 2 nguyên tố cùng nhau với 7, 8,…,31 và n + 2 nhỏ nhất n + 2 = 37
n = 35
0,25
Vậy n = 35 0,25
Lưu ý :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.