• Không có kết quả nào được tìm thấy

a) Chứng minh: 10n 18n 1 chia hết cho 27, với n là số tự nhiên

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "a) Chứng minh: 10n 18n 1 chia hết cho 27, với n là số tự nhiên"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán 6

Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm).

a) Tính: 2 2 2 2

A ...

3.5 5.7 7.9 49.51

    

b) Tìm x biết:

x 1

2 1 1 3

4 2 4

   

c) Cho S 1 3 3   2 33... 3 30. Chứng minh S không là số chính phương.

Bài 2 (3,0 điểm).

a) Chứng minh: 10n 18n 1 chia hết cho 27, với n là số tự nhiên.

b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11.

Bài 3 (3,0 điểm).

a) So sánh:

2015 2016

2017 1

B 2017 1

 

 và

2014 2015

2017 1

C 2017 1

 

b) Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn điều kiện p = q + 2.

Tìm số dư khi chia (p + q) cho 12.

Bài 4 (4,0 điểm). Cho 3n 2

P 2n 1

 

 trong đó n là số tự nhiên.

a) Tìm n để P là số nguyên tố nhỏ nhất.

b) Tìm n để P là số nguyên.

c) Tìm n để P có giá trị lớn nhất.

Bài 5 (5,0 điểm).

Hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Ot, Oz sao cho  0  1

yOt 60 ; xOz yOt

  2 . Trên nửa mặt phẳng bờ xy không chứa tia Ot, vẽ tia On sao cho xOn 1500.

a) Trong ba tia Ox, Ot, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ? b) Chứng tỏ rằng tia Oz và On đối nhau.

c) Tia Ot có là phân giác của góc nOz không ? Vì sao ?

d) Hỏi phải vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng các tia Ox, Oy, Oz, Ot, On để được 105 góc tạo thành từ tất cả các tia trên ?

Bài 6 (1,0 điểm). Tı̀m số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:

7 8 9 31

, , ... ,

n9 n 10 n 11  n33 ---HẾT---

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: …………..………

(2)

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 – NĂM HỌC 2016-2017

Câu Nội dung Điểm

1

a) Tính: 2 2 2 2

A ...

3.5 5.7 7.9 49.51

    

b) Tìm x biết:

x 1

2 1 1 3

4 2 4

   

c) Cho S 1 3 3   233 ... 3 30. Chứng minh S không là số chính phương.

a) 2 2 2 2

A ...

3.5 5.7 7.9 49.51

    

1 1 1 1 1 1 1 1

A ...

3 5 5 7 7 9 49 51

         0,5

1 1 16

A35151

0,25

Vậy 16

A51 0,25

b)

x 1

2 1 1 3

4 2 4

   

x 1

2  1 0,25

x 1

2 1 0,25

Ta được: x 1 1  hoặc x 1  1 0,25

Giải ra ta được : x = 2 hoặc x = 0 0,5

Vậy x = 2 hoặc x = 0 0,25

c) 3S 3 32 33... 3 31 3S S 331 1

    0,25

331 1

S 2

   0,25

Ta có: 33134.7 3

 

34 7.33

   

...1 . ...77 ...7 0,25

 3311 có tận cùng là 6  S có tận cùng là 3 hoặc 8 0,25 Mà không có số chính phương nào có tận cùng là 3, 8 0,25

Vậy S không phải là số chính phương. 0,25

2

a) Chứng minh: 10n 18n 1 chia hết cho 27, với n là số tự nhiên.

b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11.

a) +) Với n = 0 luôn đúng 0,25

+) Với n* ta có

n n

10 18n 1 10   1 9n27n  

n n

99...9 9n 27n 9 11...1 n  27n

      

  0,25

Ta có 

n

11...1 có tổng các chữ số bằng n, do đó 

n

11...1 và n khi chia cho 9 có cùng

0,5

(3)

số dư  

n

11...1 n chia hết cho 9

 

n n

9 11...1 n  27 9 11...1 n  27n

   

   

   

 chia hết cho 27 0,25

Vậy 10n 18n 1 chia hết cho 27 0,25

b) Gọi số cần tìm là a

a

0,25

Ta có: (a - 6)  11; (a - 1)  4; (a - 11)  19 0,25 Suy ra: (a - 6 + 33)  11 ; (a - 1 + 28)  4 ; (a - 11 +38 )  19.

Hay (a + 27)  11 ; (a + 27)  4 ; (a + 27)  19. 0,25 Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất

Suy ra: a +27 = BCNN (4, 11, 19). 0,25

Từ đó tìm được: a = 809 (thỏa mãn) 0,25

Vậy số cần tìm là 809 0,25

3

a) So sánh:

2015 2016

2017 1

B 2017 1

 

 và

2014 2015

2017 1

C 2017 1

 

b) Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn điều kiện p = q + 2.

Tìm số dư khi chia (p + q ) cho 12.

a) HS chứng minh: a

0 1

 b thì a a n * (n N )

b b n

  

 0,5

2015

2015 2016 2015 2016

2016

2017 1

2017 1 2017 2017 2017 1 2017 1 1

2017 1

         

 0,25

2015 2015 2015

2016 2016 2016

2017 1 2017 1 2016 2017 2017

B 2017 1 2017 1 2016 2017 2017

   

  

    0,25

2014 2014

2015 2015

2017(2017 1) 2017 1

2017(2017 1) 2006 1 C

 

  

  0,25

Vậy B < C 0,25

b) Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 ((k*) 0,25 + Nếu q = 3k + 1 thì p = 3k + 3 nên p 3 , loại vì p là số nguyên tố lớn hơn 3. 0,25

+ Nếu q = 3k + 2 thì p = 3k + 4. 0,25

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên k lẻ  k + 1 chẵn 0,25

Ta có pq6(k 1) 12 0,25

Vậy (pq) 12 hay số dư khi chia pq cho 12 bằng 0. 0,25

4

Cho 3n 2

P 2n 1

 

 trong đó n là số tự nhiên.

a) Tìm n để P là số nguyên tố nhỏ nhất.

b) Tìm n để P là số nguyên.

c) Tìm n để P có giá trị lớn nhất.

a) Vì n là số tự nhiên nên 2n 1 0 0,25

Số nguyên tố nhỏ nhất là 2 nên ta có:3n 2 2n 1 2

 

 hay: 3n22 2n 1

0,25

Giải ra tìm được n = 4 (thỏa mãn) 0,25

Vậy n = 4 0,25

(4)

b) Vì P là số nguyên nên 2P cũng là số nguyên 0,25

   

2 3n 2 6n 4 3 2n 1 7 7

2P 3

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

   

    

    0,25

2P có giá trị nguyên 7

 2n 1

 có giá trị nguyên

7 2n 1

2n 1 Ư(7)=

 7; 1;1;7

(vì 2n 1 )

0,25 TH1: 2n 1   7 n 3(loại)

TH2: 2n 1   1 n0

0,25 TH3: 2n 1 1  n1

TH4: 2n 1 7n4 0,25

Thử lại: n = 0 thì P = -2; n = 1 thì P = 5; n = 4 thì P = 2

(các giá trị của n tìm được thỏa mãn) 0,5

Vậy n

0;1; 4

thì P nguyên 0,25

c) P max  2P max  7 3 2n 1

 

  

   max  7

2n 1 max 0,25

 2n – 1 là số dương nhỏ nhất 0,25

Vì n nên 2n – 1 là số dương nhỏ nhất khi n = 1 0,25

Với n = 1 thì max P = 5 0,25

5

Hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Ot, Oz sao cho  0  1

yOt 60 ; xOz yOt

  2 . Trên nửa mặt phẳng bờ xy không chứa tia Ot, vẽ tia On sao cho xOn 1500.

a) Trong ba tia Ox, Ot, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ? b) Chứng tỏ rằng tia Oz và On đối nhau.

c) Tia Ot có là phân giác của góc nOz không ? Vì sao ?

d) Hỏi phải vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng các tia Ox, Oy, Oz, Ot, On để được 105 góc tạo thành từ tất cả các tia trên ?

y

t

z

n

150°

60° O 30° x

0,5

a) Vì hai tia Ox, Oy đối nhau => xOy yOt tOx tOx1200 0,75 Hai tia Oz và Ot cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và

  0 0 xOzxOt (30 120 )

0,25 0,25

 Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot. 0,25

(5)

b) Vì Oz và On thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia

Ox  nOx; xOz là hai góc kề (vì chung tia Ox).   0,5 Mà nOx xOz 1500 300 1800nOx; xOz là hai góc kề bù.   0,25

 Hai tia Oz và On đối nhau. 0,25

c) Vì Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot

xOt xOz zOtzOt xOt xOz1200300 900  tOn900 0,5 Vì Oz và On là hai tia đối nhau  Ot nằm giữa hai tia On và Oz. 0,25 Mà nOt tOz 900  Ot là tia phân giác góc zOn 0,25 d) Từ hai tia phân biệt chung gốc ta vẽ được một góc.

Vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox, Oy, Oz, Ot, On. Tất cả trong hình vẽ có n + 5 tia phân biệt.

0,25 Cứ 1 trong n + 5 tia đó tạo với n + 4 tia còn lại thành n + 4 góc.

Có n + 5 tia nên tạo thành (n + 4).(n + 5) góc.

Nhưng mỗi góc tính hai lần  Số góc được tạo thành từ n + 5 tia phân biệt chung gốc là:

n 4 . n

 

5

2

 

góc.

0,25

Theo bài ra ta có

   

   

n 4 . n 5

105 n 4 . n 5 210 14.15 2

 

     

Vì n + 4; n + 5 là tích hai số tự nhiên liên tiếp  n + 4 = 14  n = 10

0,25 Vậy phải vẽ thêm 10 tia phân biệt gốc O và không trùng với các tia Ox, Oy, Oz,

Ot, On để được 105 góc tạo thành từ tất cả các tia trên. 0,25

6

Tı̀m số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:

7 8 9 31

, , ... ,

n9 n 10 n 11  n33 Các số đã cho có da ̣ng: k

k(n2) (với k = 7, 8, … , 31) 0,25 Nếu k

k(n2) là phân số tối giản thı̀ k (n 2) k

 

cũng là phân số tối giản 0,25

Mà k (n 2) n 2

k 1 k

  

  tối giản  (n + 2, k) = 1

n + 2 nguyên tố cùng nhau với 7, 8,…,31 và n + 2 nhỏ nhất  n + 2 = 37

n = 35

0,25

Vậy n = 35 0,25

Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.. Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một

Người có tính khiêm tốn không bao giờ chịu chấp nhận sự thành công của cá nhân mình trong hoàn cảnh hiện tại, lúc nào cũng cho sự thành công của mình là tầm

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU..

[r]

[r]

a) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. b) Nếu hai đường tròn

Bác An muốn lát nền cho một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 16 m, chiều rộng 4 m bằng loại gạch men hình vuông có cạnh dài 40 cm.. Qua hai điểm vẽ được một

Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không