Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số - Nguyễn Hữu Hiếu - TOANMATH.com

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa 1

Dãy số

 

un được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u_n u_n1 Dãy số

 

un được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có u_n u_n1 2. Định nghĩa 2

Dãy số

 

un được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

, *

un M  n

Dãy số

 

un được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

, *

un m  n

Dãy số

 

un được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho

, *

mun M  n 3. Định lý 1

a. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

b. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

4. Định lí 2

a. Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới . b. Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới . 5. Định lý 3

a. Nếu một dãy

 

un hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ

 

un cũng hội tụ đến a. b.

 

un hội tụ đến a 

 

u2n và



u2n_1



hội tụ đến a.

6. Định lý 4

a. Nếu lim _n 0

n u

  và u_n   0, n thì lim ¹

n^un   b. Nếu lim _n

n u

   và u_n   0, n thì lim ¹ 0

n

un

 

7. Định lý 5.(Định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi nn₀ ta luôn có u_n x_n v_nvà limu_n limv_n a thì limx_n a

8. Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn Bài toán. Chứng minh dãy số

 

un xác định bởi ¹_n

 

_n 1 ; 2

u a

u f u _ n

 

  

 có giới hạn hữu hạn và

tìm giới hạn đó ( ^{f x}

 

là hàm số liên tục).

Phương pháp giải

a) Dãy

 

xn bị chặn. Nếu ^{f x}

 

là hàm số tăng trên

 

^{a b; thì dãy}

 

xn đơn điệu và hội tụ đến L là nghiệm của phương trình ^{f x}

 

^x.

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

b) Nếu ^{f x}

 

là hàm số nghịch biến thì các dãy con

  

x2_n ; x2_n1



của dãy

 

xn ngược chiều biến thiên.

Nhận xét: Nếu dãy

 

x2n hội tụ đến L, dãy



x2n_1



hội tụ đến K: Với LK thì dãy

 

xn không có giới hạn;

Với LKthì dãy

 

xn có giới hạn là L. II. BÀI TẬP

1. CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Bài 1. Cho dãy số (u )_n xác định bởi công thức

1

*

1 2

3

1 3

2 ; ( ).

n 3 n

n

u

u u n

u

. Chứng minh dãy số có giới hạn. Tính limu_n?

Lời giải

Theo công thức xác định dãy ( )u_n , ta có u_n 0; n ^*. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

3

2 *

1 2 2 3 2

1 3 1 3 3

2 . 3 ;

3 3

n n n n n

n n n

u u u u u n

u u u .

Do đó: u_n ³3 ; n ^*. Mặt khác:

3

1 2 2 2

2 1 1 3 1 3

3 3 3 0

n

n n n n n

n n n

u u u u u u

u u u .

Vậy ( )u_n là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn.

Giả sử, limu_n a.Ta có: 2 1₂ 3₂ ³ 3 3

a a a a

a a .

Kết luận. limu_n ³3.

Bài 2. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3. Chứng minh dãy số

0

1

1

1 ; 1, 2, 3...

n 3

n

u

u n

u _

 

 

  

 



có giới hạn và tìm giới hạn đó.

a) x_n : ₁ 1 ₁ 3

6, 2 1

n n

n

x x x

x b) x_n : x₁ 2;x_{n 1} 2 x_n

c) x_n : ^! ;

2 1 !!

n

x n n N

n

d) x_n : x₁ 13;x_{n 1} 12 x_n

e) x_n : ₁ 1 ₁ 4 ²

2; ⁿ 3 ^{n n}

x x x x

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

f) u_n ¹

1

1

2 3 4

, 1

2 1

n n

n

u

u u n

u

g) x_n

1 2

1 1

1

0; 1

3 2

, 2

10 2 2

n n

n n

x x

x x n

x x

h) x_n :

1

1

1

20 13, 1, 2...

n

n

x

x n

x

i) x_n :

1

1

1

1 2014

, 1

n 2 n

n

x

x x n

x

j) x_n :

1

1 2

1

1

, 2

1

n n

n

x

x u n

u

k) x_n : ₁ 3 ₁

; 3 2; 1

2 ^{n n}

x x x n

l) x_n : x₁ 0;x_{n 1} 6 x n_n; 1

m) x_n : _{1 1} 2 2 1

1; ; 1

3

n n

n

x x x n

x

n) x_n : x₁ 1;x₂ 2;x_{n 1} x_n x_{n 1};n 2

o) x_n : ₁ 4 ₁ 4 8

; 3 ; 1

9 ⁿ 9 9 ⁿ

x x x n

p) x_n : ₁ 1 ₁ 3 ² 1 ³

; ; 1

2 ⁿ 2 ⁿ 2 ⁿ

x x x x n . Hướng dẫn: Xét hàm số.

3 3

3 1

, 0;1

2 2

f x x x x , f x' 0; x 0;1 từ đó suy ra f x tăng trên 0;1 . Chứng minh u_n 0;1 bằng quy nạp. Do f x tăng nên f u_n f u_{n 1} &u_n u_{n 1} cùng dấu, và do đó cùng dấu với _{2 1} 3

16 0

u u . Từ đó suy ra u_n là dãy giảm và bị chặn dưới.

q) x_n : x₁ 2;x_{n 1} 2 x n_n; 1 HD: Xét hàm số f x 2 x x; 0;2

r) x_n : ₁ 2; ₁ 2 ;²ⁿ 1

u

x xn n HD: Xét hàm số 2 ;² 1;2

x

f x x

s) x_n : _{1 1} 1

1982; ; 1

4 3

n

n

x x n

x HD: Xét hàm số 1

; 0;1

4 3

f x x

x .

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

t) x_n : _{1 1} 1

1; _n 1 ; 1

n

x x n

x

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 1. Cho dãy số thực

 

un xác định bởi: ¹

2 1

1 2

, 1 (1)

n n n

u

u _ u u n

 

    



. Tìm giới hạn sau:

1 2 1

1 1 1

lim ...

1 1 1

n^ u u un_

 

  

    

 .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u_n 1,  n 3

 Xét tính đơn điệu của

 

un : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

u_n1u_n u_n² 0 

 

un tăng.

Tính tổng:

 

2 1

1

1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

( 1, 2,...) (*) 1

n n n

n n n n n

n n n

u u u

u u u u u

u u u n







     

 

   



Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1 2 1 1

1 1 1 1

... 2

1 1 _n 1 _n

u u  u _  u _

  

 Do

 

un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy

 

un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do

 

un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.

Giả sử ^lim n

n u a

  thì ^a⁰.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

aa²  a a 0 (vô lý)

2) Dãy

 

un không bị chặn trên, do

 

un tăng và không bị chặn trên nên:

₁

1

lim _n lim _n lim 1 0

n n n

n

u u

 u

  



      

Vì thế từ (2) ta suy ra:

1 2 1 1

1 1 1 1

lim ... lim 2 2

1 1 1

n n

n n

u u u u

 

 

   

     

      

   

 Vậy

1 2 1

1 1 1

lim ... 2

1 1 1

n^ u u un_

 

   

    

 



.

Bài 2. Cho dãy số thực

 

un xác định bởi: ¹ ₂

1

2

1, 1 (1)

n n n

u

u _ u u n

 

     



Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy Tìm giới hạn sau:

1 1

1 1 1

lim ...

n^ u u un

 

  

 

 .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh được rằng: u_n 2,  n 1

 Xét tính đơn điệu của

 

un Từ hệ thức (1) ta suy ra được  n ^, u_n1u_n 



u_n1



² 0, vậy

 

un tăng.

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

   

 

1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1

( 1, 2,...)

1 1

1 1

n n n

n n n n

n n

n

n

u u u

u u u

u u

u

u

u n









      

  

   

 

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1 1 1

1 1 1 1

... 1

n n 1

u u  u  u _



 Do

 

un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy

 

un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do

 

un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.

Giả sử lim _n

n u a

  thì a2.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

aa²  a 1 a²2a   1 0 a 1 (vô lý)

2) Dãy

 

un không bị chặn trên, do

 

un tăng và không bị chặn trên nên:



1



1

lim lim 1 lim 1 0

n n 1

n n n

n

u u

 u

  



       

 Vì thế từ (2) ta suy ra:

1 1 1

1 1 1 1

lim ... lim 1 1

1

n n

n n

u u u u

 



   

     

    

   

 Vậy

1 1

1 1 1

lim ... 1

n^ u u un

 

   

 

 



.

Bài 3. Cho dãy số u_n xác định bởi

 

1

2 1

3

1 4 , 1; 2;3....

n 5 n n

u

u _ u u n

 

    



a) Chứng minh dãy số un tăng nhưng không bị chặn trên ; b) Đặt

1

1 , 1, 2,3...

3

n n

k k

S n

 u

 



 ^{Tính limSn .}

Bài 4. (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số

 

xn xác định bởi

2

1 2012; _n 1 _n 5 _n 9

x  x _ x  x  với mọi n nguyên dương.

a) Chứng minh

 

xn là dãy số tăng;

b) Chứng minh

 

xn không có giới hạn hữu hạn;

c) Xét dãy

 

yn xác định bởi

1

1 2

n n

k k

y  x





 ^{. Tìm lim}yn.

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

Lời giải a) Xét hiệu:x_n1x_nx_n²5x_n 9 x_n (x_n3)² 0

 Do x₁2012 3 nên x_n1x_n 0 suy ra dãy đã cho là dãy tăng.

b) Giả sử dãy ( )x_n có giới hạn hữu hạn, đặt limx_n a a( 2012). Từ công thức truy hồi x_n1x_n²5x_n9.

Lấy giới hạn 2 vế, ta được: a a ²5a  9 a 3 (không thỏa mãn).

Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn.

c) Ta có:

1

1 1 1

2 3 3

n n n

x x x _

  

Do đó, ta có:

1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 3 ... 3 2009 3

n n

k n n n

y  x x x  x 

     

   



Mà limx_n   nên ¹

n 2009 limy  . Bài 5. Cho dãy số u_n ¹

1 1 2 3

1 ; 1, 2,...

1 ...

n n

u n

u u u u u Đặt

1

1

n n

k k

S u . Tìm lim _n

n S .

Lời giải

Ta có u_{n 1} 1 u u u n_{1 2}... _n ( 1);u_n 1 u u u_{1 2}... _{n 1}; n 2 , suy ra

1

1

1 1

2 2

1 1 1 1 2 1

1 , 2 1 1

1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

n

n n n n

n

n n n n n n n n

n n

n

k k k k k n

u u n u u u

u

u u u u u u u u

S u u u u u u u u

Kết hợp với giả thiết suy ra

1

2 1

n 1

n

S u

Ta có

 

 

2 1 3 1 2 1 1 1

1

1 1 2 1

1 ; 1 1 1 1

1 .... 1 ⁿ

n n

u u u u u u u u

u u u u u u ^

        

     

Mặt khác u_{n 1} u_n 1 u u u u_{n 1 2}... _{n 1} 1 0 hay u_n tăng nên

1 1

1 1 1 2... 1 1 1 ⁿ 2ⁿ lim 1 1 lim 2

n n n n n n

u u u u u u u S

Bài 6. Cho dãy số x_n :x₁ 1,x_{n 1} x x_{n n} 1 x_n 2 x_n 3 1. Tính

1

lim 1

2

n

n i xi .

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy Lời giải

Ta có x₂ 5 và x_n 0 với mọi n1, 2,

2 2 2

1 ( 1)( 2)( 3) 1 3 3 2 1 3 1

n n n n n n n n n n n

x x x x x x x x x x x (1)

Từ đó suy ra

1

1 _n2 3 2

n x xn

x x_n 1 x_n 2

1

1 1 1 1

1 1 2 1 2

n n n n n

x x x x x

1

1 1 1

2 1 1

n n n

x x x

Do đó

1

1 2

n n

i i

y x =

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 2 1

n

i xi xi x xn xn

Từ (1) x_{k 1} x_k² 3x_k 1 3x_k 3.3^{k 1} 3^k

Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp x_n 3^{n 1} (2)

Nên 1

lim ⁿ 2

n y (vì do (2) x_{n 1} 3ⁿ)

Ta có thể chứng minh limx_n với cách khác:

Dễ thấy x_n là dãy tăng, giả sử limx_n a(a 1) Nên ta có a a a( 1)(a 2)(a 3) 1

Suy ra a² a a 1 a 2 a 3 1 hay a⁴ 6a³ 10a² 6a 1 0

Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãna1. Vậy limx_n Bài 7. Xét dãy số x_n ; n 1, 2, 3, xác định bởi x₁ 2 và ₁ 1 ²

( 1)

n 2 n

x x với mọi

1, 2, 3, .

n . Đặt

1 2

1 1 1

1 1 ... 1

n

n

S x x x . Tìm lim _n

n S .

Lời giải

Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau:

Cho dãy u_n thỏa mãn

1

2 2

1

( )

n n

n

u a

u b c u c

u b c

Ta chứng minh

1 1 1

1 1 1

n n

i i n

S u b u c u c

Thật vậy.

Ta có

2 2

1

( )

n n

n

u b c u c

u b c suy ra

2 1

( ) ( )( )

n n n n

n

u b c u bc u b u c

u c

b c b c

Từ đó

1

1 1 1

n n n

u c u c u b

1

1 1 1

n n n

u b u c u c

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy Khai triển và ước lượng được

1 1 2

1 1 1

u b u c u c

2 2 3

1 1 1

u b u c u c

……….

1

1 1 1

n n n

u b u c u c

Do đó

1 1

1 1

n

n

S u c u c

Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

n

n n

S x x x

Mà ₁ 1 ²

1

– 2

n n n

x x x > 0 n N* nên dãy x_n là dãy tăng. Giả sử lim _n

n x a (a

> 2). Thì 2a a² 1 suy ra a = 1. Vô lý.

Vậy lim _n

n x . Do đó lim _n 1

n S

Nhận xét. Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác nhau để được các bài toán mới. Chẳng hạn:

Bài 8. Cho dãy số x_n được xác định bởi: x1 = 1;

2012 1

(2 1) 2012

n

n n

x x x . Với n là số nguyên

dương. Đặt

2011 2011 2011 2011

1 2 3

2 3 3 1

(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)

2 1 2 1 2 1 ... 2 1

n n

n

x x x x

u x x x x . Tìm limu_n.

Lời giải Ta có

20 2 1

(2 1) 1

– 20

12

n

n n

x x x

, n 1 Suy ra

2011 1

1 1 1

2( ) (2 1)

1 1

2 1 2 1 (2 1)(2 1) 1006(2 1)

n n n

n n n n n

x x x

x x x x x

2011

1 1 1 1 1 1

(2 1) 1 1 1 1

1006 1006

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n

i

i i i i i n

x

x x x x x

Mặt khác: x_{n 1} – x_n 0 nên dãy (xⁿ) là dãy số tăng n 1. Nếu (xⁿ) bị chặn thì limxⁿ tồn tại.

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy Đặt limx_n a a 1 và

( 1)2012

2012

a a a (vô lý). Suy ra x_n không bị chặn trên

hay limx_n suy ra lim

1

1

2x_n 1=0. Suy ra 1006

lim ⁿ 3

n u

Bài 9. Cho dãy số thực

 

un xác định bởi:

1

2 1

1

, 1

2012

n

n n

u

u _ u u n

 



   

 Tìm giới hạn sau:

1 2

2 3 1

lim ... ⁿ

n

n

u u u

u u u

 

 

  

 

 .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un ¹,  n 1

 Xét tính đơn điệu của

 

un : Từ hệ thức (1) ta suy ra được  n ^,

2

1 0

2012

n

n n

u _ u  u  , vậy

 

un tăng.

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

 

 

 

2

2

1 1

1

1

1

1 1

2012 2012

2012 .

1 1, 2,... (

*) 2012 1

n

n n n n n

n n

n

n n n

n

n n n

u

u u

u u u u u u

u u

u

u u u

u n

 



 

 

 

 

  

  





 

 

 

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

^{1 2}

2 3 1 1 1 1

1 1

... 2012 1 (2

2012 1 )

n n

n n

u u u

u u u _ u u _ u _

 

        

  

 

 

 Do

 

un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy

 

un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do

 

un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.

Giả sử lim _n

n u a

  thì a1.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2

2012 0

a a   a a (vô lý)

2) Dãy

 

un không bị chặn trên, do

 

un tăng và không bị chặn trên nên:

₁

1

lim _n lim _n lim 1 0

n n n

n

u u

 u

  



      

 Vì thế từ (2) ta suy ra: ^{1 2}

2 3 1 1

lim ... ⁿ lim 2012 1 1 2012

n n

n n

u u u

u u u u

 

 

   

     

   

   

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

 Vậy ^{1 2}

2 3 1

lim ... ⁿ 2012

n n

u u u

u u u

 

 

   

 

 



.

Bài 10. Cho dãy số thực

 

un xác định bởi:

1 2 1

2

2011 , 1 (1) 2012

n n

n

u

u u

u _ n

 

 

  

 Tìm giới hạn

sau: ^{1 2}

2 3 1

lim ...

1 1 1

n

n n

u

u u

u u u

 

 

  

    

 

Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u_n 2,  n 1

 Xét tính đơn điệu của

 

un : Từ hệ thức (1) ta suy ra được  n ^,

 

1

1 0

2012

n n

n n

u _ u u u 

   , vậy

 

un tăng.

 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

   

   

    

2

2

1 1 1

1

1 1 1 1

2011 2012 2012 1 2012

2012

1 1 1 1

2012 2012 1, 2,... (*)

1 1 1 1 1 1

n n

n n n n n n n n

n n

n n

n n n n n n

u u

u u u u u u u u

u u

u u

u u u u u u n

  



   

        

    

             

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1

1 2

2 3 1

... 1

2012 1

1 (2)

1 1 1

n

n n

u

u u

u u  u _  u _

  

 

   

 

 Do

 

un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy

 

un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do

 

un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.

Giả sử lim _n

n u a

  thì a2.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

^{( 1)} ( 1) 0 0 1 2012

aa a  a a a     a a (vô lý) 2) Dãy

 

un không bị chặn trên, do

 

un tăng và không bị chặn trên nên:



1



1

lim lim 1 lim 1 0

n n 1

n n n

n

u u

 u

  



       



 Vì thế từ (2) ta suy ra: ^{1 2}

2 3 1 1

lim ... lim 2012 1 1 2012

1 1 1 1

n

n n

n n

u u u

u u u u

 

 

   

     

       

    .

 Vậy ^{1 2}

2 3 1

lim ... 2012

1 1 1

n

n n

u

u u

u u u

 

 

   

    

  .



Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy Bài 11. Cho dãy số thực

 

un xác định bởi:

1 2

1 1 1

1 2

4 , 2 (1)

2

n n n

n

u

u u u

u ^{  } n

 

  

   



Tìm giới

hạn sau: _{2 2 2}

1 2

1 1 1

lim ...

n^ u u un

 

  

 

 .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u_n 0,  n 1

 Xét tính đơn điệu của

 

un : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

2 2

1 1 1 1 1 1 1

1 1 2

1 1 1

4 4 2

2 2 4 0

n n n n n n n

n n n

n n n

u x u u x u u

u u u

u x u

      

 

  

   

     

 

Suy ra:

 

un tăng.

 Tính tổng:

 

1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

2 1 1 1

1 ( 1, 2,...) (*) 4

n

n n n n n

n n n

n n n

u u u u u u n

u u u

u x u

  

   

        

 

 Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

_{2 2 2 2}

1 2 1 1

1 1 1 1 1 1

... 1 (2

6 )

n

n n

u u  u u u u  u Do

 

un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy

 

un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do

 

un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.

Giả sử lim _n

n u a

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2 4

2 0

a a a

a    a (vô lý)

2) Dãy

 

un không bị chặn trên, do

 

un tăng và không bị chặn trên nên:

lim _n lim ¹ 0

n n

n

u u

     

 Vì thế từ (2) ta suy ra: _{2 2 2}

1 2

1 1 1 1

lim ... lim 6 6

n n

n n

u u u u

 

   

     

   

   

 Vậy _{2 2 2}

1 2

1 1 1

lim ... 6

n^ u u un

 

   

 

 



.

Bài 12. Cho dãy số thực

 

un xác định bởi: ¹₂

1

2012

2011 2013 1 0, 1 (1)

n n n

u

u u u _ n

 

      

 Tìm

giới hạn sau:

1 2

1 1 1

lim ...

2012 2012 2012

n^ u u un

 

  

    

 .

Lời giải

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u_n 2012,  n 1

 Xét tính đơn điệu của

 

un : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

 

²

1

1 0

2010

n

n n

u _ u u 

   

 

un tăng.

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

  

2 2

1 1

2 1

1

2011 1

2011 2013 1 0

2013

2011 1

1 1 2013

1 2012

1

2013

n n

n n n n

n n

n

n n

n

u u

u u u u

u u

u

u u

u

 





 

     

 

   

 

  

1

1 1 1

(n=1,2,...) (*)

2012 1 1

n n n

u u u _

  

  

 Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

2 1

1 1 1

1 1 1 1 1

2012 2012 ... 2012

1 1

2011 1

1 _n 1 _n

u u  un  u u _  u _

 

   



 Do

 

un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy

 

un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do

 

un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.

Giả sử lim _n

n u a

  thì a2012. Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

^a2^2011a^2012a   ^{1 0 a 1} (vô lý)

2) Dãy

 

un không bị chặn trên, do

 

un tăng và không bị chặn trên nên:



1



1

lim lim 1 lim 1 0

n n 1

n n n

n

u u

 u

  



       

 Vì thế từ (2) ta suy ra:

1 2 1

1 1 1 1 1 1

lim ... lim

2012 2012 2012 2011 1 2011

n n

n n

u u u u

 



   

     

       

   

 Vậy

1 2

1 1 1 1

lim ...

2012 2012 2012 2011

n^ u u un

 

   

    

 



.

Bài 13. Cho dãy số thực

 

un xác định bởi: ¹

2 1

1 2012

2012 , 1 (1)

n n n

u

u _ u u n

 

    



. Tìm giới hạn

sau: ^{1 2}

2 3 1

lim ... ⁿ

n n

u u u

u u u

 

 

  

 

 .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u_n 0,  n 1

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy

 Xét tính đơn điệu của

 

un : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

u_n1u_n 2012u_n² 0

 

un tăng.

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2

2 1

1

1 1 1 1

1 1 1

2012 2012 (n=1,2,...) (*)

201

2

n

n n n

n n n

n n n

n n n n

u u u

u u u

u u

u

u u u

u u



 







 

   

 

     

 Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1 2

2 3 1 1 2 2 3 1

1

1 1 1 1 1 1 1

... ...

2012

1 1

2012 2012

n

n n n

n

u u u

u u u u u u u u u

u

 



     

           

     

 

 

   

 

 Do

 

un là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy

 

un bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do

 

un tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.

Giả sử lim _n

n u a

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

a2012a²  a a 0 (vô lý)

2) Dãy

 

un không bị chặn trên, do

 

un tăng và không bị chặn trên nên:

₁

1

lim _n lim _n lim 1 0

n n n

n

u u

 u

  



      

 Vì thế từ (2) ta suy ra: ^{1 2}

2 3 1 1

1 1

lim ... lim 2012 1

2012

n

n n

n n

u u u

u u u u

 

 

 

   

      

   

 

    

 Vậy ^{1 2}

2 3 1

lim ... ⁿ 1

n

n

u u u

u u u

 

 

   

 

 



.

Bài 14. Cho dãy số thực

 

un xác định bởi:

1 2 1

3

2009 2

, 1

2012

n n

n

u

u u

u _ n

 

  

  

 . Tìm giới hạn sau:

1 2

2 3 1

1

1 1

lim ...

2 2 2

n n

n

u

u u

u u u

 

       

    

 

Lời giải

 Biến đổi

2 1

2009 2

2012

n n

n

u u

u _  

  ₁ ^{( 1)( 2)}

2012

n n

n n

u u

u _ u  

  ( 1)

Vì u1 = 3 nên 3 = u1< u2<u3<…< un, suy ra dãy {un} tăng.

 G