KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ X, NĂM 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP: 10
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15/4/2017
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Bài 1. ( 4,0 điểm) Giải phương trình x22 2x 7 2 3 2 x5(x¡ ).
Bài 2. ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC(ABAC) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn
O . Các đường cao AD, BE và CFcắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Đường tròn
J ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn
O tại điểm thứ hai là K (K A). Đường thẳng AM cắt đường tròn
J tại điểmthứ hai là Q (QA). EF cắt AD tại P. Đoạn PM cắt đường tròn
J tại N.a) Chứng minh các đường thẳng KF EQ, ,BC đồng quy hoặc song song và ba điểm K, P, Q thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc nhau.
Bài 3. ( 4,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên ( , , )a b c sao cho số ( )( )( ) 2 2
a b b c c a
là một lũy thừa của 20162017 (Một lũy thừa của 20162017 là một số có dạng 20162017n với n là một số nguyên không âm).
Bài 4. ( 4,0 điểm) Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn b c c a a b 2 1 1 1
a b c ab bc ca
.
Chứng minh rằng: a2b2 c2 3 2(ab bc ca ).
Bài 5. ( 4,0 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước 10 10 , trên đó đã điền các số nguyên dương từ 1 đến 100 vào các ô vuông con theo trình tự như hình a. Ở mỗi bước biến đổi, người ta chọn tùy ý ba ô vuông con liên tiếp theo hàng hoặc theo cột hoặc theo một đường chéo của hình vuông kích thước 3 3 (xem hình b) rồi thực hiện: Hoặc là giảm số ở ô nằm giữa đi 2 đơn vị đồng thời tăng số ở hai ô liền kề lên 1 đơn vị, hoặc là tăng số ở ô nằm giữa lên 2 đơn vị đồng thời giảm số ở hai ô liền kề đi 1 đơn vị. Giả sử rằng sau hữu hạn bước biến đổi, tập hợp tất cả các số ghi trên bảng ô vuông vẫn là tập {1; 2; 3; …; 100}.
Chứng minh rằng khi đó các số ghi trên bảng theo đúng vị trí như trước khi biến đổi.
1 2 3 … 9 10 11 12 13 … 19 20 21 22 23 … 29 30
… … … … 91 92 93 … 99 100
Hình a – Bảng ô vuông ban đầu Hình b- Ba ô vuông con liên tiếp --- HẾT ---
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ………
ĐỀ CHÍNH THỨC