• Không có kết quả nào được tìm thấy

Hình học - Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Hình học - Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây"

Copied!
27
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)
(2)

Học sinh 1 :

Phát biểu định lý về độ dài đ ờng kính và dây cung?

Phát biểu định lý thuận, đảo quan hệ vuông góc giữa

đ ờng kính và dây cung?

Kiểm tra bài cũ :

Học sinh 2 :

Nhắc lại định lý Pitago về quan hệ các cạnh trong tam giác vuông?

Giao điểm các đ ờng trung trực trong tam giác có tính

chất gì?

(3)

đặt vấn đề:

Giờ học tr ớc đã biết đ ờng kính là dây lớn nhất của đ ờng tròn . Vậy nếu có hai dây của đ ờng tròn , thì dựa vào cơ sở nào ta có thể so sánh chúng đ ợc với nhau.

Bài học hôm nay sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi này.

(4)

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1) Bài toán

Cho AB và CD là hai dây (khác đ ờng kính) của đ ờng

tròn(O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O

đến AB, CD. Chứng minh rằng OH

2

+ HB

2

= OK

2

+ KD

2

H R

K O

D C

A B

? Thế nào là khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đ

ờng thẳng

(5)

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1) Bài toán

H R

K O

D C

A B

Giải

GT Đ ờng tròn (O) , dây AB , AC khác đ ờng kính OH  AB , OK  CD

OH

2

+ HB

2

= OK

2

+ KD

2

(*) KL

Ta thấy hệ thức ở mỗi vế trong đẳng thức có liên quan đến định lý nào ?

Chứng minh bài toán?

HO, HB là cạnh trong tam giác nào?

OK, KD là cạnh trong tam giác nào ?

(6)

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1) Bài toán

H R

K O

D C

A B

Giải

GT Đ ờng tròn (O) , dây AB , AC khác đ ờng kính OH  AB , OK  CD

OH

2

+ HB

2

= OK

2

+ KD

2

KL

Theo định lý Pitago trong tam giác vuông OHB và OKD có :

2 2 2 2

2 2 2 2

OH HB OB R OK KD OD R

  

  

(1) (2)

Từ (1) và (2)

=> OH

2

+ HB

2

= OK

2

+ KD

2

(7)

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1) Bài toán

H R

K O

D C

A B

Giải

GT Đ ờng tròn (O) , dây AB , AC khác đ ờng kính OH  AB , OK  CD

OH

2

+ HB

2

= OK

2

+ KD

2

KL

Theo định lý Pitago trong tam giác vuông OHB và OKD có :

2 2 2 2

2 2 2 2

OH HB OB R OK KD OD R

  

  

(1) (2)

Từ (1) và (2)

=> OH

2

+ HB

2

= OK

2

+ KD

2

(8)

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1) Bài toán

Giải

GT Đ ờng tròn (O) , dây AB , AC khác đ ờng kính OH  AB , OK  CD

OH

2

+ HB

2

= OK

2

+ KD

2

KL

O H K

D

A B

C

O H K

B A

C D

Chú ý : Kết luận bài toán trên vẫn đúng nếu 1 dây hoặc 2 dây là đ ờng kính

Kết luận của bài toán trên còn đúng không nếu một

dây hoặc 2 dây là đ ờng kính?

(9)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2 2 2

?1Hãy sử dụng kết quả OH2HBOKKD (*) chứng minh:

Giải

H R

K

O

D C

B A

Nếu dâyAB = dây CD thì ta so sánh đ ợc độ dài hai đoạn thẳng

nào có trong hệ thức (*) ?

) ếu AB = CD thì OH = OK b) Nếu OH = OK thì AB = CD a N

HB = KD ta suy luận tiếp đ ợc mối quan hệ giữa hai số hạng nào

trong hệ thức (*) ?

= >

HB2 = KD2 AB = CD

= >

HB = KD ; )

 2 (Do HB = AB

2

KD CD

Ta suy luận tiếp đ ợc mối quan hệ giữa hai số hạng còn lại trong hệ

thức (*) nh thế nào

= >

OH2= OK2 Ta kết luận đ ợc gì về độ dài OH và

= >

OK?

OH = OK

< < < <

(10)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2 2 2

?1Hãy sử dụng kết quả OH2HBOKKD (*) chứng minh:

Giải

H R

K

O

D C

B A

) ếu AB = CD thì OH = OK b) Nếu OH = OK thì AB = CD a N

= >

HB2 = KD2 AB = CD

= >

HB = KD ; )

 2 (Do HB = AB

2

KD CD

= >

OH

= >

2= OK2 OH = OK

< < < <

T ơng tự ta có suy luận theo chiều ng ợc lại

HS 1: chứng minh phần a?

HS 2: chứng minh phần b?

(11)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2 2 2

?1Hãy sử dụng kết quả OH2HBOKKD (*) chứng minh:

) ếu AB = CD thì OH = OK b) Nếu OH = OK thì AB = CD a N

Giải

a) OH  AB, OK  CD theo định lí

đ ờng kính vuông góc với dây

AB CD

=> HB = và KD =

2 2

2 2



ếu AB = CD thì

N HB KD

HB KD

Mà OH2 + HB2 = OK2 + KD2(*) (Kết quả c/m trên)

 OH2 = OK2 => OH = OK ( do OH, OK > 0)

H R

K

O

D C

B A

b)Nếu OH = OK  OH2 = OK2

Theo: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)

 HB2 = KD2  HB = KD (do HB , KD > 0)

2 ; 2

à AB CD

M HB KD AB CD



(12)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

) ếu AB = CD thì OH = OK b) Nếu OH = OK thì AB = CD a N

H R

K

O

D C

B A

Qua bài toán này ta rút ra kết

luận gì ?

Đó là nội dung định lý 1:

Trong một đ ờng tròn :

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b)Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

*Định lý 1: SGK

(13)

C O

B

O'

A D

3 cm 3 cm

O O'

D A B

C

Định lý 1 có đúng trong

hai đ ờng tròn không?

(14)

Trong hai đ ờng tròn, hai dây cách đều tâm ch a

chắc đã bằng nhau

Chú ý:

Trong hai đ ờng tròn, hai dây bằng nhau ch

a chắc đã cách đều tâm

C O

B

O'

A D

3 cm 3 cm

O O'

D A B

C

Định lý 1 có thể đúng đ ợc trong hai đ ờng tròn không?

Nếu có thì cần thêm điều kiện gì ?

(15)

Trong hai đ ờng tròn, hai dây cách đều tâm ch a

chắc đã bằng nhau

Chú ý:

Trong hai đ ờng tròn, hai dây bằng nhau ch

a chắc đã cách đều tâm

Định lý 1 chỉ đúng khi hai dây trong một

đ ờng tròn hoặc trong hai đ ờng tròn bằng nhau

C O

B

O'

A D

3 cm 3 cm

O O'

D A B

C

(16)

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

H R

K

O

D C

B A

AB = CD  OH = OK

Trong một đ ờng tròn hoặc hai đ ờng tròn bằng nhau, không cần so sánh trực tiếp - Muốn biết 2 dây cung có bằng nhau hay không ta làm nh thế nào?

- Ng ợc lại muốn biết khoảng

cách từ tâm tới 2 dây có bằng

nhau hay không ta làm nh thế

nào?

(17)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

? 2

Sử dụng kết quả OH2HB2OK 2KD2 (*) a) OH và OK, nếu biết AB > CD

Giải

H R

K O

D C

A B

b)AB và CD, nếu biết OH < OK

để so sánh

Nếu AB > CD ta so sánh đ ợc

độ dài hai đoạn thẳng nào?

(18)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

? 2

Sử dụng kết quả OH2HB2OK 2KD2 (*) a) OH và OK, nếu biết AB > CD

Giải

H R

K O

D C

A B

b)AB và CD, nếu biết OH < OK

để so sánh

AB > CD HB > KD

= >

Ta sẽ so sánh đ ợc hai số hạng nào trong hệ thức (*)

HB2> KD2

= > = >

OH2< OK2

= >

OH < OK

Ta kết luận đ ợc gì về hai số hạng còn lại trong hệ thức (*)?

Khi đó em có kết luận gì về độ dài OH và OK?

< < < <

T ơng tự ta chứng minh chiều ng ợc lại

(19)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

? 2

Sử dụng kết quả OH2 HB2 OK 2 KD2 (*) a) OH và OK, nếu biết AB > CD

H R

K O

D C

A B

b)AB và CD, nếu biết OH < OK

để so sánh:

=> => OH < OK

a)Theo kết quả bài toán phần 1 có HB = ... à KD = ...v

Nếu AB > CD thì …

2 2 2

OH2 (*)

HB OK KD

=> ( do HB, KD > 0 )

( do OH, OK > 0)

b) Nếu OH < OK thì (Do OH, OK > 0)

Mà: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)

 HB > KD (do HB, KD > 0) => …

= >

OH2< OK2 AB > CD HB > KD

= >

HB2> KD2

= > = >

OH < OK

< < < <

Điền vào để đ ợc

kết luận

đúng

2 AB

2 CD HB KD

2 2

HB KD

22

OH OK

22

OH OK

22

HB KD

AB CD 

Giải

? 2
(20)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

? 2

Sử dụng kết quả OH2 HB2 OK 2 KD2 (*) a) OH và OK, nếu biết AB > CD

b)AB và CD, nếu biết OH < OK

để so sánh:

=> => OH < OK

a)Theo kết quả bài toán phần 1 có HB = ... à KD = ...v

Nếu AB > CD thì …

2 2 2

OH2 (*)

HB OK KD

=> ( do HB, KD > 0 )

( do OH, OK > 0)

b) Nếu OH< OK thì (Do OH, OK > 0)

Mà: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)

 HB > KD (do HB, KD > 0) => …

AB > CD  OH < OK

2 AB

2 CD HB KD

2 2

HB KD

22

OH OK

22

OH OK

22

HB KD

AB CD 

H R

K O

D C

A B

Giải

? 2
(21)

2) Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tiết 24: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

a) OH và OK, nếu biết AB > CD

H R

K O

D C

A B

b)AB và CD, nếu biết OH < OK

AB > CD  OH < OK

Kết quả bài toán ?2 chính là nội dung định lý 2.

Định lý 2 :

Trong hai dây của một đ ờng tròn a) Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn.

* Định lý 2: SGK T 105

(22)

Câu khẳng định Đ hay S

Hình minh hoạ câu sai

1) Trong một đ ờng tròn, hai dây

bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách

đều tâm.

4) Trong hai đ ờng tròn bằng nhau, dây nào nhỏ hơn thì xa tâm hơn dây kia

Đ

S

Đ S

3)Trong hai dây của hai đ ờng tròn , dây nào lớn hơn thì nó gần tâm hơn dây kia.

2)Trong hai dây của một đ ờng tròn dây nào nhỏ hơn thì dây đó gần

tâm hơn

Câu 2:

Câu 3:

I

H O

D C

A B

K O' C D

H

O A B

(23)

Vậy định lý liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây chỉ dùng so sánh hai dây trong một đ

ờng tròn hoặc hai đ ờng

tròn bằng nhau!

(24)

?3

Cho tam giác ABC , O là giao điểm của các đ ờng trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF ( Hình 69). Hãy so sánh các độ dài:

a) BC và AC;

b) AB và AC.

∆ABC,O là giao điểm 3 đ ờng trung trực.

AD = BD , BE = EC, AF = FC.

OD > OE , OE = OF.

So sánh :

a. BC và AC b. AB và AC GT

KL

A

/// /// C

x x

=

=

_ _

D F

E O

B

C ng c - Luy n t p ủ ố ệ ậ

Giao điểm 3 đ ờng trung trực của tam giác có tính chất gì? Nó còn có

tên gọi khác nh thế nào ?

Giao điểm 3 đ ờng trung trực của tam giác có tính chất gì? Nó còn có

tên gọi khác nh thế nào ?

(25)

?3

C ng c - Luy n t p ủ ố ệ ậ

∆ABC,O là giao điểm 3 đ ờng trung trực.

AD = BD , BE = EC, AF = FC.

OD > OE , OE = OF.

So sánh :

a. BC và AC b. AB và AC GT

KL

A

/// /// C

x x

=

=

_ _

D F

E O

B

Giải

a)O là giao điểm của các đ ờng trung

trực các cạnh ABC nên O là tâm đ ờng tròn ngoại tiếp ABC.∆

Khi đó BC và AC là gì của đ ờng tròn?

Khi đó BC và AC là gì của đ ờng tròn?

Với điều kiện của đề bài, để so sánh hai dây

BC và AC của đ ờng tròn(O) ta làm thế nào ?

(26)

?3

C ng c - Luy n t p ủ ố ệ ậ

∆ABC,O là giao điểm 3 đ ờng trung trực.

AD = BD , BE = EC, AF = FC.

OD > OE , OE = OF.

So sánh :

a. BC và AC b. AB và AC GT

KL

A

/// /// C

x x

=

=

_ _

D F

E O

B

Giải

a)O là giao điểm của các đ ờng trung

trực các cạnh ABC nên O là tâm đ ờng tròn ngoại tiếp ABC.∆

b) Ta có OD > OE và OE = OF => OD > OF=> dây AB < dây AC ( Định lý 2b về liên hệ giữa dây và khoảng cách

đến tâm).

Có OE = OF (gt) => dây BC = dây AC (Đ/lý 1b về liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm).

, ( ách vẽ trung trực) OE BC OF   AC C

T ơng tự so sánh dây AB và dây AC?

(27)

H ớng dẫn học ở nhà

*Học thuộc và chứng minh lại hai định lý về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.

* Làm bài tập: Bài 12, 13, 14 trang 106 SGK.

Bài 24, 25 , 26 trang 131 SBT

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

 Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Cho nửa đường tròn đường kính AB và ba dây AC AD AE , , không qua tâm. Chứng minh rằng HK  AB.. Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này

- Ôn tập các kiến thức đã học về tính chất đối xứng của đường tròn, liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, vị trí tương đối của hai đường thẳng, tính chất

A trên mặt đáy là trung điểm của BC.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là giao điểm của hai

[r]

[r]

Do đó OI là tia phân giác của BID (tính chất đường phân giác).. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy.. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao

1 Kiến thức: Học sinh được ôn các kiến thức đã học về tính chất đối xứng của đường tròn, liên hệ giữa dây và khoảng cách từ dây đến tâm, về về trí tương đối của

Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB