Câu 1. Cho hình chóp

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

TỔ TOÁN

KHỐI 12

Câu 1. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎. Biết 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷),𝑆𝐴 = 𝑎 3. Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 là

A. 𝑎

3. B.

3

4

. C.

3 3

12

. D.

3 3 3

.

Thể tích chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 là

3

. 𝑎 3. 𝑎

=

3

Chọn D.

Câu 2. Cho khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎 , chiều cao 𝑆𝐴 = 𝑎 3 . Thể tích của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 bằng

A. 𝑎

3 . B.

3

. C. 𝑎

3 . D.

3

.

Giải

Thể tích khối khóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 là 𝑉 =

3

𝑆

. 𝑆𝐴 =

3

𝑎

. 𝑎 3 =

3

.

Chọn B

Câu 3. Cho khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy và 𝑆𝐴 = 2𝑎. Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶.

A. ^{𝑎3 3}

12 . B. ^{𝑎3 3}

2 . C. ^{𝑎3 3}

6 . D. ^{𝑎3 3}

3 .

Ta có 𝑉

=

3

𝑆𝐴. 𝑆

=

3

. 2𝑎.

4

=

6

.

Chọn C.

Câu 4. Cho hình chóp tam giác 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝑎 , 𝐴𝐶𝐵 = 60° ෣ , cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt đáy và 𝑆𝐵 hợp với mặt

đáy một góc 45°. Tính thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 . A. 𝑉 =

18

. B. 𝑉 =

2 3

. C. 𝑉 =

9

. D. 𝑉 =

6

.

Ta có 𝑆𝐴 ⊥ 𝐴𝐵𝐶

⇒ 𝐴𝐵 là hình chiếu vuông góc của 𝑆𝐵 lên mặt phẳng 𝐴𝐵𝐶 .

⇒ 𝑆𝐵, 𝐴𝐵𝐶෣ = ෣𝑆𝐵𝐴 = 45° ⇒ tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông cân tại 𝐴 ⇒ 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝑎.

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵 có 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵. 𝑐𝑜𝑡 6 0° = ^{𝑎 3}

3 ⇒ 𝑆_𝐴𝐵𝐶 = ¹

2𝐴𝐵. 𝐵𝐶 =

𝑎² 3 6

Khi đó thể tích khối chóp cần tìm là 𝑉 = ¹

3 𝑆_𝐴𝐵𝐶. 𝑆𝐴 = ^{𝑎3 3}

18 . Chọn A

Câu 5. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎. Mặt bên 𝑆𝐴𝐵 là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 . Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 là:

A. 𝑎³ 3. B. ^{𝑎3 3}

6 . C. ^{𝑎3 3}

2 . D. ^{𝑎3 3}

4 .

a H

B C

A D S

Gọi 𝐻 là trung điểm cạnh 𝐴𝐵. Vì 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝑆_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = 𝑎² và 𝑆𝐻 = ^{𝑎 3}

2 .

Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷là 𝑉 = ¹

3 𝑆_{𝐴𝐵𝐶𝐷}. 𝑆𝐻 = ^{𝑎3 3}

6 . Chọn B

Câu 6. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎, mặt phẳng 𝑆𝐴𝐵 vuông góc với mặt phẳng 𝐴𝐵𝐶 và tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông cân tại 𝑆.

Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 theo 𝑎.

A.

12

. B.

24

. C.

3

. D.

4

.

Gọi 𝐻 là trung điểm của 𝐴𝐵. Khi đó:ቐ

𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐵

𝑆𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐵𝐶

𝑆𝐴𝐵 ∩ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵

⇒ 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐵𝐶

Vì 𝛥𝑆𝐴𝐵 vuông tại 𝑆 nên 𝑆𝐻 = ¹

2 𝐴𝐵 = ^𝑎

2

Vậy 𝑉_{𝑆.𝐴𝐵𝐶} = ¹

3𝑆_{𝛥𝐴𝐵𝐶}. 𝑆𝐻 = ¹

3. ^{𝑎2 3}

4 .^𝑎

2 = ^{𝑎3 3}

24 . Chọn B.

Câu 7. Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 3là A. 2. B. ^{4 2}

9 . C. 2 2. D. ^{9 2}

4 .

G F

B D

C

A

Xét tam giác 𝐴𝐵𝐺 vuông tại 𝐺: 𝐴𝐵 = 3,

𝐵𝐺 = ²

3𝐵𝐹 = ²

3. ^{3 3}

2 = 3 ⇒ 𝐴𝐺 = 𝐴𝐵² − 𝐵𝐺² = 3² − 3 ² = 6.

Có 𝑆_𝐵𝐶𝐷 = ¹

2𝐵𝐹. 𝐶𝐷 = ^{32 3}

4 = ^{9 3}

4 . Vậy 𝑉_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = ¹

3 𝐴𝐺. 𝑆_𝐵𝐶𝐷 = ¹

3 . 6.^{9 3}

4 = ^{9 2}

4 . Chọn D.

Câu 8. Cho hình chóp tam giác đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có cạnh đáy bằng 𝑎 và chiều cao hình chóp là 𝑎 2.

Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A. 𝑉 = ^{𝑎3 6}

12 . B. 𝑉 = ^{𝑎3 6}

4 . C. 𝑉 = ^𝑎3

6 . D. 𝑉 = ^{𝑎3 6}

6 .

B

A C

S

O

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều có cạnh đáy bằng 𝑎 nên 𝑆_{𝛥𝐴𝐵𝐶} =

𝑎² 3 4 .

𝑉_{𝑆.𝐴𝐵𝐶} = ¹

3 . ^{𝑎2 3}

4 . 𝑎 2 = ^{𝑎3 6}

12 . Chọn A.

Câu 9. Cho khối lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶. 𝐴^′𝐵^′𝐶^′ có 𝐵𝐵^′ = 𝑎, đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐵 và 𝐴𝐵 = 𝑎. Tính thể tích 𝑉 của khối lăng trụ đã cho.

A. 𝑉 = 𝑎³. B. 𝑉 = ^𝑎3

3 . C. 𝑉 = ^𝑎3

6 . D. 𝑉 = ^𝑎3

2 .

Giải

Thể tích khối lăng trụ 𝑉 = 𝑆

. 𝐵𝐵

=

2

𝐵𝐴. 𝐵𝐶. 𝐵𝐵

=

2

.

Chọn D

Câu 10. Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶. 𝐴^′𝐵^′𝐶^′ có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐴; 𝐵𝐶 = 2𝑎;

𝐴𝐵𝐶 = 30°. Biết cạnh෣ bên của lăng trụ bằng 2𝑎 3. Thể tích khối lăng trụ là:

A. ^𝑎3

3 . B. 6𝑎³. C. 3𝑎³. D. 2𝑎³ 3.

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴 có 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. 𝑐𝑜𝑠 ෣ 𝐴𝐵𝐶 = 2𝑎. 𝑐𝑜𝑠 3 0° = 𝑎 3 ; 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶. 𝑠𝑖𝑛 3 0° = 𝑎 .

Hình lăng trụ có chiều cao 𝐴𝐴

= 2𝑎 3, diện tích đáy: 𝑆

=

1

2

𝐴𝐵. 𝐴𝐶 =

2

. 𝑎. 𝑎 3 =

2

.

Thể tích khối lăng trụ là: 𝑉 = 2𝑎 3.

2

= 3𝑎

. Chọn C

C'

B'

A C

B A'

Câu 11. Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶. 𝐴^′𝐵^′𝐶^′ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh 𝐴, mặt bên 𝐵𝐶𝐶^′𝐵^′ là hình vuông, khoảng cách giữa 𝐴𝐵^′ và 𝐶𝐶^′ bằng 𝑎. Tính thể tích khối trụ

𝐴𝐵𝐶. 𝐴^′𝐵^′𝐶^′. A. 𝑎³. B. ^2𝑎3

2 . C. ^2𝑎3

3 . D. 2𝑎³.

Vì 𝐴𝐵𝐶. 𝐴^′𝐵^′𝐶^′ là hình lăng trụ đứng và có đáy là tam giác vuông cân tại 𝐴 nên ቊ𝐵𝐵^′ ⊥ 𝐶^′𝐴^′

𝐶^′𝐴^′ ⊥ 𝐴^′𝐵^′ ⇒ 𝐶^′𝐴^′ ⊥ 𝐴𝐵𝐵^′𝐴^′ .

Mặt khác 𝐶𝐶^′// 𝐴𝐵𝐵^′𝐴^′ nên 𝐶^′𝐴^′ là khoảng cách giữa 𝐴𝐵^′ và 𝐶𝐶^′ do đó 𝐶^′𝐴^′ = 𝐴^′𝐵^′ = 𝑎

Suy ra 𝐵^′𝐶^′ = 𝑎 2 lại do 𝐵𝐶𝐶^′𝐵^′ là hình vuông nên chiều cao của lăng trụ 𝐵𝐵^′ = 𝑎 2.

𝑉_{𝐴𝐵𝐶.𝐴}^′_𝐵^′_𝐶^′ = 𝑆_𝛥𝐴^′_𝐵^′_𝐶^′. 𝐵𝐵^′𝑉ớ𝑖 𝑆_𝛥𝐴^′_𝐵^′_𝐶^′ = 1

2 𝐴^′𝐵^′. 𝐴^′𝐶^′ = 𝑎²

2 𝑆𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑉 = 2𝑎³ 2 Chọn B.

C B

A

C B

A