thuvienhoclieu.com
CHỦ ĐỀ 9: BÀI TẬP RÚT GỌN PHÂN THỨC.
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
a)
x x x
x x
2
16 ( 0, 4)2
4
b)
x x x
x
2 4 3 ( 3)
2 6
c)
x x y y x y y x y
3 2
15 ( ) ( ( ) 0)
5 ( )
d)
x y y x x y x y
5( ) 3( ) ( )
10( )
e)
x y x y x y
x y x y
2 2 5 5 ( )
2 2 5 5
f)
x xy x y y xy y
2
2 ( , 0)
3 3
g)
ax ax a b x b bx
2
2
2 4 2 ( 0, 1)
5 5
h)
x xy x x y x x y
2
3 2
4 4 ( 0, )
5 5
i)
x y z x y z x y z
2 2
( ) ( 0)
k)
x x y y x x y
x xy
6 3 3 6
7 6
2 ( 0, )
Bài 2. Rút gọn các biểu thức.
a)
4
2 2 2 2
m m
m m
; b)
2 3 2
3 4
ab a a b a b b
;
c)
1 1 xy x y y z yz
; d)
ax ay bx by ax ay bx by
; e)
2 2 2
2 2 2
2 2 a b c ab a b c ac
; f)
2 2
2 2
a b a a b b
; g)
3 2
1
2 4 2
a
a a
; h)
3 2 2 3 2 2 3 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
;
i)
2 2
( )
( )
x a b x ab x a b x ab
; j)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x a b bc ax c x b a bx ac c
;
k)
3 2
2
3 2 4 5
6 3 9
x x x
x x
; l) 2
2
5 6
x x
x x
. n)
2x 2x
x x
a b a b
; m)
1 (2 3 )2
2 3 1
a b a b
; o)
3 3
3 3
3 3
x y
x y
; ơ)
4 4
2 2
2 2
2 2
m n
n m
; p)
2 2 2
2 2 3 2
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b ab ac b bc
; q)
3 2
3 2
2 7 12 45
3 19 33 9
x x x
x x x
;
thuvienhoclieu.com Trang 1
thuvienhoclieu.com
u)
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
; ư)
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
.
Bài 3: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
a)
x x x
A x x x
2 2
3
(2 2 )( 2) ( 4 )( 1)
với x
1
2
b)
x x y xy
B x y
3 2 2
3 3
với x 5,y10 Bài 4: Rút gọn các phân thức sau:
a)
a b c a b c
2 2
( )
b)
a b c ab a b c ac
2 2 2
2 2 2
2 2
c)
x x x
x x x
3 2
3 2
2 7 12 45
3 19 33 9
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:
a)
a b c abc a b c ab bc ca
3 3 3
2 2 2
3
b)
x y z xyz
x y y z z x
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
c)
x y z xyz
x y y z z x
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
d)
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
e)
a b c b c a c a b ab ac b bc
2 2 2
2 2 3 2
( ) ( ) ( )
f)
x x x x
x x x x
24 20 16 4
26 24 22 2
... 1
... 1
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
x x x x
3 3
2
2 2 ( 0)
( 2 4)
b)
x x(x y x y
x y y2 x2
3 3 ) ( )
c)
x y a x y a x y a a x y
2 2
3 ( ) ( 0, )
3 9 ( )
Bài 7: Tìm giá trị của biến x để:
a) P x2 x
1
2 6
đạt giá trị lớn nhất ĐS: P khi x
max 1 1
5
b)
x x
Q x x
2 2
1
2 1
đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Q khi x
min 3 1
4
Bài 8: Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:
thuvienhoclieu.com Trang 2
thuvienhoclieu.com
a)
x a a a x x a a a x
2 2 2
2 2 2
( )(1 ) 1
( )(1 ) 1
b)
xy x y x x y
y x
3 3 2 2 9 2 1 1 , 1
1 3 1 3
c)
ax a axy ax ay a x y
x y
2 ( 1, 1)
1 1
d)
x a x x a
2 2
( )
2
e)
x y x y ay ax
2 2
( )( )
f)
ax x y ay ax x y ay
2 2 3 3
4 6 9 6
Bài 9. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.
a)
4 3
4 3 2
1
2 1
x x x
x x x x
; b)
4 2
4 2
5 4
10 9
x x
x x
. Bài 10. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức.
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD:
Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau Bài 11. Rút gọn
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z
y z z x x y
biết rằng x + y + z = 0.
Bài 12. Tính giá trị của phân thức A =
3 2
3 2
x y x y
, biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0.
HD
Ta có A2 =
2 2
2 2
9 4 12 20 12 8 1
9 4 12 20 12 32 4
x y xy xy xy xy
x y xy xy xy xy
Do 2y < 3x < 0 3x2y0,3x2y 0 A 0. vậy A =
1
2
. Bài 13. Rút gọn biểu thức: P =
4 4 4 4
4 4 4 4
(1 4)(5 4)(9 4)...(21 4) (3 4)(7 4)(11 4)...(23 4)
.
HD
Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
Do đó P =
( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 2 1 (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) .... (21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577
Bài 14. Cho phân số A =
1
1,00...01 (mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân.
thuvienhoclieu.com Trang 3
thuvienhoclieu.com
HD
Ta có A =
100 100
10
10 1. Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được:
A=
100 100
100 100 200
100 100
200
10 (10 1) 99...9 00...0
0,99...9 00...0
10 1 99...9
(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số).
Bài 15. Cho phân thức: M =
2 2 2 2 2
2
( )( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca
a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M.
HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.
Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
a + b = b + c = c + a
a = b = c.
Vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0, tức là a2 + b2 + c2 0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Đặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y.
Ta có M =
2 2 2 2
2 2 2
( 2 ) 2 ( )
2
x x y y x xy y x y
x y a b c ab bc ca
x y y x y x y
(Điều kiện là a2 + b2 + c2 0)
thuvienhoclieu.com Trang 4