Bài tập bất đẳng thức và bất phương trình – Diệp Tuân - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

1 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

4 BẤT ĐẲNG THỨC –BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A–LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Cho a b, là hai số thực.

Các mệnh đề "ab", "ab", "ab", "ab" được gọi là những bất đẳng thức.

Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng)

Với A B, là mệnh đề chứa biến thì "AB" là mệnh đề chứa biến.

Chứng minh bất đẳng thức AB (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa

biến "AB" đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất

đẳng thức AB mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó

xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.

2. Tính chất :

Tính chất

Tên gọi

Điều kiện Nội dung

ab và bc thì ac Tính chất bắc cầu

a    b a c b c Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số 0

c a b acbc

Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số 0

c a b acbc

ab và cd    a c b d Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều 0, 0

a c ab và cd acbd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

n ^ a b a²ⁿ^¹b²ⁿ^¹ Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy

thừa n ^ và a0 a b a²ⁿ b²ⁿ

0

a a b a  b

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

3 3

a b a  b 2.1. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho các số thực a b c, , là số thực. Chứng minh rằng:

a). a b c   ab bc ca b). a²b² 1 ab a b c). a² b²  c² 3 2(a b c  ) d). a²b²c² 2(ab bc ca  )

Lời giải

...

... ...

§BÀI 1. B Ấ T ĐẲ NG TH Ứ C

(2)

2 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ...

...

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.

3.1. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu các biểu thức sau

a). A   x 2 x 5. b). B       x 3 x 1 x 1 x 3. Lời giải

...

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ^y^ ^x^^{2 1}



^ ^x^{ }¹



^x^^{2 1}



^ ^x^¹



^.

Lời giải

...

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a). Đối với hai số không âm

Cho a0,b0, ta có 2

a b  ab

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi ab

Hệ quả :

Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau tức là

Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

Điều kiện Nội dung

Với mọi số thực x . x 0, x x x ,  x

0 a

x a    a x a x a x a   x a

   

a b    a b a b

2

2 ab a b 

  

 

2 a b  ab

(3)

3 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 b). Đối với ba số không âm

Cho a0, b0, c0, ta có

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi a b c

c). Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4. Cho a b c, , là các số thực dương. Chứng minh rằng

a). a ¹ b ¹ c ¹ 8

b c a

      

   

    . b). 1 1 1 9

a  b c a b c

  . c). a₂ b₂ c₂ 1 1 1

b c a   a b c d). ab bc ac

a b c c  a  b    Lời giải

...

3

3 a b c

   abc

(4)

...

Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a).

 

²

f x x 1

  x

 với x1. b).

 

²

f x x 2

  x

 với x 2. Lời giải

...

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

1. Phương pháp.

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) AB ta có thể sử dụng các cách sau:

Ta đi chứng minh A B 0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để

phân tích A B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.

2. Bài tập minh họa.

Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

Bài tập 1. Cho ba số thực a b c, , . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau a).

2 2

2 a b

ab  b).

2

2 ab a b 

  

c).³



^a²^^b²^^c²



^



^{a b c}^{ }



² ^d).



^{a b c}^{ }



² ^³



^{ab bc ca}^ ^



Lời giải

...

(5)

...

Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác.

Bài tập 2. Cho năm số thực a b c d e, , , , . Chứng minh rằng

a²b² c² d²e² a b c(   d e).

Lời giải

...

Bài tập 3. Chứng minh rằng

a). a b c   ab bc cavới a b c, , là các số thực dương.

b). ^a²^^b²^{  }^c² ³ ²



^{a b c}^{ }



^với^{a b c}^{, ,} là các số thực.

Lời giải

...

Bài tập 4. Cho ab1. Chứng minh rằng : ₂¹ ₂¹ ²

1 1 1

a b  ab

   .

Lời giải

...

(6)

...

Nhận xét : Nếu   1 b 1 thì BĐT có chiều ngược lại : ₂¹ ₂¹ ²

1 1 1

a b  ab

   .

Bài tập 5. Cho số thực x. Chứng minh rằng

a). x⁴ 3 4x b). x⁴ 5 x²4x c). x¹²x⁴ 1 x⁹x Lời giải

...

Bài tập 6. Cho a b c, , là các số thực. Chứng minh rằng a). a⁴b⁴4ab 2 0

b). ²



^a⁴^{ }¹

 

^b²^¹



² ^²



^ab^¹



²

c). ³



^a²^^b²



^^ab^{ }⁴ ²



^{a b}²^{ }¹ ^{b a}²^¹



Lời giải

...

... ...

(7)

...

Bài tập 7. Cho hai số thực x y, thỏa mãn x y. Chứng minh rằng;

a). ⁴



^x³^^y³



^



^x^^y



³ ^b).^x³^³^x^{ }⁴ ^y³^³^y

Lời giải

...

Loại 2. Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh 1. Phương pháp.

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt.

Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng:



^;

   

⁰

a    a a 

 

^*

           

, , ; 0 **

a b c    a b c  a b  c 2. Bài tập minh họa.

Bài tập 8. Cho a b c, , là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :

a²b²c² 2(ab bc ca  ).

Lời giải

(8)

...

Nhận xét : Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.

Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT |a b | c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.

Bài tập 9. Cho tam giác ABC có cạnh a b c, , . Chứng minh rằng nửa chu vi lớn hơn độ dài mỗi cạnh.

Lời giải

...

Bài tập 10. Cho a b c, , [0;1]. Chứng minh : a²b²c² 1 a b b c²  ² c a² Lời giải

...

Bài tập 11. Cho các số thực a b c, , thỏa mãn : a²b²c² 1. Chứng minh :

²⁽¹^{   }^a ^b ^c ^{ab bc}^ ^^ca⁾^^abc^⁰.

Lời giải

...

... ...

(9)

...

Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu a4,b5,c6 và a²b²c² 90 thì a b c  16 Lời giải

...

Bài tập 13. Cho ba số a b c, , thuộc



^^1;1



và không đồng thời bằng không.

Chứng minh rằng

4 2 4

201 1

2 4 2

2 20 2 2012

3 2 a

a c

b b c c a b

 



 



Lời giải

...

... ...

...

3. Bài tập luyện tập

Bài 1. Cho a b c d, , , là số dương.. Chứng minh rằng a). ^a ^a ^c

b b c

 

 với a 1 b  .

b). a b c 2

a bb cc a 

  

c). 1 a b c d 2

a b c b c d c d a d a b

    

       

d). 2 a b b c c d d a 3

a b c b c d c d a d a b

   

    

       

Lời giải

...

... ...

(10)

...

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau

a). (ax by bx )( ay)(a b xy )² ( vớia b, 0; ,x yR) . b).

2 2 2 2

c a c b

c a c b

  

  . với a b 0; c ab.

c). 4

2 2

a b c b a b c b

   

  với a b c, , 0 và ¹ ¹ ² a c b

d). a b c(  )²b c a(  )²c a b(  )² a³ b³ c³ với a b c, , là ba cạnh của tam giác Lời giải

...

... ...

(11)

...

Bài 3. Cho x  y z 0. Chứng minh rằng:

a). xy³yz³zx³xz³zy³yx³ b).

2 2 2 2 2 2

x y y z z x x z y x z y z  x  y  y  z  x . Lời giải

...

Bài 4. Cho bốn số dương a b c d, , , . Chứng minh rằng: 1 1 1

1 1 1 1 1 1

a b c d a c b d

 

  

 

. Lời giải

...

Bài 5. Cho ^{a b c}^{, ,} ^

 

^1;3 và thoả mãn điều kiện a b c  6.

Chứng minh rằng a²b²c² 14

Lời giải

... ...

(12)

... ...

...

4. Câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

A. a b .

a c b d c d

 

   

  B. a b .

a c b d c d

 

   

 

C. a b .

a d b c c d

 

   

  D. 0

0 . a b

a c b d c d

  

   

  

 Lời giải

...

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?

A. .

2

a b b c

a c a

    

  B. a b .

a c b a a c

 

   

  C. a    b a c b c. D. a    b c a c b. Lời giải

...

Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. a b .

ac bd c d

 

 

  B. a b .

ac bd c d

 

 

  C. 0

0 .

a b

ac bd c d

  

 

  



D. a b .

ac bd c d

 

   

  Lời giải

...

A. a b acbc. B. a b acbc. C. c  a b acbc. D. . 0

a b

ac bc c

 

 

  Lời giải

...

(13)

...

A. 0 0 .

a b a b

c d c d

  

    

 B. 0 .

0

a b a

d d

b

c c

  

  

  

C. a b a b.

c d c d

 

   

 D. 0 .

0

a b a

c d

d

c b

  

  

   Lời giải

...

Câu 6. Nếu a2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. 3a 3 .b B. a² b². C. 2a2 .b D. 1 1 a b. Lời giải

...

Câu 7. Nếu a b a và b a b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. ab0. B. ba. C. a b 0. D. a0 và b0.

Lời giải

...

Câu 8. Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. 1 .

a  a B. 1

.

aa C. a a. D. a³a². Lời giải

...

... ...

(14)

...

Câu 9. Cho hai số thực dương a b, . Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

2 4

1. 1 2 a

a 

 B. ¹.

1 2 ab ab 

 C.

2 2

1 1 2 2. a

a

 

 D. Tất cả đều đúng.

Lời giải

...

Câu 10. Cho a b, 0 và 1 ₂ 1 ₂

, .

1 1

a b

x y

a a b b

 

 

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. xy. B. xy. C. xy. D. Không so sánh được.

Lời giải

...

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

1. Phương pháp.

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:

Khi áp dụng bất đẳng thức côsi thì các số phải là những số không âm.

BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích.

Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau.

Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

 Đối với hai số:

2 2

2 2 2 2 ( )

2 ; ;

2 2

x y x y

x y  xy x y   xy   

  .

 Đối với ba số:

3 3 3 3

3 , 3

a b c a b c

abc   abc     .

(15)

15 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 2. Các ví dụ minh họa.

Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi.

 Bài tập 14. Cho a b, là số dương thỏa mãn a² b² 2. Chứng minh rằng a). a b a₂ b₂ 4

b a b a

    

  

   b).



^{a b}^



⁵ ^¹⁶^ab



¹^^a²



¹^^b²



Lời giải

...

 Bài tập 15. Cho a b c, , là số dương. Chứng minh rằng

a). 1 1 1

8

a b c

b c a

      

   

    b). a²(1b²)b²(1c²)c²(1a²)6abc c). (1a)(1b)(1  c)



1 ³ abc



³ d). a² bcb² acc² aba³ b³ c³

Lời giải

...

... ...

(16)

...

Bài tập 16. Cho a b c d, , , là số dương. Chứng minh rằng

a). ⁴

4 a b c d

    abcd

b). a3 b3 c3 d3

  

16 a b b c

b c d a

       

 

 

c).

3

8 4.

( )( )( )

a b c abc

a b b c c a abc

   

  

Lời giải

...

(17)

... ...

...

Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

1. Phương pháp.

Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.

Khi gặp BĐT có dạng x    y z a b c(hoặc xyzabc), ta thường đi chứng minh

2

x y a(hoặcabx²), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy

ra điều phải chứng minh.

Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra (thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).

2. Bài tập minh họa.

Bài tập 17. Cho a b c, , là số dương. Chứng minh rằng:

a). ^ab ^bc ^ac a b c

c  a  b    b). ^a₂ ^b₂ ^c₂ ¹ ¹ ¹ b c a   a b c Lời giải

...

... ...

(18)

...

Bài tập 18. Cho a b c, , dương sao cho a²b²c² 3. Chứng minh rằng a).

3 3 3 3 3 3

a b b c c a 3

c  a  b  abc b). ab bc ca 3 c  a  b  . Lời giải

...

(19)

... ...

...

Bài tập 19. Cho a b c, , là số dương thỏa mãn a b c  3. Chứng minh rằng

a). ⁸



a b b c c a









 

 ³ a



³b



³c



b).



^{3 2}^ ^a



^{3 2}^ ^b



^{3 2}^ ^c



^^abc

Lời giải

...

Bài tập 20. Cho a b c, , là số dương. Chứng minh rằng

2 2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

    

   .

Lời giải

...

(20)

... ...

...

Lưu ý : Việc ta ghép

2

4

a b c

b c

 

 và đánh giá như trên là vì những lí do sau:

Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại lượng

a2

b c khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa b c

.

Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. Ta

dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c khi đó

2

a a

b c 

 và b c 2a do đó ta ghép như trên.

Bài tập 21. Cho a b c, , là số dương thỏa mãn a b c  3 . Chứng minh rằng:

a). 3 2

1 1 1 2

a b c

b  c  a 

   b).

3 3 3

3

3 3 3 2

a b c

b  c  a 

  

Lời giải

...

... ...

(21)

...

Bài tập 22. Cho a b c, , là số dương thỏa mãn abc1.

Chứng minh rằng ¹₂ ¹₂ ¹₂ ³ ²



^{a b c}



a b c     . Lời giải

...

Bài tập 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a).



¹



²

( ) 2

f x x x

 

 với x2 b).

 

²

( ) 2 1

1 g x x

x

 

 với x 1

c). ^{h x}

 

^x ³

 x với x2 d). ^{k x}

 

²^x ¹₂

 x với 0 ¹.

x 2

  Lời giải

...

... ...

(22)

...

Bài tập 24. Cho x y z, , dương. Chứng minh rằng ₃2 x₂ 2₃ y₂ ₃2 z₂ 1₂ 1₂ 1₂ x y  y z z x  x  y  z

   .

Lời giải

...

Bài tập 25. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz1. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 1 1

x y y z z x 3 3

xy yz zx

        

Lời giải

... ...

(23)

...

3. Câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

 

²

f x x 1

  x

 với x1.

A. m 1 2 2. B. m 1 2 2. C. m 1 2. D. m 1 2.

Lời giải

...

 

²₂ ⁵ ^.

4 f x x

x

 



A. m2. B. m1. C. 5

2.

m D. Không tồn tại m. Lời giải

...

 

² ² ²

1

x x

f x x

 

  với x 1.

A. m0. B. m1. C. m2. D. m 2.

(24)

24 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Lời giải

...

  

^x ²



^x ⁸



f x x

 

 với x0.

A. m4. B. m18. C. m16. D. m6.

Lời giải

...

 

⁴

1 f x x

x x

   với 1 x 0.

A. m2. B. m4. C. m6. D. m8.

Lời giải

...

 

¹ ¹

f x 1

x x

   với 0 x 1.

A. m2. B. m4. C. m8. D. m16.

Lời giải

...

(25)

... ...

...

   

2 32

4 2

f x x

x

 

 với x2.

A. 1

2.

m B. 7

2.

m C. m4. D. m8.

Lời giải

...

Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số ^{f x}

 

²^x³ ⁴

x

  với x0.

A. m2. B. m4. C. m6. D. m10.

Lời giải

...

 

^x⁴ ³

x

  với x0.

A. m4. B. m6. C. 13

2 .

m D. 19

2 . m Lời giải

...

... ...

(26)

...

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số ^{f x}

  

^ ⁶^x^^{3 5 2}



^ ^x



^với ^{1 3}^; ^.

x  2 2

A. M 0. B. M 24. C. M 27. D. M 30.

Lời giải

...

 

^x ¹

x

  với x1.

A. M 0. B. 1

2.

M  C. M 1. D. M 2.

Lời giải

...

Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

 

2

4 f x x

 x

 với x0.

A. 1

4.

M  B. 1

2.

M  C. M 1. D. M 2.

Lời giải

...

Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

 



¹



²

f x x x

  với x0.

A. M 0. B. 1

4.

M  C. 1

2.

M  D. M 1.

Lời giải

...

... ...

(27)

...

Câu 24. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số ^{f x}

 

^ ^x^{ }³ ⁶^^x^.

A. m 2, M 3. B. m3, M 3 2. C. m 2, M 3 2. D. m 3, M 3.

Lời giải

...

Câu 25. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số ^{f x}

 

^² ^x^{ }⁴ ⁸^^x^.

A. m0;M 4 5. B. m2;M 4. C. m2;M 2 5. D. m0;M  2 2 2.

Lời giải

...

 

^ ^{7 2}^ ^x^ ³^x^^4.

A. m3. B. m 10. C. m2 3. D. ⁸⁷.

m 3

(28)

...

 

^{ }^x ⁸^^x²^.

A. M 1. B. M 2. C. M 2 2. D. M 4.

Lời giải

...

Câu 28. Cho hai số thực x y, thỏa mãn x²y²xy3. Tập giá trị của biểu thức S x y là:

A.

 

^0;3 ^. ^B.

 

^{0; 2} ^. ^C.



^^{2; 2}



^. ^D.



^^{2; 2}



^.

Lời giải

...

Câu 29. Cho hai số thực x y, thỏa mãn x²y²xy1. Tập giá trị của biểu thức Pxy là:

A. 0;¹ 3

 

 

 . B.



^^1;1



^. ^C. ¹^;1

3

 

 

 . D. 1;¹ 3

 

 

 . Lời giải

...

Câu 30. Cho hai số thực x y, thỏa mãn



^x^^y



³^⁴^xy^². Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S  x y là:

A. ³ 2. B. 1. C. 8. D. ³ 2.

(29)

...

Câu 31. Cho hai số thực x y, thỏa mãn x²y²   x y xy. Tập giá trị của biểu thức S x y là:

A.



^0;



^. ^B.



^^{; 0}



^. ^C.



^4;^



^. ^D.

 

^{0; 4} ^.

Lời giải

...

Câu 32. Cho hai số thực x y, thỏa mãn ^x²^^y²^³



^x^^y



^{ }⁴ ⁰. Tập giá trị của biểu thức

S  x y là:

A.

 

^{2; 4} ^. ^B.

 

^{0; 4} ^. ^C.

 

^{0; 2} ^. ^D.

 

^{2; 4} ^.

Lời giải

...

Câu 33. Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn x y 1. Giá trị nhỏ nhất của 1 4

S x y là:

A. 4. B. 5. C. 9. D. 2.

Lời giải

...

Câu 34. Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn điều kiện x y² xy²   x y 3xy. Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức S  x y là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

...

(30)

... ...

Câu 35. Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn ⁴ ⁴ 1

2

x y xy

  xy   . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

nhất của biểu thức Pxy lần lượt là:

A. 1

2 và 1. B. 0 và 1. C. 1

4 và 1. D. 1 và 2. Lời giải

...

Câu 36. Cho hai số thực a b, thuộc khoảng

 

^0;1 và thỏa mãn



^a³^^b³

 

^{a b}^{ }



^{ab a}



^¹



^b^{ }¹



^0.

Giá trị lớn nhất của biểu thức Pab bằng:

A. 1

9. B. 1

4. C. 1

3. D. 1.

Lời giải

...

Câu 37. Cho hai số thực x y, thuộc đoạn

 

^0;1 và thỏa mãn x y 4xy. Tập giá trị của biểu thức

Pxy là:

A.

 

^{0;1 .} ^B. ^0;¹ ^.

4

 

 

  C. 0;¹ .

3

 

 

  D. ^{1 1}; . 4 3

 

 

  Lời giải

...

Câu 38. Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn x2yxy0. Giá trị nhỏ nhất của S  x 2y là

A. 2. B. 4. C. 8. D. 1

4 . Lời giải

...

Câu 39. Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn x y xy7. Giá trị nhỏ nhất của S x 2y là:

A. 8. B. 5. C. 7. D. 11.

Lời giải

(31)

...

Câu 40. Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2x3y7. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  x y xy là:

A. 3. B. 5. C. 6. D. 2.

Lời giải

...

Câu 41. Cho hai số thực x y, không âm và thỏa mãn x²2y12. Giá trị lớn nhất của Pxy là:

A. 13

4 . B. 4. C. 8. D. 13.

Lời giải

...

Câu 42. Cho x y, là hai số thực thỏa mãn x y và xy1000. Biết biểu thức

2 2

x y

F x y

 

 đạt giá

trị nhỏ nhất khi x a

y b

 

  . Tính

2 2

1000 . a b

P 



A. P2. B. P3. C. P4. D. P5.

Lời giải

...

Câu 43. Cho x y, là các số thực dương và thỏa mãn x y 3. Tìm giá trị nhỏ nhất F_min của biểu

thức 1 2

2 . F x y

x y

   

A. _min 1 4 .2

F  B. F_min 3 2. C. _min 1 4 .3

F  D. _min 2

4 .3 F 

(32)

...

Câu 44. Cho x8y0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức



¹⁸



F x

y x y

   là

A. 3. B. 6. C. 8. D. 9.

Lời giải

...

Câu 45. Cho hai số thực x y, thỏa mãn ^x^{  }^y ¹ ²



^x^{ }² ^y^³



. Tập giá trị của biểu thức

S  x y là:

A.



^^1;7



^. ^B.

 

^{3; 7} ^. ^C.

 

^{3; 7} ^{ }

 

¹ ^. ^D.



^^7;7



^.

Lời giải

...

Câu 46. Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a0, b0 và ^{f x}

 

^^ax²^^{bx c}^{ }⁰^{với mọi}^x^ ^.

Tìm giá trị nhỏ nhất F_min của biểu thức 4

a c.

F b

 

A. F_min 1. B. F_min 2. C. F_min 3. D. F_min 5.

Lời giải

(33)

...

Câu 47. Cho ba số thực a b c, , không âm và thỏa mãn a²b² c² abc4. Giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của biểu thức Sa²b²c² lần lượt là:

A. 1 và 3. B. 2 và 4. C. 2 và 3. D. 3 và 4. Lời giải

...

Câu 48. Cho ba số thực dương x y z, , . Biểu thức ¹



² ² ²



2

x y z

P x y z

yz zx xy

      có giá trị nhỏ

nhất bằng:

A. 11

2 . B. 5

2. C. 9

2. D. 9.

Lời giải

...

Câu 49. Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x  y z 3. Giá trị lớn nhất của biểu

thức ^P^^x³^^y³^{ }^z³ ³



³ ^x^³ ^y^³