108 bài toán giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất chứa tham số - Lương Tuấn Đức - THCS.TOANMATH.com

(1)

____________________________________________________________________________________________________________________________

1 1 1

2 2 2

, . a x b y c

a x b y c

 

 

 



---

CH C HU UY YÊ ÊN N ĐỀ Đ Ề

HỆHỆ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH –– HHỆỆ BBẤẤTT PPHHƯƯƠƠNNGG TRTRÌÌNNHH –– HHỆỆ HHỖỖNN TTẠẠPP

BÀI TẬP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN CÁC LOẠI HỆ CHỨA THAM SỐ (QUYỂN 1)

TTRRUUNNGG ĐĐOOÀÀNN HHOOAA PPHHƯƯỢỢNNGG ĐĐỎỎ –– QQUUÂÂNN ĐĐOOÀÀNN TTĂĂNNGG TTHHIIẾẾTT GGIIÁÁPP

[T[TÀÀII LLIIỆỆUU PPHHỤỤCC VVỤỤ KKỲỲ TTHHII TTUUYYỂỂNN SSIINNHH LLỚỚPP 1100 TTHHPPTT,, LLỚỚPP 1100 HHỆỆ TTHHPPTT CCHHUUYYÊÊNN]] CHCHỦỦ ĐĐẠẠOO:: GGIIẢẢII VVÀÀ BBIIỆỆNN LLUUẬẬNN HHỆỆ PPHHƯƯƠƠNNGG TRTRÌÌNNHH BBẬẬCC NNHHẤẤTT CCHHỨỨAA TTHHAAMM SSỐỐ



 GGIIẢẢII HỆHỆ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẰẰNNGG PPHHƯƯƠƠNNGG PPHHÁÁPP CCỘỘNNGG ĐĐẠẠII SỐSỐ..

 GGIIẢẢII HỆHỆ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẰẰNNGG PPHHƯƯƠƠNNGG PPHHÁÁPP TTHHAAYY TTHHẾẾ..

 GGIIẢẢII VVÀÀ BBIIỆỆNN LLUUẬẬNN HHỆỆ PPHHƯƯƠƠNNGG TRTRÌÌNNHH BẬBẬCC NNHHẤẤTT CCHHỨỨAA TTHHAAMM SSỐỐ..



 CCÂÂUU HHỎỎII PPHHỤỤ BBÀÀII TTOOÁÁNN GGIIẢẢII VVÀÀ BBIIỆỆNN LLUUẬẬNN..

 BBÀÀII TTOOÁÁNN NNHHIIỀỀUU CÁCÁCCHH GIGIẢẢII..

CRCREEAATTEEDD BBYY GGIIAANNGG SSƠƠNN ((FFAACCEEBBOOOOKK));; GGAACCMMAA11443311998888@@GGMMAAIILL..CCOOMM ((GGMMAAIILL)) THTHÀÀNNHH PPHHỐỐ TTHHÁÁII BBÌÌNNHH –– MMÙÙAA TTHHUU 22001166

(2)

““NoNon n sôsônngg ViViệệtt NaNamm cócó trtrởở nênênn tưtươơii đẹđẹpp hhayay khkhôônngg,, dâdânn tộtộcc ViViệệtt NNaamm cócó bưbướớcc tớtớii đàđàii vivinnh h qquauanng g đđểể ssáánnh h vvaaii vớvớii ccáácc ccưườờnngg qquuốốcc nnăămm cchâhâuu đđưượợcc hahayy kkhhônôngg,, cchhíínnhh llàà nhnhờờ mmộộtt pphhầnần lớlớnn ởở ccônôngg hhọcọc ttậậpp củcủaa ccáácc eemm””

(T(Trríícchh tthhư ư CChhủủ ttịịcchh HHồồ CChhíí MMiinnhh))..

““……..NNăămm ấấyy ttừừ mmiiềềnn xxuuôôii xxaa xxôôii,,

CôCô ggiiááoo nngưgườờii KKiinnh h llêênn vvớớii bbảnản llàànngg, , DòDònngg KKhhuổuổii NNậậmm nnhẹhẹ rreeoo rreeoo hháátt,, HáHátt ccùùnng g bbầầyy eemm bbéé vvaanngg nnúúii rừrừnngg,, CôCô ggiiááoo ddạyạy bbầầyy eemm tthhơơ nnggâây,y,

YêYêuu nnúúi i rrừừngng rruuộnộngg nnưươơnng g qquuê ê hhưươơnng…g…””

CôCô gigiááo o vvềề bbảản n NhNhạcạc vvàà llờờii:: TTrrưươơnngg HHùùngng CCưườờnngg..

(3)

---

CHCHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ

HỆHỆ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH – – HHỆỆ BBẤẤTT PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH –– HHỆỆ HHỖỖNN TTẠẠPP BÀI TẬP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CHỨA THAM SỐ

TTRRUUNNGG ĐĐOOÀÀNN HHOOAA PPHHƯƯỢỢNNGG ĐĐỎỎ –– QQUUÂÂNN ĐĐOOÀÀNN TTĂĂNNGG TTHHIIẾẾTT GGIIÁÁPP

--- Trong khuôn khổ Toán học sơ cấp nói chung và Đại số phổ thông nói riêng, hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp là dạng toán cơ bản nhưng thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều bộ phận khác của toán học sơ cấp cũng như toán học hiện đại.

Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp là một bộ phận hữu cơ, quan trọng, được phổ biến giảng dạy chính thức trong chương trình sách giáo khoa Toán các lớp 9, 10, 11, 12 song song với các khối lượng kiến thức liên quan. Các phương pháp giải và biện luận hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp được luyện tập một cách đều đặn, bài bản và hệ thống sẽ rất hữu ích, không chỉ trong bộ môn Toán mà còn phục vụ đắc lực cho các môn khoa học tự nhiên khác như hóa học, vật lý, sinh học,....Đối với chương trình Đại số lớp 9 THCS hiện hành, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một nội dung cơ bản – quan trọng, giữ vai trò chính yếu trong Đề thi kiểm tra chất lượng học kỳ, Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT hệ đại trà và hệ THPT Chuyên. Thậm chí đây cũng là kiến thức phổ biến xuất hiện trong các kỳ thi kiểm tra kiến thức thường niên, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán các cấp trên toàn quốc, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT và trong kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm, một kỳ thi đầy cam go, kịch tính và bất ngờ, nó lại là một câu rất được quan tâm của các bạn học sinh, phụ huynh, các thầy cô, giới chuyên môn và đông đảo bạn đọc yêu Toán.

Yêu cầu của dạng toán khá đa dạng, đa chiều, mục tiêu tìm các ẩn thỏa mãn một tính chất nào đó nên để thao tác dạng toán này, các bạn học sinh cần liên kết, phối hợp, tổng hợp các kiến thức được học về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, như vậy nó đòi hỏi năng lực tư duy của thí sinh rất cao. Tuy nhiên "Trăm hay không hay bằng tay quen", các phương pháp cơ bản đã được được các thế hệ đi trước đúc kết và tận tụy cho thế hệ tương lai, các bạn hoàn toàn đủ khả năng kế thừa, phát huy và sáng tạo không ngừng, chuẩn bị đủ hành trang nắm bắt khoa học kỹ thuật, đưa đất nước ngày càng vững bền, phồn vinh, và hiển nhiên những bài toán trong các kỳ thi nhất định không thể là rào cản, mà là cơ hội thử sức, cơ hội khẳng định kiến thức, minh chứng sáng ngời cho tinh thần học tập, tinh thần ái quốc !

Trong phạm vi hệ phương trình hai ẩn bậc nhất hai ẩn, tài liệu này tập trung trình bày một lớp các bài toán giải và biện luận hệ phương trình với tham số (thường dùng là a, m, k, b, …), kết hợp các phương pháp thường dùng bao gồm phương pháp thay thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp hình học, phương pháp định thức.

Nói chung, bài toán giải và biện luận hệ phương trình ngoài các vấn đề căn bản như vô nghiệm, có nghiệm, có vô số nghiệm, có nghiệm duy nhất, nó thường kèm theo rất nhiều vấn đề liên quan, vì bản thân hệ là hai phương trình bậc nhất hai ẩn, với mỗi phương trình biễu diễn một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Bài toán giải và biện luận hệ phương trình vì thế có thể lồng ghép với bài toán hàm số bậc nhất, bậc hai, mặt phẳng tọa độ, với muôn vàn các kiến thức, kỹ năng khác đối với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (còn gọi là hình học giải tích trong chương trình Hình học lớp 10 THPT).

I.I.KIKIẾẾNN TTHHỨỨCC CCHHUUẨẨNN BBỊỊ

1. Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức.

2. Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

3. Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao.

4. Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương).

5. Kiến thức nền tảng về mặt phẳng tọa độ, hàm số bậc nhất, đường thẳng.

6. Kiến thức nền tảng về hệ số góc của đường thẳng, công thức độ dài, hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức lượng giác, đường tròn, hàm số bậc hai parabol, phương trình nghiệm nguyên.

7. Kiến thức nền tảng về uớc lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị.

(4)

IIII..MỘMỘTT SSỐỐ BBÀÀII TTẬẬPP ĐĐIIỂỂNN HÌHÌNNHH..

Bài toán 1. Cho hệ phương trình ² ^{3 ,}

2 .

x y m

 



 



(I); với m là tham số thực.

1. Giải phương trình (I) với m2. 2. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.

3. Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn a) xy7m1.

b) 2x5y5. c) x³4y³5m.

d) Biểu thức ^P^^x²^



^y^¹



²đạt giá trị nhỏ nhất.

e) Điểm M (x;y) thuộc đường cong

 

^C ^:^y^^x³^³^x^.

f) Điểm M (x;y) nằm phía trong hình tròn tâm O, bán kính R1. g) Biểu thức

 

2 2 7 23 2 10

m x

S y m

 

   đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất (nếu có).

4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hệ luôn có có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) luôn thuộc một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó.

5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình vuông (V) có tâm O, hai đường chéo của (V) nằm trên hai trục tọa độ và (V) có diện tích bằng 2. Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho điểm M (x;y) nằm phía trong (tính cả biên) của hình vuông (V).

6. Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



sao cho tỷ số ³

2 1

x y



 là một số nguyên.

Bài toán 2. Cho hệ phương trình ²

3 2 5

x y m x y

 



 



(I); m là tham số thực.

1. Giải hệ phương trình (I) khi m 2. 2. Giải hệ phương trình (I) với 2

3 mx . 3. Giải và biện luận hệ (I) theo m.

4. Tìm giá trị của m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng x5y13.

b) ⁷



^x^³^y



^⁴^m^⁵^.

c) x³2y 1. d) xm y; 7m2;

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong parabol (P):

2

2 y x .

f) Điểm M (x;y) nằm hoàn toàn phía bên trái đường thẳng x 3.

g) Điểm M (x;y) nằm trong góc phần tư thứ III của mặt phẳng tọa độ (không tính biên).

5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hệ luôn có có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) luôn thuộc một đường thẳng cố định.



^{x y}^;



sao cho tỷ số ^x

ylà một số nguyên.

(5)

---

Bài toán 3. Cho hệ phương trình ² ^3,

3 2 6.

x y m

  



  



1. Giải hệ phương trình (I) với m5.

2. Giải và biện luận hệ phương trình (I) theo m.

3. Tìm giá trị của tham số m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức a) x y3.

b) x y1. c) x4ym9. d) x0;y0.

e) Điểm M (x; y) nằm trên đường thẳng

 

^d ^{: 3}^x^⁴^y^⁷^.

f) Biểu thức ²

 

2

2 2 3 3

1

m x y

S m

   

  đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất (nếu có).

g) Điểm M (x; y) và điểm N (0;2) nằm trong cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng :xy1. 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hệ (I) luôn có có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y)

luôn thuộc một đường thẳng cố định.



^{x y}^;



6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình vuông (V) có tâm O, hai đường chéo của (V) nằm trên hai trục tọa độ và (V) có diện tích bằng 2. Tồn tại hay không giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho điểm M (x;y) nằm phía trong (tính cả biên) hình vuông (V) ?

Bài toán 4. Cho hệ phương trình ^,

2 3 5 7.

x y m

 



  



1. Giải hệ phương trình (I) khi m5.

2. Chứng minh rằng hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất (x;y) với mọi m.

3. Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức a) x và y trái dấu.

b) 2xy8m1.

c) Điểm M (x;y) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

d) Điểm M (x;y) nằm hoàn toàn bên phải đường thẳng x4. e) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng 3x2y1.

f) Biểu thức P25x²25y²1nhận giá trị nhỏ nhất.

g) Điểm M (x;y) nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R 17 . h) Biểu thức

2

2 7

S m

m x y

    đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất (nếu có).

4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hệ (I) luôn có có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) luôn thuộc một đường thẳng cố định.



^{x y}^;



6. Giả sử y₀là số thực lớn nhất thỏa mãn đẳng thức t²tyy² 4 3t4y. Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm



x y; 0



.

(6)

Bài toán 5. Cho hệ phương trình ^4,

2 3 4 2.

x y m

  



  



1. Giải hệ phương trình (I) khi m2.

2. Chứng minh rằng hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất (x;y) với mọi m.

3. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn a) x4y5.

b) x²y² 233.

c) Biểu thức S m²2xy5nhận giá trị nhỏ nhất.

d)



^x^¹



^y^¹



^⁰^.

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ III.

f) 6xy2m 7 0.

g) Điểm M (x;y) là tâm đối xứng của hai điểm (1;4) và (25;– 20).

4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hệ (I) luôn có có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) luôn thuộc một đường thẳng (d) cố định. Viết phương trình đường thẳng (d) đó.

5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình thoi (T) có tâm O, hai đường chéo của (T) nằm trên hai trục tọa độ, độ dài hai đường chéo là 16 và 14. Tồn tại hay không giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho điểm M (x;y) nằm phía trong (tính cả biên) hình thoi (T) ?

2 7 5 2.

x y m

  



  



1. Giải hệ (I) với m4.

2. Chứng minh rằng hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất (x;y) với mọi giá trị của m.

3. Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn a) xy19.

b) 2x3y7m10. c) x 1

y  .

d) 1

9

xmy .

e) Điểm M (x;y) nằm trên parabol y9x².

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ III.

g) Điểm M (x;y) nằm phía bên trái đường thẳng ² x 9 . h) Biểu thức Px²2xy3y²nhận giá trị nhỏ nhất.

4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hệ (I) luôn có có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) luôn thuộc một đường thẳng (d) cố định. Viết phương trình đường thẳng (d) đó.

5. Giả sử y₀là số thực lớn nhất thỏa mãn đẳng thức ^k²^²



^y^¹



^k^³^y²^{ }¹ ⁰. Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm



x y; 0



.

Bài toán 7. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2011 – 2012.

Cho hệ phương trình ² ^18, 6.

mx y x y

 



  



1. Giải hệ (I) khi m4.

2. Tìm m để hệ (I) có nghiệm (x;y) trong đó x2.

(7)

---

3. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn a) 2xy9.

b) 6 ² ⁹

2 x y m

m

  

 . c) x3;y1.

d) Điểm M (x;y) nằm phía trên trục hoành.

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường parabol

 

^P ^:^y^⁵^x²^.

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong

 

^C ^:^y^^x³^²^x^⁸^.

g) Biểu thức S x⁴2x²xy11đạt giá trị nhỏ nhất.

h) Điểm M (x;y) nằm giữa hai điểm A và B với A (1;2), B (2;3).

4. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x và y đều là các số nguyên.

5. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho điểm M (x;y) nằm trong lòng parabol

 

^Q ^:^y^^x²^.

Bài toán 8. Cho hệ phương trình

2 2 0,

4.

a x y x y

  

  



(I); với a là tham số thực.

1. Giải hệ phương trình (I) với a2. 2. Giải và biện luận hệ (I) theo tham số a.

3. Tìm giá trị của a để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn a) x 4;y4a.

b) 2x7y10.

c) ₂⁴

2 x y a

a

  

 .

d) Biểu thức T x²y11x12đạt giá trị nhỏ nhất.

e) Biểu thức S x⁴500x2015đạt giá trị nhỏ nhất.

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ III trong mặt phẳng tọa độ.

g) Điểm M (x;y) nằm trên parabol

 

^P ^:^y^³^x²^.

h) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong

 

^H ^:^y ⁵

 x.

4. Chứng minh rằng không tồn tại giá trị m để hệ (I) có nghiệm (x;y) duy nhất thỏa mãn đẳng thức

3 2

2 1 2

x y y  y  .

Bài toán 9. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2004 – 2005.

Cho hệ phương trình ² ³ ³ 2

x y a

  



 



(a là tham số thực).

1. Giải hệ phương trình trên với ⁴ a3.

2. Giải và biện luận hệ đã cho theo m. Khi đó chứng minh rằng với mọi giá trị của a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó điểm M (x;y) thuộc một đường thẳng cố định.

3. Tìm a sao cho hệ có nghiệm (x;y) trong đóy1; 4. Tìm giá trị a để hệ có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



^{thỏa mãn}

a) 4x7y12. b) x²y² 17. c) x3x y2y0.

(8)

d) x²y5a1.

e) Tích xy đạt giá trị lớn nhất.

f) Điểm M (x;y) nằm bên trái đường thẳng x5và bên phải đường thẳng x4. g) Điểm M (x;y) thuộc đường tròn tâm O, bán kính R 29.

h) Điểm M (x;y) cách đều hai trục tọa độ.

i) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong

 

^H ^:^y^{ }³ ^x⁵^.

j) Điểm M (x;y) và điểm N (3;5) cách đều đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

Bài toán 10. Cho hệ phương trình ³ ^{1 3}

2 4 1

y x m

x y m

  



  



1. Giải hệ (I) khi m thỏa mãn m³8.

2. Chứng minh rằng hệ (I) có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



với mọi giá trị của m. Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m.

3. Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có nghiệm



^{x y}^;



sao cho x thỏa mãn 2x3m x5m². 4. Xác định giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



^{sao cho}

a) ¹

xy10. b) 3x2y3.

c) ¹ ¹ ¹⁰

3 x y  . d) xy2m1.

e) x và y là nghiệm của phương trình ¹⁰⁰^k²^^{20 2}



^m^¹



^k^



^{7 9}^ ^m



⁷^m^¹



^⁰^.

f) Điểm M (x;y) nằm trên parabol y10x². g) Điểm M (x;y) cách đều hai trục tọa độ.

h) Biểu thức Px⁴x²5x9y2đạt giá trị nhỏ nhất.

i) Điểm M (x;y) và điểm N (1;2) cùng nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ Oxy với bờ là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Bài toán 11. Cho hệ phương trình ⁴ ^5,

2 8.

x y kx y k

 



  



(I); với k là tham số thực.

1. Giải hệ (I) với k 4.

2. Tìm k để hệ (I) có nghiệm (x;y) trong đó x 4.

3. Tìm k để hệ (I) có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức 5x2y8. 4. Giải và biện luận hệ đã cho theo tham số k.

5. Tìm k để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn

a) 3 7 1 ⁶

2 1

x y k

k

   

 . b) ¹ ² 6

x y . c) xy1.

d) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng d x: y3. e) Biểu thức Px²y²đạt giá trị nhỏ nhất.

f) Biểu thứcSx⁴5x²11x4y13 đạt giá trị nhỏ nhất.

6. Tìm giá trị nguyên của k để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x và y đều là các số nguyên.

(9)

---

7. Tồn tại hay không giá trị của k để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó điểm M (x;y) nằm trong hình tròn (tính cả biên) tâm O, bán kính bằng 1 ?

Bài toán 12. Cho hệ phương trình ⁴ ²⁰ 10 mx y x my

 



 



1. Giải hệ phương trình với m3.

2. Xác định giá trị của m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Chứng minh rằng khi m 2, hệ (I) luôn có có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) luôn thuộc một đường thẳng cố định.

4. Tìm giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x và y đều là các số nguyên.

5. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn

a) 2

2 x y m

 m

 . b) xy3. c) x³my20. d) ¹ ³ 12

x y  .

e) Điểm M (x;y) nằm trên parabol

 

^P ^:^y^^x²^.

 

^H ^:^y ²

 x. g) Biểu thức K y²3x5đạt giá trị lớn nhất.

h) Biểu thức S 2x⁴x²12y9đạt giá trị nhỏ nhất.

i) Điểm M (x;y) nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R 5. j) Điểm M (x;y) là tâm đối xứng của hai điểm P (3;4), Q (5;0).

Bài toán 13. Mở rộng và phát triển bài 2; Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức;

Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình; Năm học 2006 – 2007.

Cho hệ phương trình ^mx ^y ¹

x y m

  



  



(m là tham số thực).

2. Xác định giá trị của m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Giải và biện luận hệ (I) theo tham số m.

4. Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) y²x.

b) x⁴ y⁴x²y². c) 3x2yxy19.

d) Biểu thứcPx²y²3m2 nhận giá trị nhỏ nhất.

e) Điểm M (x;y) nằm trên parabol

 

^P ^:^y^⁴^x²^.

f) Điểm M (x;y) là tâm đối xứng của hai điểm A (1;2), B (1;5).

g) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng tọa độ.

h) Điểm M (x;y) nằm phía ngoài đường tròn tâm O, bán kính R2.

5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình vuông (V) có tâm O, hai đường chéo của (V) nằm trên hai trục tọa độ và (V) có diện tích bằng 8. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) nằm phía trong (tính cả biên) hình vuông (V).

(10)

Bài toán 14. Cho hệ phương trình ^, 1.

x y m

x my

  



  



1. Giải hệ phương trình đã cho khi m 2. 2. Giải và biện luận hệ đã cho theo tham số m.

3. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn a) x²y³5.

b) x²6y²  9 2m.

c) ¹ ¹ 3

2 2

x  y 

  .

d) x3 y4 5.

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng x7y11. f) Biểu thức S 4x²3y²2xy đạt giá trị nhỏ nhất.

g) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong

 

^: ⁵

H y 3

 x

 .

h) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ.

i) Điểm M (x;y) nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R 5.

Cho hệ phương trình



¹



^2,

1.

m x y

mx y m

  



   



1. Giải hệ phương trình đã cho với m2. 2. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.

3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2xy3. 4. Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện

a) ¹ 1

y2m . b) x²y9m13. c) x2y1.

d) ¹ ¹ m² m 2 xy    .

e) Điểm M (x;y) nằm trên tia Oy.

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng d x: y 4. g) Điểm M (x;y) nằm trên parabol

 

^P ^:^y^^x²^.

5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất (x;y), đồng thời tồn tại một hệ thức liên hệ giữa hai biến x và y độc lập với m.

Bài toán 16. Cho hệ phương trình ⁴ ¹⁰ 4

mx y m

x my

  



 



(I); m là tham số thực).

1. Giải hệ phương trình với m 2. 2. Giải và biện luận hệ (I) theo tham số m.

3. Tồn tại hay không giá trị m để hệ (I) có nghiệm



^{x y}^;

 

^ ^2;3



^?

4. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x thỏa mãn 2x 1 x 2.

(11)

---

5. Tìm giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



^{sao cho} ^{x y}^, đều là các số nguyên dương.

6. Tìm giá trị của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



^{thỏa mãn}

a) 5 ⁹ ⁶

2 x y m

m

  

 . b) 2xy4. c) ¹ ¹ 4

x y . d) x2;y3.

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai trong mặt phẳng tọa độ.

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng x2y6. g) Điểm M (x;y) nằm trên parabol

 

^P ^:^y^³^x²^.

h) Điểm M (x;y) và điểm N (1;2) nằm cùng phía so với đường thẳng :yx.

7. Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y), chứng minh rằng điểm M (x;y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Bài toán 17. Cho hệ phương trình ³₂ 2 x my m mx y m

 



   



2. Chứng minh rằng hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của tham số m.



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) xy6.

b) x²2xy. c) yx 3.

d) Độ dài đoạn thẳng OM bằng 5 với O là gốc tọa độ.

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường parabol ¹ ² y2x .

f) Điểm M (x;y) nằm trên tiếp tuyến đi qua điểm (1;1) của parabol

 

^P ^:^y^^x²^.

g) Điểm M (x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ.

h) Điểm M (x;y) nằm trên biên hình vuông biểu diễn bởi phương trình x  y 4.

4. Xác định giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x và y tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 8.

Bài toán 18. Cho hệ phương trình ¹

3 2 3

x my

mx my m

 



  



2. Giải và biện luận hệ đã cho theo tham số m.

3. Với giá trị nguyên nào của m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất ?

4. Xác định giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) y ¹₂

m . b) xy3. c) x 7y ⁸

 m.

(12)

d) ¹ ¹ 3 1 x y 

 .

e) Điểm M (x;y) nằm trên parabol y2x².

 

^C ^:^y^^x³^³^x^⁵^.

g) Điểm M (x;y) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Bài toán 19. Cho hệ phương trình ³

2 1

mx y x my m

 



  



2. Chứng minh rằng trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y), điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ.

4. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



^{sao cho}

a) 2x9 x 7 0.

b) 2 ⁷

x y 1

 m

 . c) xy4. d) x 3 y.

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng 2x3y5. f) Điểm M (x;y) nằm trên parabol yx².

g) Khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục hoành gấp ba lần khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục tung.

h) Điểm M (x;y) có hoành độ thỏa mãn đẳng thức ⁶^x²^³^z²^²^z^{ }¹ ⁴^x



²^z^¹



^.

i) Điểm M (x;y) nằm trên tiếp tuyến đi qua điểm (1;1) của parbol yx². Bài toán 20. Cho hệ phương trình

 

3

4 1

my x

mx y m

  



  



1. Giải hệ phương trình với m4;

2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm.



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) x0,y0.

b) 2 5 ⁹

x y 2

 m

 .

c) 2 ⁶

2 x y m

m

  

 . d) x 5 y . e) x3;y5.

f) x và y là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t: t²3mtxy0.

g) Khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục hoành gấp bốn lần khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục tung.

h) Điểm M (x;y) nằm trên parabol yx².

i) Điểm M (x;y) nằm trên tiếp tuyến đi qua điểm (1;1) của parbol yx².

4. Trong trường hợp hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x;y), tìm quỹ tích (tập hợp điểm trong hình học) các điểm M (x;y).

(13)

---

Cho hệ phương trình ² 1 mx y m x my m

 



  



1. Giải hệ phương trình với m2;

2. Giải và biện luận hệ đã cho theo tham số m.

3. Trong trường hợp hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



, chứng tỏ rằng điểm M có tọa độ (x;y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Viết phương trình đường thẳng đó.



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) x3;y2.

b) xy2.

c)

 

2

4 1 x y

m

 

 .

d) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng d: 2xy 3 0. e) Điểm M (x;y) nằm trên parabol ¹ ²

y4x .

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong yx³3x1. g) Biểu thức Px²y²nhận giá trị nhỏ nhất.

h) Biểu thức S 2x⁴15x²4y37đạt giá trị nhỏ nhất.

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình vuông (V) có tâm O, hai đường chéo của (V) nằm trên hai trục tọa độ và (V) có diện tích bằng 8. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) nằm trên một trong bốn biên của hình vuông (V).

Bài toán 22. Cho hệ phương trình ¹

4 2

mx y m x my

  



 



2. Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.

3. Xác định giá trị nguyên của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x và y đều là các số nguyên.

4. Tìm giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) x3y4.

b) ¹ ¹ 3 x y .

c) ⁰

0 xy x y

 

  

 d)

2 10

4 3

2 x y m

m

  

 .

e) x và y là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t: t²5txy0. f) xy3.

5. Tính giá trị của biểu thức Px²y2m với



^{x y}^;



là nghiệm duy nhất của hệ thỏa mãn xy0. 6. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x và y đều là các số

nguyên.

(14)

Bài toán 23. Cho hệ phương trình ^mx ^y ^m₂ x my m

 



  



1. Giải hệ phương trình (I) khi m 4.

2. Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.

3. Tìm m để hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

4. Xác định giá trị của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất



^{x y}^;



trong đó x thỏa mãn điều kiện 2x3 x 1 4 x312.



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) x2;y2.

b) xy² 9.

c) ¹ ¹ 5

1 x  y 

 .

d)



^x^¹



^m^²^y^ ³^.

e) Biểu thức S  x²2y²3m4nhận giá trị nhỏ nhất.

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R1.

g) Điểm M (x;y) là tâm đối xứng của hai điểm O và N trong đó^N



^{0; 6}



và O là gốc tọa độ.

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình vuông (V) có tâm O, hai đường chéo của (V) nằm trên hai trục tọa độ và (V) có diện tích bằng 8. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) có thể nằm bên trong hoặc biên của hình vuông (V).

   

2 1

1 1 1

mx y

m x m y

 



    



1. Giải hệ phương trình đã cho khi m 4.

2. Xác định giá trị của m để hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) xy0.

b) x2y0. c) xy3.

d) 2 ₂ ⁸

3 2

x y

m m

 

  . e) x⁴3x²4.

f) Điểm M (x;y) cách đều hai trục tọa độ.

g) Khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục hoành gấp năm lần khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục tung.

h) Biểu thức ₂

3 2

S x y m

m m

  

  nhận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có).

 

3 0,

2 4 1.

x m y

m x y m

  



    



1. Giải hệ phương trình (I) khi m3. 2. Giải và biện luận hệ (I) theo tham số m.

3. Chứng minh rằng khi hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y), điểm M (x;y) luôn nằm trên một đường thẳng (d) cố định. Tìm phương trình đường thẳng (d).

4. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn từng điều kiện

(15)

---

a) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng x2y5.

b) ⁵

x y 2

 m

 . c) ¹ ¹ ⁷

2 x y .

d) ⁵

xmy3.

e) Điểm M (x;y) cách đều hai trục tọa độ.

f) Khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục hoành gấp bảy lần khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục tung.

g) Điểm M (x;y) nằm về phía trên trục hoành.

h) x và y là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t : t²6txy0. i) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong yx⁵15x1.

5. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho M (x;y) cách đều hai điểm ^P



^{2;5 ,}



^Q



^{1; 4}^



^.

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình vuông (V) có tâm O, hai đường chéo của (V) nằm trên hai trục tọa độ và (V) có diện tích S. Tìm điều kiện của S để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) có thể nằm bên trong hoặc biên của hình vuông (V).

Bài toán 26. Cho hệ phương trình ^0, 1.

x my mx y m

 



  



1. Giải hệ phương trình (I) khi m3. 2. Giải và biện luận hệ (I) theo m.

3. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm (x;y) trong đó x và y đều là các số nguyên.

4. Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện a) x0;y0.

b) x2;y1. c) x2y5. d) ¹ ² ⁵

2 x y .

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng 2x3y6. f) Điểm M (x;y) nằm bên trái đường thẳng x4. g) Điểm M (x;y) nằm trên parabol

 

^P ^:^y^^x²^.

i) Điểm M (x;y) cách đều hai đường thẳng y3x2;y3x4.

j) Điểm M (x;y) là trung điểm của đoạn thẳng PQ với ^P



^{2; 4 ,}



^Q



^{ }^{2; 6}



^.

k) Điểm M (x;y) và điểm (0;– 2) nằm trong một nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng xy1. 5. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x và y đều là các số nguyên.

3 5.

mx y x my

 



 



2. Giải và biện luận hệ (I) theo m.

3. Chứng minh rằng hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x;y) với mọi giá trị m.

4. Tìm giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn a) x  y .

(16)

b) 2 ⁵ x y4. c) xy1. d)

2

2 1

3 x y m

 m 

 .

e) ⁷₄ ¹

3 x y m

m

  

 .

f) Điểm M (x;y) thuộc một trong các đường phân giác của các góc phần tư của hệ trục tọa độ.

g) Điểm M (x;y) thuộc cung phần tư thứ nhất (không tính biên) của hệ trục tọa độ.

h) Khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục hoành gấp sáu lần khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục tung.

5. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x và y đều là các số nguyên dương.

Bài toán 28. Cho hệ phương trình ¹ 2 mx y m x my

  



 



1. Giải hệ (I) trong trường hợp m 6. 2. Giải và biện luận hệ (I) theo tham số m.



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) 3x5y2.

b) x²y² 1. c) xy5. d) ¹ ³ ²⁰

3 x y .

e) x y 2³m²7m27.

f) Điểm M (x;y) nằm phía trên trục hoành.

g) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng 2x5y 6.

h) Điểm M (x;y) nằm trên tiếp tuyến đi qua điểm (2;4) của parabol yx².

i) Điểm M (x;y) nằm phía trong hình tròn (không tính biên) tâm O, bán kính R2. j) Độ dài đoạn thẳng OM ngắn nhất, với M (x;y) và O là gốc tọa độ.

4. Xác định giá trị nguyên của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó x và y đều là các số nguyên âm.

2 x my m mx y m

 



  



3. Khi hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y), chứng minh rằng điểm M (x;y) luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định, tìm phương trình đường thẳng đó.



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện a) 3yx7.

b) ³

4 y m.

c) ¹

xy3.

(17)

---

d) Điểm M (x;y) nằm bên trái đường thẳng x2.

e) x 3

y   m.

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ.

g) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong

 

^C ^:^y^^x³^²^.

5. Xác định giá trị nguyên của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) sao cho x, y đều là số nguyên dương.

 

2 1,

2 1 7 3.

mx y m

m x y m

  



    



3. Khi hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y), hãy tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.



^{x y}^;



thỏa mãn điều kiện

a) 5 ⁹

5 1

x y

  m

 . b) x 3 y.

c) ¹³; ³

5 5

x y .

d) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng xy3. e) Điểm M (x;y) nằm bên trái đường thẳng x2. f) Điểm M (x;y) cách đều hai trục tọa độ.

g) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ II của mặt phẳng tọa độ.

5. Xác định giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm (x;y) mà x và y đều là các số nguyên dương.

6. Giả sử x₀là nghiệm x lớn nhất của phương trình hai ẩn ^t²^²



^x^²



^t^⁵^x²^{ }⁴ ⁰.Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm



x y0;



.

3 3.

mx y

mx my m

 



   



1. Giải hệ (I) khi m 5.

3. Tìm giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm (x;y) mà x và y đều là các số nguyên.

4. Tìm giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện a) x y ^m ⁷

m

   . b) x2y9.

c) ²

xy 3.

d) Điểm M (x;y) nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R1. e) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng

 

^d ^:^y^⁵^x^²^.

f) Điểm M (x;y) nằm trên parabol y9x².

g) Điểm M (x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất (không tính biên).

h) Biểu thức S x² x 2xy3y²đạt giá trị nhỏ nhất.

5. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm (x;y) mà x và y đều là số nguyên.

(18)

3 3 3.

x my

mx my m

 



  



1. Giải hệ (I) khi m2.

3. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện a) x5y18.

b) y8x². c) x³y³28. d) x² ¹₂ 17

 y  . e) 2 xy 3.

f) Điểm M (x;y) nằm trong góc phần tư thứ IV.

g) Điểm M (x;y) và điểm N (0;– 3) nằm cùng phía (cùng nằm trong một nửa mặt phẳng, không tính biên) so với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

h) Biểu thức S ¹₂ ¹₂ ¹

x y y

   nhận giá trị nhỏ nhất.

i) Khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục hoành gấp rưỡi khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục tung.

4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) mà x và y đều là các số nguyên.

Bài toán 33. Cho hệ phương trình ² ^1,

2 4.

x y x my

 



 



3. Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện a) 2x3y3.

b) 3xy1.

c) 6 ⁵

x y 4

 m

 . d) ¹ ¹ ⁶⁵

22 x y . e)

2 6

4 x y m

m

  

 .

f) Khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục hoành gấp rưỡi khoảng cách từ điểm M (x;y) đến trục tung.

g) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ II.

h) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong

 

1 3

: 2

C y x

 .

4. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn tích xy là một số nguyên.

5. Biện luận theo tham số m giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^T ^



^x^²^y^¹



²^



²^{x my}^ ^⁴



²^.

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình vuông (V) có tâm O, hai đường chéo của (V) nằm trên hai trục tọa độ và (V) có diện tích S. Tìm điều kiện của S để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) mà điểm M (x;y) có thể nằm bên trong hoặc biên của hình vuông (V).

(19)

---

Bài toán 34. Cho hệ phương trình ^{2 ,} 1.

mx y m x my m

 



  



3. Chứng minh rằng khi hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y), điểm M (x;y) luôn nằm trên một đường thẳng (d) cố định. Tìm phương trình đường thẳng (d) đó.

4. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện a)

2 8 1

1

m m

x y

m

 

 

 .

b) 7 ¹

x y 1

 m

 . c) 7x y.

d) x3x y2y0.

e) ⁵; ²

3 3

x y .

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng d với d đi qua điểm (4;5) và có hệ số góc ² k3. g) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ III.

h) Điểm M (x;y) nằm trên đường tiếp tuyến đi qua điểm (1;– 3) của parabol yx². i) Điểm M (x;y) nằm trên đường cong

 

^C ^:^y^^x⁷^¹^.

j) Điểm M (x;y) và điểm N (1;3) cách đều đường phân giác góc phần tư thứ II.

k) Điểm M (x;y) nằm phía trong (không tính biên) của hình tròn tâm O, bán kính bằng 1.

 

2 1,

1 2.

mx m y

m x my

   



   



2. Giải và biện luận hệ (I) theo m.

3. Trong trường hợp hệ có nghiệm (x;y), tìm mối liên hệ giữa x và y độc lập với m.

4. Tìm tất cả các giá trị của m của hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho

a) 6 ⁹ ⁸

3 2

x y m m

  

 .

b) ¹

xy2. c) x2;y 1. d) 3 2

3 2

x y m

  m

 .

e) Điểm M (x;y) nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ III.

f) Điểm M (x;y) nằm trên đường thẳng d đi qua điểm (1;5) và có hệ số góc k 4. g) Điểm M (x;y) thuộc đường tiếp tuyến đi qua điểm (2;3) của parabol yx².

h) Điểm M (x;y) cùng với điểm ^N



^{1; 3 1}^



tạo thành một đường thẳng (MN) hợp với tia Ox một góc lượng giác  60^.

i) Điểm M (x;y) cách đều hai trục tọa độ.

5. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m của hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x và y đều là các số nguyên dương.

(20)

Bài toán 36. Cho hệ phương trình ³