Câu 1 (4 điểm). Giải phương trình sau trên tập số thực
4 x 1 2 2x 3 (x 1)(x 22).
Câu 2 (4 điểm)
Cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC và cắt các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt tại các điểm D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Kẻ các đường thẳng đi qua I song song với BC, CA, AB lần lượt cắt các đường thẳng EF, DF, DE tại các điểm K, L, M.
a) Chứng minh rằng AK tiếp xúc với và K, L, M thẳng hàng.
b) Gọi X là giao điểm của AI và EF, Y là giao điểm của BI và DF, Z là giao điểm của CI và DE. Lấy điểm P bất kỳ trên đường thẳng BC (P khác B, C và P không thuộc AI).
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác PDX, PEY, PFZ cùng đi qua điểm Q (Q P).
Câu 3 (4 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn
ab
bc c
a
0. Chứng minh rằng
2 2 2
a b c 4abc a b c 1
a b b c c a a b b c c a a b b cc a 4
.Câu 4 (4 điểm)
Cho một bảng ô vuông kích thước 10 cm x 10 cm được chia đều thành 100 ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh dài 1 cm. Ban đầu người ta tô màu đen cho k ô vuông nào đó trên bảng. Sau đó, nếu ô vuông nào chưa bị tô đen mà nằm cạnh (có cạnh chung) với ít nhất hai ô vuông đã tô đen thì lập tức ô này cũng bị tô đen. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của k để tới lúc nào đó tất cả các ô trên bảng đều bị tô đen.
Câu 5 (4 điểm). Tìm tất cả các cặp số (p;n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn p3
2p2
p 1 3n.---HẾT---
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ...Số báo danh: ...
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII BẮC GIANG 2016
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN – LỚP 10 Ngày thi: 31 tháng 7 năm 2016
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC