SBT Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Bài 10 trang 51 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Đặt dấu “<; >; ≥; ≤” vào ô vuông cho thích hợp:

a) (– 2).3 (– 2).5;

b) 4.(– 2) (– 7).(– 2) ; c) (– 6)² + 2 36 + 2 ; d) 5.(– 8) 135.(– 8).

Lời giải:

a) Vì 3 < 5 mà –2 < 0 nên (–2) . 3 > (–2). 5 (–2). 3 > (–2).5

Ta có thể dùng dấu ≥

b) Vì 4 > – 7 và – 2 < 0 nên 4.(–2) < ( –7).(–2) 4.(–2) < (–7).(–2)

Ta có thể dùng dấu ≤

c) Vì (– 6)² = 36 nên (–6)² + 2 = 36 + 2.

(–6)² + 2 ≥ 36 + 2 Ta có thể dùng dấu ≤

d) Vì 5 < 135 và – 8 < 0 nên 5.(–8) > 135.(–8) 5.(–8) > 135.(–8)

Ta có thể dùng dấu ≥.

Bài 11 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho m < n, hãy so sánh:

a) 5m và 5n ; b) –3m và –3n.

Lời giải:

a) Ta có: m < n và 5 > 0 nên 5m < 5n.

b) Ta có: m < n và – 3 < 0 nên –3m > –3n.

Bài 12 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Số b là số âm, số 0 hay số dương nếu:

a) 5b > 3b;

b) –12b > 8b;

c) –6b ≥ 9b;

d) 3b ≤ 15b.

Lời giải:

a) Vì 5 > 3 mà 5b > 3b nên b là số dương.

b) Vì –12 < 8 mà –12b > 8b nên b là số âm.

c) Vì –6 < 9 mà –6b ≥ 9b nên b là số không dương (tức là b âm hoặc b = 0).

d) Vì 3 < 5 mà 3b ≤ 5b nên b là số không âm (tức là b dương hoặc b = 0).

Bài 13 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a < b, hãy đặt dấu “<, >” vào ô vuông cho thích hợp:

a) a b 2 2.

b) a b

3 3

− − . Lời giải:

a)Vì a < b và 1

20 nên 1 1 a b

a. b.

2 2  2 2. Vậy điền vào chỗ trống dấu <.

b) Ta có a < b và 1 3 0

− nên 1 1 a b

a. b.

3 3 3  3

− − − − . Vậy điền vào chỗ trống dấu >.

Bài 14 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho m > n, chứng tỏ:

a) m + 3 > n + 1;

b) 3m + 2 > 3n.

Lời giải:

a) Ta có: m > n ⇒ m + 3 > n + 3 (1)

Mà 1 < 3 ⇒ n + 1 < n + 3 hay n + 3 > n + 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m + 3 > n + 1 (điều phải chứng minh).

b) Ta có: m > n và 3 > 0 ⇒ 3m > 3n (3) Mà 2 > 0 ⇒ 3m + 2 > 3m + 0 = 3m (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 3m + 2 > 3n (điều phải chứng minh).

Bài 15 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ:

a) 2m + 1 < 2n + 1 ; b) 4(m – 2) < 4(n – 2);

c) 3 – 6m > 3 – 6n.

Lời giải:

a) Ta có: m < n và 2 > 0⇒ 2m < 2n

Suy ra: 2m + 1 < 2n + 1 (điều phải chứng minh).

b) Ta có: m < n ⇒ m – 2 < n – 2

Mà 4 > 0 nên: 4(m – 2) < 4(n – 2) (điều phải chứng minh).

c) Ta có: m < n và – 6 < 0

⇒ – 6m > – 6n

Suy ra: 3 – 6m > 3 – 6n (điều phải chứng minh).

Bài 16 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ:

a) 4m + 1 < 4n + 5;

b) 3 – 5m > 1 – 5n.

Lời giải:

a) Ta có: m < n và 4 > 0⇒ 4m < 4n

⇒ 4m + 1 < 4n + 1 (1)

Mà 1 < 5 ⇒ 4n + 1 < 4n + 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 4m + 1 < 4n + 5 (điều phải chứng minh).

b) Ta có: m < n và – 5 < 0 ⇒ –5m > –5n ⇒ 1 – 5m > 1 – 5n (3)

Lại có: 3 > 1 ⇒ 3 – 5m > 1 – 5m (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 3 – 5m > 1 – 5n (điều phải chứng minh).

Bài 17 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > 0, b > 0, nếu a < b, hãy chứng tỏ:

a) a² < ab và ab < b² ; b) a² < b² và a³ < b³ .

Lời giải:

a) Với a > 0, b > 0 ta có:

a < b ⇒ a.a < a.b hay a² < ab (1)

và a < b ⇒ a.b < b.b ⇒ ab < b² (2). (điều phải chứng minh) b) Từ (1) và (2) suy ra: a² < b²

Ta có a > 0, b > 0 nên a² > 0; b² > 0.

Vì a < b ⇒ a.a² < b.a² hay a³ < a²b (3) Vì a < b ⇒ a.b² < b. b² hay ab² < b³ (4)

Vì a < b; ab > 0 ⇒ a.ab < b.ab ⇒ a²b < ab² (5) Từ (3), (4) và (5) ⇒ a³ < b³ (điều phải chứng minh).

Bài 18 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > 5, hãy cho biết bất đẳng thức nào xảy ra:

a) a + 5 > 10 ; b) a + 4 > 8;

c) –5 > –a;

d) 3a > 13.

Lời giải:

a) Ta có: a > 5 ⇒ a + 5 > 5 + 5 hay a + 5 > 10.

b) Ta có: a > 5 ⇒ a + 4 > 5 + 4 hay a + 4 > 9 Mà 9 > 8 nên a + 4 > 8.

c) Ta có: a > 5 ; – 1 < 0 ⇒ –a < –5 ⇒ –5 > –a.

d) Ta có: a > 5 và 3 > 0 ⇒ a.3 > 5.3

⇒ 3a > 15

Mà 15 > 13 nên 3a > 13.

Vậy tất cả các bất đẳng thức đều xảy ra.

Bài 19 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu “<; >;

≥; ≤” vào ô vuông cho thích hợp:

a) a² 0 ; b) –a² 0 ; c) a² + 1 0 ; d) –a² – 2 0.

Lời giải:

a) Với mọi a ta có: a²  0.

b) Với mọi a thì a²  0 nên –a²  0.

c) Với mọi a ta có: a²  0 nên a² + 1  1.

Mà 1 > 0, suy ra: a² + 1 > 0

d) Với mọi a ta có: a²  0 nên a² + 2  2.

Mà 2 > 0, suy ra: a² + 2 > 0.

Nhân cả 2 vế với –1 < 0 ta được: – a² – 2 < 0.

Bài 20 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > b và m < n, hãy đặt dấu “<,

>” vào ô vuông cho thích hợp:

a) a(m – n) b(m – n);

b) m(a – b) n(a – b).

Lời giải:

a)Vì m < n nên m – n < 0.

Mà a > b suy ra: a(m – n) < b(m – n).

b) Vì a > b nên a – b > 0 .

Lại có: m < n suy ra: m(a – b) < n(a – b).

Bài 21 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho 2a > 8, chứng tỏ a > 4. Điều ngược lại là gì? Điều đó có đúng không?

Lời giải:

+ Vì 1

2 0 nên nhân cả hai vế của 2a > 8 với 1

2 ta được:

1 1

2a. 8. a 4

2  2  (điều phải chứng minh) + Điều ngược lại là: từ a > 4, có 2a > 8.

Điều này đúng vì: a > 4 và 2 > 0 nên a . 2 > 4 . 2 hay 2a > 8.

Bài 22 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a) Cho bất đẳng thức m > 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức 1

m 0?

b) Cho bất đẳng thức m < 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức 1

m 0? Lời giải:

a) Ta có: m > 0 Suy ra: m² > 0 nên 1₂

m 0.

2

1 1

m. 0 0

m m

    .

Vậy từ bất đẳng thức m > 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 1₂

m thì được bất đẳng thức 1

m 0. b)Ta có: m < 0 . Suy ra: m² > 0 nên 1₂

m 0.

2

1 1

m. 0 0

m m

   

Vậy từ bất đẳng thức m < 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 1₂

m thì được bất đẳng thức 1

m 0.

Bài 23 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > 0, b > 0 và a > b, chứng tỏ

1 1

a b. Lời giải:

Ta có: a > 0, b > 0⇒ a.b > 0.b hay ab > 0 Suy ra: 1

ab 0. Vì a > b và 1

ab 0nên 1 1

a. b.

ab  ab Suy ra 1 1

b  a Hay 1 1

a b . (điều phải chứng minh).

Bài 24 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Điền dấu “<, >” vào ô vuông cho đúng:

a) (0,6)² 0,6;

b) (1,3)² 1,3.

Lời giải:

a) Ta có: 0,6 < 1 và 0,6 > 0 nên : 0,6 . 0,6 < 1. 0, 6 hay (0,6)² < 0,6.

b) Vì 1,3 > 1 và 1,3 > 0 nên 1,3. 1,3 > 1.1,3 hay (1,3)² > 1,3.

Bài 25 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: So sánh m² và m nếu:

a) m lớn hơn 1 ;

b) m dương nhưng nhỏ hơn 1.

Lời giải:

a) Ta có: m > 1 nên m > 0 ⇒ m.m > 1.m hay m² > m.

b) Ta có: m > 0 và m < 1

⇒ m.m < 1.m hay m² < m.

Bài 26 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a < b và c < d, chứng tỏ a + c <

b + d.

Lời giải:

Ta có: a < b ⇒ a + c < b + c (1) Và c < d ⇒ b + c < b + d (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu suy ra: a + c < b + d. (điều phải chứng minh).

Bài 27 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd.

Lời giải:

Với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có:

a < b ⇒ ac < bc (1) Và c < d ⇒ bc < bd (2)

Từ (1) và (2), dùng tính chất bắc cầu suy ra: ac < bd (điều phải chứng minh).

Bài 28 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì:

a) a² + b² – 2ab ≥ 0;

b)

2 2

a b 2 ab

+  .

Lời giải:

a)Với mọi a, b ta có: (a – b)² ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0 ( điều phải chứng minh).

b) Với mọi a, b ta có: (a – b)² ≥ 0 ⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab hay a² + b² ≥ 2ab Vì 1

2 0nên ^{2 2} 1 1

(a b ). 2ab.

2 2

+  hay

2 2

a b 2 ab

+  (điều phải chứng minh).

Bài 29 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a và b là các số dương, chứng tỏ:

a b

b + a 2 . Lời giải:

Với 2 số dương a, b bất kì ta có: (a – b)² ≥ 0 ⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab hay a² + b² ≥ 2ab (*) Vì a > 0, b > 0 ⇒ a.b > 0 ⇒ 1

ab  0. Nhân hai vế của (*) với 1

ab ta có:

2 2

2 2 1 1 a b a b

(a b ). 2ab. 2 2

ab ab ab b a

+   +   +  (điều phải chứng minh).

Bài 30 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a) Với số a bất kì, chứng tỏ: a(a + 2)

< (a + 1)²

b) Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Lời giải:

a) Ta có: 0 < 1 ⇒ a² + 2a + 0 < a² + 2a + 1 Hay a² + 2a < (a + 1)²

⇒ a(a + 2) < (a + 1)² (điều phải chứng minh).

b) Gọi a, a + 1, a + 2 là ba số nguyên liên tiếp, ta có:

Theo kết quả câu a ta có: a(a + 2) < (a + 1)²

Vậy trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại. (điều phải chứng minh).

Bài tập bổ sung

Bài 2.1 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho ba số a, b và k mà a > b. Nếu ak

< bk thì số k là:

(A) Số dương;

(B) Số 0;

(C) Số âm;

(D) Số bất kì.

Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng.

Lời giải:

Chọn C

Vì từ a > b, có ak < bk (đổi dấu) nên k < 0.

Bài 2.2 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hai số a và b mà – 7a < –7b Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(A). a – 7 < b – 7 (B). a > b

(C). a < b (D). a ≤ b.

Lời giải:

Chọn B

Vì – 7a < – 7b mà 1 7 0

−  nên 1 1

7a. 7b.

7 7

− −

− − hay a > b.

Bài 2.3 trang 54 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu “<, >,

≥, ≤” vào ô vuông cho đúng a) |a| 0 ;

b) –|a| 0 ; c) |a| + 3 0;

d) –|a| – 2 0 . Lời giải:

a) Theo tính chất giá trị tuyệt đối ta có: |a|  0.

b) Theo tính chất giá trị tuyệt đối ta có: |a|  0.

Mà – 1 < 0 nên –|a|  0.

c) Theo tính chất giá trị tuyệt đối ta có: |a|  0.

Suy ra: |a| + 33.

Mà 3 > 0 nên |a| + 3 > 0.

d) Theo tính chất giá trị tuyệt đối ta có: |a|  0.

Suy ra: |a| + 2  2.

Mà 2 > 0 nên |a| + 2 > 0.

Nhân cả 2 vế với –1 < 0 ta được – (|a | + 2) < 0 hay – |a| – 2 < 0.

Bài 2.4 trang 54 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Đặt dấu “<, >” vào ô vuông cho đúng a) –3 –2; (–3)² (–2)²

b) –2 1; (–2)² 1² c. 2 3; 2² 3²

d. –2 2,5; (–2)² (2,5)² Lời giải:

a) –3 < –2;

(–3)² > (–2)² vì (–3)² = 9; (–2)² = 4 và 9 > 4.

b) –2 < 1;

(–2)² > (1)² vì (–2)² = 4 ; 1² = 1 và 4 > 1 .

c) 2 < 3;

2² < 3² vì 2² = 4; 3² = 9 và 4 < 9.

d) –2 < 2,5;

(–2)² < (2,5)² vì (–2)² = 4; (2,5)² = 6,25 và 4 < 6,25.

Bài 2.5 trang 54 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a) Cho x > 0, chứng tỏ: 1

x 2

+ x b) Từ kết quả câu a, nếu x < 0 sẽ có kết quả nào ?

Lời giải:

a) Nếu có 1

x 2 0

+ − x thì suy ra 1

x 2

+ x nên ta sẽ chứng tỏ 1

x 2 0

+ − x Ta có:

2 2

1 x 1 2x (x 1)

x 2 0

x x x

+ − −

+ − = = 

Vì (x − 1)² ≥ 0 với x bất kì và x > 0 (đề bài) thì

(x 1)2

x 0

− 

Vậy 1

x 2 0

+ − x nên 1

x 2

+ x với x > 0.

b) Nếu x < 0, ta đặt a = –x thì a > 0 Từ kết quả câu a, ta có 1

a 2

+ a Thay a = –x, ta có: 1

x 2

− − x (2)

Nhân hai vế của (1) với số –1, ta có: 1

x 2

+  −x .

Vậy, với x < 0 thì 1

x 2

+  −x .