Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia môn Toán (học kỳ 2) – Nguyễn Văn Hoàng - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

HỌ VÀ TÊN:………

LỚP:………

HỌC KỲ 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

TOÁN 12

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – SỐ PHỨC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ

Năm học: 2020 - 2021

NGUYÊN VĂN HOÀNG ~

Chuyên đề 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

1

§1 - NGUYÊN HÀM . . . . 1

A. Khái niệm nguyên hàm . . . . 1

B. Tính chất . . . . 1

| Dạng 1.1: Nguyên hàm cơ bản có điều kiện . . . . 9

| Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số . . . . 11

| Dạng 1.3: Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ . . . . 16

| Dạng 1.4: Nguyên hàm từng phần . . . . 18

§2 - TÍCH PHÂN . . . . 23

A. Khái niệm tích phân . . . . 23

B. Tính chất của tích phân . . . . 23

| Dạng 2.5: Tích phân cơ bản & tính chất tích phân . . . . 23

| Dạng 2.6: Tích phân cơ bản có điều kiện . . . . 43

| Dạng 2.7: Tích phân hàm số hữu tỷ . . . . 47

| Dạng 2.8: Tích phân đổi biến. . . . 52

| Dạng 2.9: Tích phân từng phần . . . . 63

§3 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN . . . . 69

A. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN . . . . 69

| Dạng 3.10: Ứng dụng tích phân để tìm diện tích . . . . 69

B. BÀI TẬP MỨC 5 - 6 ĐIỂM . . . . 84

| Dạng 3.11: Ứng dụng tích phân để tìm thể tích . . . . 84

C. BÀI TẬP MỨC 7-8 ĐIỂM . . . . 92

Chuyên đề 2: SỐ PHỨC

105

§1 - SỐ PHỨC . . . . 105

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN . . . . 105

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MỨC 5-6 ĐIỂM . . . . 106

| Dạng 1.12: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức . . . . 106

| Dạng 1.13: Biểu diễn hình học cơ bản của số phức . . . . 113

| Dạng 1.14: Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia cơ bản của số phức ^. 120

| Dạng 1.15: Phương trình bậc hai trên tập số phức . . . . 132

C. CÁC DẠNG BÀI TẬP MỨC 7-8 ĐIỂM . . . . 141

| Dạng 1.16: Tìm số phức và các thuộc tính của nó thỏa điều kiện K . . . . 143

| Dạng 1.17: Tập hợp điểm biểu diễn số phức . . . . 146

Chuyên đề 3: KIẾN THỨC LỚP 11

160

§1 - QUY TẮC ĐẾM . . . . 160

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN . . . . 160

B. BÀI TẬP ÔN LUYỆN . . . . 160

§2 - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN . . . . 173

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN . . . . 173

B. BÀI TẬP ÔN LUYỆN . . . . 173

Chuyên đề 4: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

186

A. Định nghĩa hệ trục tọa độ . . . . 186

B. Tọa độ véc-tơ . . . . 186

C. Tọa độ điểm . . . . 187

D. Tích có hướng của hai véc-tơ . . . . 187

E. Phương trình mặt cầu . . . . 188

|Dạng 1.18: Nhóm bài toán liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng của điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ . . . . 189

| Dạng 1.19: Bài toán liên quan đến véc-tơ và độ dài đoạn thẳng . . . . 194

| Dạng 1.20: Bài toán liên quan đến trung điểm tọa độ trọng tâm . . . . 200

| Dạng 1.21: Nhóm bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . 205

| Dạng 1.22: Nhóm bài toán liên quan đến tích có hướng của hai véc-tơ . . . . 211

| Dạng 1.23: Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu . . . . 216

| Dạng 1.24: Viết phương trình mặt cầu loại cơ bản . . . . 225

§2 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . 234

A. Kiến thức cơ bản cần nhớ . . . . 234

| Dạng 2.25: Xác định các yếu tố của mặt phẳng . . . . 237

| Dạng 2.26: Viết phương trình mặt phẳng . . . . 244

| Dạng 2.27: Điểm thuộc mặt phẳng . . . . 265

| Dạng 2.28: Khoảng cách từ điểm đến mặt . . . . 269

§3 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . 285

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ . . . . 285

| Dạng 3.29: Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng . . . .288

| Dạng 3.30: Góc . . . . 295

| Dạng 3.31: Khoảng cách. . . .299

| Dạng 3.32: Viết phương trình đường thẳng . . . . 304

| Dạng 3.33: Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng . . . . 328

| Dạng 3.34: Xác định phương trình đường thẳng . . . .336

§4 - ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN . . . . 369

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ . . . . 369

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP . . . .369

| Dạng 4.35: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm GÓC . . . . 369

| Dạng 4.36: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm KHOẢNG CÁCH . . . . 372

| Dạng 4.37: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH 373

1

1 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

§ 1. NGUYÊN HÀM

A. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM

c Định nghĩa 1.1. Cho hàm sốf(x) xác định trênK . Hàm sốF(x) được gọi lànguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F⁰(x) =f(x) với mọi x∈K .

c Định lí 1.1. NếuF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x)trênK thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạngF(x) +C, với C là một hằng số.

Z

f(x) dx=F(x) +C

B. TÍNH CHẤT

•

Z

f⁰(x) dx=f(x) +C,

Z

f⁰⁰(x) dx=f⁰(x) +C,

Z

f⁰⁰⁰(x) dx=f⁰⁰(x) +C...

•

Z

kf(x) dx=k

Z

f(x) dx (k là một hằng số khác 0).

•

Z

[f(x)±g(x)] dx=

Z

f(x) dx±

Z

g(x) dx.

• F⁰(x) =f(x) (định nghĩa).

Bảng nguyên hàm một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

•

Z

0 dx=C −→ •

Z

k dx=kx+C

•

Z

x^αdx= xⁿ⁺¹

n+ 1 +C −→ •

Z

(ax+b)ⁿ dx= 1 a

(ax+b)ⁿ⁺¹ n+ 1 +C

•

Z 1

x dx= ln|x|+C −→ •

Z 1

ax+b dx= 1

aln|ax+b|+C

•

Z 1

x² dx=−1

x +C −→ •

Z 1

(ax+b)² dx=−1 a

1

(ax+b)+C

•

Z

e^x dx=e^x+C −→ • 1 a

Z

e^(ax+b)du= 1

ae^(ax+b)+C

•

Z

a^xdx= a^x

lna +C −→ •

Z

a^u du= 1 a

a^(ax+b)

lna +C

•

Z

cosxdx= sinx+C −→ •

Z

cos (ax+b) dx= 1

asin (ax+b) +C

•

Z

sinxdx=−cosx+C −→ •

Z

sin (ax+b) dx=−1

acos (ax+b) +C

•

Z 1

cos²x dx= tanx+C −→ •

Z 1

cos²(ax+b) dx= 1

atan (ax+b) +C

•

Z 1

sin²x dx=−cotx+C −→ •

Z 1

sin²(ax+b) dx=−1

acot (ax+b) +C

Chú ý: Khi thayx bằng (ax+b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

a.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

MỨC ĐỘ 5-6 ĐIỂM

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2).

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A F⁰(x) =−f(x),∀x∈K. B f⁰(x) = F(x),∀x∈K.

C F⁰(x) =f(x),∀x∈K. D f⁰(x) = −F(x),∀x∈K.

Câu 2 (Mã 101-2020 Lần 1).

Z

x²dx bằng A 2x+C. B 1

3x³+C. C x³+C. D 3x³+C.

Câu 3 (Mã 102-2020 Lần 1). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ là A 4x⁴+C. B 3x²+C. C x⁴+C. D 1

4x⁴+C.

Câu 4 (Mã 103-2020 Lần 1).

Z

x⁴dx bằng A 1

5x⁵+C. B 4x³+C. C x⁵+C. D 5x⁵+C.

Câu 5 (Mã 104-2020 Lần 1).

Z

x⁵dx bằng A 5x⁴+C. B 1

6x⁶+C. C x⁶+C. D 6x⁶+C.

Câu 6 (Mã 101- 2020 Lần 2).

Z

5x⁴dx bằng A 1

5x⁵+C. B x⁵+C. C 5x⁵ +C. D 20x³+C.

Câu 7 (Mã 102-2020 Lần 2).

Z

6x⁵dx bằng

A 6x⁶+C. B x⁶+C. C 1

6x⁶+C. D 30x⁴+C.

Câu 8 (Mã 103-2020 Lần 2).

Z

3x²dx bằng

A 3x³+C. B 6x+C. C 1

3x³+C. D x³+C.

Câu 9 (Mã 104-2020 Lần 2).

Z

4x³dx bằng A 4x⁴+C. B 1

4x⁴+C. C 12x²+C. D x⁴+C.

Câu 10 (Mã 103 2018). Nguyên hàm của hàm số f(x) =x⁴+x² là A 1

5x⁵+ 1

3x³+C. B x⁴+x²+C. C x⁵+x³+C. D 4x³+ 2x+C.

Câu 11 (Mã 104-2019). Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+ 4 là

A x²+C. B 2x²+C. C 2x² + 4x+C. D x²+ 4x+C.

Câu 12 (Mã 102-2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+ 6 là

A x²+C. B x²+ 6x+C. C 2x² +C. D 2x²+ 6x+C.

Câu 13 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx+ 6x là A sinx+ 3x²+C. B −sinx+ 3x²+C. C sinx+ 6x²+C. D −sinx+C.

Câu 14 (Mã 105 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 sinx.

A

Z

2 sinxdx=−2 cosx+C. B

Z

2 sinxdx = 2 cosx+C.

C

Z

2 sinxdx= sin²x+C. D

Z

2 sinxdx = sin 2x+C.

Câu 15 (Mã 101 2018). Nguyên hàm của hàm số f(x) =x³+x là A 1

4x⁴+ 1

2x²+C. B 3x²+ 1 +C. C x³+x+C. D x⁴+x²+C.

Câu 16 (Mã 103-2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+ 3 là A x²+ 3x+C. B 2x²+ 3x+C. C x²+C. D 2x²+C.

Câu 17 (Đề Minh Họa 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =√ 2x−1 A

Z

f(x)dx= 2

3(2x−1)√

2x−1 +C. B

Z

f(x)dx= 1

3(2x−1)√

2x−1 +C.

C

Z

f(x)dx=−1 3

√2x−1 +C. D

Z

f(x)dx= 1 2

√2x−1 +C.

Câu 18 (Đề Tham Khảo 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x²+ 2 x². A

Z

f(x) dx= x³

3 + 1

x+C. B

Z

f(x) dx= x³

3 − 2

x+C.

C

Z

f(x) dx= x³

3 − 1

x +C. D

Z

f(x) dx= x³

3 + 2

x +C.

Câu 19 (Mã 110 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 5x−2. A

Z dx

5x−2 = 1

5ln|5x−2|+C. B

Z dx

5x−2 = ln|5x−2|+C.

C

Z dx

5x−2 =−1

2ln|5x−2|+C. D

Z dx

5x−2 = 5 ln|5x−2|+C.

Câu 20 (Mã123 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 3x A

Z

cos 3xdx= 3 sin 3x+C. B

Z

cos 3xdx= sin 3x

3 +C.

C

Z

cos 3xdx= sin 3x+C. D

Z

cos 3xdx=−sin 3x

3 +C.

Câu 21 (Mã 104 2018). Nguyên hàm của hàm sốf(x) =x³+x² là A 1

4x⁴+1

3x³+C. B 3x²+ 2x+C. C x³+x²+C. D x⁴+x³+C.

Câu 22 (Đề Tham Khảo 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =e^x+x là

A e^x+ 1 +C. B e^x+x²+C.

C e^x+ 1

2x²+C. D 1

x+ 1e^x+1

2x²+C.

Câu 23 (Mã 101-2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+ 5 là A x² +C. B x²+ 5x+C. C 2x²+ 5x+C. D 2x²+C.

Câu 24 (Mã 104 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^x. A

Z

7^xdx= 7^x

ln 7 +C. B

Z

7^xdx= 7^x+1+C.

C

Z

7^xdx= 7^x+1

x+ 1 +C. D

Z

7^xdx= 7^xln 7 +C.

Câu 25 (Mã 102 2018). Nguyên hàm của hàm sốf(x) =x⁴+x là

A 4x³+ 1 +C. B x⁵+x²+C. C 1

5x⁵+1

2x²+C. D x⁴+x+C.

Câu 26 (Đề Tham Khảo 2018). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x²+ 1 là A x³ +C. B x³

3 +x+C. C 6x+C. D x³+x+C.

Câu 27 (THPT An Lão Hải Phòng 2019).

Tìm nguyên hàm

Z

xx²+ 7¹⁵dx?

A 1

2(x²+ 7)¹⁶+C. B − 1

32(x²+ 7)¹⁶+C.

C 1

16(x²+ 7)¹⁶+C. D 1

32(x²+ 7)¹⁶+C.

Câu 28 (THPT Ba Đình -2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e^3x là hàm số nào sau đây?

A 3e^x+C. B 1

3e^3x+C. C 1

3e^x+C. D 3e^3x+C.

Câu 29 (THPT Cẩm Giàng 2 2019). Tính

Z

(x−sin 2x) dx.

A x²

2 + sinx+C. B x²

2 + cos 2x+C. C x²+cos 2x

2 +C. D x²

2 +cos 2x

2 +C.

Câu 30 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019).

Nguyên hàm của hàm số y= e^2x−1 là

A 2e^2x−1+C. B e^2x−1+C. C 1

2e^2x−1+C. D 1

2e^x+C.

Câu 31 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

2x+ 3

A ln|2x+ 3|+C. B 1

2ln|2x+ 3|+C.

C 1

ln 2ln|2x+ 3|+C. D 1

2lg (2x+ 3) +C.

Câu 32 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số y=x²−3^x+ 1

x. A x³

3 − 3^x

ln 3 − 1

x² +C, C ∈R. B x³

3 −3^x+ 1

x² +C, C ∈R. C x³

3 − 3^x

ln 3 + ln|x|+C, C ∈R. D x³

3 − 3^x

ln 3 −ln|x|+C, C ∈R. Câu 33 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 3x

A −3cos3x+C. B 3cos3x+C. C 1

3cos3x+C. D −1

3cos3x+C.

Câu 34 (Chuyên KHTN 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x²+ sinx là

A x³+ cosx+C. B 6x+ cosx+C. C x³−cosx+C. D 6x−cosx+C.

Câu 35 (Chuyên Bắc Ninh -2019). Công thức nào sau đây là sai?

A

Z

lnxdx= 1

x +C. B

Z 1

cos²xdx= tanx+C.

C

Z

sinxdx=−cosx+C. D

Z

e^xdx= e^x+C.

Câu 36 (Chuyên Bắc Ninh 2019). Nếu

Z

f(x) dx= 4x³+x²+C thì hàm số f(x) bằng A f(x) =x⁴+ x³

3 +Cx. B f(x) = 12x² + 2x+C.

C f(x) = 12x²+ 2x. D f(x) = x⁴+x³

3. Câu 37 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A

Z

cos 2xdx= 1

2sin 2x+C. B

Z

x^edx= x^e+1 e + 1 +C.

C

Z 1

xdx= ln|x|+C. D

Z

e^xdx= e^x+1 x+ 1 +C.

Câu 38 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019).

Nguyên hàm của hàm số y= 2^x là

A

Z

2^xdx= ln 2.2^x+C. B

Z

2^xdx= 2^x+.

C

Z

2^xdx= 2^x

ln 2 +C. D

Z

2^xdx= 2^x

x+ 1 +C.

Câu 39 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019).

Tìm họ nguyên hàm của hàm sốf(x) = 3x−sinx.

A

Z

f(x) dx= 3x²+ cosx+C. B

Z

f(x) dx= 3x²

2 −cosx+C.

C

Z

f(x) dx= 3x²

2 + cosx+C. D

Z

f(x) dx= 3 + cosx+C.

Câu 40 (Sở Bình Phước 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x+ sinx là

A x² + cosx+C. B x²−cosx+C. C x²

2 −cosx+C. D x²

2 + cosx+C.

Câu 41 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019).

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx là:

A cosx+C. B −cosx+C. C −sinx+C. D sinx+C.

Câu 42 (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-2019).

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = x⁴+x² là A 4x³+ 2x+C. B x⁴+x²+C. C 1

5x⁵+1

3x³+C. D x⁵+x³+C.

Câu 43 (THPT Cù Huy Cận 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =e^x−2x là.

A e^x+x²+C. B e^x−x²+C. C 1

x+ 1e^x−x²+C. D e^x−2 +C.

Câu 44 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019).

Họ các nguyên hàm của hàm số y= cosx+x là

A sinx+ 1

2x²+C. B sinx+x²+C. C −sinx+1

2x²+C. D −sinx+x²+C.

Câu 45 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019).

Họ nguyên hàm của hàm số y=x²−3x+ 1

x là A x³

3 − 3x²

2 −ln|x|+C . B x³

3 −3x²

2 + lnx+C.

C x³

3 − 3x²

2 + ln|x|+C . D x³

3 −3x²

2 + 1

x² +C.

Câu 46 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019).

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

x + sinx là A lnx−cosx+C. B − 1

x² −cosx+C. C ln|x|+ cosx+C. D ln|x| −cosx+C.

Câu 47 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019).

Hàm số F (x) = 1

3x³ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên (−∞; +∞)?

A f(x) = 3x². B f(x) = x³. C f(x) =x². D f(x) = 1

4x⁴. Câu 48 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x. A

Z

f(x) dx= 2^x+C. B

Z

f(x) dx= 2^x ln 2 +C.

C

Z

f(x) dx= 2^xln 2 +C. D

Z

f(x) dx= 2^x+1 x+ 1 +C.

Câu 49 (THPT-Yên Định Thanh Hóa 2019).

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x⁴+ 2

x² . A

Z

f(x) dx=x³

3 − 1

x +C. B

Z

f(x) dx=x³

3 + 2

x+C.

C

Z

f(x) dx=x³

3 + 1

x +C. D

Z

f(x) dx=x³

3 − 2

x +C.

Câu 50 (Sở Hà Nội 2019). Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y=e^x?

A y= 1

x. B y=e^x. C y=e^−x. D y= lnx.

Câu 51 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019).

Tính F(x) =

Z

e²dx, trong đó e là hằng số và e≈2,718.

A F(x) = e²x²

2 +C. B F(x) = e³

3 +C. C F(x) = e²x+C. D F(x) = 2ex+C.

Câu 52 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019).

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

1−2x trên

−∞;1 2

. A 1

2ln|2x−1|+C. B 1

2ln (1−2x) +C.

C −1

2ln|2x−1|+C. D ln|2x−1|+C.

Câu 53 (Chuyên Hưng Yên 2019). Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x+x là A 2^x

ln 2 +x²

2 +C. B 2^x+x² +C. C 2^x

ln 2 +x²+C. D 2^x+x²

2 +C.

Câu 54 (Chuyên Sơn La 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + sinx

A 1 + cosx+C. B 1−cosx+C. C x+ cosx+C. D x−cosx+C.

Câu 55 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019).

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

3x³−2x²+x−2019 là A 1

12x⁴−2

3x³+x²

2 +C. B 1

9x⁴ −2

3x³+x²

2 −2019x+C.

C 1

12x⁴−2

3x³+x²

2 −2019x+C. D 1

9x⁴ +2

3x³−x²

2 −2019x+C.

Câu 56 (THPT Yên Khánh-Ninh Bình-2019).

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

3x−1 trên khoảng

−∞;1 3

là:

A 1

3ln(3x−1] +C. B ln(1−3x) +C. C 1

3ln(1−3x) +C. D ln(3x−1] +C.

Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A

Z

2^xdx= 2^xln 2 +C. B

Z

e^2xdx= e^2x

2 +C.

C

Z

cos 2xdx= 1

2sin 2x+C. D

Z 1

x+ 1dx= ln|x+ 1|+C (∀x6=−1).

Câu 58 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019).

Cho hàm sốf(x) = 2x⁴+ 3

x² . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Z

f(x)dx= 2x³

3 + 3

2x+C. B

Z

f(x)dx= 2x³

3 − 3

x +C.

C

Z

f(x)dx= 2x³

3 + 3

x +C. D

Z

f(x)dx= 2x³ − 3 x +C.

Câu 59 (Sở Thanh Hóa 2019). Cho hàm số f(x) = 2^x+x+ 1. Tìm

Z

f(x) dx.

A

Z

f(x) dx= 2^x+x²+x+C. B

Z

f(x) dx= 1

ln 22^x+1

2x²+x+C.

C

Z

f(x) dx= 2^x+ 1

2x²+x+C. D

Z

f(x) dx= 1

x+ 12^x+1

2x²+x+C.

Câu 60 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019).

Tìm họ nguyên hàm của hàm sốf(x) = 3x−sinx.

A

Z

f(x) dx= 3x²+ cosx+C. B

Z

f(x) dx= 3x²

2 −cosx+C.

C

Z

f(x) dx= 3x²

2 + cosx+C. D

Z

f(x) dx= 3 + cosx+C.

Câu 61 (Chuyên Bắc Giang 2019). Hàm sốF (x) =e^x2 là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:

A f(x) = 2xe^x2. B f(x) = x²e^x2 −1. C f(x) =e^2x. D f(x) = e^x2

2x. Câu 62 (Chuyên Đại Học Vinh 2019).

Tất cả các nguyên hàm của hàm sốf(x) = 3^−x là A −3^−x

ln 3 +C. B −3^−x+C. C 3^−xln 3 +C. D 3^−x

ln 3 +C.

Câu 63 (Sở Phú Thọ 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x³+x² là A x⁴

4 + x³

3 +C. B x⁴+x³+C. C 3x²+ 2x+C. D x⁴

3 +x³

4 +C.

Câu 64 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019).

Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y=x²⁰¹⁹? A x²⁰²⁰

2020 + 1. B x²⁰²⁰

2020. C y = 2019x²⁰¹⁸. D x²⁰²⁰

2020 −1.

Câu 65 (Chuyên Quốc Học Huế 2019).

Tìm họ nguyên hàm của hàm sốy =x²−3^x+ 1

x. A x³

3 − 3^x

ln 3 −ln|x|+C, C∈R. B x³

3 − 3^x

ln 3 + ln|x|+C, C ∈R. C x³

3 −3^x+ 1

x² +C, C ∈R. D x³

3 − 3^x

ln 3 − 1

x² +C,C ∈R.

Câu 66 (Quảng Ninh 2019). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =e^x 2017− 2018e^−x x⁵

!

.

A

Z

f(x) dx= 2017e^x−2018

x⁴ +C. B

Z

f(x) dx= 2017e^x+ 2018 x⁴ +C.

C

Z

f(x) dx= 2017e^x+504,5

x⁴ +C. D

Z

f(x) dx= 2017e^x− 504,5 x⁴ +C.

Câu 67 (HSG Bắc Ninh 2019). Họ nguyên hàm của hàm số y=e^x 2 + e^−x cos²x

!

là

A 2e^x+ tanx+C. B 2e^x−tanx+C. C 2e^x− 1

cosx+C. D 2e^x+ 1

cosx +C.

Câu 68 (Chuyên Hạ Long 2019). Tìm nguyênF (x) của hàm sốf(x) = (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)?

A F (x) = x⁴

4 −6x³+11

2 x²−6x+C. B F (x) =x⁴+ 6x³+ 11x²+ 6x+C.

C F (x) = x⁴

4 + 2x³+11

2 x²+ 6x+C. D F (x) =x³+ 6x²+ 11x²+ 6x+C.

Câu 69 (Sở Bắc Ninh 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 5x+ 4 là A 1

5ln (5x+ 4) +C. B ln|5x+ 4|+C.

C 1

ln 5ln|5x+ 4|+C. D 1

5ln|5x+ 4|+C.

MỨC ĐỘ 7-8 ĐIỂM

p Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018). Cho hàm số f(x) xác định trên R\

1 2

thỏa mãn f⁰(x) =

2

2x−1, f(0) = 1, f(1) = 2. Giá trị của biểu thứcf(−1) +f(3) bằng

A 2 + ln 15. B 3 + ln 15. C ln 15. D 4 + ln 15.

Câu 2 (Sở Phú Thọ 2019). ChoF (x) là một nguyên hàm củaf(x) = 1

x−1trên khoảng (1; +∞)

thỏa mãn F (e+ 1) = 4 TìmF (x).

A 2 ln (x−1) + 2. B ln (x−1) + 3. C 4 ln (x−1). D ln (x−1)−3.

Câu 3 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019).

ChoF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1

x−2,biếtF (1) = 2 Giá trị củaF (0) bằng

A 2 + ln 2. B ln 2. C 2 + ln (−2). D ln (−2).

Câu 4 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019).

Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = 1

2x+ 1; biết F (0) = 2. TínhF (1).

A F (1) = 1

2ln 3−2. B F (1) = ln 3 + 2. C F(1) = 2 ln 3−2. D F (1) = 1

2ln 3 + 2.

Câu 5 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019).

Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 1

x trên (−∞; 0) thỏa mãn F(−2) = 0. Khẳng

định nào sau đây đúng?

A F(x) = ln

−x 2

∀x∈(−∞; 0).

B F(x) = ln|x|+C∀x∈(−∞; 0) vớiC là một số thực bất kì.

C F(x) = ln|x|+ ln 2∀x∈(−∞; 0).

D F(x) = ln (−x) +C∀x∈(−∞; 0) với C là một số thực bất kì.

Câu 6 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019).

Cho hàm số f(x) xác định trên R \ {1} thỏa mãn f⁰(x) = 1

x−1, f(0) = 2017, f(2) = 2018.

Tính S =f(3)−f(−1).

A S = ln 4035. B S = 4. C S = ln 2. D S = 1.

Câu 7 (Mã 105 2017). Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x + 2x thỏa mãn F (0) = 3

2. Tìm F (x).

A F (x) = e^x+x²+1

2. B F (x) = e^x+x²+ 5

2. C F (x) = e^x+x²+3

2. D F (x) = 2e^x+x²− 1

2. Câu 8 (THCS-THPT Nguyễn Khuyến 2019).

BiếtF (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^2x vàF (0) = 0. Giá trị củaF (ln 3) bằng

A 2. B 6. C 8. D 4.

Câu 9 (Sở Bình Phước 2019). Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số e^2x và F (0) = 201 2 · Giá trịF

1 2

là A 1

2e+ 200. B 2e+ 100. C 1

2e+ 50. D 1

2e+ 100.

Câu 10 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019).

Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và: f⁰(x) = 2e^2x+ 1,∀x, f(0) = 2. Hàm f(x) là

A y = 2e^x+ 2x. B y= 2e^x+ 2. C y = e^2x+x+ 2. D y= e^2x+x+ 1.

Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019). Cho hàm sốf(x) = 2x+ e^x. Tìm một nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x) thỏa mãnF (0) = 2019.

A F (x) =x²+ e^x+ 2018. B F (x) = x²+ e^x−2018.

C F (x) =x²+ e^x+ 2017. D F (x) = e^x−2019.

Câu 12. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 2^x, thỏa mãn F (0) = 1

ln 2. Tính giá trị biểu thứcT =F(0) +F (1) +...+F(2018) +F (2019).

A T = 1009.2²⁰¹⁹+ 1

ln 2 . B T = 2^2019.2020.

C T = 2²⁰¹⁹−1

ln 2 . D T = 2²⁰²⁰−1

ln 2 .

Câu 13 (Mã 104 2017). Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = sinx+ cosx thoả mãn F

π 2

= 2.

A F (x) =−cosx+ sinx+ 3. B F (x) =−cosx+ sinx−1.

C F (x) =−cosx+ sinx+ 1. D F (x) = cosx−sinx+ 3.

Câu 14 (Mã 123 2017). Cho hàm số f(x) thỏa mãn f⁰(x) = 3−5 sinxvà f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A f(x) = 3x−5 cosx+ 15. B f(x) = 3x−5 cosx+ 2.

C f(x) = 3x+ 5 cosx+ 5. D f(x) = 3x+ 5 cosx+ 2.

Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019). Cho hàm sốf(x) thỏa mãnf⁰(x) = 2−5 sinx vàf(0) = 10.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A f(x) = 2x+ 5 cosx+ 3. B f(x) = 2x−5 cosx+ 15.

C f(x) = 2x+ 5 cosx+ 5. D f(x) = 2x−5 cosx+ 10.

Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019).

Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = cos 3xvà F

π 2

= 2

3. Tính F

π 9

. A F

π 9

=

√3 + 2

6 . B F

π 9

=

√3−2

6 . C F

π 9

=

√3 + 6

6 . D F

π 9

=

√3−6

6 .

Câu 17 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019).

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

cos²x. Biết F

π

4 +kπ

= k với mọi k ∈Z. Tính F (0) +F (π) +F(2π) +...+F (10π).

A 55. B 44. C 45. D 0.

Câu 18 (Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-2020).

Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x, thỏa mãn F (0) = 1

ln 2. Tính giá trị biểu thức T =F (0) +F (1) +F (2) +...+F (2019).

A T = 2²⁰²⁰−1

ln 2 . B T = 1009·2²⁰¹⁹−1

2 .

C T = 2^2019·2020. D T = 2²⁰¹⁹−1

ln 2 .

p Dạng 1.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

“Nếu

Z

f(x) dx=F (x) +C thì

Z

f(u(x)).u⁰(x) dx=F (u(x)) +C ”.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I =

Z

f(x) dx, trong đó ta có thể phân tích f(x) = g(u(x))u⁰(x) dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t=u(x) ⇒dt=u⁰(x) dx.

Khi đó: I =

Z

g(t)dt=G(t)) +C =G(u(x)) +C.

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t=u(x).

Câu 1 (Mã 101-2020 Lần 2). BiếtF (x) = e^x+x² là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trênR. Khi đó

Z

f(2x) dx bằng

A 2e^x+ 2x²+C. B 1

2e^2x+x²+C. C 1

2e^2x+ 2x²+C. D e^2x+ 4x²+C.

Câu 2 (Mã 102-2020 Lần 2). Biết F (x) = e^x−2x² là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Khi đó

Z

f(2x) dxbằng A 2e^x−4x²+C. B 1

2e^2x−4x²+C. C e^2x−8x² +C. D 1

2e^2x−2x²+C.

Câu 3 (Mã 103-2020 Lần 2). BiếtF (x) = e^x−x² là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Khi đó

Z

f(2x) dx bằng A 1

2e^2x−2x²+C. B e^2x−4x²+C. C 2e^x−2x²+C. D 1

2e^2x−x²+C.

Câu 4 (Mã 104-2020 Lần 2). Biết F (x) = e^x+ 2x² là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Khi đó

Z

f(2x) dxbằng

A e^2x+ 8x²+C. B 2e^x+ 4x²+C. C 1

2e^2x+ 2x²+C. D 1

2e^2x+ 4x²+C.

Câu 5 (Thi thử Lômônôxốp-Hà Nội lần V 2019).

Biết

Z

f(2x) dx= sin²x+ lnx+C. Tìm nguyên hàm

Z

f(x) dx?

A

Z

f(x) dx= sin² x

2 + lnx+C. B

Z

f(x) dx= 2 sin²2x+ 2 lnx+C.

C

Z

f(x) dx= 2 sin² x

2 + 2 lnx+C. D

Z

f(x) dx= 2 sin²x+ 2 lnx+C.

Câu 6. Cho

Z

f(4x) dx=x²+ 3x+C. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

Z

f(x+ 2) dx= x²

4 + 2x+C. B

Z

f(x+ 2) dx=x²+ 7x+C.

C

Z

f(x+ 2) dx= x²

4 + 4x+C. D

Z

f(x+ 2) dx= x²

2 + 4x+C.

Câu 7 (DS12.C3.1.D09.b). Cho

Z

f(x) dx= 4x³+ 2x+C0. Tính I =

Z

xfx² dx.

A I = 2x⁶+x²+C. B I = x¹⁰ 10 +x⁶

6 +C.

C I = 4x⁶+ 2x²+C. D I = 12x²+ 2.

Câu 8 (Sở Bắc Ninh 2019). Tìm họ nguyên hàm của hàm sốf(x) =x².e^x3+1. A

Z

f(x) dx=x³

3.e^x3+1+C. B

Z

f(x) dx=3e^x3+1+C.

C

Z

f(x) dx=e^x3+1+C. D

Z

f(x) dx=1

3e^x3+1+C.

Câu 9 (THPT Hà Huy Tập-2018). Nguyên hàm của f(x) = sin 2x.e^sin2x là A sin²x.e^sin2x−1+C. B e^sin2x+1

sin²x+ 1 +C. C e^sin2x+C. D e^sin2x−1

sin²x−1 +C.

Câu 10. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 x⁹+ 3x⁵ A

Z

f(x)dx =− 1 3x⁴ + 1

36ln

x⁴ x⁴ + 3

+C. B

Z

f(x)dx =− 1

12x⁴ − 1 36ln

x⁴ x⁴+ 3

+C.

C

Z

f(x)dx =− 1 3x⁴ − 1

36ln

x⁴ x⁴+ 3

+C. D

Z

f(x)dx =− 1

12x⁴ + 1 36ln

x⁴ x⁴+ 3

+C.

Câu 11 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019).

Tìm hàm sốF (x) biết F (x) =

Z x³

x⁴+ 1dxvà F (0) = 1.

A F (x) = ln (x⁴+ 1) + 1. B F (x) = 1

4ln (x⁴+ 1) + 3 4.

C F (x) = 1

4ln (x⁴+ 1) + 1. D F (x) = 4 ln (x⁴ + 1) + 1.

Câu 12. Biết

Z (x−1)²⁰¹⁷

(x+ 1)²⁰¹⁹ dx = 1 a.

x−1 x+ 1

b

+C, x 6= −1 với a, b ∈ N^∗. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a= 2b. B b = 2a. C a= 2018b. D b = 2018a.

Câu 13 (Chuyên Quốc Học Huế-2018).

Biết rằng F (x) là một nguyên hàm trênR của hàm số f(x) = 2017x

(x²+ 1)²⁰¹⁸ thỏa mãn F (1) = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất m của F (x).

A m=−1

2. B m = 1−2²⁰¹⁷

2²⁰¹⁸ . C m= 1 + 2²⁰¹⁷

2²⁰¹⁸ . D m= 1

2. Câu 14. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1

e^x+ 1 và F (0) =−ln 2e. Tập nghiệm S của phương trình F(x) + ln (e^x+ 1) = 2 là:

A S ={3}. B S ={2; 3}. C S ={−2; 3}. D S ={−3; 3}.

Câu 15 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019).

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x³(x²+ 1)²⁰¹⁹ là A 1

2

"

(x²+ 1)²⁰²¹

2021 − (x²+ 1)²⁰²⁰ 2020

#

. B (x²+ 1)²⁰²¹

2021 − (x²+ 1)²⁰²⁰

2020 .

C (x²+ 1)²⁰²¹

2021 − (x²+ 1)²⁰²⁰

2020 +C. D 1

2

"

(x²+ 1)²⁰²¹

2021 − (x²+ 1)²⁰²⁰ 2020

#

+C.

Câu 16 (THPT Hà Huy Tập-2018). Nguyên hàm của f(x) = 1 + lnx x.lnx là:

A

Z 1 + lnx

x.lnx dx= ln|lnx|+C. B

Z 1 + lnx

x.lnx dx= lnx².lnx+C.

C

Z 1 + lnx

x.lnx dx= ln|x+ lnx|+C. D

Z 1 + lnx

x.lnx dx= ln|x.lnx|+C.

Câu 17 (Chuyên Hạ Long-2018). Tìm họ nguyên hàm của hàm sốf(x) =x²e^x3+1 A

Z

−t⁻⁵+ 2t⁻³−1 t

dt=1

4t⁻⁴−t⁻²−ln|t|+C.

B

Z

f(x) dx= 3e^x3+1+C.

C

Z

f(x) dx= 1

3e^x3+1+C.

D

Z

f(x) dx= x³

3 e^x3+1+C.

Câu 18 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019).

Nguyên hàm của hàm số f(x) = √³

3x+ 1 là A

Z

f(x) dx= (3x+ 1)√³

3x+ 1 +C. B

Z

f(x) dx=√³

3x+ 1 +C.

C

Z

f(x) dx= 1 3

√3

3x+ 1 +C. D

Z

f(x) dx= 1

4(3x+ 1)√³

3x+ 1 +C.

Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f(x) =√

3x+ 2 là

A 2

3(3x+ 2]√

3x+ 2 +C. B 1

3(3x+ 2]√

3x+ 2 +C.

C 2

9(3x+ 2]√

3x+ 2 +C. D 3

2

√ 1

3x+ 2 +C.

Câu 20 (HSG Bắc Ninh 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = √

2x+ 1 là A −1

3(2x+ 1)√

2x+ 1 +C. B 1

2

√2x+ 1 +C.

C 2

3(2x+ 1)√

2x+ 1 +C. D 1

3(2x+ 1)√

2x+ 1 +C.

Câu 21 (THPT An Lão Hải Phòng 2019).

Cho hàm sốf(x) = 2

√x.ln 2

√x. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm sốf(x)?

A F (x) = 2^√x+C. B F (x) = 22^√x−1+C.

C F (x) = 22

√x+ 1+C. D F (x) = 2

√x+1+C.

Câu 22 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019).

Khi tính nguyên hàm

Z x−3

√x+ 1dx, bằng cách đặtu=√

x+ 1 ta được nguyên hàm nào?

A

Z

2u²−4du. B

Z

u²−4du. C

Z

u²−3du. D

Z

2uu²−4du.

Câu 23 (Chuyên Hạ Long-2018). Tìm họ nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 2√

2x+ 1. A

Z

f(x) dx= 1 2

√2x+ 1 +C. B

Z

f(x) dx=√

2x+ 1 +C.

C

Z

f(x) dx= 2√

2x+ 1 +C. D

Z

f(x) dx= 1

(2x+ 1)√

2x+ 1 +C.

Câu 24 (THCS-THPT Nguyễn Khuyến-2018).

Nguyên hàm của hàm sốf(x) = lnx+√

x² + 1 là A F(x) = xlnx+√

x²+ 1+√

x²+ 1 +C.

B F(x) = xlnx+√

x²+ 1−√

x²+ 1 +C.

C F(x) = xlnx+√

x²+ 1+C.

D F(x) = x²lnx+√

x²+ 1+C.

Câu 25 (Chuyên Hạ Long-2018). Biết rằng trên khoảng

3 2; +∞

, hàm sốf(x) = 20x²−30x+ 7

√2x−3 có một nguyên hàmF (x) = (ax²+bx+c)√

2x−3 (a, b, c là các số nguyên). Tổng S =a+b+c bằng

A 4. B 3. C 5. D 6.

Câu 26 (Chuyên Bắc Ninh 2019). Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx 1 + 3 cosx. A

Z

f(x) dx= 1

3ln|1 + 3 cosx|+C. B

Z

f(x) dx= ln|1 + 3 cosx|+C.

C

Z

f(x) dx= 3 ln|1 + 3 cosx|+C. D

Z

f(x) dx=−1

3ln|1 + 3 cosx|+C.

Câu 27 (Sở Thanh Hóa 2019). Tìm các hàm số f(x) biết f⁰(x) = cosx (2 + sinx)².

A f(x) = sinx

(2 + sinx)² +C. B f(x) = 1

(2 + cosx) +C.

C f(x) =− 1

2 + sinx +C. D f(x) = sinx

2 + sinx +C.

Câu 28 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019).

Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx

1 + 3 cosx và F

π 2

= 2.Tính F (0) A F(0) =−1

3ln 2 + 2. B F(0) =−2

3ln 2 + 2.

C F(0) =−2

3ln 2−2. D F(0 =−1

3ln 2−2.

Câu 29 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019).

Biết

Z

f(x) dx= 3xcos (2x−5) +C. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A

Z

f(3x) dx= 3xcos (6x−5) +C. B

Z

f(3x) dx= 9xcos (6x−5) +C.

C

Z

f(3x) dx= 9xcos (2x−5) +C. D

Z

f(3x) dx= 3xcos (2x−5) +C.

Câu 30 (Chuyên Hạ Long-2018). Tìm họ nguyên hàm của hàm sốf(x) = tan⁵x.

A

Z

f(x) dx= 1

4tan⁴x− 1

2tan²x+ ln|cosx|+C.

B

Z

f(x) dx= 1

4tan⁴x+ 1

2tan²x−ln|cosx|+C.

C

Z

f(x) dx= 1

4tan⁴x+ 1

2tan²x+ ln|cosx|+C.

D

Z

f(x) dx= 1

4tan⁴x− 1

2tan²x−ln|cosx|+C.

Câu 31 (Hồng Bàng-Hải Phòng-2018).

Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin³x.cosx và F(0) =π. Tính F

π 2

. A F

π 2

=−π. B F

π 2

=π. C F

π 2

=−1

4 +π. D F

π 2

= 1

4+π.

Câu 32. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1

xlnx thỏa mãn F

1 e

= 2 và F (e) = ln 2 Giá trị của biểu thức F

1 e²

+F (e²) bằng

A 3 ln 2 + 2. B ln 2 + 2. C ln 2 + 1. D 2 ln 2 + 1.

Câu 33 (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019).

Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = x

√8−x² thỏa mãn F (2) = 0. Khi đó phương trình F (x) =x có nghiệm là:

A x= 0. B x= 1. C x=−1. D x= 1−√ 3.

Câu 34. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x

√x+ 1 − 1

x². Biết F (3) = 6, giá trị của F (8) là

A 217

8 . B 27. C 215

24 . D 215

8 . Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 20x²−30x+ 7

√2x−3 trên khoảng

3 2; +∞

là A (4x²+ 2x+ 1)√

2x−3 +C. B (4x²−2x+ 1)√

2x−3.

C (3x²−2x+ 1)√

2x−3. D (4x² −2x+ 1)√

2x−3 +C.

p Dạng 1.3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

• Công thức thường áp dụng

Z 1

ax+bdx= 1

aln|ax+b|+