Đề KSCL Toán thi tốt nghiệp THPT 2021 lần 3 trường THPT Lê Lai – Thanh Hóa - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

(1)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LAI Mã đề thi: 132

ĐỀ THI KSCL CÁC MÔN THI TỐT NGHIỆP THPT LẦN 3 NĂM HỌC 2020 - 2021

Bài thi : TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm có 50 câu; 06 trang

Họ và tên thí sinh ……… SBD:………

Câu 1. Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

1

1 1

f'(x) f(x)

∞

+ 0 3 +∞

x +∞

0 +

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^^1;3



^. ^B.



^{ }^{; 1}



^. ^C.



^^1;1



^. ^D.



^^{1; 2}



^.

Câu 2. Cho cấp số nhân

 

un có u₁2 và công bội q6. Giá trị của u₂ bằng

A. 8. B. 36. C. 3. D. 12 .

Câu 3. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. 1

2 2

y x x

 

 . B. y x ³3x2. C. y x ⁴2x²3. D. y  x³ 3x1. Câu 4. Với a là số thực dương và a

1

, khi đó ^log^a

 

^a² ^bằng

A. 3. B. a. C. 2. D. 1.

Câu 5. Biết

5 5

1 1

( )d 6, ( )d 2 f x x g x x 

 

. Giá trị của ⁵

 

1

( ) ( ) d f x g x x



^bằng

A. 8. B. 12. C. 3. D. 4 .

Câu 6. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2 y x

x

 

 là đường thẳng

A. y2. B. y1. C. x2. D. x 2. Câu 7. Số giao điểm của hai đồ thị y x ³2x1 và y x ² x 1 là

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 8. Đạo hàm của hàm số y2021^x là A. ^' 2021

ln 2021

x

y  . B. y^'2021 ln 2021^x . C. y^'x.2021^x. D. y^'2021^x.

Câu 9. Cho a là số thực dương tùy ý, viết biểu thức

3 2

3

a

a về dạng luỹ thừa của alà

7 2 11

(2)

Câu 10. Trong các số phức sau, số phức nào là số thuần ảo?

A. z4. B. z  3 3i. C. z 2 i. D. z  i.

Câu 11. Lớp 12A1 có 35 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra

3

em làm cán bộ lớp, trong đó 1 em làm bí thư, 1 em làm lớp trưởng, 1 em làm lớp phó, biết rằng

35

em đều có khả năng như nhau?

A. 35³. B. A₃₅³ . C. C₃₅³ . D.

3!

. Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ }^{x e}^x^là

A. x² e^x C. B. 2x²e^xC. C. 1 e^x C. D. 1 ² 2

x  ex C. Câu 13. Cho ( )F x 



xcos dx x. Khi đó ( )F x bằng

A. xsinxcosx C . B. xsinx C . C. xcosx C . D. xsinxcosx C . Câu 14. Nghiệm của phương trình 3²^x¹27 là

A. x5. B. x1. C. x2. D. x4. Câu 15. Nghiệm của phương trình log2



x 1



2 là

A. x4. B. x2. C. x5. D. x3. Câu 16. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.

Câu 17. Giá trị của ²

0

sin dx x





^bằng

A. 1. B. 0. C. 1. D.

2

 .

 

^có ^{f x}^

 

^^{x x}



^¹



. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.

Câu 19. Tính thể tích của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 3a.

A. 3a³. B. 9a³. C. a³. D. 3a².

Câu 20. Cho số phức z20i21. Môđun của số phức z bằng

A. z 20. B. z  29. C. z 29. D. z 841.

Câu 21. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:

3 2 3 5

x t

y t

z

  

   

 



. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d:?

A. ^u^^



^{3; 2;5}^



^. ^B.^u^^{ }



^{3; 2; 5}^



^. ^C.^u^^{ }



^1;3;5



^. ^D.^u^^{ }



^1;3;0



^.

Câu 22. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là a, độ dài đường sinh là 3a. Khi đó thể tích của khối trụ là

(3)

A. 3a³. B. ³. 2

a _C. ₃

.

a D. ³.

6

a

Câu 23. Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 7cm², chiều cao bằng 3cm. Thể tích khối lăng trụ đó bằng

A. 21cm³. B. 63cm³. C. 7cm³. D. 147 cm³. Câu 24. Cho hai số phức z₁ 1 4ivà z₂  2 i. Tìm số phức w2z₁3z₂.

A. w  4 11i. B. w  4 11i. C. w 4 11i. D. w 4 11i.

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho phương trình mặt cầu (S):x²y²z²2x6y4z 5 0. Mặt cầu (S) có toạ độ tâm Ilà

A. ^I



^{ }^{1; 3; 2}



^. ^B.^I



^{2;6; 4}^



^. ^C.^I



^{1;3; 2}^



^. ^D.^I



^{ }^{2; 6; 4}



^.

Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho ^A



^{1; 2; 3}



,^B



^{2;1; 1}



.Tọa độ của AB là.

A. ^^AB^



^{3; 1; 2}^{ }



^B.^^AB^{ }



^{3;1; 2}



^C.^^AB^{ }



^{3;1; 2}^



^D.^^AB^{  }



^{3; 1; 2}



Câu 27. Một mặt cầu có diện tích là 2 thì có bán kính bằng A. 1

2. B. 1. C. 3 . D. 2

2 . Câu 28. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

³ ¹²

f x x  x trên đoạn

 

^0;3 ^{. Giá trị}^{M m}^ ^bằng

A. 4. B. 16. C. 64. D. 32.

Câu 29. Cho hình lập phương ABCD A B C D.    có cạnh 2a (tham khảo hình bên). Tang của góc giữa đường thẳng B D và mặt phẳng



^ABCD



^bằng

A. 2. B. 2. C. 2

2 . D. 1

2 . Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình 16^x5.4^x 4 0 là:

A. ^T ^{ }



^;1

 

^ ^4;^{ }



^. ^B.^T ^{ }



^;1

 

^ ^4;^{ }



^.

C. ^T ^{ }



^{; 0}

 

^ ^1;^{ }



. D. ^T ^{ }



^;0

 

^ ^1;^{ }



.

Câu 31. Trong không gianOxyz, cho hai điểm ^A



^^4;2;1



và ^B



^{2; 4;5}



. Mặt cầu

 

^S có đường kính AB có phương trình là

A.



^x^¹

 

²^ ^y^³

 

²^{ }^z ³



² ^¹⁴^. ^B.



^x^¹

 

²^ ^y^³

 

²^{ }^z ³



²^⁵⁶^.

C.



^x^¹

 

²^ ^y^³

 

²^ ^z^³



² ^⁵⁶^. ^D.



^x^¹

 

²^ ^y^³

 

²^ ^z^³



²^¹⁴^.

Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn ^z^



^{2 3}^ ^{i z}



^{ }^{1 9}ⁱ. Tính tích phần thực và phần ảo của số phức z.

A. 2. B. 2. C. 1. D. 1.

Câu 33. Trong không gian Oxyz, đường thẳng  đi qua điểm (1;2; 1)A  và song song với đường thẳng

(4)

d: 1

5 2 2 3

x t

y t

z t

  

  

  



có phương trình tham số là

A.

1 2 2 3

x t

y t

z t

  

  

  



. B.

1 2 2

1 3

x t

y t

z t

  

  

   



. C.

1 2 2 1 3

x t

y t

z t

  

  

  



. D.

1 2 2

1 3

x t

y t

z t

  

  

   



.

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA2a 3 vuông góc với đáy (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng



^SCD



^.

A. 39 13

a . B. 39

2

a . C. 2 39

13

a . D. 2

13 a.

Câu 35. Cho tích phân

1

0

(x2)e d^x x a be



^{, với}^{a b}^; ^^^{. Tổng}^{a b}^ ^bằng

A. 1. B. 1. C. 5. D. 3.

Câu 36. Cho hàm số: y f x( )x³3x²3x2. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Hàm số ( )f x đạt cực trị tại x1.

B. Hàm số ( )f x nghịch biến trên . C. Hàm số ( )f x nghịch biến trên



^{ }^{; 1}



^.

D. Hàm số ( )f x đồng biến trên .

Câu 37. Trong không gian Oxyz cho điểm (2; 2;5); ( 4;6;3)A  B  . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

A. 3x4y z  7 0. B. 3x4y z  7 0. C. 3x4y z 19 0 . D. x y z   5 0. Câu 38. Cho 20 thẻ được đánh số lần lượt từ 1 đến 20 . Rút ngẫu nhiên hai thẻ. Tính xác suất để tổng

hai số được ghi trên hai thẻ là số chẵn.

A. 9

19^. ^B.

1

2^. ^C.

9

38^. ^D.

10 19^. Câu 39. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

. Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}^

 

như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^^e²^{f x}^{ }^¹^⁵^{f x}^{ }^là

(5)

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Câu 40. Trong không gian, cho mặt phẳng

 

^{P x}^: ^³^y^²^z^{ }^{2 0} và đường thẳng

1 1 4

: 2 1 1

x y z

d     

 . Phương trình đường thẳng  đi qua điểm ^A



^{1; 2; 1}^



, cắt mặt phẳng

 

^P và đường thẳng d lần lượt tại B và C sao cho C là trung điểm AB là

A.

17 18 5 3

x t

y t

z t

  

  

 



. B.

1 18 2 3

1

x t

y t

z t

  

  

   



. C.

1 18 2 3

1

x t

y t

z t

  

  

   



. D.

17 18 5 3

x t

y t

z t

  

  

  



.

 

. Biết hàm số ^{f x}^

 

có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn



^^4;3



^{, hàm số}

 

²

  

¹



²

g x  f x  x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

A. x 4. B. x 3. C. x3. D. x 1.

Câu 42. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng



^ABCD



trùng với trung điểm cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60. Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD. .

A.

3 15 6

V a . B.

3 15 2

V a . C.

3 5

6

V a . D.

3 15 4 V a .

Câu 43. Cho số phức ^{z a bi a b}^{ }



^, ^



thỏa mãn z 5 và ^z



²^ⁱ



^{1 2}^ ⁱ



là một số thực. Tính P a b.

A. P7 B. P4 C. P8 D. P5

Câu 44. Cho hàm số

 

² ¹ ¹

2 1

x khi x f x x khi x

  

   . Tích phân ²



³



0

sin .sin 2 .x x f 2sin x xd





^bằng

A. 5

3. B. 3. C. 13

3 . D. 13

9 .

Câu 45. Mặt tiền nhà ông An có chiều ngang AB4m, ông An muốn thiết kế lan can nhô ra có dạng là một phần của đường tròn

 

^C (hình vẽ). Vì phía trước vướng cây tại vị trí Fnên để an toàn, ông An cho xây lan can là cung tròn đi qua điểm E cách Dmột khoảng là 1m (Dlà trung điểm của AB). BiếtAF 2m, DAF60⁰ và lan can cao 1m làm bằng inox với giá 2, 2triệu/m². Tính số tiền ông An phải trả (làm tròn đến hàng ngàn).

(6)

(C) 1m

B E

F

A D

A. 8,124,000. B. 9,977,000. C. 10, 405,000. D. 7,568,000.

Câu 46. Biết rằng parabol

 

^{P y}^: ²^²^x chia đường tròn

 

^{C x}^: ²^^y² ^⁸ thành hai phần lần lượt có diện tích là S₁, S₂ (như hình vẽ). Khi đó S₂ S₁ a b

 c

   với , ,a b c nguyên dương và b c là phân số tối giản. Tính S a b c   .

S1

x y

S2

O

A. S13. B. S15 C. S14. D. S16.

Câu 47. Giả sử z z₁

,

₂ là hai nghiệm phức của phương trình

 2 i

^



^{z z}^{ }

 1 2i 

^z ^{ }

1 3i

^và

1 2

1

z z  . Tính M 

2

z₁

3

z₂ .

A. M 

19

. B. M 

5

. C. M 

19

. D. M 

25

. Câu 48. Cho 0x y, 1 thỏa mãn ¹ ₂ ² 2021

2020 .

2 2022

x y x

y y

   

  Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^S^



⁴^x²^³^y



⁴^y²^³^x



^^{25 .}^xy ^{Khi đó}^M ^^m bằng bao nhiêu?

A. 391

16 ^. ^B.

136

3 ^. ^C.

25

2 ^. ^D.

383 16 ^.

Câu 49. Tìm tham số mđể tồn tại duy nhất cặp số

 

^{x y}^; thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

 

log2021 x y 0 và x y  2xy m 1

A. 1

m 3. B. m2. C. 1

m 2. D. m0.

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^{ }^z ³



² ^⁹^{và mặt}

phẳng

 

^P ^:2^x^²^{y z}^{  }^{3 0}^{. Gọi}^{M a b c}



^{; ;}



là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến

 

^P lớn nhất. Khi đó:

A. a b c  8. B. a b c  6. C. a b c  5. D. a b c  7. --- HẾT ---

(7)

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.B 10.D

11.B 12.D 13.A 14.B 15.D 16.B 17.C 18.C 19.C 20.C 21.D 22.A 23.A 24.B 25.C 26.D 27.D 28.B 29.C 30.C 31.D 32.A 33.B 34.C 35.A 36.D 37.B 38.A 39.B 40.D 41.D 42.A 43.A 44.D 45.B 46.B 47.A 48.A 49.C 50.D

Xem thêm: ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN https://toanmath.com/de-thi-thu-mon-toan

(8)

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU VD – VDC Câu 39. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

. Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}^

 

như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^^e²^{f x}^{ }^¹^⁵^{f x}^{ }^là

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta thấy đồ thị của hàm số ^{f x}^

 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, suy ra hàm số ^{f x}

 

^có

3 điểm cực trị.

Ta có g x

 

2f x e

 

. ²^{f x}^{ }^¹ f x

 

.5^{f x}^{ }.ln 5 f x

 

. 2 e²^{f x}^{ }^¹5^{f x}^{ }.ln 5 . Vì 2e²^{f x}^{ }^¹5^{f x}^{ }.ln 5 0 với mọi x nên ^{g x}^

 

^{ }⁰ ^{f x}^

 

^^0.

Suy ra số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

bằng số điểm cực trị của hàm số ^{f x}

 

^.

Câu 40. Trong không gian, cho mặt phẳng

 

^{P x}^: ^³^y^²^z^{ }^{2 0} và đường thẳng

1 1 4

: 2 1 1

x y z

d     

 . Phương trình đường thẳng  đi qua điểm ^A



^{1; 2; 1}^



, cắt mặt phẳng

 

^P và đường thẳng d lần lượt tại B và C sao cho C là trung điểm AB là

A.

1 18 2 3

1

x t

y t

z t

  

  

   



. B.

17 18 5 3

x t

y t

z t

  

  

 



. C.

1 18 2 3

1

x t

y t

z t

  

  

   



. D.

17 18 5 3

x t

y t

z t

  

  

  



. Lời giải

Từ giả thiết ta có: ^{C d}^{ }^C



^{1 2 ; 1}^ ^t ^{ }^t^{; 4}^^t



^.

Do C là trung điểm của AB^^{B t}



⁴ ^{  }^{1; 2}^t ^{4; 2}^t^⁹



^.

Ta có :^{ }

 

^P ^^B

 

^{4 1 3 2}



⁴

 

^{2 2} ⁹



^{2 0} ⁹

B P t t t t 2

              . Suy ra ^B



^^17;5;0



. Đường thẳng  đi qua hai điểm B và A.

Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng  là ^BA^^



^{18; 3; 1}^{ }



^.

Vậy phương trình tham số của

17 18

: 5 3

x t

y t

z t

  



   

  



.

(9)

 

. Biết hàm số ^{f x}^

 

có đồ thị như hình dưới đây. Trên



^^4;3



, hàm số

 

²

  

¹



²

g x  f x  x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

A. x 1. B. x3. C. x 4. D. x 3. Lời giải

Chọn A

Xét hàm số ^{g x}

 

^²^{f x}

  

^{ }¹ ^x



²^trên



^^4;3



^.

Ta có: ^{g x}^

 

^²^{f x}^

  

^^{2 1}^^x



^.

 

⁰

 

¹

g x   f x  x. Trên đồ thị hàm số ^{f x}^

 

ta vẽ thêm đường thẳng y 1 x.

Từ đồ thị ta thấy

 

¹ ⁴¹

3 x

f x x x

x

  

     

  . Bảng biến thiên của hàm số ^{g x}

 

^{như sau:}

Vậy ^min__4;3^{g x}

 

^^g

 

^{   }¹ ^x ¹^.

Câu 42. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng



^ABCD



trùng với trung điểm cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60. Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD. .

A.

3 15 2

V a . B.

3 15 6

V a . C.

3 15 4

V a . D. ³ 5 6 V a . Lời giải

Chọn B

(10)

Gọi H là trung điểm của AD^^SH^



^ABCD



^ ^BH là hình chiếu vuông góc của SB trên



^ABCD



^.





^^,

  

⁶⁰

SBH SB ABCD

   .

ABHvuông tại A

2

2 2 2 5

4 2

a a

BH AB AH a

      .

SBH vuông tại H .tan 60 ¹⁵.

2 SH HB a

   

3 .

1 15

. .

3 6

S ABCD ABCD

V  SH S a .

Câu 43. Cho số phức ^{z a bi a b}^{ }



^, ^



thỏa mãn z 5 và ^z



²^ⁱ



^{1 2}^ ⁱ



là một số thực. Tính P a b.

A. P8 B. P4 C. P5 D. P7

Lời giải

Ta có ^z



²^ⁱ



^{1 2}^ ⁱ

 

^ ^{a bi}^



^{4 3}^ ⁱ



^⁴^a^³^b^{  }



³^a ⁴^{b i}

  

^{. 1}

Do ^z



²^ⁱ



^{1 2}^ ⁱ



là một số thực nên từ

 

¹ ^{suy ra} ³ ⁴ ⁰ ³ . 2

 

a b b 4a

     Mặt khác z  ⁵ a²b² 25. 3

 

Thế

 

² ^vào

 

³ ta được phương trình

2

2 3 25 2 16 4.

a 4a  a    a Với a  4 b 3 và a    4 b 3.

Vậy P    a b 3 4 7.

Câu 44. Cho hàm số

 

² ^1, ¹

2 , 1

x x

f x x x

  

   . Tích phân ²



³



0

sin .sin 2 .x x f 2sin x xd





^bằng

A. 13

9 . B. 5

3. C. 3. D. 13

3 . Lời giải

Chọn A Đặt t2sin³x

2.3sin .cos2

3sin 2 .sin

dt x xdx

 

 

(11)

     

       

2 2

2 3

0 0 0

1 2 1 2

2

0 1 0 1

1 1

sin .sin 2 . 2sin d

3 3

1 1 13

2x 1

3 3 9

x x f x x f t dt f x dx

f x dx f x dx dx x dx

 

   

       

   

  

   



.

Câu 45. Mặt tiền nhà ông An có chiều ngang AB4m, ông An muốn thiết kế lan can nhô ra có dạng là một phần của đường tròn

 

^C (hình vẽ). Vì phía trước vướng cây tại vị trí Fnên để an toàn, ông An xây lan can là cung tròn đi qua điểm E cách Dmột khoảng là 1m (Dlà trung điểm của AB). BiếtAF 2m, DAF60⁰ và lan can cao 1m làm bằng inox với giá 2, 2triệu/m². Tính số tiền ông An phải trả (làm tròn đến hàng ngàn).

(C) 1m

B E

F

A D

A. 7,568,000. B. 10, 405,000. C. 9,977,000. D. 8,124,000. Lời giải

Theo giả thiết, ta có AFD đều nên FD2m suy ra ED1m , EAD30⁰và EDB120⁰. Trong tam giác EDB có EB²DE²DB²2DE DB. .cos120⁰ 7.

Gọi R là bán kính của đường tròn

 

^C ^tâm^O, áp dụng định lý sin trong tam giác AEB ta có

 2R

sin EB

EAD , suy ra R 7.

(C) 1m

O

B E

F

A D

Xét tam giác OAB có R OA OB   7, AB4, suy ra cos ² ² ² 1

2 . 7

OA OB AB

AOB OAOB

 

   .

Khi đó AOB98,2⁰, suy ra độ dài cung

 

^C ^{xấp xỉ}^4,54m^.

Vì chiều cao của lan can là 1m và giá kính là 2,2 triệu/m² nên số tiền ông An phải trả xấp xỉ 9,977,000đ.

Câu 46. Biết rằng parabol

 

^{P y}^: ² ^²^x chia đường tròn

 

^{C x}^: ²^^y²^⁸ thành hai phần lần lượt có diện tích là S₁, S₂ (như hình vẽ). Khi đó S₂ S₁ a b

 c

   với , ,a b c nguyên dương và b

c là phân số tối giản. Tính S a b c   .

(12)

S1

x y

S2

O

A.S13. B.S16. C.S15 D. S14.

Lời giải Chọn C

S

1

x y

2 2 S

2

O 1 2

Xét hệ

2 2

2

8 2 x y

y x

  



 

2 2

2 8 0

2

x x

y x

   

 

  ²

4 2

2

x x

y x

   

   ²

2 4 x y

 

   ^.

2 2 2

2 1

0 2

2 2 d 2 8 d

S 



x x



x x

2 2

3 1

0 0

2 16

2 2 d 2. 2.

3 3

I 



x x x   ^.

2 2 2 2

2

2 8 d

I 



x x

Đặt x2 2 costdx 2 2 sin dt t

2 4

x_{  }t  _,x2 2 t 0.

 

0

2 2

4

2 8 8cos 2 2 sin d

I t t t







  ⁴ ²

0

16 sin dt t







⁴

 

0

8 1 cos 2 dt t







 ⁴

0

8 1sin 2 t 2 t



 

    24

1 1 2

2 4 S I I  3

     .

 

²

2 1

2 2 6 4

S  S  3

     .

2 1

4 8 S S  3

    .

Vậy a4, b8, c3     S a b c 15.

(13)

Câu 47. Giả sử z z₁

,

₂ là hai nghiệm phức của phương trình

 2 i

^



^{z z}^{ }

 1 2i 

^z ^{ }

1 3i

^và

1 2

1

z z  . Tính M 

2

z₁

3

z₂ .

A. M 

19

. B. M 

25

. C. M 

5

. D. M 

19

. Lời giải

Chọn D

Ta chia cả hai vế cho

2

i và được z z iz   

1

i

2

. Đặt z  m

0

thì ta có

 

2 2

2 1 2 1

m m i  m m    m hay ta có z 

1

, nói cách khác hai số z z₁

,

₂ cùng thuộc đương tròn tâm O, bán kính R = 1. Gọi A, B biểu diễn các số z z₁

,

₂ thì từ z₁z₂ 

1

suy ra OAB là tam giác đều. Không giảm tổng quát chọn

  1;0 , 1 ; 3

A B

2 2



 

 

Thì

2 1 0   3 1 3 7 3 3 19

2 2 2

i i

M   i       

  ^.

Câu 48. Cho 0x y, 1 thỏa mãn ¹ ₂ ² 2021

2020 .

2 2022

x y x

y y

  

   Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^S^



⁴^x²^³^y



⁴^y²^³^x



^^{25 .}^xy ^{Khi đó}^{M m}^ bằng bao nhiêu?

A. 136

3 ^. ^B.

391

16 ^. ^C.

383

16 ^. ^D.

25 2 ^. Lời giải

Chọn B Ta có

 

2 1 2

1

2 2

2021 2020 2021

2020 2 2022 2020 1 2021

y x y

x

x x

y y y

       

   



²



¹

 

²

   

2020^x x 2021 2020^^y 1y 2021 f x  f 1y Xét hàm số ^{f t}

 

^²⁰²⁰^t



^t²^²⁰²¹



^^t²^.2020^t^^2021.2020^t^{, có}

 

^{2 .2020}^t ².2020 .ln 2020 2021.2020 .ln 2020 0;^t ^t 0

f t  t t    t

Suy ra ^{f t}

 

là hàm đồng biến trên



^0;^



^mà ^{f x}

 

^ ^f



¹^^y



^{  }^{x y} ¹

Lại có



⁴ ² ³



⁴ ² ³



²⁵ ¹⁶ ^{2 2} ¹² ³ ¹² ³ ³⁴

P x  y y  x  xy x y  x  y  xy

 

³

   

2 2 2 2 2 2

16x y 12 x y 3xy x y  34xy 16x y 12 1 3xy 34xy 16x y 2xy 12

             

Mà 1 2 1

x y xy xy 4

     nên đặt 0;1

t xy    4^{khi đó}^P^ ^{f t}

 

^¹⁶^t²^{ }²^t ¹²

Xét hàm số ^{f t}

 

^¹⁶^t²^{ }²^t ¹²^trên ^0;¹

4

 

 

 ^{ta được}

 

0;1 4

1 191

min 16 16

1 25

max 4 2

m f t f

M f t f

 

 

 

 

 

 

    

  



     

  



Suy ra 191 25 391

16 16 16

M m    .

Câu 49. Tìm tham số mđể tồn tại duy nhất cặp số

 

^{x y}^; thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

 

log2021 x y 0 và x y  2xy m 1

A. m2. B. 1

m 3 . C. 1

m 2. D. m0.

(14)

Chọn C

Điều kiện cần: Xét hệ bất phương trình: log2021

 

0 (1)

2 1 (2)

x y

x y xy m

 



   



 

^{x y}^; là nghiệm hệ bất phương trình thì

 

^{y x}^; cũng là nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó hệ có nghiệm duy nhất  x y.

Khi đó: (1) 0 2x1 1

0 x 2

   .

Với 0 1

x 2

  ; (2)2x 2x² m 1 2x2 m 1 2x

   

2 2

2x m 1 4x 4x

     2x2 4x 1 m

   

Đặt ^{f x}

 

^²^x²^⁴^x^¹

 

f x nghịch biến trên 1 0;2

 

 

  nên

 

¹ ¹

2 2

f x  f   

 

0;1 x  2

  . Do đó hệ có nghiệm duy nhất 1

m 2

   .

Điều kiện đủ: Với 1

m 2, ta có hệ bất phương trình

 

log2021 0 (1)

2 1 1 (2)

2 x y x y xy

 



    

 1

2 1 1

2 x y

x y xy

  

 

   



Ta có 1 2 1

 

² 1 1

2 2 2

x y xy x y x y

         . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 1

x y 2.

Câu 50.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho mặt cầu   

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^ ^z^³



²^⁹

và

mặt phẳng  

^P ^:2^x^²^{y z}^{  }^{3 0}

. Gọi

^{M a b c}



^{; ;}

 là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ

M

đến  

^P

lớn nhất. Khi đó:

A. a b c  8

.

B. a b c  5

.

C. a b c  6

.

D. a b c  7

.

Lời giải Chọn D.

Mặt  

^S

cầu có tâm

^I



^{1; 2;3 ,}



^R^³

.

   

 

²

2 2

2.1 2.2 3 3 4

, 2 2 1 3

d I P    R

  

  

mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn Gọi

^{M a b c}



^{; ;}

 là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ

M

đến  

^P

lớn nhất.

Khi đó

M

thuộc đường thẳng



đi qua I và vuông góc với  

^P

1 2

: 2 2

3

x t

y t

z t

  

   

  



. Thay vào mặt cầu  

^S ^

     

²^t ²^{ }²^t ²^ ^t ²^{ }⁹ ⁹^t²^{   }⁹ ^t ¹

(15)

Với      

 

²

2 2

2.3 2.0 4 3 10

1 3;0; 4 ;

2 2 1 3

t M d M P   

    

  

Với        

 

²

2 2

2. 1 2.4 2 3 1

1 1; 4; 2 ;

2 2 1 3

t M d M P    

      

  

Vậy

^M



^{3;0; 4}



^{   }^{a b c} ⁷

.

____________________ HẾT ____________________