Bất phương trình lôgarit chứa tham số - TOANMATH.com

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ

Bài toán. Tìm m để bất phương trình f x m( , ) 0 hoặc f x m( , ) 0 có nghiệm trên D ? PHƯƠNG PHÁP

Bước 1. Tách tham số m ra khỏi x và đưa BPT về dạng ( )A m  f x( ) hoặc ( )A m  f x( ). Bước 2. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m

để bất phương trình có nghiệm.

Lưu ý: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định và liên tục trên _D. Trong trường hợp tồn tại max ( )

x f x

D và min ( )

x f x

D thì ta có:

 Bất phương trình ( )A m  f x( ) có nghiệm trên ( ) max ( ) A m x f x

  

D D .

 Bất phương trình ( )A m  f x( ) có nghiệm trên ( ) min ( ) A m x f x

  

D D .

 Bất phương trình ( )A m  f x( ) nghiệm đúng ( ) min ( )

x A m x f x

    

D D .

 Bất phương trình ( )A m  f x( ) nghiệm đúng ( ) max ( )

x A m x f x

    

D D .

Nếu ^{f x( )ax2bx c a}



^0



^thì

0

( ) 0,

0 f x     x  a  .

0

( ) 0,

0

f x x a

       .

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

2 2

2 2

log (7x 7) log ( mx 4x m ) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x?

A. 7. B. 3. C. Vô số. D. 4.

Lời giải Chọn B

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn



²

2 2

4 0,

7 7 4 ,

mx x m x

x mx x m x

     

 

     







    

     

2 2

4 0,

7 4 7 0,

f x mx x m x

g x m x x m x

       

 

        





 ^. Ta thấy m0; m7 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Với m0và m7. Khi đó ta có:

    0

₂

4 0

m

m

 

    

 

0 2 2 m

m m

 

   

 

  



 m  2

. (1)

   

 

²

7 0

4 7 0

m

m

  

      

 

₂

7

14 45 0 m

m m

 

    

 

7 5 9 m

m m

 

  

 

  



 m  5

_{. (2)}

Từ (1) và (2) suy ra

2   m 5

. Do

m 

 ^nên

m   3;4;5 

^.

Câu 2. Tìm m để bất phương trình log 2²₂ x2(m1) log₂x 2 0 có nghiệm x( 2;).

A. m(0;). B. 3 4;0

m  . C. 3 4;

m  . D. m ( ; 0). Lời giải

Chọn C

Ta có log 2²₂ x2(m1) log₂x 2 0 



1 log 2x



²2(m1) log2x 2 0.

 

^

Đặt tlog₂x. Do ( 2; ) 1; x   t 2 . Khi đó

 

^ trở thành



^1t



^{22(m1)t 2 0}





¹



^{2 2} ₁

2

t m

t

 

  

 

^{2 1}

2

f t t m

t

   (1).

Xét hàm

 

¹

2 2 f t t

  t liên tục trên 1; 2

  

 .

Ta có

 

_{2 1}

 

2;

1 1 0, 1; min 1 3

2 2 2 2 4

f t t f t f

t ^ _^

 

   

             .

Khi đó (1) đúng với mọi 1;

t2  khi ₁

 

2;

min f t m

 

 

  ³

m 4.

Câu 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc

  100;100 

của tham số

m

để bất phương trình

 

 

0,02 2 0,02

log log 3

^x

 1  log m

nghiệm đúng với mọi

x

thuộc khoảng

  ;0 

^?

A.

99

. B.

98

. C.

100

. D.

101

.

Lời giải Chọn C

Điều kiện:

log 3

²

 1  0 0

0

x

m m

  

  

 



^.

Ta có

log

^0,02

 log 3

²



^x

 1    log

^0,02

m  log 3

²



^x

  1  m

^.

Xét hàm số

f x    log 3

2



^x

 1 

. Ta có

 

 3 .ln 3 

' 0

3 1 .ln 2

x

f x 

x

   x



^.

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi

x

thuộc

  ;0 

^khi

1.

m 

Do

m

nguyên và thuộc đoạn

  100;100 

^nên

m   1;2;3;4;...;100 

.

Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để bất phương trình

 

2 3

2 8

log 2 x   4 m log x  1

có nghiệm đúng với mọi

x

thuộc

 16; 

^?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải Chọn C

Điều kiện xác định: _{2 2}

2 2 2

0 0

log 2 4 0 log 2log 3 0

x x

x x x

 

 

  

    

 

2 2

0 1

log 1 0 8

log 3 2

x x

x x x

    

  

            

.

Ta có :

log 2

²2

x   4 m  log

8

x

³

 1   log

²2

x  2log

2

x   3 m  log

2

x  1 *   

. Do

x   16;  

^nên

log

2

x   4 log

2

x   1 0

Suy ra

 

^{22 2}

2

log 2log 3

* log 1

x x

x m

 

 



^.

Đặt

t  log

₂

x

. Do

x   16;  

^nên

t   4;  

^.

Bất phương trình

  *

trở thành ²

2 3  4; 

1 t t t m t

     



^.

Xét hàm

 

²

2 3

1 t t

f t t

  



^với

t   4;  

^.

Ta có

 

 

₂

 

2

' 2 2 0, 4;

2 3. 1

f t t t

t t t

     

  

^.

Suy ra hàm số

f t  

nghịch biến trên khoảng

 4; 

^.

Bảng biến thiên của hàm

f t  

^{như sau:}

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi

x

thuộc

 16;  

^khi

m  1

^{. Do}

m 

^*

  m 1

^.

Câu 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc

  10;10 

của tham số

m

để bất phương trình

4 4

3 x  x   4 2 log m

_{ x}

2

có nghiệm?

A. 8. B. 5. C. 6. D. 7.

Chọn A

Điều kiện xác định:

0

4 0 4

4 4 1

4 4 0

x

x x

x x

 

     

   

    



.

Ta thấy

0    x 4 0 4       x 4 2 4 4   x 4

. Suy ra

log

_{4 4x}

2 0 

. Khi đó bất phương trình

4 4

4 4

3 4

3 4 2 log 2

2.log 2

x

x

x x

x x m

_{ }

m

 

 

    

  

²



1 3 4 .log 4 4

m 2 x x x

     

.

Xét hàm

f x    1 2  3 x  x  4 .log 4  

²

 4  x 

liên tục trên

  0;4

^.

Ta có

  1 3 1

²

   1   1   

' .log 4 4 3 4 . 0 0;4

2 2 2 4 2 2 4 . 4 4 .ln2

f x x x x x

x x x x

 

                 

^.

Suy ra hàm số

y  f x  

đồng biến trên

  0; 4

^.

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì

m  1

.

Do

m

nguyên và thuộc khoảng

  10;10 

^nên

m   2;3;...;9 

^.

Vậy có 8 giá trị

m

nguyên cần tìm là :

m   2;3;...;9 

^.

Câu 6. Cho bất phương trình log7



x²2x2



 1 log7



x²6x 5 m



. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng

 

^{1;3 ?}

A. 35. B. 33. C. 33. D. 36.

Lời giải Chọn D

   

2

2 2

7 7

6 5 0

log 7 2 2 log 6 5

    

        

x x m

Bpt x x x x m

2 2

6 5

6 8 9

m x x

x x m

    

 

  

 .

Xét hàm ^{f x}

 

^{  x2 6x5} liên tục trên đoạn

 

^{1;3 .}

Ta có ^{f x}

 

     ^{2x 6 0, x}

 

^{1;3  f x}

 

nghịch biến trên đoạn

 

^1;3

 _1;3

   

max f x f 1 12

    .

Xét hàm ^{g x}

 

^{6x28x9} liên tục trên đoạn

 

^{1;3 .}

Ta có ^{g x}

 

^{12x   8 0, x}

 

^{1;3 g x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^1;3

 _1;3

   

ming x g 1 23

   .

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi

2 2

6 5

6 8 9

m x x

x x m

    



  

 với mọi ^x

 

^{1;3  }

 

 

 

1;3

1;3

max min

m f x

m g x





   . Khi đó ta có 12  m 23. Mà m nên m 



12; 11; 10; ...; 22; 23 



.

Vậy có tất cả 36 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7. Tìm tấtt cả các giá trị của tham số

m

để bất phương trình ²_{2 1}

4

4log x  2log x m   0

có nghiệm với mọi

x

thuộc khoảng

  0;1

^.

A.

1

0; 4

m  

   

^{. B.}

; 1

m      4   

^{. C.}

m    ;0 

^{. D.}

1 ;

4

 

  

^. Lời giải

Chọn D

Điều kiện:

x  0

.

Ta có ²_{2 1}

4

4log x  2log x m   0   log

₂

x 

²

 log

₂

x m   0

^.

Đặt

t  log

₂

x

, do

x    0;1    t  ;0 

^.

Bất phương trình trở thành

t

²

   t m 0     m t

²

t

. Xét hàm

f t      t

²

t

^với

t    ;0 

^.

Ta có

f t       2 1 t

^,

  0 1

f t      t 2

. Bảng biến thiên của hàm

f t      t

²

t

^{như sau:}

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ycbt được thỏa mãn

1 m 4

 

.

Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình ^{ln 5 ln}



^{x2 1}

 

^{ln mx24x m}



^{có tập}

nghiệm là _?

A.1 . B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn A

Ta thấy x² 1 0, x .

Ta có ^{ln5 ln}



^{x2 1}

 

^{ln mx24x m}



^{ln 5}



^{x2 5}

 

^{ln mx24x m}



2 2 2

5 5 4

4 0

x mx x m

mx x m

    

 

  



 

 

2 2

2

5 5 4 1

1 4

x x m x

m x x

    

 

  



 

 

2 2

2

5 4 5

1 4

1

x x

m f x

x

m x g x

x

    

 

     

.

Hàm số ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số ^{g x}

 

có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình có tập nghiệm là _ khi 2 m 3. Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9. Số giá trị nguyên của m để bất phương trình 1 log 3



x² 1



log3



mx²2x m



có nghiệm đúng với mọi số thực x là

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải Chọn A

Điều kiện xác định: mx²2x m 0.

Ta có: 1 log 3



x² 1



log3



mx²2x m



log 33



x² 1



log3



mx²2x m





²



²

 

²

3 x 1 mx 2x m 3 m x 2x 3 m 0.

          

Ta thấy m0; m3 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Với m0và m3. Khi đó:

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ^thì

 

2 2

2 0

3 2 3 0

mx x m x

m x x m x

     

       







 

2 2

0 0

3 0 3

1 2

1 0 1; 1

2; 4

1 3 0

m m

m m

m m m m

m m

m

   

    

 

         

      



.

Mà m ^nên m2.

Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc



^2021;2021



sao cho bất phương trình

1 log 

3

 x

³

 x

²

 3 x m    log 3

3

 x

²

 1 

nghiệm đúng với mọi x trên đoạn

  0;3

. Tính số phần tử của tập hợp S.

A. 2020. B. 2018. C. 2022. D. 4040.

Lời giải Chọn B

Ta thấy 3x²   1 0, x .

Ta có:

1 log 

3

 x

³

 x

²

 3 x m    log 3

3

 x

²

 1 ;    x   0;3



^{3 2}

 

²

  

3 3

log 3x 3x 9x 3m log 3x 1 ; x 0;3

       

 

3 2 2

3x 3x 9x 3m 3x 1; x 0;3

        ^{3m 3x39x  1; x}

 

^{0;3 .}

Xét hàm số: ^{f x}

 

^{ 3x39x1 trên}

 

^{0;3 .}

Ta có: ^{f x}

 

^{ 9x29, f x}

 

^0

 

 

1 0;3 1 0;3 x

x

 

     .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: 7

3 7

m  m 3.

Mà m ^{và m }



^{2021; 2021}



^nên m{3; 4; ; 2020} .

Câu 11. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc



^2021;2021



sao cho bất phương trình 3log 2²₂ x12log₂x  1 m 0 nghiệm đúng với mọi

x

trên khoảng



^2;



^{. Tính}

số phần tử của tập hợp S.

A. 2018. B. 2020. C. 2022. D. 4040.

Lời giải Chọn B

Ta có: 3log 2²₂ x12log₂x  1 m 0 3 log



²2x2 log2x 1 12 log



2x  1 m 0

2

2 2

3log x 6 log x 2 m 0

    

 

^{* .}

Đặt: log₂x t , với ^x



^{2;  }



^{t }¹₂^;.

Khi đó bất phương trình (*) trở thành 3t²   6t 2 m 0 m3t² 6t 2. Xét hàm số

 

^{3 2 6 2, 1;}

f t  t    t t 2  .

Ta có: ^{f t}

 

^{ 6t 6; f t}

 

     ^{0 6t 6 0 t 1}. Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy m 1.

Mà m ^{và m }



^{2021; 2021}



^nên m 



2020; 2019;...; 1 



.

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log (5₂ ^x1).log (2.5₂ ^x2)m có nghiệm x1.

A. m^{. B.} m6. C. m6. D. m6.

Lời giải Chọn A

Với x1 thì 5^x 1 0; 2.5^x 2 0. Ta có log (5₂ ^x1).log (2.5₂ ^x2)m

2 2

log (5^x 1).log (2.5^x 2) m

   

2 2

log (5^x 1). 1 log (5 ^x 1) m

      .

Đặt tlog 52



^x1



dox1^{ t}



^2;



^.

BPT trở thành: t(1 )    t m t² t m.

Đặt f t( ) t² t _{ta có} f t( ) 2 t 1 0 với ^{ t}



^2;



nên hàm số ^{y f t}

 

đồng biến và liên tục trên



^2;



^{. Suy ra f t}

 

^



^6;



^{khi t}



^2;



^.

Do đó để để bất phương trình log (5₂ ^x1).log (2.5₂ ^x 2) m có nghiệm thỏa mãn x1 _thì m

Câu 13. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho khoảng

 

^2;3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình log5



x² 1



log5



x²4x m



1 là

A. 13. B. 12. C. 12. D. 13.

Lời giải Chọn D.

Ta có

2 2

2

2 2

4 4 ( )

(1) 1 5

4 4 5 ( )

4 0

x x m m x x f x

x

m x x g x

x x m

         

 

 

   

    



.

Hệ trên thỏa mãn ^{ x}

 

^{2;3  }

 

2;3

2;3

( ) 12

12 13

( ) 13 m Max f x

m Min g x m

  



       .

Câu 14 . Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn  2018;2018 sao cho bất phương trình

 

^{10x mlog10x 101011logx} đúng với mọi ^x



^1;100



^?

A. 2022. B. 2021. C. 2020. D. 2018.

Lời giải Chọn D.

Điều kiện x0.

Ta có

 

^{  } ^{ }



^{ }



 

log10 1011log log 11

10 10 log 1 log

10 10

x x

m x

x m x x

    

 logx10m logx 1 11logx 0 10 logm x 1 log²x10logx0. Vì ^x



^1;100



^{nên logx}

 

^{0;2 .}

Do đó 10 log



^{ }1 log



^{2 }10log ^{ }0 10 ^{10log }_^log2 log 1

x x

m x x x m

x .

Đặt tlogx, ^t

 

^{0;2 .}

Xét hàm số ^{f t}

 

^10_t^{t t}_^₁² liên tục trên đoạn 0;2 . Ta có

 



^



^

 

     



2 2

10 2 0, 0;2

1

f t t t t

t Hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên

 

^{0; 2 .}

Suy ra

 _0;2

 

¹⁶

max ( ) 2

f t  f  3 .

Để bất phương trình 

 

10log log2

10 log 1

x x

m x đúng với mọi ^x



^1;100



^{thì 10m16}₃ ^{ m} ₁₅^{8 .}

Do đó  

  

 8 ;2018

m 15 hay có 2018 số thỏa mãn.

Câu 15 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể bất phương trình ¹

 

¹



³



2 2

log x 1 log x  x m có nghiệm.

A. m2. B. m^.

C. m2^. D. Không tồn tại m.

Lời giải Chọn B

Điều kiện ₃ 1

0 x

x x m

 

   

 .

Bất Phương trình đã cho  ¹

 

¹



³



^{3 3}

2 2

log x 1 log x          x m x 1 x x m x 1 m. Đặt ^{f x}

 

^{x31, ta có f x}

 

^{3 ,x2 f x}

 

    ^{0 x 0}



^1;



^.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn  m ^.

Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình



²

 

²



2 2

log x mx m 2 log x 2 nghiệm đúng với mọi x?

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Lời giải Chọn D

Ta thấy x²   2 0 x ^. Do đó bất phương trình



²

 

²



^{2 2}

2 2

log x mx m 2 log x 2 x mx m  2 x  2 mx m 0.

Bất phương trình log2



x²mx m 2



log2



x²2



nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi mx m     0 x  m 0^.

Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

m    2021;2022 

để bất phương trình

2 2

3 3 1

3

log 3 x  log x   1 2log x  2 m   2 0

có nghiệm với mọi

x

thuộc đoạn

 1; 3

³



 

^?

A. 2021. B. 2022. C. 4043. D. 4042.

Lời giải Chọn A

Điều kiện

x  0

. Ta có ₃^{2 2}_{3 1}

3

log 3 x  log x   1 2log x  2 m   2 0

 1 log

3

x 

²

log

3²

x 1 2log

3

x 2 m 2 0

       

 log

3

x 

²

log

²3

x 1 2 m 1 0

     

.

Đặt

t  log

²₃

x   1 1

, ta được bất phương trình

t

²

  t 2 m      2 0 t

²

t 2 m  2 *  

^.

Ta có

x    1; 3

³

 

^

0 log 

³

x  3    1 t log

²3

x     1 2 t   1; 2

. Xét hàm

f t     t

²

t

^{, với}

t    1; 2

^{. Ta có}

f t         2 1 0, t t   1;2

^.

Suy ra hàm số

f t  

là hàm đồng biến và liên tục trên đoạn

  1; 2

^.

Ta thấy

f   1  2

^và

f   2  6

^.

Bất phương trình

f t    2 m  2

có nghiệm với

  t   1; 2

 f   2  2 m    2 6 2 m    2 m 2

^.

Do

m 



, m    2021;2022 

^nên

m   2,...,2022 

. Vậy có 2021 giá trị nguyên của

m

_thỏa

mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18. Cho hàm số ^{f x}

 

^



^{2 3}

 

^{2x 7 4 3}



^xln



^{x2 1 x}



. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình ^f



^{3 2 x m}



^{ f x}



^22x2



^0 nghiệm đúng với mọi giá trị x.

A. 3

2

m . B. 1 3

2 m 2. C. 1

2

m . D. m . Lời giải

Chọn D

Ta có

x

²

   1 x x

²

   1 x 0

nên tập xác định của hàm số đã cho là

D  

^.

Với  x R, ta có ^{f x}

 

^



^{2 3}

 

^{2x 2 3}



^2xln



^{x x21}



  

^{2 3}

 

^{2x 2 3}



^{2x ln}



^{2 1}



f x ^ x x

        

^{ }



^{2 3}

 

^{2x 2 3}



^2xln



^{x x21}



^^{  f x}

 

 

 f x là hàm số lẻ.

Lại có

 

^{2. 2}



³

 

^{2 ln 2 3}

 

^{2. 2 3}

 

^{2 ln 2 3}



¹₂ ^0,

1

x x

f x x

x

            

 

 Hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên ^.

Ta có ^f



^{3 2 x m}



^{ f x}



^22x2



^{ 0 f x}



^22x2



^{ f}



^{2 x m 3}



2 2 2 2 3 2 2 2 1

x  x  x m   x m x  x

2 2

2 4 1

2 1

    

 

 



m x x

m x , x .

Do max( x² 4x 1) 3, min(x² 1) 1



 nên ta có

3 2 1 2 m m

 

 



.

Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 19. Biết rằng a là số thực dương sao cho bất phương trình log2_ 5



3



log 5 2 6 9 0

    

x ax x x

nghiệm đúng với mọi x. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^a



^12;14



^{. B. a}



^10;12



^{. C. a}



^14;16



^{. D. a}



^16;18



^.

Lời giải Chọn D

Ta có log2_ 5



3



log 5 2 6 9 0 log2_ 5



3



log2_ 5



6 9



        

x ax x x x ax x x

3^xa^x 6^x9^x  a^x 18^x 6^x9^x3^x18^x

^{ax18x 3 2x}



^{x 1}

 

^{9 2x x1}



^{ax18x  3 2x}



^{x1 3}



^x1

  

^{* .}

Ta thấy



^{2x 1 3}



^{x   1}



^{0, x}  ^{ 3 2x}



^{x1 3}



^{x   1}



^{0, x} . Do đó,

 

^* đúng với mọi mọi x a^x 18^x   0, x  ^1,

18 a x

  x

    

  

 

1 18 16;18

18

a a

     .

Câu 20. Cho hàm số ^{f x}

 

^log



^{x 1 x22x2}



. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc



^10;10



để bất phương trình ^f



^{2 x m}



^{ f}



^{ x2 4x6}



^0 nghiệm đúng với mọi x thuộc



^1;1



^?

A. 8. B. 4. C. 11. D. 3.

Lời giải Chọn A

Ta có ^{x 1 x22x   2 x 1}



^x1



²       ^{1 x 1 x 1 0, x}  Hàm số ^{f x}

 

^log



^{x 1 x22x2}



xác định trên _.

Ta có

   

   

2

2

2 log 1 1 1 log 1

1 1 1

f x x x f x

x x

 

   

              

   

   

2

2 2

1 1

1 1 1

0,

1 1 1 ln10 1 1 ln10

x

f x x x

x x x

 

 

     

         

   

   

 hàm số ^{f x}

 

^đồng

biến trên _.

Ta có: ^f



^{2 x m}



^{ f}



^{ x2 4x6}



^{ 0 f}



^{2 x m}



^{ f}



^{ x2 4x6}





²

 

^{2 4 8}



^{2 2 4 8}

f x m f x x x m x x

         

2 2

2 2

2 2 4 8 2 6 8

2 2 4 8 2 2 8

x m x x m x x

x m x x m x x

         

 

       

 

Xét các hàm số ^{u x}

 

^{  x2 6x8 và v x}

 

^{x22x8 trên}



^1;1



ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc



^1;1



^thì

15 2 11

2 m m

  



 

. Do m nguyên và ^{m }



^10;10



^{nên có 8 giá trị m} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 21. Cho hàm số

 

² 2

1 1 x x f x x

  

 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

   

   

2 4

5

2^{f x f x} log f x 4 m

f x

  

   

 

  có nghiệm ^x



^0;



^.

A. 9

m8. B. 1

m2. C. 9

m8. D. 1

m2. Lời giải

Chọn C

Xét hàm số

 

² 2

1 1 x x

f x x

  

 trên khoảng



^0;



^.

Ta có

 

 

2 2 2

1 1 f x x

x

   

 ;

 

²

 

0 1 0 1

1 0;

f x x x

x

 

           

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy ¹

 

^3,



^0;



f x 2 x

     .

Xét hàm số

 

^{   }

   

2 4

5

2^{f x f x} log 4

g x f x

f x

  

     trên



^0;



Do ^{f x}

 

^1 nên hàm số ^{g x}

 

xác định trên khoảng



^0;



^.

Ta có

     

^{   }

   

   

2 2

4

1 4

. 2 4 .2 .ln 2

4 ln 5

f x f x f x

g x f x f x f x

f x f x



 

  

 

           

     

^{   }

 

   

 

2 4

3

2 2.2 .ln 2 2

4 ln 5

f x f x f x

g x f x f x

f x f x

   

    

       

. Do ¹

 

³

f x 2

  nên ^{g x}

 

^{ 0 f x}

 

^{  0 x 1}

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho có nghiệm ^x



^0;



^{thì 9}

m8.

Câu 22. Cho các bất phương trình ^{log2 x24x m 2 log4}



^{x24x m}



^8

 

^{1 và}

3 x x 1 0

 

² . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình

 

² đều là nghiệm của bất phương trình

 

^{1 .}

A. 254. B. 255. C. 256. D. 257.

Lời giải Chọn B

Bất phương trình

 

^{2 }_{  }³_x^{ }_{1 0}^{x 0  1 x 3}

 ^.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình

 

^{2 là: S}

 

^{1;3 .}

Do đó mọi nghiệm của bất phương trình

 

² đều là nghiệm của bất phương trình

 

¹ khi và chỉ khi bất phương trình

 

¹ có nghiệm đúng với mọi ^x

 

^{1;3 .}

Điều kiện:

 

2

2 2

4

4 0

4 1

log 4 0

x x m

x x m

x x m

   

    

   



2 4 1

m x x

     thỏa mãn ^{ x}

 

^{1;3 .}

Khi đó

 _1;3

 

max

m f x với ^{f x}

 

^{  x2 4x1.}

Xét hàm số ^{f x}

 

^{  x2 4x1} trên đoạn

 

^1;3

 

^{2 4 0}

f x    x  x 2. Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 

 

max1;3 5

m f x  m . (3) Ta có ^{log2 x24x m 2 log4}



^{x24x m}



^8



²

 

²



2 2

1 1

log 4 2 log 4 8

2 x x m 2 x x m

       .

Đặt ^{t 1}₂^log2



^{x24x m}



^{, t0.}

Bất phương trình trở thành: ^t2     ^{2t 8 0 t}



^4;2



 ^t

 

^{0; 2} . Với t2 ta có 2



²



1log 4 4

2 x  x m  m  x² 4x256 với mọi ^x

 

^{1;3 .}

 

 

min1;3

m g x

  với ^{g x}

 

^{  x2 4x256.}

Xét hàm số ^{g x}

 

^{  x2 4x256 với x}

 

^{1;3 .}

 

' 2 4 0 2

g x      x x . Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên:

 

 

min1;3 259

m g x  m . (4) Từ

 

^{3 ,}

 

^{4 ta có m}



^5;259



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có tất cả 255 giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình

 

^{2 đều là}

nghiệm của bất phương trình

 

^{1 .}

Câu 23. Cho bất phương trình 2^x22.log2



x²4x6



4^{x m} log 22



x m 2



với m là tham số thực.

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi

 

^0;2

x là đoạn

 

^{a b; . Khi đó a2b2 bằng:}

A. 4. B. 8. C. 16. D. 0.

Lời giải Chọn B

Điều kiện: x^.

Ta có 2^x22.log2



x²4x6



4^{x m} log 22



x m 2



 ²² 2

 

^{2 2} 2

   

2^x .log  x 2 2 2 ^{x m} log 2 x m 2 1

      

Xét hàm số y2 .log^t 2



t2



với t0.

Hàm số y2 .log^t 2



t2



xác định và liên tục trên



^{0; }



^.

Ta có ^{2 .log2}



^{2 .ln 2}

 

^{2 ln 22}



^{0, 0}

t

y t t t

    t   

 .

Vậy hàm số y2 .log^t 2



t2



đồng biến trên



^{0; }



^.

Khi đó

 

^{1  f}

 

^x2



²



^{ f}



^{2x m}



^



^x2



^{22x m}



^{x 2}



^{2 2}



^{x m}

 

^{x 2}



²

      

2

 

2

2 6 4

, 0; 2

2 2 4

m x x

m x x x

   

  

   



 

 

 

 

2 0;2

2 0;2

2 min 6 4

2 max 2 4

m x x

m x x

   

 

   



2 4

2 2

2 4

m m

m

 

       ^. Vậy tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi

 

^0;2

x là đoạn



^{2; 2}



^{  a 2;b 2 a2b28.}

Câu 24. Cho a b, là các số nguyên dương nhỏ hơn 2022 . Biết rằng với mỗi giá trị của b luôn có ít nhất 1000 giá trị của a thỏa mãn



2^{a b 2}2^{b a}



.log_a1 b4^b1. Số giá trị b là

A. 1021. B. 1022 . C. 1020 . D. 1023 .

Lời giải Chọn A

Đặt c a 1,c2, khi đó



2^{a b 2}2^{b a}



.log_a1 b4^b 1



2^c2^c



.log_cb2^b2 , 1^b

 

. +) b1, không thỏa mãn

 

^{1 .}

+)

 

2

2 2 15

2 , 2

log 4

c c

b c

 

   .

) c2, không thỏa mãn

 

^{2 .}

)  c 3, hàm

     

 

²

2

2 .ln 2.ln 1 .2 .ln 2.ln 2

2 2 , 0

log .ln 2 log

c c c

c c

c

c c c c

f c f c

c c c

 

   

 

   .

Suy ra

   

^{3 15, 3 2 2021}

f c  f  4     c a . Do đó b2thỏa mãn.

+) b3,

 

^{1 2 2 2 2 , 3}

 

ln ln

c c b b

c b

 

 

  .

Hàm số

 

2

2 2

log

t t

f t t

 

 đồng biến với mọi t3 và c2 không thỏa mãn

 

^{3 nên c3.}

Do đó

 

^{3 ,}



³



^{3 2021 3 3 1022}

2021 1 1000

c b b b a b b

b

 

              . Vậy 2 b 1022.

Câu 25. Có bao nhiêu số nguyên ^{m }



^{2022; 2022}



sao cho thỏa mãn bất phương trình ln 1 ln

1 1

x x m

x  x x  x

  ^{, x 0,x1?}

A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 0.

Lời giải Chọn C

Bất phương trình đã cho tương đương với 2 ln₂ 1 1 x x x m

  

 ^{,  x 0,x1. (1)} Xét hàm số 2 ln₂

( ) 1

f x x x x

 

 ^{, x0,x1.}

Ta có

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 ln 1 2[( 1) ln 1] 1

( ) ( 1) ( 1)( 1)

x x x x x x

f x x x x

   

  

    

  

   .

Xét hàm số

2 2

( ) ln 1

1 g x x x

x

  

 , x0. Ta có

2 2

2 2

( 1)

( ) 0

( 1) g x x

x x

   

 ^,  x 0, x1; ( ) 0g x   x 1. Suy ra ( )g x g(1) 0 khi x1 và ( )g x g(1) 0 khi x1. Do đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra (1)    m 1 1 m0. Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 26. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số mđể bất phương trình

 

2 2 ^x ln 2 1 0

x  e mx x   e đúng với  x ?

A. 1. B.

2

. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn A

Bất phương trình đã cho tương đương với:

 

^{2 2 x ln}



²



^{1 0}

f x x  e mx x   e . Nhận thấy nhanh rằng: ^f

 

^{0 0}

Suy ra hàm số trên thỏa mãn

   

 

0 0

0 0

f x f x R

f

    

 

 

 hàm số đạt cực tiểu tại x0

Xét ^{f x}

 

^{2x 2ex m} ₂^2x

x e

    

 ^{có f}

 

^{0     2 m 0 m 2}

Thử lại với m2thì ^{f x}

 

^{x22ex2xln}



^{x2 e}



¹

 

2 2

 

2 1

2 2 ^x 2 x 2 1 2 ^x 1 0 0

f x x e x e x

x e x e

 

               

Đến đây ta nhận thấy ^{f x}

 

^{ f}

 

^{0 0}nên suy ra m2 thỏa nên có đúng 1 giá trị m

Câu 27. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số mđể bất phương trình



m²4m4 log



2



x²2mx m ² 1



m²log3



x² 1



0có nghiệm thực x?

A. 1. B.

2

. C. 3. D. 6.

Lời giải Chọn B

Bất phương trình đã cho tương đương với:

 

^{2 2}

  

²



^{2 3}



²



0 0 0

2 log 1 log 1 0

m x m m x

  

      

  

Ta nhận thấy:



^{m2 log}



^{2 2}

 

^{x m}



^{2 1}



^m2log3



^{x2 1}



⁰nên suy ra bất phương trình trên chỉ có nghiệm khi xảy ra dấu bằng, tức là:

             

 

 

 

 

 

 

 

2 2

2 2 2 2 2

2 3

2 2

3

2 2

2 2

2

2 2

2 3

2 log 1 0

2 log 1 log 1 0

log 1 0

2 0 2 0 2 2

log 1 0 0 0

0 0

0 0

0 0

log 1 0 0

m x m

m x m m x

m x

m m m m

x m x m x m x

m m

m m

x x

x x

    

       

  

         

   

        

   

         

Suy ra có 2 giá trị thực mthỏa mãn bài toán

Câu 28. Gọi Slà tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số mđể bất phương trình ln x24x 3 logm có đúng 3 nghiệm nguyên, vậy tổng phần tử của Slà

A. 108. B.

5

. C.Vô số D. 89.

Lời giải Chọn B

Bất phương trình đã cho tương đương với:

 

2 2

ln x 4x 3 logm f x ln x 4x 3 logm

Xét hàm số

 

^{ln 2 4 3 ; 2 4 3 0 1}

3

f x x x x x x

x

 

        

Ta có:

     

     

     

2

1 1

2

3 3

2 2

2 2 2

lim lim ln 4 3 ln 0

lim lim ln 4 3 ln 0

2 4 4 3

4 3

0 2

4 3 4 3

x x

x x

f x x x

f x x x

x x x

x x

f x x

x x x x

 

 



      

      



      

      

    



Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Nhận thấy ngay 3 nghiệm nguyên thỏa mãn bài toán đó là: x0; 2;4. Lưu ý rằng hai nghiệm nguyên x1;x3 bị vi phạm điều kiện nên không được tính

Suy ra ^f

 

^{4 logm f}

 

^{5 ln 3 log mln8m Z   13 m 120}

Như vậy có tất cả 120 13 1 108   giá trị nguyên mthỏa mãn bài toán.

Câu 29. Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên



^{a b c d; ; ;}

