• Không có kết quả nào được tìm thấy

Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT TP HCM - THCS.TOANMATH.com

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT TP HCM - THCS.TOANMATH.com"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HCM (Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Ngày thi: 17/07/2020

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,0 điểm)

Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện + + =2020

+ + +

a b c

b c c a a b . Tính giá trị của biểu thức = +2 + +2 + +2 :

(

+ +

)

a b c

P a b c

b c c a a b .

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x2+ + +x 9 2x2− + = +x 1 x 4. b) Giải hệ phương trình 22 23 82 2 6 1

8 1

 − = − +



= + − +



y xy x x

y x x x .

Câu 3: (1,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC

(

AB BC CA< <

)

nội tiếp đường tròn

( )

O . Từ Akẻ đường thẳng song song với BC cắt

( )

O tại A1. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt

( )

O tại B1. Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt

( )

O tại C1. Chứng minh rằng các đường thẳng qua A B C1, ,1 1 lần lượt vuông góc với BC CA AB, , đồng quy.

Câu 4: (2,0 điểm)

a) Cho 2 số thực a b, . Chứng minh rằng: 2 2 2( 2)2

2 2

+ −

≥ +

+ + a b ab a b

a b . b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn điều kiện a b+ ≤3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a= − +20 7+ a b. Câu 5: (2,0 điểm)

Đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB BC CA, , lần lượt tại D E F, , . Kẻ đường kính EJ của đường tròn ( )I . Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC. Đường thẳng JD cắt d BC, lần lượt tại L H, .

a) Chứng minh: E F L, , thẳng hàng.

b) JA JF, cắt BC lần lượt tại M K, . Chứng minh: MH MK= . Câu 6: (1,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương x y, thỏa mãn phương trình 3xy3=1. --- HẾT ---

ĐỀ CHÍNH THỨC

(2)

Lời giải tham khảo

Câu 1: Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện + + =2020

+ + +

a b c

b c c a a b . Tính giá trị của biểu thức  2 2 2 :

( )

= + + + + +  + +

a b c

P a b c

b c c a a b .

Hướng dẫn giải

( )

( ) ( )

2 2 2

:

1 1 1 1 1 1 . 1

. . . 1

. 1

 

= + + + + +  + +

      

=  + + − +  + + − +  + + −  + +

+ + + + + +

 

= + − + + − + + −  + +

   

= + +  + + + + + − + +  + +

= + +

+ +

a b c

P a b c

b c c a a b

a b c

a b c

b c c a a b a b c

a b c a b c a b c

a a b b c c

b c c a a b a b c

a b c

a b c a b c

b c a c a b a b c

a b c

b c a c − =1 2020 1 2019− = a b+

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x2+ + +x 9 2x2− + = +x 1 x 4. b) Giải hệ phương trình 22 23 82 2 6 1

8 1

 − = − +



= + − +



y xy x x

y x x x .

Hướng dẫn giải a. 2x2+ + +x 9 2x2− + = +x 1 x 4

Điều kiện x∈.

Đặt 2 2 2

2

2 9 0

2 4

2 1 0

 = + + > −

 ⇒ = +

 = − + >



a x x a b x

b x x

Khi đó phương trình trở thành

2 2

2( ) ( )( ) 2

2

+ = a b− ⇔ + = − + ⇔ − =

a b a b a b a b a b (do a b+ >0) Do đó

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 9 2 1 2 2 9 2 2 1

2 9 4 2 1 4 2 1

2 2 1 2 2

4(2 1) 4 4

2 0

2 0

7 8 0 8 87

7

+ + − − + = ⇔ + + = + − +

⇔ + + = + − + + − +

 ≥ −

⇔ − + = + ⇔ 

− + = + +

 ≥ −

 =

≥ − 

  = 

⇔ − = ⇔ = ⇔ =

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x x

x

Vậy 0;8

7

 

=  

 

S .

(3)

b. 22 23 82 2 6 1(1)

8 1(2)

 − = − +



= + − +



y xy x x

y x x x

Từ phương trình (1) ta có 2 2 3 1 4 1

( ) (3 1)

1 3 1 2

− = − = −

 

− = − ⇔ − = − ⇔ = −

y x x y x

y x x

y x x y x

Với y=4 1x− , thay vào (2) ta được

2 3 2 3 2 2

2

(4 1) 8 1 8 7 0 ( 8 7) 0

0 1

0 1 3

8 7 0

7 27

− = + − + ⇔ − + = ⇔ − + =

= ⇒ = −

= 

 

⇔ − + = ⇔ = ⇒ = = ⇒ =

x x x x x x x x x x

x y

x x y

x x x y

Với y= −1 2x, thay vào (2) ta được

2 3 2 3 2 2

2

(1 2 ) 8 1 4 3 0 ( 4 3) 0

0 1

0 1 3

4 3 0 3 7

− = + − + ⇔ + + = ⇔ + + =

= ⇒ =

= 

 

⇔ + + = ⇔ = − ⇒ = = − ⇒ =

x x x x x x x x x x

x y

x x y

x x x y

Vậy S=

{

(0;1),(0; 1),(1;3),(7;27),( 1;3),( 3;7)− − −

}

. Câu 3: (1,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC

(

AB BC CA< <

)

nội tiếp đường tròn

( )

O . Từ Akẻ đường thẳng song song với BC cắt

( )

O tại A1. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt

( )

O tại B1. Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt

( )

O tại C1. Chứng minh rằng các đường thẳng qua A B C1, ,1 1 lần lượt vuông góc với BC CA AB, , đồng quy.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trực tâm của tam giác ABCOH cắt đường thẳng qua A1, vuông góc với BC ở điểm K. Gọi M là trung điểm AA1 thì OMAA1. Suy ra OM BC⊥ .

Mặt khác, tứ giác AHKA1 là hình thang vì AH A K1 nên ta có OM là đường trung bình, kéo theo O là trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1, vuông góc với BC sẽ đi qua điểm đối xứng với trực tâm H của tam giác ABC qua O.

Rõ ràng điểm này bình đẳng với B C, nên hai đường qua B C1, 1 lần lượt vuông góc với CA AB, cũng đi qua K. Vì thế nên ta có các đường thẳng của đề bài đồng quy ở K.

M

K H O

A1

B C

A

(4)

Câu 4: (2,0 điểm)

a) Cho 2 số thực a b, . Chứng minh rằng: 2 2 2( 2)2

2 2

+ ≥ + −

+ + a b ab a b

a b . b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn điều kiện a b+ ≤3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a= − +20 7+ a b. Hướng dẫn giải a) Cho 2 số thực a b, . Chứng minh rằng: 2 2 2( 2)2

2 2

+ ≥ + −

+ + a b ab a b

a b . Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2 2

1 1 0

2 2

− − −

+ ≥ + ⇔ ≥

+ + + +

 

⇔ −  − + + ≥

a b a b a b

a b ab

a b a b

a b a b

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn điều kiện a b+ ≤3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a= − +20 7+

a b.

Ta có: − ≥ −a b 3 nên 20 7 3 20 7

= − + + ≥ + − +3 +

Q b a b b

a b b b

20 7 2 3

= − +3 + b

b b

( )

20 7

5 3 7 18

= − +3 + + −

bb

b b 2 5. 3

( )

. 20 2 7 .7 18 16

≥ − 3 + − =

bb

b b

min 16

Q =

Dấu bằng xảy ra khi 5 3

( )

20

3 1

7 7

 − =

 − ⇒ =

 =



b b b

b b

2

⇒ =a .

Câu 5: (2,0 điểm)

Đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB BC CA, , lần lượt tại D E F, , . Kẻ đường kính EJ của đường tròn ( )I . Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC. Đường thẳng JD cắt d BC, lần lượt tại L H, .

a) Chứng minh: E F L, , thẳng hàng.

b) JA JF, cắt BC lần lượt tại M K, . Chứng minh: MH MK= . Hướng dẫn giải

a) Ta có JE là đường kính của ( )I nên

= °90

JDE và tam giác HDE vuông ở D. Chú ý rằng BD BE= , do cùng là tiếp tuyến kẻ từ B đến ( )I nên BD BH= (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Do đó tam giác BHD cân ở B.

AL BH nên hai tam giác ADLBDH đồng dạng, kéo theo ADL cân ở A hay .

= =

AL AD AE

AL CE nên LAF FCE = , mà hai tam giác ALF CEF, đều cân có các góc ở đỉnh bằng nhau nên chúng đồng dạng. Suy ra  AFL CFE= , kéo theo L F E, , thẳng hàng.

T

M K L

H

J

I F

E D

C B

A

(5)

b) Kéo dài JF cắt dT thì tương tự câu a, ta có T D E, , thẳng hàng và .

= = =

AT AD AF AL Theo định lý Thales với d BC thì AL = AJ = AT

MH JM MK , mà AT AL= nên MH MK= . Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên dương x y, thỏa mãn 3xy3 =1.

Hướng dẫn giải

Ta có 3x= y3+ =1 (y+1)(y2− +y 1).Do đó, tồn tại các số tự nhiên u v, sao cho

2

1 3 1 3

 + =



− + =



u v

y

y y .

y+ >1 1 nên 3 1u > hay u≥1. Rút y=3 1u− , thay vào phương trình dưới, ta có (3 1) (3 1) 1 3u2u − + = v hay

2 2 1 1

3 u− ⋅ + =3 3 3 3u v ⇔3u − + =3 1 3 .u v

Vì vế phải nguyên nên ta phải có v− ≥1 0 hay v≥1. Tuy nhiên, nếu v− >1 0 thì 3v1 chia hết cho 3, trong khi vế trái không chia hết cho 3, vô lý. Do đó, v=1 hay

2− + = ⇔1 3 2− =2

y y y y .

Giải ra được y=2. Thay vào đề bài, ta được 3x= y3+ =1 9 nên x=2.

Vậy nên tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là ( , ) (2;2).x y = --- HẾT ---

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Phát biểu (3) diễn đạt chưa đúng nội dung của Tiên đề Euclid do sai ở cụm từ “ít nhất”, theo Tiên đề Euclid thì qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường

GIỜ HỌC KẾT THÚC GIỜ HỌC KẾT THÚC CẢM ƠN QUÝ THẦY CÔ2. CẢM ƠN QUÝ

- Biết vận dụng kiến thức để vẽ hình và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng, giải được 1 số bài toán trong thực tế1.

Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ C và D song song với BE cắt AB tại M và N. Vậy đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau. Điểm C di chuyển trên đường nào?..

Lời giải.. Điểm C di chuyển trên đường trung trực của OA. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M

Phương pháp giải: Sử dụng công thức liên quan đến hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng cắt nhau.. Bài 9: Viết phương trình đường thẳng

Bước 2: Vẽ đường thẳng CD đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN ta được đường thẳng CD song song với đường

Quan sát hình ảnh một phần bản đồ giao thông ở thành phố Hồ Chi Minh, đọc tên một số đường phố và trả lời câu hỏi.. Hai đường phố nào gợi nên hình ảnh hai