Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1 3 y x x

(1)

BTVN : TIỆM CẬN Mức độ 1.

Câu 1. Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1 3 y x

x

 

 ^là

A. x2. B. x 3. C. x3. D. x 2. Lời giải

Chọn C

Tập xác định ^D^^{\ 3}

 

.

3

lim

x y

 

3

2 1 lim 3

x

x x



  

 ^;^x^lim^³^^y ³ 2 1 lim 3

x

x x



   

 ^{, suy ra}x3 là tiệm cận đứng.

Câu 2. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có lim ( ) 3

x f x

  và lim ( ) 3

x f x

   . Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y3 và y 3. B. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x3 và x 3. C. Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là x3 và x 3. Lời giải

Chọn A

Vì lim ( ) 3

x f x

  , lim ( ) 3

x f x

   nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y3 và 3

y  .

 

có bảng biến thiên như hình vẽ

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số^{f x}

 

^là

A. y 1. B. x 1. C. x2. D. x1. Lời giải

Chọn B

Từ bảng biến thiên suy ra

 ¹

lim ( )

x _ f x

   do đó đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1.

Câu 4. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 3 y x

x

 

 ^là

A. 2

y3. B. x 2. C. y 2. D. x3. Lời giải

Chọn C Ta có

2 1

lim lim 3 2

x x 1

y x

x

 

   



;

(2)

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳngy 2. Câu 5. Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3

y 2

 x

 ^là

A. x0. B. x 2. C. x3. D. y0. Lời giải

Chọn B

Tập xác đinh ^D^^\

 

^² ^.

lim2

x _ y

 

2

lim 3 2

x^^x  

 ^;^x^lim^²^^y ² lim 3

2

x^^ x

  

 ^{, suy ra}x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 

có đồ thị như hình dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4 . B. Không có tiệm cận. C. 2 . D. 3.

Lời giải Chọn A

Nhìn đồ thị ta thấy nhánh bên phải có một tiệm cận đứng, một tiệm cận ngang và nhánh bên trái cũng vậy. Tổng cộng có 4 tiệm cận.

Câu 7. Cho hàm số y f x( ) có tập xác định là ^\



^^2;1



^và

2

lim ( )

x

f x



  và

1

lim ( )

x

f x



 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x 2 và x1. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y1 và y 1.

Lời giải Chọn C

Câu 8. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 3 y x

x

 

 ^là

A. 2

y3. B. x 2. C. y 2. D. x3. Lời giải

Chọn C Ta có

2 1

lim lim 2

3 1

x x

y x

x

 

   

 ^;

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳngy 2.

(3)

Câu 9. Đường thẳng 1

y3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây?

A. 3 1

3 y x

x

 

 ^B.

1 3 3 y x

x

 

 ^C.

2 1 3 1 y x

x

 

 ^D.

1 3 1 y x

x

 

 Lời giải

Chọn B

Ta có đường thẳng 1

y3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ở phương án B.

3 phương án còn lại đồ thị hàm số có tiệm cận ngang lần lượt là 3, 2, 1

3 3

y y y  . Câu 10. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ

Đồ thị hàm số^{f x}

 

có bao nhiêu tiệm cận ngang?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên suy ra

 ¹

lim ( ) , lim ( ) 2, lim ( ) 1

x x

x _ f x f x f x

 

      do đó đồ thị hàm số có

một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1 và 2 tiệm cận ngang là y2,y1. Mức độ 2

Câu 1. Cho hàm số

 

¹ ₂

f x 4

 x

 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳngy0và hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x 2.

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳngy0, không có tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, có hai tiệm cận đứng là các đường thẳngx 2. Lời giải

Chọn D

HS có tập xác định là khoảng



^^{2; 2}



do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có:

 

lim2

x _ f x

   ,

 

lim2

x _ f x

   do đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x 2.

Câu 2. Đồ thị hàm số

   

2 2

4

2 3

y x

x x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hàm số có tập xác định:^{\ 2;3}



^



^.

(4)

Ta có:

   

2 3

2 2

1 4

lim 4 lim 0

2 3 1 2 1 3

x x

x x x

x x

 

   

         

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y0.

Ta có: ^{ }

   

^{ }

 

  

 

   

^{ }

 

  

2

2 2 2

2

2 2 2

4 2

lim lim

2 3

4 2

lim lim

2 3

x x

 

 

   



    

    

  

   

    



Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 2.

Ta có: ^{ }

   

 

   

2 3 2

lim 4

2 3

lim 4

2 3

x

x x

x

x x





 

   

  



   

  



Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 3. Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Câu 3. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 3 y x

x

 

 là

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

Tập xác định:^{D= 3; +}

 

^.

Ta có:

2

1 2

lim 2 lim

3 1 3

x x

x

x x

 

    

 

nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

lim3

x _y

   nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng.

Vậy tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 1.

Câu 4. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 3 4 y x

x

 

 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có chu vi bằng

A. 6. B. 12 . C. 8. D. 16.

Đồ thị hàm số 2 3 4 y x

x

 

 có các đường tiệm cận là x4, y2.

Do vậy hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có chu vi bằng:



^{2 4 .2 12}^



^ ^.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số



²



³

4

m x

y x

 

  đi qua điểm ^A



^^1;2



^.

A. m 2. B. m1. C. m 4. D. m2. Lời giải

Chọn C

(5)



²



³

 

lim 2

4

x

m x

x m



 

  

 nên phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

: 2

d y  m .

d đi qua điểm ^A



^^{1; 2}



^nên     ^m ^{2 2} ^m ⁴. Vậy m 4.

 

có bảng biến thiên dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Từ bảng biến thiên, ta được:

lim lim

x x

y y





  

  

 suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

lim0

x y

   suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x0. Vậy đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

có 1 đường tiệm cận.

Câu 7. Đồ thị hàm số x₂ 9 3

y x x

  

 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

Lời giải Chọn D

Tập xác định của hàm số ^D^{  }



^9;

 

^{\ 1;0}^



2 9 3 0

xlim x

x x



  

 nêny0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

 

1 1

lim lim 1

( 1) 9 3

x _ y x _ x x

   

  

 nên x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

0 2

9 3 1

lim^x 6

x x x



  

 nên x0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả hai đường tiệm cận.

Câu 8. Đồ thị hàm số ₂ 2 4 12 y x

x x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.

Tập xác định của hàm số ^D^^\



^^2;6



^.

2

2 2 1

4 12 ( 2)( 6) 6

x x

y x x x x x

 

  

    

Suy ra đường thẳng x6 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng.

(6)

Câu 9. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4 3 2 y x

x

 

 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

A. 3. B. 12 . C. 8. D. 6.

Hàm số 4 3

2 y x

x

 

 có các đường tiệm cận là x2,y4. Do vậy tạo với trục tọa độ hình chữ nhật diện tích bằng 8.

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 4x 5 y x m

 

 đi qua điểm ^A



^^3;1



^.

A. m 3. B. m 4. C. m5. D. m4. Lời giải

Chọn A

Tập xác định ^D^^\

 

^m . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi 5 m 4. Phương trình tiệm cận đứng:

 

^d ^:^{x m}^ ^.

Yêu cầu bài toán   m 3 (thoả mãn).

Mức độ 3

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^^2021;2021



để đồ thị hàm số

2

1 4 y x

x mx

 

  có 3 đường tiệm cận?

A. 4033. B. 4034. C. 2017. D. 2016.

Ta có: lim 0

x

y

  . Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng y0. Yêu cầu bài toán  Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng

2 4 0

x mx

    có hai nghiệm phân biệt khác 1

2 4

16 0 4

1 4 0

5 m m

m m

m

  

   

        .

Do ^m^{ }



^2021;2021



^và^m^ nên có tất cả 4033 số.

Câu 2. Cho hàm số

2

5 2

3 2

x x

y x x

  

   . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y1. B. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y0. C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y 1.

D. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là hai đường thẳng y 1 và y1. Lời giải

Chọn C

Tập xác định: ^D^{ }



^;1



^.

(7)

Ta có: ²

2

5 2 1

lim lim lim 1

3 2

3 2 1

x x x

x x x x x

y x x

x x

  

  

  

   

    

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y 1. Câu 3. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 1

1 y x

x

 

 sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang bằng khoảng cách từ M đến trục tung.

A. 1

2;3 M 

 

 . B. ^M

   

^{2;1 ,}^M ^4;3 ^. ^C.^M

  

^{1;0 ,}^M ^^2;3



^{. D.}^M

  

^{0 ;1 ,}^M ^^2;3



^.

Do M thuộc đồ thị hàm số 1 1 y x

x

 

 ^nên

0 0

0

; 1 1 M x x

x

  

  

  với x₀ 1. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là :d y 1 0 . Ta có: ^{d M d}



^,



^^{d M Oy}



^,



0 ⁰

0

1 1 1 x x

x

   



0 0

1 0

2 3

x y

  

     

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số ₃ ₂2 3 y x

x x m

 

  ^{có nhiều} đường tiệm cận nhất.

A. m^. ^B.^_{  }^m_m^⁰₄

 . C. 0 m 4. D.   4 m 0. Lời giải

Chọn C

Ta có ₃ ₂2

lim lim 0

3

x x

y x

x x m

 

  

  ^nên^y^⁰ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số ₃ ₂2 3 y x

x x m

 

  có nhiều đường tiệm cận nhất khi và chỉ khi đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng.

Suy ra phương trình x³3x² m 0 có 3 nghiệm phân biệt và khác 2 .

Phương trình x³3x² m 0 không có nghiệm x 2 nên

 

^² ³^{ }^{3 2}

 

²^{  }^m ⁰ ^m^²⁰^.

Phương trình x³3x²  m 0 x³3x² m

Xét hàm số: ³ ² ² 0

3 3 6 ; 0

2 y x x y x x y x

x

 

 

        

3 3 2

x  x  m có 3 nghiệm phân biệt 4 0

0 4

20

m m

m

   

     .

(8)

Câu 5. Số các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2 y x m

mx

 

 có đúng 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, đồng thời hai tiệm cận này tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 18 là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng

2 0

0 0

m m

   

    

 

.

Khi đó tiệm cận đứng có phương trình 2 xm.

Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang  m 0. Phương trình tiệm cận ngang là y 1

m. Khoảng cách từ tiệm cận đứng đến trục Oy là 2

m . Khoảng cách từ tiệm cận ngang đến trục Ox là 1

m .

Theo giả thiết

 

2

2 2

1

1 . 2 18 2 18 2 18 1 3

1 9

3

m N

m m m m m

m N

 

        

  



.

Vậy có 2 giá trị 1

m3, 1

m 3 thỏa mãn đề bài.

 

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

có tiệm cận ngang là

A. y1 và y 2. B. y 1 và y 2. C. y1 và y2. D. y2. Lời giải

Chọn C

Ta có đồ thị hàm ^y^ ^{f x}

 

có dạng là:

(9)

Suy ra đồ thị có hai tiệm cận ngang là y1 và y2.

Câu 7. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2

1 1

3 y x

x mx m

 

   có đúng hai tiệm cận đứng.

A. 1 0;2

 

 

 . B.



^0;^



^. ^C. ^{1 1}^;

4 2

 

 

 . D. 1

0;2

 

 

 . Lời giải

Chọn A

Tập xác định: ^D^{  }



^1;



^.

Ta có x²mx3m 0^^x²^^mx^³^m^^{0 1}

 

^^x²^^{m x}



^³



²

3

x m

 x 

 Yêu cầu bài toán^

 

¹ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 Đặt

 

²

3 f x x

 x

 với ^x^{  }



^1;



^{. Ta có}

 

2 2

6 3

x x

f x x

  

 Khi đó ^{f x}^

 

^⁰^ ^x²^⁶^x^⁰ ⁶



¹^;



0 x x

 

      . Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, giá trị m thỏa yêu cầu bài toán 1 0 m 2

   . Câu 8. Cho hàm số 2 3

2 y x

x

 



 

^C ^{. Gọi}^M là điểm bất kỳ trên

 

^C ^,^d là tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị

 

^C . Giá trị nhỏ nhất của d là

A. 5. B. 10. C. 6. D. 2

1 2

+∞

0 x

y' y

0

+

1 + ∞

0

(10)

+ Gọi ₀ ⁰

0

2 3

( ; )

2 M x x

x



 thuộc đồ thị ( )C , với x₀  2

+ Đồ thị ( )C có: tiệm cận đứng ₁:x2; tiệm cận ngang ₂:y2 + Ta có: d M( , ) ₁ x₀2 và ₂ ₀

0

( , ) 2 1 d M y 2

    x



+ Áp dụng AM-GM ta được: ₁ ₂ ₀

0

( , ) ( , ) 2 1 2

d M d M x 2

      x 

 + Vậy giá trị nhỏ nhất của d là 2

Giải theo phương pháp trắc nghiệm

Áp dụng công thức giải nhanh: Giá trị nhỏ nhất của d là:

2 2

2.( 2) ( 3).1

min 2 2 2

1 ad bc

d c

   

  

 

liên tục trên ^{\ 1}

 

và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số

 

¹

2 3

y f x

 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình

 

³

f x  2 có hai nghiệm phân biệt a và b (với 0

a và 0 b 1.

Nên, tập xác định của hàm số

 

¹

2 3

y f x

 ^là^{\ 1; ;}



^{a b}



^.

Ta có

 

¹

lim 2 3

x a^^ f x  

 ^.

 

¹

lim 2 3

x b^^ f x  

 ^.

 

1

lim 1 0

2 3

x^^ f x 

 ^.

 

1

lim 1 0

2 3

x^^ f x 

 ^. Do đó, đồ thị hàm số

 

¹

2 3

y f x

 có 2 đường tiệm cận đứng.

(11)

Câu 10. Cho hàm số 1 3 3 y x

x

 

 có đồ thị

 

^C ^{. Điểm}^M^{nằm trên}

 

^C sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của

 

^C . Khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của

 

^C ^bằng

A. 3 2 . B. 4 . C. 5. D. 2 5.

Giả sử ^;^{3 1}

 

3

M t t C

t

  

  

 



^t^³



^.

Đồ thị

 

^C có tiệm cận đứng d x₁: 3 và tiệm cận ngang d y₂: 3. Giao điểm hai đường tiệm cận của

 

^C ^là^I

 

^3;3 ^.

Ta có



1

 

2



; 2 ; 3 2 3 1 3

3 d M d d M d t t

t

     



 

² ⁷

3 2 8 3 16

1 3

t t t

t t

 

           thỏa mãn t3. Với ^t^{ }⁷ ^M

 

^7;5 ^^^IM ^

 

^{4; 2} ^^IM ^^{2 5}^.

Với ^t^{  }¹ ^M



^{  }^{1; 1}



^MI^^

 

^{4; 4} ^^MI^^{4 2}^.

Mức độ 4

Câu 1. Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên ^{\ 1}

 

và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số

   

2

2021

2 3

y f x f x

  có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 5.

Ta có:

     

2

 

1

2 3 0

3 f x f x f x

f x



    

   . Từ bảng biến thiên suy ra

 

¹



1 2



2

1 x x 1 2

f x x x

x x

 

     

 

³



3 4



4

3 x x 1 2

f x x x

x x

 

      

Vì 4 nghiệm x x ₁, x x ₂, x x ₃, x x ₄ phân biệt nên đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng là các đường thẳng x x ₁, x x ₂, x x ₃, x x ₄.

Ta có: _x^lim_ ^{f x}

 

^{ }^,_x^lim_ ^{f x}

 

^{ }^.

(12)

     

   

2 2

2

2021

lim 2021 lim 0

2 3

2 3 1

x x

f x f x f x

f x f x

 

  

   

 Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng y0. Vậy đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số

 

² ² ⁶

1 m x x x

f x x

  

  có tiệm cận ngang

là đường thẳng y3.

A. 1. B. 2. C. 4. D. Vô số.

Ta có:

 

2

2 2

1 6

1

lim lim 1

1 1

x x

m x x

f x m

x

 

  

  

 ;

 

2

2 2

1 6

1

lim lim 1

1 1

x x

m x x

f x m

x

 

  

  

 Yêu cầu bài toán

 

2 2

lim 3 1 3 2

x x

f x m m







      

        Vậy có 4 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.

 

xác định trên ^{\ 0}

 

và có bảng biến thiên

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số

   

 

f2 x y g x

f x m

 

 có đúng 3 tiệm cận đứng.

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Ta có:

   

 

0 0

lim lim . 1

x g x x f x 1

m f x

 

 

 

 

  

  

 

 

;

   

 

0 0

lim lim . 1

x g x x f x 1

m f x

 

 

 

 

  

  

 

 

 Đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x0.

Để đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận đứng thì phương trình ^{f x}

 

^^m có đúng hai nghiệm phân biệt khác 0

2

 m .

Vậy có 1 giá trị nguyên của m.

 

có đồ thị như hình vẽ.

(13)

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số ^{g x}

 

^ ^{f f x}

  

²



^^m có số đường tiệm cận đứng nhiều nhất.

A.   1 m 3. B.   1 m 3. C. 0 m 3. D.   1 m 3. Lời giải

Chọn B

Số đường tiệm cận đứng bằng số nghiệm của phương trình ^{f f x}

   

^^m^.

Nếu m3: f f x

   

 m f x

 

a a



3



 x x x1



13



 Đồ thị hàm số ^{g x}

 

có một tiệm cận đứng.

Nếu m3: ^{f f x}

   

^{  }^m ^^{f x}_{f x}

   

^_⁰₃



 

⁰

f x  có 3 nghiệm

 

³

f x  có 2 nghiệm.

 

^có⁵ tiệm cận đứng.

Nếu   1 m 3:

       

 



¹ ² ³



f x b

f f x m f x c b c d

f x d





        

 



.

Mỗi phương trình có 3 nghiệm

 

^có⁹ tiệm cận đứng.

Nếu m 1:

       

¹

2 f f x m f x

f x

 

  

 

 

¹

f x   có 2 nghiệm phân biệt

 

²

f x  có 3 nghiệm phân biệt

 

có 5 tiệm cận đứng.

Nếu m 1:^{f f x}

   

^{ }^m ^{f x}

 

^^e



^e^{ }¹



^phương trình có 1 nghiệm.

 

có 1 tiệm cận đứng.

Vậy với   1 m 3 thì đồ thị hàm số ^{g x}

 

có số đường tiệm cận đứng nhiều nhất.

Câu 5. Cho hàm số bậc ba^{f x}

 

^^ax³^^bx²^{ }^{cx d} có đồ thị như hình vẽ dưới đây

(14)

Hàm số

   

2 2

1 1

4

x x

g x f x f x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. . B. . C. . D. .

Để biểu thức x1 có nghĩa ta cần có:x 1. Từ đồ thị hàm số ta có:

 

⁰ ¹

1 f x x x

x

 

    với x₁ 1.

Từ đó suy ra:f x

 

a x x



 1



x1



² với a0.

 

^{4 0}

f x   ^ ^{f x}

 

^⁴

2

1 x x x

  

   vớix₂ 1. Từ đó suy ra:f x

 

 4 b x



1

 

² x x 2



với b0.

Khi đó:

    



1

  

²

 

² 2

 

1

 

²

 

2



1 1 1 1

. . 1

. . 1 1

x x x x

g x a b x x x x x x a b x x x x x

   

 

  

    .

Đường thẳng x x ₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số^{y g x}^

 

thì cần cóx₀  1. Đồ thị hàm số ^{y g x}^

 

có 3 đường tiệm cận đứng là:x1, x x ₂, x 1. Vì ^y^ ^{f x}

 

là hàm số bậc 3 nên

   

2 4

f x  f x có bậc là 6 và



^x²^¹



^x^¹ có bậc nhỏ hơn 6. Suy ra_x^lim_^{g x}

 

^⁰

Đồ thị hàm số ^{y g x}^

 

có 1 đường tiệm cận ngang là:y0. Vậy, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ^{g x}

 

^{là 4.}

Câu 6. Đồ thị của hàm số

2 2

3

4 1

ax x y x bx

  

  có một đường tiệm cận ngang là y c và chỉ có một đường tiệm cận đứng. Tính a

bc biết rằng a là số thực dương và ab4?

A. 1

4 a

bc . B. a 1

bc . C. a 4

bc . D. a 2 bc  . Lời giải

Chọn B

Do đồ thị của hàm số ₂² 3

4 1

ax x y x bx

  

  có một đường tiệm cận ngang là y c nên 4

4

a a

c bc b và chỉ có một đường tiệm cận đứng nên:

Trường hợp 1:4x²bx 1 0 có nghiệm kép     b 4 b 4(a0,ab4) thay vào hàm số thỏa mãn nên a 1.

5 3 2 4



(15)

Trường hợp 2: 4x²bx 1 0 và ax²  x 3 0có nghiệm chung. Thay a

bclần lượt bằng 1; 2; 4

4 ta thấy không thõa mãn.

Câu 7. Cho hàm số bậc ba ^{f x}

 

^^ax³^^bx²^{ }^{cx d} có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số

   

2

4 2

3 2 2 1

5 4 .

x x x

g x x x f x

  

   có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 6. B. 2. C. 4. D. 3.

Quan sát đồ thị hàm số ^{f x}

 

ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

 

0 0;1

x  , có hệ số a0 và tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. Từ đó suy ra

  

0



2



²

f x a x x x .

Suy ra

   

2

4 2

3 2 2 1

5 4 .

x x x

g x x x f x

  

  

 

    

2

4 2 2

0

3 2 2 1

5 4 . 2

x x x

x x a x x x

  

     xác định trên



0



1; \ ;1; 2

D  2   x và

 

    

² 0



2 1

1 2 2

g x x

a x x x x x

 

    .

Ta có _/

 

_/

 

0 2

lim , lim

x x_{ }g x x _{ }g x

      và

lim ( )1

x g x

 hữu hạn nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x x ₀ và x2.

Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{a }



^{2021; 2021}



để đồ thị hàm số

2 2

1 2 x x y ax

 

  có tiệm cận ngang?

A. 2022. B. 2021. C. 4042. D. 2020.

Điều kiện: ax² 2 0

Trường hợp 1: a0. Ta có: ^y^ ¹₂



^x^ ^x²^¹





²



2

1 1 1

lim lim 1 lim 0

2 2 1

x y x x x x

x x

  

     

  nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang:

0 y

(16)

Trường hợp 2: a0. Suy ra: ax² 2 0 với mọi x^. Do đó: Tập xác định: D

Ta có ²

2

1 1 1

lim lim 1 lim 0

2 2

x x x

y ax a

x

  

 

  

 

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang:

0 y

Trường hợp 3: a0. Suy ra: 2 2

a x a

     .

Do đó: Tập xác định: 2 2

;

D a a

 

     nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Vậy a0 nên có 2022 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9. Cho hàm số 2 2 2 y x

x

 

 có đồ thị là

 

^C ^,^M là điểm thuộc

 

^C sao cho tiếp tuyến của

 

^C ^tại

M cắt hai đường tiệm cận của

 

^C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB2 5. Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm Mthỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của S.

A. 8. B. 9. C. 5. D. 6.

Ta có

 

²

2 y 2

x

  

 .

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x2 và y2.

Gọi ;2 2

2 M m m

m

  

  

  thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến d của

 

^C ^tại^M ^:

 

2

 

2 2 2

2 2

y x m m

m m

 

  

  .

Đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận tại các điểm 2

2; 2

A m m

 

  

  và ^{B m}



² ^^2;2



^.

2 5

AB

 

2

2 4 16 20

m 2

   m 





^m ²



⁴ ⁵



^m ²



² ^{4 0}

     

 

2

2 1

2 4

m m

  



  



3 1 4 0 m m m m

 

 

 

  .

Vậy S8.

Câu 10. Cho hàm số ^{f x}

  

^ ^x^³



^x^¹

 

² ^x^¹



^x^³



có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số

 

²

 

²^x⁹³

 

g x f x f x

 

 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

(17)

A. 3. B. 2. C. 9. D. 8. Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định của ^{g x}

 

^:

   

2

3 2

9 0

x

f x f x

 

  



.

Xét phương trình

     

2

 

0

9 0

9 f x f x f x

f x



   

  . Với ^{f x}

 

^⁰ ta có nghiệm là x 1, x 3.

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình ^{f x}

 

^⁹ có một nghiệm x₀3. Tập xác định của hàm số ^{y g x}^

 

^là



0



3; \ 3;

D2   x .

 Tiệm cận đứng:

3

 

xlim_g x

  . Suy ra đường thẳng x3 là tiệm cận đứng.

 

0 xlimx_g x

  . Suy ra đường thẳng x x ₀ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số ^{y g x}^

 

có tất cả 2 đường tiệm cận đứng.