a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x26xy 5y 25yx b) Chứng minh rằng: n5 - n chia hết cho 30 với mọi n

(1)

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn: Toán 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (5,0 điểm).

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x²6xy 5y ²5yx

b) Chứng minh rằng: n⁵- n chia hết cho 30 với mọi n . c) Cho biểu thức:

2 2

x x x 1 1 2 x

P :

x 2x 1 x x 1 x x

 

  

    

     

Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị của x để P ¹ 2

 . Bài 2 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình:

18 1 42 13

1 30

11 1 20

9 1

2 2

2 



 



 



 x x x x x

x

b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x²y²5x y² ²6037xy

Bài 3 (4,0 điểm).

a) Tìm các giá trị của x1, x2, x3, … , x2020 sao cho:

1 2 3 2020

3 3 3 3 4 4 4 4

1 2 3 2020 1 2 3 2020

x x x ... x 2020

x x x ... x x x x ... x

    



         



.

b) Cho đa thức ^{F x}

 

^^x³^^ax²^^bx^^c (với a, b, c  R). Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x + 1 dư - 4, đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 dư 5.

Hãy tính giá trị của ^M^^(a²⁰¹⁹^^b²⁰¹⁹^)(b²⁰²⁰^^c²⁰²⁰^{) c}



²⁰²¹^^a²⁰²¹



Bài 4 (6,0 điểm). Cho ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC. Gọi I là giao điểm của DE và AH

a) Chứng minh: AH = DE b) Chứng minh: AED ∽  ABC c) Gọi K là giao điểm của DE và BC. Chứng minh: KB. KC = KH²

d) Gọi O là trung điểm BC. Chứng minh: OI  AK.

e) Giả sử ^AH ⁴⁰

AO 41. Tính tỷ số ^AB

AC.

Bài 5 (1,0 điểm). Cho các số thực a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1.

Chứng minh: ¹ ¹ ¹ 3 ⁴ ⁴ ⁴

2a 12b 12c 1 a bb cc a

     

---HẾT---

Họ và tên thí sinh:……...………Số báo danh: ………

(2)

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 - NĂM HỌC 2019-2020

Câu Nội dung Điểm

Bài 1 (5,0đ)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x²6xy 5y ²5yx b) Chứng minh rằng n⁵- n chia hết cho 30 với mọi n . c) Cho biểu thức

2 2

x x x 1 1 2 x

P :

x 2x 1 x x 1 x x

 

  

    

     

Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị của x để P ¹ 2

 .

1a (1,5đ)

   

2 2 2 2

x 6xy 5y 5yx x xy x  5xy 5y 5y 0,5

   

x x y 1 5y x y 1

      0,5



^x ^{y 1 x 5y}

 

    0,5

1b (1,5đ)

Biến đổi: ⁿ⁵ ⁿn n 1 n 1 n











2 n



2



5n n 1 n 1











0,75 Ta có: n n 1 n 1 n











2 n



2



là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia

hết cho 2, 3, 5 n n 1 n 1 n











2 n



2 30



 vì (2, 3, 5) =1 0,25 Mặc khác: ^{n n 1 n 1}



^



^



là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2,

3  n n 1 n 1 6











  5n n 1 n 1 30











 0,25 Suy ra n n 1 n 1 n











2 n



2



5n n 1 n 1











chia hết cho 30

Hay n⁵n chia hết cho 30 0,25

1c (2,0đ)

2 2

x x x 1 1 2 x

P :

x 2x 1 x x 1 x x

 

  

    

     

 

  

 

2 2 2

x 1 x 1 x 2 x x x

P :

x x 1 x 1

    

 

 

0,25

   

2 2 2

2

x x x 1 x 2 x

P :

x x 1 x 1

    

  

 

²

 

x x 1 x 1

P :

x x 1 x 1

 

  

0,25

 

²

2

x x 1 x x 1 x

P .

x 1 x 1 x 1

 

 

 

 0,25

Vậy x2

P x 1

 0,25

Điều kiện x ≠ 0; x ≠ -1 ; x ≠ 1 0,25

(3)

Ta có

 

2

2 2

1 x 1

P 2x x 1 2x x 1 0

2 x 1 2

 

          



  

x 1

x 1 2x 1 0 1

x 2

  

    

 



0,25 0,25

Kết hợp điều kiện ta được x ¹

2

Vậy P ¹ 2

 thì x ¹

 2

0,25

Bài 2 (4,0đ)

a) Giải phương trình

18 1 42 13

1 30

11 1 20

9 1

2 2

2 



 



 



 x x x x x

x

b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x²y²5x y² ² 6037xy

2a (2,0đ)

x²+ 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) x²+ 11x + 30 = (x + 6)(x + 5) x²+ 13x + 42 = (x + 6)(x + 7)

0,25 0,25 0,25

ĐKXĐ : x 4; x 5; x  6; x 7 0,25

Phương trình trở thành :

1 1 1 1

(x 4)(x 5)(x 5)(x 6)(x 6)(x 7) 18

     

1 1 1 1 1 1 1

x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18

      

     

1 1 1

x 4 x 7 18

  

 

0,25 0,25

      

18 x 7 18 x 4 x 7 x 4

      



^{x 13 x}



²



⁰

    0,25

Từ đó tìm được x = -13; x = 2 (tmđk)

Vậy x = -13 hoặc x = 2 0,25

2b (2,0đ)

2 2 2 2

x y 5x y 6037xy



^x ^y



² ^{5x y}² ² ^{35xy 60}

     



^x ^y



² 5 xy 3 4 xy

  

    

0,5 Vì ^VT^



^x^^y



² ^⁰^{nên VP =}5 xy 3 4 xy











0, suy ra 3xy4

 xy = 3 hoặc xy = 4 (vì xy nguyên)

0,5 0,25 + Với xy = 3 và



^x^^y



² ^⁰ thì x = y và x² = 3 (loại)

+ Với xy = 4 và



^x^^y



² ^⁰ thì x = y =2 hoặc x = y = -2

0,25 0,25

Vậy (x; y) = (2; 2) hoặc (x; y) = (-2; -2) 0,25

(4)

Bài 3 (4,0đ)

a) Tìm các giá trị của x1, x2, x3, … , x2020 sao cho:

1 2 3 2020

3 3 3 3 4 4 4 4

1 2 3 2020 1 2 3 2020

x x x ... x 2020

x x x ... x x x x ... x

    



         



.

b) Cho đa thức ^{F x}

 

^^x³^^ax²^^bx^^c (với a, b, c  R). Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x + 1 dư - 4, đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 dư 5.

Hãy tính giá trị của ^M^^(a²⁰¹⁹^^b²⁰¹⁹^)(b²⁰²⁰^^c²⁰²⁰^{) c}



²⁰²¹^^a²⁰²¹



3a (2,0đ)

Ta biến đổi điều kiện đã cho thành :

1 2 3 2020

3 3 3 3

1 1 2 2 3 3 2020 2020

(x 1) (x 1) (x 1) ... (x 1) 0

x (x 1) x (x 1) x (x 1) ... x (x 1) 0

        



         



. ^0,5

Suy ra :

3 3 3 3

1 1 2 2 3 3 2020 2020

(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)x (x 1) ... (x  1)(x 1)0

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 3

(x 1) (x x 1) (x 1) (x x 1) (x 1) (x x 1)

            

2 2

2020 2020 2020

... (x 1) (x x 1)0 (1)

0,5

Nhận xét :

(xi – 1)² ≥ 0 và x²_i x_i 1 (x_i ¹)² ³ 0

2 4

      xi (i = 1, 2, ..., 2020)

 (x_i1) (x² _i²x_i1)0 (Dấu bằng xảy ra  xi = 1)

0,5

Suy ra vế trái (1)  0.

Do đó để (1) xảy ra  x1 = x2 = x3 = … = x2020 = 1. ^0,25 Thử lại, x1 = x2 = x3 = … = x2020 = 1 thoả mãn điều kiện đã cho.

Vậy x1 = x2 = x3 = … = x2020 = 1. ^0,25

3b (2,0đ)

Gọi thương của phép chia F(x) cho x – 2 là P(x) và cho x + 1 là Q(x) 0,25 Ta có ^x³^^ax²^^bx^{ }^c



^x^^{2 .P(x) 5}



^ (1)

^x³^ax²^bx ^c



x 1 .Q(x) 4



 (2) Thay x = 2 vào (1) ta được: 4a2b c  3 (3) Thay x = -1 vào (2) ta được: a   b c 3 (4)

0,25 0,25 0,25 0,25 Trừ (3) cho (4) theo vế ta được 3a + 3b = 0 a = - b 0,25

Suy ra a²⁰¹⁹ + b²⁰¹⁹ = 0 0,25

Nên M = 0 0,25

Bài 4 (6,0đ)

Cho ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC. Gọi I là giao điểm của DE và AH a) Chứng minh: AH = DE b) Chứng minh: AED ∽  ABC c) Gọi K là giao điểm của DE và BC. Chứng minh: KB. KC = KH² d) Gọi O là trung điểm BC. Chứng minh: OI  AK.

e) Giả sử ^AH ⁴⁰

AO 41. Tính tỷ số ^AB

AC.

(5)

(0,5đ)

Vẽ hình và ghi GT, KL

O I

B

A

H C D

E

K

0,25

4a (1,0đ)

Tứ giác ADHE có:

   ^o DAEADHAEH90 (gt)

 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

0,75

Suy ra AH = DE (đpcm) 0,25

4b (1,0đ)

Chứng minh: ADE^AHE^ (vì cùng bằng DEH^). 0,25

Chứng minh: AHE^ACB^ (cùng phụ EHC^) 0,25

Suy ra: ADE^ACB^ 0,25

Chứng minh: AED ∽  ABC (g-g) 0,25

4c (1,75đ)

Chứng minh: KBD ∽  KEC (g-g)

 KD.KE = KB.KC (1) 0,75 Chứng minh: KDH ∽  KHE (g-g)

 KD.KE = KH² (2) 0,75

Từ (1) và (2) suy ra: KB.KC = KH² 0,25

4d (1,0đ)

Chứng minh: ADE^OAC^ (vì cùng bằng ACB^) 0,25 Mà OAC OAB^{ } 90^o ADE OAB^{ } 90^o DEAO hay KE  AO 0,25 Xét KAO có đường cao AH, KE cắt nhau tại I I là trực tâm KAO 0,25

 OI là đường cao của KAO  OI  AK 0,25

4e (0,75đ)

AH 40 AH AO

x AH 40x; AO 41x AO 41 40  41     Áp dụng định lý Pi-ta-go tính được OH = 9x Ta có: OA = OC = 41x  HC = OH + OC = 50x

0,25

Chứng minh: : ABC ∽  HAC (g-g) 0,25

AB AC AB HA 40x 4

HA HC AC HC 50x 5

      0,25

(6)

Bài 5 (1,0đ)

Cho các số thực a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1.

Chứng minh: ¹ ¹ ¹ 3 ⁴ ⁴ ⁴

2a 12b 12c 1 a bb cc a

     

Ta có



^{a 1}



² ⁰ ^a² ^{2a 1 1} ¹ ¹₂

2a 1 a

       



Suy ra: ¹ ¹ ¹ 3 ¹₂ ¹₂ ¹₂ 3

2a 12b 12c 1 a b c 

  

0,25

Ta lại có:

 

²

 

²

2 2 2 2

1 1 2 8 1 1 8 8

2 2

a b  ab a b a b   a b  a b

  

Vậy ¹₂ ¹₂ 2 ⁸ a b  a b



Tương tự: ¹₂ ¹₂ 2 ⁸ b c  b c



¹₂ ¹₂ 2 ⁸ c a  c a



Suy ra: ¹₂ ¹₂ ¹₂ 3 ⁴ ⁴ ⁴ a b c  a bb cc a

  

0,25

Hay ¹ ¹ ¹ 3 ⁴ ⁴ ⁴

2a 12b 12c 1 a bb cc a

      0,25

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy ¹ ¹ ¹ 3 ⁴ ⁴ ⁴

2a 12b 12c 1 a bb cc a

     

0,25 Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.