Ôn thi đại học môn toán phần tiếp tuyến

Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài toán 1: Viết ph-ơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.

1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm M₀(x₀;y₀)(C). Viết ph-ờng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀(x₀;y₀).

2.Ph-ơng pháp:

Ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại M₀(x₀;y₀)có dạng : yy₀  f'(x₀)(xx₀).

Ví dụ : Cho hàm số yx³3x5 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết :

a) Tại điểm A ( -1; 7).

b) Tại điểm có hoành độ x = 2.

c) Tại điểm có tung độ y =5.

Giải:

a) Ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀(x₀;y₀)có dạng : yy₀  f'(x₀)(xx₀)

Ta có: y'3x² 3 y'(1)0.

Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y70 hay y = 7.

b) Từ x2y7.

y’(2) = 9. Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

y79(x2)y79x18 y9x11

O

y y = f(x)

y₀ x₀ x

M₀

c) Ta có:



































3 3 0 0

3 5

5 3

5 ^{3 3}

x x x x

x x

x y

+) Ph-ơng trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5).

y’(0) = -3.

Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến là: y53(x0)hay y = -3x +5.

+) Ph-ơng trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5).

6 3 ) 3 ( 3 ) 3 (

'    ²  

y

Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến là: y56(x 3) hay y6x6 35. +) T-ơng tự ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là : y6x6 35. Bài tập 1: ( ĐH An Ninh A- 2000)

Cho hàm số y x³mx²m1 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm cố định. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi.

Giải:

Gọi (x₀; y₀) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi đó ta có:































 













 

























2 1 0 1

0 1

0 1

0 1

) 1 (

1

0 0 0 0

0 3

0 2 0

0 3

0 2

0

2 0 3 0 0

y x y x

y x

x

m y

x m x

m m

mx x y

Ta có: y’ = 3x² + 2mx

y’(1) = 3 + 2m. Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là:

y0(2m3)(x1) hay y(2m3)x(2m3) (1) T-ơng tự ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1 ; -2 ) là:

m x

m

y(32 ) 12 . (2)

* Tìm quĩ tích giao điểm của hai tiếp tuyến khi m thay đổi:

Khử m từ ph-ơng trình (1) và ph-ơng trình (2) ta đ-ợc:

x x

y 3x²  2 là quỹ tích cần tìm. (Đó là một Hypebol).

Bài tập 2: ( HVBCVT A - 1998).

Cho hàm số: ( )

1

1 C

x y x



  .

a) CMR: Mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đ-ờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

b) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đ-ờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.

Giải:

a) Gọi ) ( )

1

; 1 (

0 0 0

0 C

x x x

M 



 . ₂

0

0 ( 1)

) 2 (

' 

  x x y

Ph-ơng trình tiếp tuyến tại điểm M₀ có dạng:

1 ) 1

) ( 1 (

2

0 0 2 0

0 

 

 

 

x x x x x

y (d)

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1.

Toạ độ giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận là A(1; 1).

Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ:









 











 

 

 

1 1 2 1

1 ) 1

) ( 1 (

2

0 0

0 2 0

0 y

x x y

x x x x x

y Gọi C(2x₀ 1;1).

T-ơng tự, toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: ) 1

; 3 1 (

0 0



 x

B x .

Ta có : AB =

1 1 4

1 3

0 0

0

 

 



x x

x

AC = ²x0 ¹

Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là:

4 1 2 1. . 4 2 . 1 2 1

0 0



 



 x

AC x AB

S ( Không đổi) (Điều phải chứng minh).

b) Ta có chu vi của tam giác ABC là:

2 4 4 8 ) 2 2 ( 2

. 2 .

2

2 ^{2 2}



























 p

AB AC AC

AB AC

AB AC

AB BC AC AB p

Dấu “ =” khi và chỉ khi AB = AC 2 1 1

4

0 0



 

 x

x 











 







2 1

2 2 1

) 1 (

0 2 0

0 x

x x . Vậy, những điểm thuộc (C) có hoành độ thoả mãn x1 2 thì tiếp tuyến tại đó lập

với hai đ-ờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Bài tập 3: (HVBCVT A- 1999)

Cho hàm số: yx³3x²2 (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ đ-ợc một và chỉ một tiếp tuyến đến (C).

Giải:

Gọi M₀(x₀;x₀³ 3x₀² 2)(C).

Ph-ơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M₀ có dạng:

y k(xx₀)x₀³ 3x₀² 2 (d)

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M₀ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:





























k x x

x x x x k x

x 6 3

2 3 )

( 2 3

2

2 0 3 0 0 2

3

Suy ra









 



















2 0 3

) 3 3

2 )(

( 0

2 0 1 0

2 0 0 2

0 x

x x x x

x xx x x x x

Điểm M₀ thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:

1

2 3

0 0 0

2

1   





 x x

x x

x .

Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M₀( 1; 0) mà qua đó kẻ đ-ợc đúng một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C).

Bài tập 4: (HVBCVT A - 2001).

Cho hàm số: y = x³ - 3x (1).

a) CMR: khi m thay đổi đ-ờng thẳng cho bởi ph-ơng trình : y = m(x + 1) + 2 (d) luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định.

b) Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.

Giải:

a) Ph-ơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và đ-ờng thẳng (d) là:















 











































(*) 0 2

0 1

0 ) 2 )(

1 (

) 1 ( ) 2 )(

1 (

) 1 ( 2 3

2 ) 1 ( 3

2 2 2 3

3

m x

x x

m x

x x

x m x

x x

x m x

x

x m x x

Ta có x + 1 = 0  x = -1  y = 2. Do đó điểm cố định là A( -1; 2).

b) Đồ thị (1) cắt đ-ờng thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C khi và chỉ khi ph-ơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

. 0

4 9 0

0 ) 2 ( 4 1 0 2

) 1 ( ) 1 (

0

2 







 

 











 



















 

m m m

m m

Gọi B(x₁; y₁), C(x₂; y₂) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1).

Ta có: y’ = 3x² - 3

3 3 ) ( ' , 3 3 ) (

' x₁  x₁² y x₂  x₂²

y . Tiếp tuyến tại B và tại C vuông góc với nhau

khi và chỉ khi:

y’(x₁).y’(x₂) = -1  9(x₁x₂)²9(x₁x₂)²18x₁x₂100

Mà 















m x

x x x

2 1

2 1

2

1 (theo định lí viet).

Do đó:

3 2 2 0 3

1 18 9

0 1 ) 2 ( 18 ) 2 (

9  m ²   m    m²  m  m   ( Thoả mãn).

Kết luận: Vậy

3 2 2 3

 

m thì yêu cầu bài toán đ-ợc thoả mãn.

Bài tập 5: Cho hàm số:

1 2 4



  x

y x (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.

Giải:

Ta có:

2 5 1 3

2 3

*

3 4 



 



 y

x .

8

) 3 3 ( ) '

1 (

' 6 ₂  

  y

y x

Pttt của (C) tại điểm ) 2

;5 3

( là:

2 ) 5 3 8(

3  

 x y

Diện tích hình phẳng cần tính là:

x dx x

x dx x

S )

1 6 2 ) 3 3 8( (3 1)

4 6 2 ( ) 5 3 8(

3 ³

0 3

0     

 









 

= ( ( 3)³ 16

3 x - 6ln 1

2

3x x ) =

16 2 99 ln

12  (đvdt).

Bài tập 6: (ĐH Huế A - 2000).

Cho hàm số:

1 1

 

 x x

y (C). Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

0 3

Giải:

Ta có : ₂

) 1 ( 1 1 '   y x

Gọi M₁(x₁;y₁),M₂(x₂;y₂)(C) Với x₁  x₂. Theo giả thiết ta có:

) ( ' ) (

' x₁ y x₂

y  











 

 

 



 ( )

2 )

1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1

2 1

2 1 2

2 2

1 x x l

x x x

x

Vậy M₁, M₂ đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm số thì tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

Bài toán 2: Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua một điểm cho tr-ớc.

1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b). Viết ph-ờng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A.

2. Ph-ơng pháp: Viết ph-ơng trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số góc k d-ới dạng: y = k(x - a) + b (d).

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:











 k x f

b a x k x f

) ( '

) ( )

( có nghiệm.

Giải ph-ơng trình f(x) f'(x)(xa)bx





Ví dụ: Cho hàm số: y x³3x (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến kẻ từ A(-1; 2) tới đồ thị (C).

Giải:

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(-1; 2) có dạng: y = k(x +1) + 2 (d).

y

x O

y = f(x) A(a; b)



















) 2 ( 3

3

) 1 ( 2 ) 1 ( 3

2 3

k x

x k x

x có nghiệm.

Thế k từ (2) vào (1) ta đ-ợc: 2x³3x²10 (x1)²(2x1)0 













2 1 1 x x

.

+) Với x = -1 suy ra k = 0. Pttt là: y = 2.

+) Với x =

4 9 2

1 k   . Pttt là:

4 1 4

9 

  x

y .

Bài tập 1:

Cho hàm số y3x4x³ (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) qua A(1; 3).

Giải:

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(1; 3) có dạng: y = k( x -1) +3 (d).

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:



















k x

x k x x

2 3

12 3

3 ) 1 ( 4

3













































2 3 0 0

12 8

3 12 12

3 3 4 3

3 ) 1 )(

12 3 ( 4 3

2 3

2 3

3

2 3

x x x

x

x x

x x x

x x x

x

+) x0k 3. Pttt là: y = 3(x- 1) + 3 hay y = 3x.

+) ) 24

2 (3 12 2 3

3 ₂











 k

x .Pttt là: y = -24(x - 1) + 3 hay y = -24x + 27.

Kết luận: vậy có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 3) là:

y = 3x và y = -24x + 27.

Bài tập 2: (ĐH Cần Thơ D - 1998).

Cho hàm số yx³3x² 2 (C). Viết pttt của (C) đi qua A(-1; -2).

Giải:

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(-1; -2) có dạng : y = k(x + 1) - 2 (d).

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:





















k x x

x k x

x 6 3

2 ) 1 ( 2 3

2 2 3

có nghiệm.









 















 2

0 1 ) 2 ( ) 1 ( 0 2

3 ²

3

x x x

x x

x

+) Với x = -1 k 9. Pttt là: y = 9x + 7.

+) Với x = 2 k 0. Pttt là: y = -2.

Bài tập 3: (ĐH D-ợc A- 1999).

Cho hàm số: ( ).

1

2 1 x C

x y x





  CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) và vuông góc với nhau.

Giải:

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng:

y = k(x -1) (d).

Ta có:

1

2 1





  x

x y x

1 1 1

 



 x x (C).

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:









 





 





) 2 ) (

1 ( 1 1

) 1 ( ) 1 1 (

1 1 )

(

2 k

x

x x k

x

I có nghiệm.

Từ (2) ^{( 1) (3)}

1

1 1  

 



 k x

x x

Lấy (1) – (3) ta đ-ợc: k x 

1 1

Do đó









 





 



x k x k I

)2

1 ( 1 1

1 1 )

( . Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi

























 



 



 









 











) / 2 (

5 1

) / 2 (

5 1 0

0 1 0 1

0

2 1 2

2

m t k

m t k

k

k k k k k k

Vì k₁k₂ = -1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông góc với nhau.

Bài tập 4: Cho hàm số: y(2x²)² (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 4).

Giải:

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(0;4)có dạng: y kx4 (d)

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:



















k x x

kx x

x 8 4

4 4

4

3 2 4

có nghiệm.

Suy ra ^{x4 4x24}

















 













3 2 3 2 0 0

) 4 3 ( ²

2

x x x x

x

+) Với x = 0k 0. Pttt là : y = 4.

+) Với

9 3 16 3

2 





 k

x . Pttt là: 4

9 3

16 

  x

y .

+) Với

9 3 16 3

2  

  k

x .Pttt là: 4

9 3

16 

 x

y .

Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến qua A(0; 4) đến đồ thị (C).

Bài tập 5:

Cho hàm số:

1 2



  x

y x (C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm t-ơng ứng nằm về hai phía so với trục Ox Giải:

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d) Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:









 





 



x k

a x kx

x

)2

1 (

3 1 2

có nghiệm.

(*) 0 2 )

2 ( 2 ) 1 ) (

1 (

3 1

2 ₂

2        



 



  x a a x a x a

x x

x ( x = 1 không là nghiệm).

Qua A kẻ đ-ợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi ph-ơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt

2 (**) 1 0

) 2 ( 3

1 0

' 0 1









 









 











 

a a a

a a

Gọi x₁; x₂ là các tiếp điểm. Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên y(x₁).y(x₂) < 0 (x₁; x₂ là các nghiệm của ph-ơng trình (*))

0

1 ) (

4 ) (

0 2 1 . 2 1 2

2 1 2 1

2 1 2 1 2

2 1

1 











 

 





 

x x x x

x x x x x

x x x

Theo định lí viet ta có:









 

 

 

 

 a t x a x

a t x a x

1 . 2

1 2 ) 2 ( 2

2 1

2 1







 





 

 

 





 

5 . 4

1 1 0

4 0 5

1 2

4 4

t t t

t t

t t t

+) 0 1 0 1

1 1 3

1

1 2      

 

 

 

 a a

a a

t a (thoả mãn (**)).

+) 1

3 0 2 ) 1 ( 5

6 9 5

4 1 2 5

4   



 

 

 



 

  a

a a a

t a (thoả mãn (**)).

Vậy, _^







 

 3 1

2 1

a a

thì yêu cầu bài toán đ-ợc thoả mãn.

Bài tập 6:

Cho hàm số ( )

2 3 3 2

1 4 2

C x

x

y   . Viết pttt của (C) đi qua ).

2

;3 0 ( A

Giải:

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua ) 2

;3 0 (

A có dạng: ( )

2

3 d

kx y 

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:

















 k x x

kx x

x 6 2

2 3 2

3 3 2 1

3 2 4

có nghiệm.

Suy ra























2 2 0 0

6

3 ^{4 2}

x x x x

x

+) Với x = 0 k 0 . Pttt là: . 2

 3 y

+) Với x ² k ^{2 2}. Pttt là: . 2 2 3

2 



 x

y

+) Với x= - 2 k 2 2. Pttt là: y =

2 2 3

2 x . Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ )

2

;3 0 (

A đến đến thị (C).

* Lời bình: Đối với bài toán này học sinh th-ờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì

vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau rõ rệt.

Bài tập 7: (ĐH Ngoại th-ơng A - 2000).

Cho hàm số yx³6x²9x1 (C). Từ một điểm bất kì trên đ-ờng thẳng x = 2 có thể kẻ đ-ợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C).

Giải

Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đ-ờng thẳng x = 2.Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) +b (d).

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

























k x

x

b x

k x x x

9 12 3

) 2 ( 1 9 6

2 2 3

2 12 24 17 (*)

) 2 )(

9 12 3

( 1 9 6

2 3

2 2

3































x x

x b

b x

x x

x x x

Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm của ph-ơng trình (*) Xét hàm số y2x³12x²24x17

Tập xác định: D = R.

R x x

x x

y'6 ²24 246( 2)² 0  . Do đó hàm số đồng biến.

Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đ-ờng thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số :

17 24 12

2 ³ ² 

 x x x

y tại duy nhất một điểm hay ph-ơng trình (*) có duy nhất một nghiệm.

Vậy, từ một điểm nằm trên đ-ờng thẳng x = 2 kẻ đ-ợc một và chỉ một tiếp tuyến

đến đồ thị (C).

Bài tập 8: (ĐH Nông nghiệp I A- 1999).

Cho hàm số

1

 x

y x (C). Gọi I là giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm số. CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I.

Giải:

Ta có tiệm cận đứng x = -1.

Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận là: I(-1; 1).

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d).

Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

2 1 1

1 1 1

) 1 ) (

1 (

1 1

) 1 (

1

1 ) 1 1 (

2 2







 

 





 

 











 





 

x x x

x x x

x x

x x k

x x k

x

(vô nghiệm).

(điều phải chứng minh).