Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Vĩnh Long - THCS.TOANMATH.com

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

VĨNH LONG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: TOÁN (chuyên) Khóa thi ngày: 04/6/2022

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2.0 điểm)

a) Cho biểu thức

3 2 1 1

8 2 :

   

  

 

 

x x

P x x x x

^với

x  0

và

x  4

. Rút gọn biểu thức

P

và tìm giá trị của

P

tại

x



14 6 5

 .

b) Tính giá trị biểu thức

3 2 2 3 2 2 17 12 2 17 12 2

  

  ^.

Câu 2. (1.0 điểm) Cho phương trình

x

²

( m



2) x m

  

3 0

(

x

là ẩn số,

m

là tham số).

Tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

x x

₁

,

₂ sao cho biểu thức

A



2 x x

1 2

 x

1

x

2



²

3

đạt giá trị lớn nhất.

Câu 3. (1.5 điểm)

a) Giải phương trình

x

 

1 2 x

 

1 5

. b) Giải hệ phương trình

(

₂

3)(2 ) 30

5 13

  



  



x x x y

x x y

^.

Câu 4. (1.5 điểm)

a) Cho

A

^

2 1 

^2023

2

^{2023 }

... 2022

²⁰²³



. Chứng minh rằng

A

chia hết cho

2022

. b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

2 x

² 

5 y

² 

4 x



21

.

Câu 5. (2.0 điểm) Cho đường tròn

 

^O đường kính

AB

. Gọi

H

là điểm thuộc đoạn thẳng

AO

₍

H



A

,

H  O

). Qua

H

vẽ đường thẳng vuông góc với

AB

, đường thẳng này cắt đường tròn

 

^{O tại}

C

^và

D

. Hai đường thẳng

BC

và

AD

cắt nhau tại

M

. Gọi

N

là hình chiếu của

M

trên đường thẳng

AB

.

a) Chứng minh  

ACN



AMN

. b) Chứng minh

CH

² 

NH OH .

.

c) Tiếp tuyến tại

A

của đường tròn (O) cắt

NC

tại

E

. Chứng minh đường thẳng

EB

đi qua trung điểm của đoạn thẳng

CH

.

Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình vuông

ABCD

nội tiếp đường tròn



^{O R;}



, trên dây cung

DC

lấy điểm

E

sao cho

DC



3 DE

, đường thẳng

AE

cắt cung nhỏ

DC

tại

M

. Gọi

I

là giao điểm của

BM

và

DC

, vẽ

OH

vuông góc với

DM

_tại

H

. Tính độ dài các đoạn thẳng

AE

và

DI

theo

R

. Câu 7. (1.0 điểm) Cho hai số thực không âm

a

,

b

.

a) Chứng minh

a b

^{ }

2  a

^2

b

²



^.

b) Biết

a

² 

b

² 

6

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2



2

 

P ab

a b

^. - HẾT -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ... SBD: ...

ĐỀ CHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

CHUYÊN

VĨNH LONG NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN

(chuyên)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1. (2.0 điểm)

a) Cho biểu thức 3 2 1 1

8 2 :

x x

P x x x x

   

     với x0 vàx4. Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị của P tại x 14 6 5.

b) Tính giá trị biểu thức 3 2 2 3 2 2

17 12 2 17 12 2

  

  .

Câu Điểm

1 2.0

Với x0;x4, ta có:

3 2 1 1

8 2 :

   

    

x x

P x x x x



^{x x2}



^{3x x2 2x 4}

 

^{x x2}



^{2x x2 4x 4}



^{. x}

     

 

 

       

 

0.25



^{x 2}



^{xx22 x 4}



^{. x x 2 xx 4.}

 

 

   ^0.25

Ta có x14 6 5 9 2.3. 5 5     



3 5



² x 



3 5



²  3 5  3 5. 0.25 Khi đó, ta có:

   

3 5 3 5 3 5 1

8. 24 8 5

14 6 5 2. 3 5 4 8. 3 5

P      

      ^0.25

b)



^{3 2 23 2 2}

 

^{2  3 2 23 2 2}



^{2  3 2 21  3 2 21 0.5}

1 1 1 1

2 1 2 1 2

2 1 2 1

    

 

  (vì 2 1 0  ) 0.5

Câu 2. (1.0 điểm) Cho phương trình x²(m2)x m  3 0 (x là ẩn số, mlà tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ sao cho biểu thức A2x x1 2



x1x2



²3 đạt giá trị lớn nhất.

2 1.0

Ta có ^{ }



^m2



^{24(m 3) m28m16}



^m4



^20

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0 (m4)²  0 m 4 ^0.25 Theo định lí vi-ét ta có ^{1 2}

1 2

2 3

x x m

x x m

  

  

 ^0.25

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

 

²

 

²

1 2 1 2 1 2 1 2

2 3 6 3

A x x  x x   x x  x x   m²10m19 0.25

6 ( 5)2 6,

A m m

      .

Dấu đẳng thức xảy ra khi m   5 0 m 5 (thỏa điều kiện m4) Vậy A đạt giá trị lớn nhất là Max A6 khi m5.

0.25

Câu 3. (1.5 điểm)

a) Giải phương trình x 1 2x 1 5. b) Giải hệ phương trình ₂( 3)(2 ) 30

5 13

x x x y

x x y

  



  

 .

3 1.5

Ta có x 1 2x 1 5 1

3 2 2 ( 1)(2 1) 25

x

x x x

 

      

0.25

2

1

2 2 3 1 27 3

x

x x x

 

      ^{2 2}

1 9

4(2 3 1) (27 3 )

x

x x x

  

      . 0.25

2

1 9

150 725 0

x

x x

  

     ^{ x 5}. 0.25

b) Hệ đã cho tương đương với

2 2

( 3 )(2 ) 30

3 2 13

x x x y

x x x y

   



   



Suy ra x²3x và 2x y là 2 nghiệm của phương trình ² 10

13 30 0

3 t t t

t

 

      Vậy hệ đã cho tương đương với

2 3 10

2 3 ( )

x x

x y I

  

  

 hoặc

2 3 3

2 10 ( )

x x

x y II

  

  



0.25

Giải (I): ^{2 2} 2 1

3 10 3 10 0

5 13

x y

x x x x

x y

   

           

Giải (II): ²

3 21 13 21

3 3 0 2

3 21

13 21

2

x y

x x

x y

     



   

     



Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm 3 21

;13 21 2

   

 

 

 ; 3 21

;13 21 2

   

 

 

 ;



^{2; 1}



^;



^5;13



^.

0.5

Câu 4. (1.5 điểm)

a) Cho ^{A2 1}



^{202322023 ... 20222023}



. Chứng minh rằng A chia hết cho

2022

. b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x²5y²4x21.

4 1.5

a) Với 2 số nguyên dương

a b ,

bất kì ta có: a²⁰²³b²⁰²³(a b )^. Ta có:

3

2023 2023

2023 2023

2023 2023

2 1 2021 2022

2 2 2020 2022

...

2 1010 1012 2022

  

 

  

 

  

 







0.25

Và

2.1011

²⁰²³

2022

^{; 20222023}²⁰²² 0.25

Suy ra ^{A2 1}



^{202322023 ... 20222023}



^{2022 0.25}

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x²5y²4x21 (1)

 

²

 

2 2 2

2x 5y 4x212 x1 5 4y ^0.25

Mà ²



^x1



^{20 5 4}



^y2



^{ 0 y2  4 y2}

 

^{1; 4 0.25}

+ y²1vào (1) tìm được ² 2

2 4 16 0

4 x x x

x

 

      

+ y² 4vào (1) tìm được ²

2 6

2 4 1 0 2

2 6

2 x

x x

x

  



   

  



Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là:

  

2,1 ; 2, 1 ; 4,1 ; 4, 1

 



 

 



.

0.25

Câu 5. (2.0 điểm) Cho đường tròn

  O

đường kính AB. Gọi H là điểm thuộc đoạn thẳng AO

(

H



A

, H O). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn

  O

tại C và D. Hai đường thẳng BC và AD cắt nhau tạiM . Gọi N là hình chiếu của M trên đường thẳng AB.

a) Chứng minh  ACN AMN . b) Chứng minh

CH

² 

NH OH .

.

c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC tạiE. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

5 2.0

a) Tứ giác MNAC có MNA MCA  90^o90^o 180^o 0.25

nên MNAC là tứ giác nội tiếp. 0.25

 ACN AMN

  . 0.25

4

b) Ta có:  ACN AMN

 AMN ADC (do MN//DC vì cùng vuông góc với AB) ABCD suy ra H là trung điểm của CD.

0.25 Tam giác ACD là tam giác cân do AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.

Suy ra  ADC ACD . Từ đó ta có:  ACNACD. 0.25

Ta có:     NCO ACN ACO ACD OAC    90^O. Suy ra CN CO.

 NCO vuông tại C CH² NH OH.

.

^0.25

c)  ACE EAC (cùng bằng 1 

2sd AC ). AEC cân tại E E thuộc đường trung trực củaAC. Gọi F  AEBM

Ta có

C thuộc đường tròn đường kínhFA. Nên đường trung trực của AC phải cắt đường kính FA tại tâm của đường tròn này. Suy ra E là trung điểm củaFA.

0.25

Gọi K CHBE. Ta có: CH / /FA nên CK KH BK

FE EA BE

 

  . Mà FEEA nên CK KH . Vậy BE đi qua trung điểm của CH .

0.25

Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn



^{O R;}



, trên dây cung DC lấy điểm E sao cho DC3DE, đường thẳng AE cắt cung nhỏ DC tại M . Gọi I là giao điểm của

BM và DC, vẽ OH vuông góc với DM tại H. Tính độ dài các đoạn thẳng AE và DI theo R.

6 1.0

Ta có AD R 2; 2

3 DE R ;

2 2 2 2 2 2 2 5

9 3

AE AD DE  R  R  R . 0.25

Tam giác DOM cân tại O mà OH DM

Suy ra  1 1  

2 2

DOH  DOM  sd DM DAM

DH DE

OHD ADE

OD AE

  ∽   10

  R10

DH ¹⁰

5 DM R

 

0.25

Ta có DEM ∽AEC _(g-g) ME DE MD

CE AE AC

  

2 2

. 1

10 ME DE MD

AE CE AC

   ^{1 1}

5 6

ME ME

AE AM

   

0.25

5

// 1

6 EI ME EI AB

AB AM

   1 2

6 6

EI AB R

  

2 2 2

3 6 2

R R R

DI DE EI

      .

0.25

Câu 7. (1.0 điểm) Cho hai số thực không âm a, b. a) Chứng minh ^{a b  2}



^a2b2



^.

b) Biết a²b²6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 P ab

 a b

  .

7 1.0

a) Ta có: ^{2ab a 2b2}



^{a b}



^22



^a2b2



^{  a b 2}



^a2b2



^{. 0.25}

b) 2

 

²



^{2 2}

  

^{2 4 2} 2

2 2 2 2 2

     

      

       

a b a b a b

P ab a b

a b a b a b a b 0.25

2 3 2 2 2 3

      

a b a b ^{2 1}

2 1 3

 

  

a b

Vậy 1 3 3 3

2 3 2

1 3 2

    

P  .

0.25

Dấu “ ” xảy ra khi

2 2 6

3 a b a b

a b

 

 

  

 

.

Vậy 3 3 3

x 2

Ma P  khi a b  3.

0.25

- HẾT -