Các dạng toán và phương pháp giải hệ phương trình đại số - Nguyễn Quốc Bảo - THCS.TOANMATH.com

(1)

Zalo: 039.373.2038

Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com

Website: Tailieumontoan.com

Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Chuyên đê

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

LƯU HÀNH NỘI BỘ

(2)

CÁC DẠNG TOÁN

& PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8,9

● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán

LƯU HÀNH NỘI BỘ

(3)

Lêi giíi thiÖu

Các em học sinh và thầy giáo, cô giáo thân mến !

Cuốn sách Các dạng toán & phương pháp giải hệ phương trình được các tác giả biên soạn nhằm giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán ở THCS hiện nay và THPT sau này.

Các tác giả cố gắng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chủ đề tương ứng với các vấn đề quan trọng thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán THCS, cũng như vào lớp 10 chuyên môn toán trên cả nước. Mỗi chủ đề được viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, các dạng toán thường gặp, bài tập rèn luyện và hướng dẫn giải giúp các em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện được các kiến thức đã học.

Mỗi chủ đề có ba phần:

A.Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề.

B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ năng và phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi.

Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán.

C.Bài tập vận dụng: Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Các em hãy cố gắng tự giải.

Nếu gặp khó khăn có thể xem hướng dẫn hoặc lời giải ở cuối sách.

Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.

Xin chân thành cảm ơn!

Zalo: 039.373.2038

Tailieumontoan.com@gmail.com

Facebook: www.facebook.com/baotoanthcs

NGUYỄN QUỐC BẢO

MỌI Ý KIẾN THẮC MẮC XIN VUI LÒNG GỬI VỀ ĐỊA CHỈ

(4)

PHẦN 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ( ) ^ax

' ' '

+ =

 + =



by c I a x b y c Trong đó a và b cũng như a’ và b’ không đồng thời bằng 0.

* Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi

' '

a b

a ≠b

* Hệ (I) vô nghiệm khi

' ' '

a b c

a =b ≠c .

* Hệ (I) có vô số nghiệm khi

' ' '

a b c

a =b =c .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng toán 1. Giải phương trình ax

' ' '

by c a x b y c

+ =

 + =

 .

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chúng ta thường sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Cách 1: Phương pháp thế:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu thị một ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn kia

Bước 2: Thế biểu thức của x vào phương trình còn lại rồi thu gọn, ta tìm được giá trị của y.

Bước 3: Thế giá trị của y vào biểu thức của x ta tìm được giá trị của x.

Cách 2: Phương cộng đại số:

Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.

CH Ủ Đ Ề

1 M ỘT SỐ HỆ PHƯƠNG

TRÌNH THƯỜNG GẶP

(5)

Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.

Bước 3: Giải hệ phương trình vừa thu được

Chú ý: Nếu hệ phương trình có một ẩn mà hệ số bằng ±1 thì nên giải hệ này theo phương pháp thế.

*Lưu ý: Khi trong hệ có chứa các biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ về một hệ mới đơn giản hơn. Sau đó sử dụng phương pháp cộng hoặc thế để tìm ra nghiệm của hệ phương trình.Các bước khi giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần).

Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt.

Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ).

Thí dụ 1. Giải hệ phương trình:

a) 3 2 11

2 1

x y x y

− =

 + =

 b)

1 1 1 3 4

5 x y x y

 − =



 + =



Hướng dẫn giải a)+ Giải theo phương pháp thế:

( )

3 1 2 2 11

3 2 11 3 2 11 3 6 2 11

2 1 1 2 1 2 1 2

− − =



− = − = − − =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  = −  = −  = −

   

y y

x y x y y y

x y x y x y x y

3 8 11 3 11 8 8 8 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.( 1) 3

− = − = = − = − = − = −

     

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − − ⇔ =

y y y y y y

x y x y x y x y x x

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1).

+ Giải theo phương pháp cộng đại số:

3 2 11 4 12 3 3 3

2 1 2 1 3 2 1 2 2 1

x y x x x x

x y x y y y y

− = = = = =

    

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  + =  = −  = −

    

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1).

b)+ Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Điều kiện: x≠0; y≠ 0

(6)

Đặt 1 1

;

a b

x= y = (*). Hệ phương trình đã cho tương đương với 1

3 4 5

a b

a b

 − =

 + =



Ta có:

2 2

1 3 3 3 7 2 7

3 4 5 3 4 5 1 7 9

1 7

a b a b b b b

a b a b a b

a b a

  =

− = − = = =

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  − =  

    = +  =

Thay 2 7 9 7 b a

 =

 =



vào (*) ta có

1 2 7

7 2

1 9 7 7 9 y y

x x

 =  =

 

 ⇔

 

 =  =

 



(thỏa mãn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

(

^{; ;}

)

⁷ ⁷

9 2

 

= 

 x y

Thí dụ 2. Giải hệ phương trình

a) 3( 1) 2( 2 ) 4

4( 1) ( 2 ) 9

x x y

+ + + =

 + − + =

 ^b)

2 3

1 2 4

x y x y

 + =



 − =



c)

1 1

2

3 7

2 2

x y x y

 + =−

 −

 − =



d)

3 2

1 2 4

2 1

1 2 5 x

x y

x

x y

 − =

 − +



 + =

 − +



e)

4 1

1 5

1 2

1 1 x y y x y y

 + =

 + −



 − = −

 + −



f) 4 3 4

2 2

x y

 − =



+ =



Hướng dẫn giải a)

3( 1) 2( 2 ) 4 4( 1) ( 2 ) 9

x x y

+ + + =

 + − + =



3 3 2 4 4 5 4 1 5 4 1

4 4 2 9 3 2 5 6 4 10

+ + + = + = + =

  

⇔ + − − = ⇔ − = ⇔ − =

x x y x y x y

11 11 1

6 4 10 1

x x

x y y

= =

 

⇔ − = ⇔ = −

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

( ) (

^{x y}^; ^{= −}^{1; 1}

)

. b) Điều kiện x≠0

(7)

2 4 5 1

3 2 6 10 1

2 2

2

1 1 1

3 1

2 4 2 4 2 4

 + =  + =  =  = 

    =

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    

 − =  − =  − =  + =  = −

   

  

y y x

x x x x

y y

y y y

x

x x x

(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( )

^; ¹^{; 1}

x y =2 − ^. c) Điều kiện y≠0. Đặt t= 1

y, hệ phương trình đã cho trở thành 1 1

1 1

2 1

2 2 1

1 7

7 2

2 3 5 5

2 3 2

2 2

2

t x x

x t

x

t x

t y

x x x

x t

 −

 + = −  = −  −  = −

 = −  = −

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒

 −  −  −   =  =

 − =  −  − =  = − 

 

   

(thỏa mãn)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là

( ) (

^{x y}^; ^{= −}^{1; 2}

)

.

d)

3 2

1 2 4 ( )

2 1

1 2 5

 − =

 − +



 + =

 − +

 x

x y

I x

x y

ĐK x≠1;y≠ −2

Đặt 1 1

2

x a

x y b

 =

 −



 =

 +

. Khi đó hệ phương trình (I) trở thành:

3 2 4 3 2 4 7 14 2

2 5 4 2 10 2 5 1

a b a b a a

a b a b a b b

− = − = = =

   

⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  + =  =

   

Khi đó ta có:

2 2

1

1 1

2 1 x x x

y y

 =

 −  =

 ⇔

  = −

 =

 +

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

( ) (

^{x y}^; ⁼ ^{2; 1}⁻

)

.

e)

4 1

1 5

1 2

1 1 x y y x y y

 + =

 + −



 − = −

 + −



. Điều kiện: x≠ −y y; ≠1

Đặt 1

u= x y + ^và

1 v 1

= y

− . Hệ phương trình thành :

(8)

4 5 8 2 10 9 9 1

2 1 2 1 2 1 1

u v u v u u

u v u v v u v

+ = + = = =

   

⇔ ⇔ ⇔

 − = −  − = −  = +  =

   

Thay vào hệ đã cho ta có :

1 1

1 1 1 2

1 1

x y x

x y

y y

y

 =

 +  + =  = −

 ⇔ ⇔

  − =  =

 =

 −

( ) (

^{x y}^; ^{= −}^{1; 2}

)

. f) Điều kiện: x≥0;y≥0

4 3 4 4 3 4 5 0

2 2 4 2 4 2 2

x y x y y

x y x y x y

 − =  − =  =

 ⇔ ⇔

  

+ = + = + =

  

  

0 0

2 2 1

y y

x x

 =  =

⇔ = ⇔ = (Thỏa mãn)

( ) ( )

^{x y}^; ⁼ ^{1; 0} ^.

Dạng toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Thay giá trị của m vào hệ phương trình.

Bước 2: Giải hệ phương trình mới.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

( )

^{x y}^; thỏa điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm

( )

^{x y}^, theo tham số m; Bước 2: Thế nghiệm x y, vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m; Bước 3: Kết luận.

Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa x y, không phụ thuộc vào tham số m. Phương pháp:

(9)

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm

( )

^{x y}^, theo tham số m;

Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m; Bước 3: Kết luận.

Thí dụ 1. Cho hệ phương trình:

( ) ( )

1 1 1

1 2 2

a x y a

x a y

+ − = +



+ − =

 ⁽a là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi a=2. b) Giải và biện luận hệ phương trình.

c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x+y đạt GTNN.

Hướng dẫn giải a) Khi a=2 hệ phương trình có dạng:

5

3 3 4 5 4

2 2 3

4

x y x x

x y y x

y

 =

− = =

 ⇔ ⇔

 + =  = − 

   =



Vậy với a=2 hệ phương trình có nghiệm

( )

^; ^{5 3}^;

x y = 4 4 b) Giải và biện luận:

Từ PT

( )

¹ ta có: ^y⁼

(

^a⁺¹

) (

^x^{− −}^a ¹

) ( )

³ thế vào PT

( )

² ta được:

(

¹

) (

¹

) (

¹

)

²

(

² ¹

) (

² ¹

)

² ² ² ¹

x+ a+  a+ x− a− = ⇔ +x a − x− a − = ⇔a x=a +

( )

⁴

TH1: a≠0, phương trình

( )

⁴ có nghiệm duy nhất a² ₂1

x a

= + . Thay vào

( )

³ ^{ta có:}

( )

²

( ) ( ) (

²

)

²

( )

³ ² ³ ²

2 2 2 2

1 1 1

1 a 1 a a a a a a a a a a

y a a

a a a a

+ + − +

+ + + + − − +

= + − + = = =

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

(

^{x y}^;

)

^a² ₂¹^;^a ₂¹

a a

 + + 

=  

 

TH2: Nếu a=0, phương trình

( )

⁴ vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

KL: a≠0 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

(

^{x y}^;

)

^a² ₂ ¹^;^a ₂¹

a a

 + + 

=  

 

0

a= hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

(10)

Với a≠0thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

(

^{x y}^;

)

^a²₂ ¹^;^a ₂¹

a a

 + + 

=  

 

c) Hệ phương trình có nghiệm nguyên:

( )

2 2

2

1 1 a

x a a

y a

a

 + ∈

∈ 

 ⇔ ∈

 ∈  +

  ∈



 

  

Điều kiện cần: ² ₂ 1 1₂ 1₂ ²

1 1 1

x a a a

a a a

= + = + ∈ ⇔ ∈ ⇔ = ⇔ = ± Điều kiện đủ:

1 0

a= − ⇒ = ∈y ^(nhận)

1 2

a= ⇒ = ∈y ^(nhận)

Vậy a= ±1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với a≠0thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

(

^{x y}^;

)

^a²₂ ¹^;^a ₂¹

a a

 + + 

=  

 

d) Ta có ² ₂1 ₂1 ² ₂ 2 1 2₂

a a a a 1

x y

a a a a a

+ + + +

+ = + = = + + .

Đặt 1

t=a ta được:

2 2

2 2 1 1 1 7 1 7 7

2 1 2 2 2

2 2 4 16 4 8 8

x+ =y t + + =t t + t+ = t+  + = t+  + ≥ Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi 1

t= −4, khi đó a= −4

Vậy a= −4 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x+y đạt GTNN bằng 7 8

Thí dụ 2. Tìm a b, biết hệ phương trình: 2

5 + =

 + =



x by a

bx ay có nghiệm x=1; y=3.

Hướng dẫn giải

Thay x=1; y=3 vào hệ ta có:

2.1 .3 .1 .3 5

b a

+ =

 + =

 ⇔ 3 2

3 5

a b a b

− =

 + =

 ⇔ 3 9 6

3 5

a b a b

− =

 + =

 ⇔ 10 1

3 5

b a b

 = −

 + =

 ⇔

1 10 17 10 b a

 =−



 =

.

(11)

Vậy 1

a=10− ; 17

y=10_{thì h}ệ phương trình có nghiệm x=1; y=3.

Thí dụ 3. Cho hệ phương trình 2 3 2 3

x y m

+ = +

 − =



( )

^I (m là tham số) . a)Giải hệ phương trình

( )

^I khi m=1.

b)Tìm m để hệ

( )

^I có nghiệm duy nhất

( )

^{x y}^; thỏa mãn x+ = −y 3. Hướng dẫn giải

a) Với m=1, hệ phương trình

( )

^I ^{có dạng:}

2 4 2 4 8 2

2 3 1 2 3 1 1

x y x y x

x y x y y

+ = + = =

  

⇔ ⇔

 − =  − =  =

  

( ) ( )

^{x y}^, ⁼ ^2;1 ^.

b)

5 9

2 3 2 4 2 6 2 3 7

2 3 2 3 7 6 6

7 x m

x y m x y m x y m

x y m x y m y m m

y

 = +

+ = + + = + + = + 

 ⇔ ⇔ ⇔

 − =  − =  = +  +

    =



Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( )

^; ⁵ ⁹^; ⁶

7 7

m m

x y =  + + ^. Lại có x+ = −y 3 hay 5 9 6

3 5 9 6 21 6 36 6

7 7

m m

m m m m

+ + + = − ⇔ + + + = − ⇔ = − ⇔ = −

Vậy với m= −6 thì hệ phương trình

( )

^I có nghiệm duy nhất

( )

^{x y}^, thỏa mãn x+ = −y 3.

Thí dụ 4. Cho hệ phương trình: 2 5 1

2 2

x y m

x y

+ = −

 − =

 ^.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x²−2y² = −2 Hướng dẫn giải

2 5 1 5 1 2 5 1 2 2

2 2 2(5 1 2 ) 2 5 10 1

x y m y m x y m x x m

x y x m x x m y m

+ = − = − − = − − =

 ⇔ ⇔ ⇔

 − =  − − − =  =  = −

   

Thay vào ta có

2 2 2 2 2 0

2 2 (2 ) 2( 1) 2 2 4 0

2

x y m m m m m

m

 =

− = − ⇔ − − = − ⇔ + = ⇔  = − ^{. Vậy}^m^∈

{

^–2;0

}

.

(12)

Thí dụ 5. Cho hệ phương trình: ( 1) 2 1

m x y

mx y m

− + =

 + = +

 ⁽m là tham số)

a)Giải hệ phương trình khi m=2;

b)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

( )

^{x y}^; thỏa mãn: 2x+ ≤y 3.

Hướng dẫn giải a) Giải hệ phương trình khi m=2.

Ta có: 2 2 1

2 3 1 1

x y x y x

x y x y

+ = + = =

  

⇔ ⇔

 + =  =  =

   ^.

( )

^1;1 ^.

b) Ta có ^y⁼^{2 –}

(

^m⁻¹

)

^x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

( )

2 – 1 1 –1

mx+ m− x= + ⇔ =m x m suy ra y=2 –

(

m−1

)

² với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

( )

^{x y}^; ⁼

(

^m⁻^{1; 2 –}

(

^m⁻¹

)

²

)

( ) ( )

² ²

( )

²

2x+ = 2y m− +1 2 – m−1 = −m +4m− =1 3 – m−2 ≤3 với mọi m.

Thí dụ 6. Cho hệ phương trình : 2 4

3 5

+ = −

 − =



x ay ax y a)Giải hệ phương trình với a=1

b)Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải a) Với a=1, ta có hệ phương trình:





=

−

= +

5 3

4 2

y x

y

x 6 3 12 7 7 1 1

3 5 3 5 1 3 5 2

+ = − = − = − = −

   

⇔ − = ⇔ − = ⇔− − = ⇔ = −

x y x x x

x y x y y y

Vậy với a=1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

( ) (

^{x y}^; ^{= − −}^{1; 2}

)

. b) Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu a=0, hệ có dạng:







−

=

−

=

 ⇔



=

−

=

3 5 2 5

3 4 2

y x y

x . Vậy hệ có nghiệm duy nhất

(13)

+ Nếu a≠0, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 2 ² 3 6

≠ ⇔ ≠ −

−

a a

a (luôn đúng, vì

2 ≥0

a với mọi a)

Do đó, với a≠0, hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.

Thí dụ 7. Cho hệ phương trình: 1 2 x my m

mx y m

+ = +

 + =

 ⁽m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m=2.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( )

^{x y}^; thỏa mãn 2 1 x y

 ≥

 ≥ Hướng dẫn giải

a) Thay m=1 ta có hệ phương trình

5

2 3 2 3 3 5 3

2 4 4 2 8 2 4 2

3

x y x y x x

x y x y x y

y

 =

+ = + = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  + = 

    =



b) Xét hệ

( )

1 1

2 2

+ = +



 + = x my m

mx y m

Từ

( )

² ^{⇒ =}^y ²^{m mx}⁻ thay vào

( )

¹ ta được

(

²

)

¹ ² ² ² ¹

x m+ m mx− = + ⇔m m −m x+ = +x m

(

¹ ^m²

)

^x ²^m² ^m ¹

(

^m² ¹

)

^x ²^m² ^m ¹

⇔ − = − + + ⇔ − = − −

( )

³

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ^⇔

( )

³ có nghiệm duy nhất

2 1 0 1

m − ≠ ⇔ ≠ ±m

( )

^*

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất

2 1

1 1 x m

m y m

m

 = +

 +

 =

 +



Ta có

2 1 1

2 0

2 1 1

1 0 1

1 1

1 0

1 1

m

x m m

m m

y m

m m

+ −

 ≥  ≥

 

 ≥ ⇔ + ⇔ + ⇔ + < ⇔ < −

 ≥   −

  ≥  ≥

 +  +

 

Kết hợp với

( )

^* ta được giá trị m cần tìm là m< −1.

(14)

Thí dụ 8. Cho hệ phương trình: 2 5 4 x y mx y

− =

 − =



( ) ( )

¹2

a) Giải hệ phương trình với m=2.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(

^{x y}^,

)

^{trong đó}^{x y}^, ^{trái dấu.}

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(

^{x y}^;

)

thỏa mãn x= y . Hướng dẫn giải

a) Với m=2 ta có hệ phương trình:

( )

2 5

2 2 5 4

2 4

= +



− =

 ⇔

 − =  + − =

 

x y

y y

x y

2 5 1

3 6 2

= + =

 

⇔ = − ⇔ = −

x y x

y y ^{. Vậy}^m⁼²hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y = −(1; 2)

b) Từ phương trình

( )

¹ ta có x=2y+5. Thay x=2y+5 vào phương trình

( )

² ta được:

(

² ⁵

)

⁴

(

² ^{1 .}

)

^{4 5}

m y+ − = ⇔y m− y= − m

( )

³

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

( )

³ có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với:

2 1 0 1

m− ≠ ⇔ ≠m 2. Từ đó ta được: 4 5

2 1

y m m

= −

− ^;

5 2 3

2 1

x y

= + = m

− ^.

Ta có:

( )

²

3 4 5 .

2 1

x y m

m

= −

− ^{. Do đó}

. 0 4 5 0 4

x y< ⇔ − m< ⇔ >m 5 (thỏa mãn điều kiện)

c) Ta có: 3 4 5

2 1 2 1

x y m

m m

= ⇔ = −

− −

( )

⁴

Từ

( )

⁴ ^{suy ra}² ¹ ⁰ ¹

m− > ⇔ >m 2. Với điều kiện 1 m> 2 ta có:

( )

_{4 5} ₃ ¹

( )

4 5 3 5

4 5 3 7

5 4

 =

− =

⇔ − = ⇔ − = − ⇔  =



m l

m m

. Vậy 7 m=5.

Thí dụ 9. Cho hệ phương trình:

( )

1 1

1 8 3

mx m y

m x my m

+ + =



+ − = +

 ^.

Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất

( )

^{x y}^;

(15)

Xét hai đường thẳng

( )

d1 :mx+

(

m+1

)

y− =1 0;

( ) (

d2 : m+1

)

x my− −8m+ =3 0.

+ Nếu m=0 thì

( )

d1 :y− =1 0 và

( )

d2 : x− =5 0 suy ra

( )

d1 luôn vuông góc với

( )

d2 . + Nếu m= −1 thì

( )

d1 :x+ =1 0_và

( )

d2 : y+ =11 0 suy ra

( )

d2 . + Nếu ^m^≠

{ }

^0;1 thì đường thẳng

( ) ( )

d1 , d2 lần lượt có hệ số góc là: ₁ ₂ 1

1,

m m

a a

m m

= − = +

+ ^{suy ra}

1. 2 1

a a = − do đó

( ) ( )

d1 ⊥ d2 _.

Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng

( )

d2 . Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

Xét hai đường thẳng

( )

d1 :mx+

(

m+1

)

y− =1 0;

( ) (

d2 : m+1

)

x my− −8m+ =3 0 luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1. Giải các hệ phương trình:

a) 2 5

1 x y x y

 + =

 − =

 ^b)

2 5 3

3 4

x y x y

+ = −

 − =

 ^c)

1

3 2 3

x y

 − =

 + =

 Bài tập 2. Giải các hệ phương trình:

1. 2 1

2 7

x y

− =

 + =

 ^2.

= +

=

− 6 3

1 2 7

y x

y

x 3.





=

−

= +

0 2

3 y x

y

x 4.

1 1

2 3 3

4 3 7

x y

 + =



 − =

 Bài tập 3. Giải các hệ phương trình:

4.

2 3 4 1

1 2 1

2 4

1 2

x x

y y

x x

y y

+ +

 =

 − +

 + −

 =

 − +



5.

3 0

2 4

3 5 1

1 0 2

x y x y

x y

− −

 + =

 − +

 − =



6.

( )( )

1 1

2 3 50

2 2

1 1

2 2 32

2 2

x y xy

 + + = +



 − − = −



Bài tập 4. Giải các hệ phương trình:

1)









− = + −

4 3 5

2 2 1

y x y x

y x y

x 2)

3 5

2 2 2

1 1 2

2 2 15

x y x y

 + =

 − +



 + =

 − +



3)









+ = +

7 , 1 1 3

5 2 2

y x x

Bài tập 5. Giải các hệ phương trình:

(16)

1) ² ¹ ⁵

4 1 2

 + − =



− − =



x y

x y 2) ³ ¹ ² ¹ ¹

2 3 1 3 2 1 12

 − − + =



− + + =



x y

x y 3)

7 4 5

7 6 3

5 3 1

26

7 6

x y

 − =

 − +



 + =

 − +

 Bài tập 6. Cho hệ phương trình: mx 4y 20 (1)

x my 10 (2)

 + =

 + =

 (m là tham số)

Với giá trị nào của m hệ đã cho:

a) Vô nghiệm

b) Có nghiệm duy nhất c) Vô số nghiệm

Bài tập 7. Cho hệ phương trình: mx y 1 x y m.

 + = −

 + = −



Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn: y=x² Bài tập 8. Tìm nghiệm nguyên a để hệ phương trình 2x 3y 2 a

x 2y 3a 1

 − = −

 + = +

 Có nghiệm (x; y) sao cho T = ^y

x là số nguyên.

(Trích đề tuyển sinh lớp 10 Chuyên Tây Ninh năm 2014-2015) Bài tập 9. Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên





−

= +

+

= +

1 2 2

1 2

m my x

m y mx

Bài tập 10. Cho hệ phương trình: mx y 2 3x my 5

 − =

 + =



a) Giải hệ phương trình khi m= 2.

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x y 1 m₂ ²

m 3

+ = −

+ .

(Trích đề vào lớp 10 Chuyên Quảng Nam năm 2008-2009)

(17)

PHẦN 2. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng toán 1. Giải hệ phương trình:

( ) ( )

 + + + + + =



+ + =



2 2

ax bxy cy dx ey f 0 1

Ax By c 0 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ta sử dụng phương pháp thế:

Bước 1: Từ phương trình (2) rút x hoặc y rồi thế vào phương trình (1). Khi đó ta được phương trình bậc hai theo x hoặc y, giả sử: ^{f x}

( )

⁼⁰

( )

³

Bước 2: Phương trình (3) là phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y) chúng ra dễ dàng giải, ta có được x rồi suy ra y.

Bước 3: Kết luận nghiệm.

( ) ( ) ( )

 + =  + =

 + =  + =



2 2

9x 4y 36 1 x y 9

a) I b)

x y 41

2x y 5 2

Hướng dẫn giải a) Ta có:

( )

^I ^⇒^25x² ⁻^{40x 64 0}⁺ ^{= ⇔ = ⇒ =}^x ⁸₅ ^y ⁹₅

Vậy hệ có nghiệm

( )

= ^ ^

  x,y 8 9; .

5 5 b) Ta có:





= +

) 2 ( 41

) 1 ( 9

2

2 y

x y x

Từ (1) ⇒ y =9−x⇒⁽²⁾⇔ x² +

(

⁹−x

)

² =⁴¹ 0

40 18

2 ² − + =

⇔ x x





=

⇒

=

⇒

⇔ =

4 5

5 4

y x

Vậy hệ phương trình có nghiệm (4,5); (5,4)

(18)

( )

( ) ( )

 + + + + =



 + =

2 2

x xy y 2x y 6 1

2x y 3 2 I

Hướng dẫn giải Từ (2) ta được: y 3 2x= −

Thế vào (1) ta được:

( ) ( ) ( )

+ − + − ² + + − = ⇔ − + = ⇒ − + = ⇔ = ∨ =

2 2 2

x x 3 2x 3 2x 2x 3 2x 6 3x 9x 6 0 x 3x 2 0 x 1 x 2

Với x = 1 thì y = 1 Với x = 2 thì y = -1.

Vậy hệ có nghiệm

( ) ( ) (

^x,y ⁼ 1;1 , 2; 1 .⁻

)

Chú ý: Ngoài phương pháp thế tùy vào từng bài toán ta còn có thể giải bằng phương pháp đưa phương trình có bậc 2 của hệ về dạng tích.

( )





= +

+

= +

6

2

2 2

2

y x

xy y

x

Vế trái của phương trình thứ hai phân tích được thành nhân tử, nên phương trình trở thành

(

x−y−2

)

(x−y+2)=0. Hệ phương trình đã cho tương đương với hai hệ phương trình sau:

 

= +

− 6

0 2 y x

y x

 

= +

=

−

− 6

0 2 y x

y x

Giải từng hệ trên bằng phép thế, ta tìm được các nghiệm của hệ phương trình đã cho: (-1;1); (1;-1).

Dạng toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hệ thỏa mãn điều kiện cho trước.

( ) ( )

 + + + + + =



+ + =



2 2

ax bxy cy dx ey f 0 1

Ax By c 0 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ta ta thực hiện các bước sau:

(19)

Bước 1: Từ phương trình (2) rút x hoặc y rồi thế vào phương trình (1). Khi đó ta được phương trình bậc hai theo x hoặc y, giả sử: ^{f x,m}

( )

⁼⁰

( )

³

Bước 2: Giải và biện luận hệ theo tham số ta sẽ đi giải và biện luận (3).

- Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta sẽ đi tìm điều kiện để (3) có nghiệm.

- Tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất ta sẽ đi tìm điều kiện để 93) có nghiệm duy nhất.

- Tìm điều kiện của tham số để hệ có 2 nghiệm phân biệt ta sẽ đi tìm điều kiện để (3) có 2 nghiệm phân biệt.

Bước 3: Kết luận giá trị tham số cần tìm.

Thí dụ 1. Cho

( )

 − =



 − =

2 2

9x 16y 144 1

x y m 2

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Ta có:

( )

^I ^⇒^9x² ⁻^{16 x m}

(

⁻

)

² ⁼¹⁴⁴^⇔^7x² ⁻^{32mx 16m}⁺ ² ⁺^{144 0.}⁼

( )

³

Hệ có nghiệm duy nhất khi (3) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆ = ⇔' 0 m² = ⇔7 m= ± 7.

Vậy với m= ± 7 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: x y₂ ₂ 2m 1₂ x y y x 2m m 1

 + = +



+ = − −

 , với m là tham số.

Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m.

(Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2012-2013) Hướng dẫn giải

Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m Hệ đã cho viết lại là: x y 2m 1

xy(x y) (2m 1)(m 1)

 + = +

 + = + −

 (1) Nếu m ¹

= −2 thì hệ trở thành: x y 0 x R x y 0

xy(x y) 0 y x

 + =  ∈

⇔ + = ⇔

 + =  = −

  .

Hệ có vô số nghiệm.

(2) Nếu m ¹

≠ −2 thì hệ trở thành: x y 2m 1

xy m 1

 + = +

 = −



Nên x,y là nghiệm phương trình: X (2m 1)X m 1 0²− + + − = (*).

P/t (*) có ∆=(2m+1) 4(m 1) 4m 5 0, m²− − = ² + > ∀ nên luôn có nghiệm.

(20)

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Thí dụ 3. Cho

( )





=

−

= + + +

) 2 (

) 1

2 (

2

b x

y

b y x y x a

Chứng minh rằng: a= 0 có nghiệm với ∀b Hướng dẫn giải Từ (2):

(

b x

)

x b x b x

a x b y

= + + + + +

⇔

⇒

+

=

⇒

] [

) 1

( ² ²

(

1

)

0

2

2 ² + + + ² =

⇔ ax ab x ab

i) a = 0: Phương trình ⇔ x=0 có nghiệm với ∀b 2i) a≠0 Ta có: ∆^/ =

(

ab+1

)

² −2a²b²

1

2 2

2 + +

−

= a b ab Chọn b =

a

−2 ⇒∆^/ =−4−4+1=−7<0

Hay phương trình không có nghiệm với ∀b Vậy a= 0.

Thí dụ 4. Với giá trị nào của m, hệ phương trình:





−

=

−

= +

) 2 ( 4 3

) 1 (

2 25

2

m y mx

y

x có nghiệm kép?

Hướng dẫn giải Từ (2) y=mx+4−3m thế vào phương trình (1) ta có:

(

^m² ⁺¹

)

^x² ⁺²^m

(

⁴⁻³^m

)

^x⁺

(

⁹^m² ⁻²⁴^m⁻⁹

)

⁼⁰ ⁽³⁾

Hệ có nghiệm kép khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm kép

(

⁴ ⁺³

)

² ⁼⁰

=

∆′

⇔ m

4

−3

=

⇔m

Thí dụ 5. Biết cặp số

( )

x,y là nghiệm của hệ phương trình





+

−

= +

2 6

2

2 y m

x

m y x

(21)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P=xy+2

(

x+y

)

Hướng dẫn giải Đặt u=x+ y;v= xy ta có:





−

=

⇔ =





+

−

=

−

=

3 6

2 ² ²

2 v m

m u m

v u

m u

Như vậy x,y là nghiệm của phương trình:

(*) 0

2 3

2 −mt+m − =

t

Để x,y tồn tại ⇔(*) có nghiệm ⇔∆=−3m² +12≥0 2 2≤ ≤

−

⇔ m

Khi đó: P= xy+²

(

x+y

)

=m² +²m−³=

(

m+¹

)

² −⁴≥⁰ với mọi m Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi m = -1.

Thí dụ 6. Biết cặp số

( )

x,y là nghiệm của hệ phương trình





− +

= +

−

= +

3 2 1 2

2 2

2 y a a

x

a y x

Xác định tham số của a để hệ thoả mãn tích xy nhỏ nhất.

Rút y từ phương trình đầu y =2a−1−x, thế vào phương trình sau ta được:

(

2 1

)

3 6 4 0(*) 2x² − a− x+ a² − a+ = Để x,y tồn tại ⇔(*) có nghiệm ⇔∆′≥0

0 7 8 2 ² + − ≥

−

⇔ a a

2 2 2 2

2− 2 ≤ ≤ +

⇔ a (1)

Với a thoả mãn (1) hệ phương trình có nghiệm. Phương trình được viết lại như sau:

(

x+y

)

² −2xy=a² +2a−3

(

2 −1

)

² −2 = ² +2 −3

⇔ a xy a a

2 4 6 3 ² − +

=

⇔ a a

xy

Từ đó suy ra xy nhỏ nhất khi

2 2− 2

=

a , khi đó suy ra giá trị tương ứng của xy.

(22)

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1. Giải hệ phương trình:  + =

 − =



2 2

x 2y 9

2x y 0 .

Bài tập 2. Giải hệ phương trình:  + =

 + =



2 2

x 3y 13

3x 5y 13 .

Bài tập 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất ^{ − =}

(

⁺

)

 + + + =



x y m 1 xy 2 x y xy 0.

Bài tập 4: Cho hệ phương trình





=

− +

=

− +

0 0

2

2 y x

x

m my x

Tìm m để hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

(

x₁;y₁

) (

; x₂;y₂

)

sao cho:

A=

( ) (

2 1

)

²

2 1

2 x y y

x − + − đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 5. Giải biện luận hệ phương trình sau:  − + =

 + =



2 2

x y 2x 2. x y m

(23)

PHẦN 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Hệ đối xứng loại I là hệ có dạng:

( )

f x,y

( )

0 g x,y 0

 =



 =

Trong đó f(x, y) và g(x, y) là các đa thức đối xứng.

Nghĩa là: f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y,x)

Hay hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có vai trò x, y hoàn toàn như nhau trong mỗi phương trình, nếu ta hoán đổi vị trí x và y trong hệ thì hệ phương trình không thay đổi. Ví dụ: x y 2xy 21₂ ₂

2x 2y xy 7

 + + =



+ − =



Tính chất: Nếu hệ có nghiệm (x ; y )₀ ₀ thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là (y ;x )₀ ₀ .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng toán 1. Giải hệ phương trình đối xứng loại I:

( )

f x,y

( )

0 g x,y 0

 =



 = Trong đó f(x, y) và g(x, y) là các đa thức đối xứng.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1) Biến đổi các phương trình của hệ đưa về ẩn S và P mà: S = x + y, P = x.y. Giải được S và P . Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: X² – S.X + P = 0

2) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.

3) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng I sau khi đặt ẩn phụ.

Một số hằng đẳng thức hay được được sử dụng:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

3 3 3 3

2 2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

x y x y 2xy S 2P x xy y x y 3xy S 3P x xy y x y xy S P x y x y 3xy x y S 3PS

x y x y 2x y x y 2xy 2x y S 2P 2P

+ = + − = −

− + = + − = −

+ + = + − = −

+ = + − + = −

 

+ = + − = + −  − = − −

( )( ) ( )

+ + = + − + + = − −

+ = + =

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

x x y y x y xy x y xy S 2P P

1 1 x y S ;

x y xy P

(24)

+ −

+ = =

+ −

+ = =

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

x y

1 1 S 2P ;

x y x y P

y x y

x S 2P

y x xy P

Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: x y xy₂ ₂ 1 x y xy 7

 + + = −



+ − =



Hướng dẫn giải Hệ (x y) xy₂ 1

(x y) 3xy 7

 + + = −

⇔ 

+ − =



Đặt ^{x y S} xy P

 + =

 =



(

^∃^{x, y}^⇔^S² ^≥^4P

)

^{ta được} 2

S P 1 S 1, P 2

S 4, P 3 S 3P 7

 + = −  = = −

 ⇔

 − =  = − =

 

 TH 1. ^{S 1} ^{x y 1} ^x ^{1, y 2}

P 2 xy 2 x 2, y 1

 =  + =  = − =

⇒ ⇔

 = −  = −  = = −

  

TH 2. ^S ⁴ ^{x y} ⁴ ^x ^{1, y} ³

P 3 xy 3 x 3, y 1

 = −  + = −  = − = −

⇒ ⇔

 =  =  = − = −

   .

Thí dụ 2. Giải hệ phương trình: x x y y³ ^{3 3} ³ 17 x xy y 5

 + + =



+ + =



( ) ( )

( )

3 3 3

3 3 3 3 x y x y 3xy x y 17 x x y y 17

x xy y 5 x y xy 5

 + + =  + + − + =

 ⇔

 + + =  + + =

 

Đặtx y a; xy b+ = = . Hệ đã cho trở thành:

3 3

a b 3ab 17 a b 5

 + − =



 + = ²

a 5 b b 5b 6 0

 = −

⇔ 

− + =



a 5 b

(b 2)(b 3) 0

 = −

⇔  − − = a 3

b 2

⇔  = = hoặc a 2 b 3

 = =

 Với a 3

b 2

 = =

 ta có hệ phương trình x y 3 x 3 y₂ x 3 y

xy 2 y 3y 2 0 (y 1)(y 2) 0

 = −

 + = ⇔ ⇔ = −

 =  − + =  − − =

  

⇔ x 2 y 1

 = =

 hoặc x 1

y 2

 = =

 Với a 2

b 3

 = =

 ta có hệ phương trình x y 2 xy 3

 + =

 =

 ²

x 2 y y 2y 3 0

 = −

⇔ 

− + =

 (vô nghiệm)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là:

( ) ( ) ( )

x; y 1; 2 ; 2;1=

(25)

Thí dụ 3. Giải hệ phương trình: ^{xy(x y) 2}^x³ y x y 7 x 1 y 1 31³ ^{3 3}

( )( )

 + =

 + + + + + =



(Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2018-2019) Hướng dẫn giải

Ta có hệ phương trình:

( )

( ) ( ) ( )

2 2 3

2 3

xy x y 2

(x y)(x xy y ) xy 7(x y xy 1) 31 xy(x y) 2

(x y) x y 3xy xy 7 x y xy 1 31

 + =

⇔ 

+ − + + + + + + =



 + =

⇔  +  + − + +  + + + =

Đặt a x y; b xy= + = thì hệ trên trở thành: ^{ab 2}a a 3b b 7 a b 1 31

(

²

)

³

( )

 =

 − + + + + =



( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

3 3

2

3

2

ab 2

a 3ab b 7 a b 1 31

a b a b 3ab 3ab 7 a b 1 31 a b 3ab(a b) 3ab 7(a b) 24 0 a b 6(a b) 3.2 7 a b 24 0

a b a b 30 0 a b 27 (a b) 3

(a b 3) a b 3(a b) 10 0 a b 3 do a b 3(a b) 10

 =

⇔  − + + + + =

 

⇒ +  + − − + + + =

⇔ + − + − + + − =

⇒ + − + − + + − =

⇔ + + + − =

⇔ + − + + =

 

⇔ + −  + + + + =

⇒ + =

(

+ + + + >⁰

)

a b 3 a 2 ab 2 b 1

 + =  =

⇒ = ⇒  =

(do ^a² ⁼

(

^{x y}⁺

)

² ^≥^{4xy 4b)}⁼

x y 2

x y 1 xy 1

 + =

⇒ = ⇒ = =

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

( ) ( )

^{x; y} ⁼ ^1;1

Thí dụ 4. Giải hệ phương trình

Đây không phải là phương trình đối xứng loại một nhưng bằng một phép đặt ẩn phụ t = -y ta được hệ: là hệ đối xứng loại I





=

− + +

=

−

6 2 2

3

2

2 y x y

x

xy y x





= + + +

= + +

6 2 2

3

2

2 y x t

x

tx t x

(26)

Đặt: ^{x y S} xy P

 + =

 =



(

^∃^{x, y}^⇔^S² ^≥^4P

)

^{ta được:}

Giải (2):

Khi đó:

i) ta có , t là nghiệm của hệ phương trình

X² - 2X +1 =0

2i) ta có , t là nghiệm của hệ phương trình

X² + 6X + 9 =0

Dạng toán 2. Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình đối xứng loại I có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và (*).

Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) và điều kiện bài toán để tìm m.

Chú ý; Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v =