PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0 điểm). Tính:
a) A 151: 5 251: 5
4 7 4 7
b) B = 4.( 1
2)3 - 2.( 1
2)2 + 3.( 1
2) + 1
c) C 1: 11 :1 :1 11 :1 :1 11 : ... : 1 1
2 2 3 4 5 6 100
Bài 2 (4,5 điểm). Tìm x, biết:
a) 2.x2. 2 x2 b)
x 3
x 2
x 3
x 8 0 c) x 1 x 2 x 3 3x 122019 2018 2017 2016
Bài 3 (4,5 điểm).
a) Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm biết rằng:
x.P x 2
x 3 .P x 1
0b) Tìm 3 số a, b, c thỏa mãn: 3 2 2 5 5 3
5 3 2
a b c a b c
và a b c 50 c) Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn:
xy y z zx 2019
Bài 4 (6,0 điểm). Cho ABC nhọn, AB < AC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC.
a) Chứng minh: BD = CE
b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh
0
ACN180 BAC và ADE = CAN.
c) Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P. Chứng minh rằng: AP < AQ.
d) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh
2 2
2 2
AD IE DI AE 1
Bài 5 (1,0 điểm).
Tìm các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn đồng thời ab = c, bc = 4a và ac = 9b ---HẾT---
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: ………
1
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2019-2020
Câu Nội dung Biểu
điểm
Bài 1 (4,0đ)
Tính:
a) A 151: 5 251: 5
4 7 4 7
b) B = 4.( 1
2)3 - 2.( 1
2)2 + 3.( 1
2) + 1
c) C 1: 11 :1 :1 11 :1 :1 11 : ... : 1 1
2 2 3 4 5 6 100
1a (1,0đ)
1 5 1 5
A 15 : 25 :
4 7 4 7
1 1 5
A 15 25 :
4 4 7
0,5
A 10. 7 14 5
Vậy A = 14
0,5
1b (1,5đ)
B = 4.( 1
2)3 – 2.( 1
2)2 + 3.( 1
2) + 1
= 4.( 1
8) – 2. 1 4 3
2 +1
0,5
= 1
2 - 1 2 3
2 +1 0,5
= - 3 2
Vậy B = - 3 2
0,5
1c (1,5đ)
1 1 1 1 1 1 1
C : 1 :1 : 1 :1 : 1 : ... : 1
2 2 3 4 5 6 100
1 3 4 5 6 7 101
C : : : : : : ... :
2 2 3 4 5 6 100
0,5
1 2 3 4 5 6 100 C . . . . . ...
2 3 4 5 6 7 101
(có 50 thừa số âm ) 0,5
1.2.3.4.5.6...100 1 C2.3.4.5.6.7...101101
Vậy C 1
101 0,5
2 Bài 2
(4,5đ)
Tìm x, biết:
a) 2.x2. 2x2 b)
x 3
x 2
x 3
x 8 0c) x 1 x 2 x 3 3x 12
2019 2018 2017 2016
2a (1,5đ)
2.x 2. 2 x 2 2.x x 2. 2 2
0,5
x 2 1 2 2 1
0,5
2 2 1
x 2 1
x 2
0,25
Vậy x = 2 0,25
2b (1,5đ)
x 3
x 2
x 3
x 8 0
x 3
x 2 1
x 36
0
x 2
6
x 3 0
x 3 1
0,25
0,25
TH1:
x 3
x 2 0x3 0,25TH2:
x 3
6 1 x 3 1 x 4x 3 1 x 2
0,5
Vậy x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = 4 0,25
2c (1,5đ)
Ta có: x 1 x 2 x 3 3x 12 2019 2018 2017 2016
x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 3 1
2019 2018 2017 2016
0,5
x 2020 x 2020 x 2020 x 2020
2019 2018 2017 3. 2016
0,25
1 1 1 3
x 2020 0 2019 2018 2017 2016
(1) 0,25
Do 1 1 1 3 0
2019201820172016 nên từ (1) ta có x2020. Vậyx2020
0,25 0,25
3 Bài 3
(4,5đ)
x.P x 2
x 3 .P x 1
0b) Tìm 3 số a, b, c thỏa mãn: 3 2 2 5 5 3
5 3 2
a b c a b c
và a b c 50 c) Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn:
xy y z zx 2019
3b (1,25đ)
+ Với x = 0 Ta có:
0.P(0 + 2) – (0 – 3).P(0 – 1) = 0 ⇔ 0 + 3P(-1) = 0 ⇔ P(-1) =0
x = -1 là nghiệm của đa thức P(x).
0,5
+ Với x = 3 ta có:
3.P(3 + 2) – (3 – 3) .P(3 – 1) = 0 ⇔ 3.P(5) – 0.P(2) = 0
3.P(5) = 0 ⇔ P(5) = 0
x = 5 là nghiệm của đa thức P(x).
0,5
Vậy đa thức P(x) có ít nhất 2 nghiệm là -1; 5. 0,25
3b (1,75)
3a 2b 2c 5a 5b 3c
5 3 2
15a 10b 6c 15a 10b 6c
25 9 4
0,25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
15 10 6 15 10 6 15 10 6 15 10 6
25 9 4 38 0
a b c a b c a b c a b c
2 3
15 10 0 3 2
6 15 0 2 5
2 5
10 6 0 5 3
5 3
a b
a b a b
a c
c a c a
b c b c
c b
0,5
a b c 2 3 5
0,25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau a b c a b c 50 5 2 3 5 2 3 5 10
0,5
0,25
4
10 15 25 a
b c
Vậy a = -10; b = -15; c = -25
3c (1,5đ)
xy y z zx xy
xy
y z
y z
zx
zx
0,25 Nhận xét: Với mọi số nguyên a, ta có: a a 2a a 00 a 0
Suy ra a a luôn là số chẵn với mọi số nguyên a
0,5
Suy ra: xy
xy
; y z
y z
và zx
zx
luôn là các số chẵn với mọi số nguyên x, y, z xy
xy
y z
y z
zx
zx
là một số chẵn với mọi số nguyên x, y, zHay xy y z zx là một số chẵn với mọi số nguyên x, y, z
0,5
Do đó, không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn:
xy y z zx 2019 0,25
Bài 4 (6,0đ)
Cho ABC nhọn, AB < AC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC.
a) Chứng minh: BD = CE
b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh
0
ACN180 BAC và ADE = CAN.
c) Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P. Chứng minh AP < AQ.
d) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh
2 2
2 2
AD IE DI AE 1
(0,5đ) Vẽ hình, ghi GT, KL
0,25
5 I P
Q
B M C
A
N D
E
0,25
4a (1,0đ)
Xét ABD và AEC có
AD = AC (gt) và AB = AE (gt)
BADCAE (cùng phụ với BAC)
ABD = AEC (c.g.c)
BD = CE (2 cạnh tương ứng)
0,75 0,25
4b (2,5đ)
Xét ABM và NCM có AM = MN (gt)
AMBNMC (đối đỉnh) BM = CM (gt)
ABM = NCM (c.g.c)
Suy ra: ABMNCM (2 góc tương ứng)
Do đó: ACNACB BCN ACB ABC 180 oBAC (đpcm)
0,5
0,25
0,25 +) Ta có: DAEDAC BAE BAC 180 oBAC
DAEACN
Xét ADE và CAN có CN = AE (cùng bằng AB) AC = AD (gt)
DAEACN (cmt)
ADE = CAN (c.g.c)
0,75
0,75
6 4c
(1,0đ)
Theo tính chất góc ngoài, ta có:
AQPQAD QDA
APQPAEPEA
Mà AB < AC nên AE < AD ADEAED hay QDAPEA Theo chứng minh trên ta có: QADPAE
Từ đó suy ra: QAD QDA PAE PEA hay AQPAPQ suy ra AP < AQ (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
4d (1,0đ)
Vì ADE = CAN (cmt) NACADE (2 góc tương ứng) Xét ADP vuông tại A
o o
ADE APD 90 NAC APD 90 AI DE
Xét ADI vuông tại I, theo định lý Pi-ta-go ta có: AD2 = DI2 + AI2
AI2 = AD2 – DI2
Xét AIE vuông tại I, theo định lý Pi-ta-go ta có: AE2 = AI2 + IE2
AI2 = AE2 – IE2
Suy ra: AD2 – DI2 = AE2 - IE2 AD2 + IE2 = DI2 + AE2
2 2
2 2
AD IE DI AE 1
(đpcm)
0,5
0,25
0,25
Bài 5 (1,0đ)
Ta có: ab = c, bc = 4a, ac = 9b
Nhân từng vế của ba đẳng thức ta được:
(abc)2 = 36abc abc(abc-36) = 0
+ TH1: abc = 0, kết hợp đề bài ta được a = b = c =0 + TH2: abc = 36
Kết hợp ab = c, suy ra c = ± 6 Kết hợp bc = 4a, suy ra a = ± 3 Kết hợp ac = 9b, suy ta b ± 2
Với c = 6 thì ab = 6, suy ra a = 3, b = 2 hoặc a = -3, b = -2 Với c = -6 thì ab = -6, suy ra a = 3, b = -2 hoặc a = -3, b = 2
Vậy có 5 bộ (a, b, c) là (0, 0, 0); (3, 2, 6); (-3, -2, 6); (3, -2, -6); (-3, 2, -6)
0,25
0,25
0,25 0,25 Lưu ý :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.