• Không có kết quả nào được tìm thấy

a) Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm biết rằng: x.P x 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "a) Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm biết rằng: x.P x 2"

Copied!
7
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn: Toán 7

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm). Tính:

a) A 151: 5 251: 5

4 7 4 7

b) B = 4.( 1

2)3 - 2.( 1

2)2 + 3.( 1

2) + 1

c) C 1: 11 :1 :1 11 :1 :1 11 : ... : 1 1

2 2 3 4 5 6 100

Bài 2 (4,5 điểm). Tìm x, biết:

a) 2.x2. 2 x2 b)

x 3

x 2

x 3

x 8 0 c) x 1 x 2 x 3 3x 12

2019 2018 2017 2016

Bài 3 (4,5 điểm).

a) Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm biết rằng:

x.P x 2

 

x 3 .P x 1

 

0

b) Tìm 3 số a, b, c thỏa mãn: 3 2 2 5 5 3

5 3 2

a b c a b c

a   b c 50 c) Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn:

xy y z zx 2019

Bài 4 (6,0 điểm). Cho ABC nhọn, AB < AC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC.

a) Chứng minh: BD = CE

b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh

0

ACN180 BAC và ADE = CAN.

c) Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P. Chứng minh rằng: AP < AQ.

d) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh

2 2

2 2

AD IE DI AE 1

Bài 5 (1,0 điểm).

Tìm các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn đồng thời ab = c, bc = 4a và ac = 9b ---HẾT---

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: ………

(2)

1

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2019-2020

Câu Nội dung Biểu

điểm

Bài 1 (4,0đ)

Tính:

a) A 151: 5 251: 5

4 7 4 7

b) B = 4.( 1

2)3 - 2.( 1

2)2 + 3.( 1

2) + 1

c) C 1: 11 :1 :1 11 :1 :1 11 : ... : 1 1

2 2 3 4 5 6 100

1a (1,0đ)

1 5 1 5

A 15 : 25 :

4 7 4 7

1 1 5

A 15 25 :

4 4 7

 

 

 

0,5

A 10. 7 14 5

 

Vậy A = 14

0,5

1b (1,5đ)

B = 4.( 1

2)3 – 2.( 1

2)2 + 3.( 1

2) + 1

= 4.( 1

8) – 2. 1 4 3

2 +1

0,5

= 1

2 - 1 2 3

2 +1 0,5

= - 3 2

Vậy B = - 3 2

0,5

1c (1,5đ)

1 1 1 1 1 1 1

C : 1 :1 : 1 :1 : 1 : ... : 1

2 2 3 4 5 6 100

1 3 4 5 6 7 101

C : : : : : : ... :

2 2 3 4 5 6 100

0,5

1 2 3 4 5 6 100 C . . . . . ...

2 3 4 5 6 7 101

(có 50 thừa số âm ) 0,5

1.2.3.4.5.6...100 1 C2.3.4.5.6.7...101101

Vậy C 1

101 0,5

(3)

2 Bài 2

(4,5đ)

Tìm x, biết:

a) 2.x2. 2x2 b)

x 3

x 2

x 3

x 8 0

c) x 1 x 2 x 3 3x 12

2019 2018 2017 2016

2a (1,5đ)

2.x 2. 2 x 2 2.x x 2. 2 2

0,5

   

x 2 1 2 2 1

0,5

 

2 2 1

x 2 1

x 2

0,25

Vậy x = 2 0,25

2b (1,5đ)

x 3

x 2

x 3

x 8 0

x 3

x 2 1

x 36

0

 

 

x 2

6

x 3 0

x 3 1

0,25

0,25

TH1:

x 3

x 2 0x3 0,25

TH2:

x 3

6 1 x 3 1 x 4

x 3 1 x 2

 

 

  

0,5

Vậy x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = 4 0,25

2c (1,5đ)

Ta có: x 1 x 2 x 3 3x 12 2019 2018 2017 2016

x 1 x 2 x 3 x 4

1 1 1 3 1

2019 2018 2017 2016

   

   

   

0,5

x 2020 x 2020 x 2020 x 2020

2019 2018 2017 3. 2016

0,25

 

1 1 1 3

x 2020 0 2019 2018 2017 2016

(1) 0,25

Do 1 1 1 3 0

2019201820172016 nên từ (1) ta có x2020. Vậyx2020

0,25 0,25

(4)

3 Bài 3

(4,5đ)

x.P x 2

 

x 3 .P x 1

 

0

b) Tìm 3 số a, b, c thỏa mãn: 3 2 2 5 5 3

5 3 2

a b c a b c

a   b c 50 c) Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn:

xy y z zx 2019

3b (1,25đ)

+ Với x = 0 Ta có:

0.P(0 + 2) – (0 – 3).P(0 – 1) = 0 0 + 3P(-1) = 0 P(-1) =0

 x = -1 là nghiệm của đa thức P(x).

0,5

+ Với x = 3 ta có:

3.P(3 + 2) – (3 – 3) .P(3 – 1) = 0 3.P(5) – 0.P(2) = 0

3.P(5) = 0 P(5) = 0

 x = 5 là nghiệm của đa thức P(x).

0,5

Vậy đa thức P(x) có ít nhất 2 nghiệm là -1; 5. 0,25

3b (1,75)

3a 2b 2c 5a 5b 3c

5 3 2

15a 10b 6c 15a 10b 6c

25 9 4

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

15 10 6 15 10 6 15 10 6 15 10 6

25 9 4 38 0

ab ca bc abcabc

   

2 3

15 10 0 3 2

6 15 0 2 5

2 5

10 6 0 5 3

5 3

a b

a b a b

a c

c a c a

b c b c

c b

 

   

  

  

       

     

  

 

0,5

a b c 2 3 5

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau a b c a b c 50 5 2 3 5 2 3 5 10

 

 

 

0,5

0,25

(5)

4

10 15 25 a

b c

  

  

  

Vậy a = -10; b = -15; c = -25

3c (1,5đ)

xy y z zx xy

xy

y z

y z

zx

zx

0,25 Nhận xét: Với mọi số nguyên a, ta có: a a 2a a 0

0 a 0

  

Suy ra a a luôn là số chẵn với mọi số nguyên a

0,5

Suy ra: xy

xy

; y z

y z

zx

zx

luôn là các số chẵn với mọi số nguyên x, y, z

xy

xy

y z

y z

zx

zx

là một số chẵn với mọi số nguyên x, y, z

Hay xy y z zx là một số chẵn với mọi số nguyên x, y, z

0,5

Do đó, không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn:

xy y z zx 2019 0,25

Bài 4 (6,0đ)

Cho ABC nhọn, AB < AC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC.

a) Chứng minh: BD = CE

b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh

0

ACN180 BAC và ADE = CAN.

c) Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P. Chứng minh AP < AQ.

d) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh

2 2

2 2

AD IE DI AE 1

(0,5đ) Vẽ hình, ghi GT, KL

0,25

(6)

5 I P

Q

B M C

A

N D

E

0,25

4a (1,0đ)

Xét ABD và AEC có

AD = AC (gt) và AB = AE (gt)

BADCAE (cùng phụ với BAC)

 ABD = AEC (c.g.c)

 BD = CE (2 cạnh tương ứng)

0,75 0,25

4b (2,5đ)

Xét ABM và NCM có AM = MN (gt)

AMBNMC (đối đỉnh) BM = CM (gt)

 ABM = NCM (c.g.c)

Suy ra: ABMNCM (2 góc tương ứng)

Do đó: ACNACB BCN  ACB ABC 180  oBAC (đpcm)

0,5

0,25

0,25 +) Ta có: DAEDAC BAE BAC 180   oBAC

DAEACN

Xét ADE và CAN có CN = AE (cùng bằng AB) AC = AD (gt)

DAEACN (cmt)

 ADE = CAN (c.g.c)

0,75

0,75

(7)

6 4c

(1,0đ)

Theo tính chất góc ngoài, ta có:

  AQPQAD QDA

  APQPAEPEA

Mà AB < AC nên AE < AD ADEAED hay QDAPEA Theo chứng minh trên ta có: QADPAE

Từ đó suy ra: QAD QDA  PAE PEA hay AQPAPQ suy ra AP < AQ (đpcm)

0,25

0,25

0,25

0,25

4d (1,0đ)

Vì ADE = CAN (cmt) NACADE (2 góc tương ứng) Xét ADP vuông tại A

  o   o

ADE APD 90 NAC APD 90 AI DE

Xét ADI vuông tại I, theo định lý Pi-ta-go ta có: AD2 = DI2 + AI2

 AI2 = AD2 – DI2

Xét AIE vuông tại I, theo định lý Pi-ta-go ta có: AE2 = AI2 + IE2

 AI2 = AE2 – IE2

Suy ra: AD2 – DI2 = AE2 - IE2  AD2 + IE2 = DI2 + AE2

2 2

2 2

AD IE DI AE 1

(đpcm)

0,5

0,25

0,25

Bài 5 (1,0đ)

Ta có: ab = c, bc = 4a, ac = 9b

Nhân từng vế của ba đẳng thức ta được:

(abc)2 = 36abc  abc(abc-36) = 0

+ TH1: abc = 0, kết hợp đề bài ta được a = b = c =0 + TH2: abc = 36

Kết hợp ab = c, suy ra c = ± 6 Kết hợp bc = 4a, suy ra a = ± 3 Kết hợp ac = 9b, suy ta b ± 2

Với c = 6 thì ab = 6, suy ra a = 3, b = 2 hoặc a = -3, b = -2 Với c = -6 thì ab = -6, suy ra a = 3, b = -2 hoặc a = -3, b = 2

Vậy có 5 bộ (a, b, c) là (0, 0, 0); (3, 2, 6); (-3, -2, 6); (3, -2, -6); (-3, 2, -6)

0,25

0,25

0,25 0,25 Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng BD

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Vẽ PQ vuông góc với CD. a) Chứng minh rằng tam giác AEB là tam giác vuông. d) So sánh hai đoạn thẳng AE và AQ.

Câu 4. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax,By cùng vuông góc với AB. a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp được đường tròn.. Xác định

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 10 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích bề mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của

, đồng thời cắt các mặt phẳng chứa các mặt bên của lăng trụ này, ta lại thu được một lăng trụ mới (như hình vẽ) là một lăng trụ đứng có chiều cao là AG , tam giác

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng

= MA. Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M.. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Gọi N là trung điểm của

b) Chứng minh rằng AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M di động trên nửa đường tròn. c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC