Tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập hình học lớp 12 kỳ II

(1)

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho: A x ; y ;z ,B x ; y ;z và



A A A

 

B B B





1 2 3

 

1 2 3



a a ;a ;a , b b ;b ;b

 

. Khi đó:



B A B A B A



1. AB   x x ; y y ;z z



B A

 

² B A

 

² B A



²

2. AB  x x  y y  z z



1 1 2 2 3 3



3) a b   a b ;a b ;a b 4. k.a



ka ;ka ;ka1 2 3



2 2 2

1 2 3

5. a  a a a

1 1 2 2 3 3

6. a  b a b ;a b ;a b

1 1 2 2 3 3

7. .b a .b a   a .b a .b ₁ ₂ ₃

1 2 3

a

a a

8. / /b a k.b a,b 0

b b b

a           

1 1 2 2 3 3

9. a b a.b 0   a .b a .b a .b 0 2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

10. , b ; ;

b b b b b b

a     

 

11) a, b,c  

đồng phẳng  m,n : a mb nc  

 hay a, b .c 0    12) a, b,c  

không đồng phẳng  m,n : a mb nc  

 hay a, b .c 0   

13. M chia đoạn AB theo tỉ số xÂ kx^B yÂ ky^B zÂ kz^B

k 1 MA kMB M ; ;

1 k 1 k 1 k

  

 

        

 

. Đặc biệt: M là trung điểm AB: xÂ x^B yÂ y^B zÂ z^B

M ; ;

2 2 2

  

 

 

 .

14. G là trọng tâm tam giác ABC: xÂ x^B x^C yÂ y^B y^C zÂ z^B z^C

G ; ;

3 3 3

     

 

 

 

15. G là trọng tâm tứ diện ABCD: xÂ x^B x^C x^D yÂ y^B y^C y^D zÂ z^B z^C z^D

G ; ;

4 4 4

        

 

 

 

16. Véctơ đơn vị: i (1;0;0); j (0;1;0);k (0;0;1)   

17. Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0) Ox; N(0; y;0) Oy;K(0;0;z) Oz  

18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: ^{M(x; y;0)}



Oxy ; N(0; y;z)







Oyz ;K(x;0;z)







Oxz



. 19. Diện tích tam giác ABC: ABC

S 1 AB, AC

  2  

20. Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD  AB, AC  21. Thể tích khối tứ diện ABCD: ABCD

V 1 AB, AC .AD

6  

   

22. Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C'D' : VABCD.A ' B 'C ' D '  AB, AD .AA '   2. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác.

 A,B,C là ba đỉnh tam giác AB, AC 

không cùng phương hay AB, AC   0 .

 G x ; y ;z là trọng tâm tam giác ABC thì:



G G G



A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x ; y ;z

3 3 3

     

  

(2)

 ABC

S 1 AB, AC

  2  

. Suy ra diện tích của hình bình hành ABCD là: SABCD  AB, AC 

 Đường cao: 2.S ^ABC

AH BC

 

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Chứng minh A, B, C không thẳng hàng

 ABCD là hình bình hành AB DC  Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

 AB;AC;AD  

không đồng phẳng hay AB;AC .AD 0    .

 G x ; y ;z là trọng tâm tứ diện ABCD thì:



G G G



A B C D A B C D A B C D

G G G

x x x x y y y y z z z z

x ; y ;z

4 4 4

        

  

 Thể tích khối tứ diện ABCD: ABCD

V 1 AB;AC .AD

6  

    Đường cao AH của tứ diện ABCD: BCD

BCD

1 3V

V S .AH AH

3 S

  

 Thể tích hình hộp: VABCD.A ' B'C ' D '  AB;AD .AA '   . MẶT CẦU 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Ph ương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R :

    

²

 

²



² ²

 

S I;R : x a  y b  z c R 1

Trong không gian Oxyz phương trình x²y²z²2Ax 2By 2Cz D 0    là phương trình mặt cầu khi: A²B²C² D 0. Khi đó mặt cầu có:

Tâm ^{I A; B; C}



^{  }



.

Bán kính R A²B²C²D .

2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu ^{S : x a}



^

 

²^ ^{y b}^

 

²^{ }^{z c}



² ^^R² và mặt phẳng

 

 : Ax By Cz D 0    . Tính: ^{d d I;}

 

^{Aa Bb Cc D}₂ ₂ ₂

A B C

  

  

  . Khi đó, nếu:

 d R : mặt cầu (S) và mặt phẳng

 

^ không có điểm chung.

 d R : mặt phẳng

 

^ tiếp xúc mặt cầu (S) tại H.

- Điểm H được gọi là tiếp điểm.

- Mặt phẳng

 

^ được gọi là tiếp diện.

 d R : mặt phẳng

 

^ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn.

Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng

 

^ ) :

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(): ta có u d n_ .

 Tọa độ H là giao điểm của (d) và ().

Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng:

(3)

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(): ta có u _d n_ .

 Tọa độ H là giao điểm của (d) và ().

 Bán kính r R²d² với ^{d IH d I;}^ ^

 

^ . 3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

0 1

 

0 2

0 3

x x a t

d : y y a t 1 z z a t

 

  

  



và ^{S : x a}



^

 

²^ ^{y b}^

 

²^{ }^{z c}



² ^^R²

 

²

 Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t.

 Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm.

2. CÁC DẠNG TOÁN

Vấn đề 1: Viết phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Biết trước tâm ^{I a;b;c}

 

và bán kính R:

Phương trình: S I;R : x a

  



 

² y b

 

² z c



² R² Nếu mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì bán kính R IA Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB

 Tâm I là trung điểm AB.

 Bán kính 1

R AB

 2 .

 Phương trình S I;R : x a

  



 

² y b

 

² z c



² R² Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng

 

^ :

 Tâm I là trung điểm AB.

 Bán kính ^{R d I;}

 

^{Aa Bb Cc D}₂ ₂ ₂

A B C

  

  

  .

 Phương trình S I;R : x a

  



 

² y b

 

² z c



² R² Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

 Giả sử mặt cầu (S) có dạng: ^x²^y²^z²2ax 2by 2cz d 0   

 

2 .

 Thế tọa độ của điểm A, B, C, D vào phương trình (2).

 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d.

 Viết phương trình mặt cầu.

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A, B, C và tâm ^I 

 

: Ax By Cz D 0    :

 Giả sử mặt cầu (S) có dạng: ^x²^y²^z²2ax 2by 2cz d 0   

 

2 .

 Thế tọa độ của điểm A, B, C vào phương trình (2).

 ^{I a;b;c}

   

  Aa Bb Cc D 0   

 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d.

 Viết phương trình mặt cầu.

Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.

Tiếp diện () của mc(S) tại A: () qua A, vectơ pháp tuyến n IA  PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 ^{ }

 

^{   }^

 

(4)

2. Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng

 

^ : hai vectơ không cùng phương a,b 

là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

 

^{ }^{a, b}^{ } có giá cùng song song với

 

^ .

3. Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến n

và cặp vectơ chỉ phương a, b 

: n   a, b  .

4. Phương trình mặt phẳng

 

^ qua M x ; y ;z0



0 0 0



có vectơ pháp tuyến ^ⁿ^



^{A ; B ; C}



^:

0 0 0

( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0       Mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0     thì có vectơ pháp tuyến ^ⁿ^



^{A ; B ; C}



^.

5. Phương trình mặt phẳng đi qua A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c :

     

x y z

a   b c 1

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.

6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0.

7. Chùm mặt phẳng :

Giả sử

   

^{   }^' ^d trong đó: ( ) : Ax By Cz D 0     và ( ') : A 'x B' y C'z D' 0     . Pt mp chứa (d) có dạng sau với ^m²ⁿ² 0 : m Ax By Cz D



  



n A 'x B'y C'z D'



  



0.

8. Vị trí tương đối của hai mp

 

^ và

 

^^' :

( ) ( ')   A : B : C A ' : B' : C' ( )   ( ') AA ' BB' CC' 0  

A B C D

( ) ( ')

A ' B' C' D'

       A B C D

( ) / /( ')

A ' B' C' D'

     

9. Khoảng cách từ M x ; y ;z0



0 0 0



đến ( ) : Ax By Cz D 0    

 

^Ax⁰ ₂^By⁰ ₂^Cz⁰₂ ^D

d M; A B C

  

   

10. Góc gi ữa hai mặt phẳng : ¹ ²

1 2

cos n .n

n . n

    

 

( , ) 2. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C:

 Cặp vectơ chỉ phương: AB,AC 

 Mặt phẳng

 

^ đi qua A (hoặc B hoặc C) và có vectơ pháp tuyến n  AB, AC  . Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB:

 M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

 Mặt phẳng

 

^ đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB  .

Dạng 3: Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB)

 Mặt phẳng

 

^ đi qua M và có vectơ pháp tuyến n AB 

hoặc vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Dạng 4: Mp  qua M và song song ( ): Ax + By + Cz + D = 0

 Mặt phẳng

 

^ đi qua M và có vectơ pháp tuyến ⁿ  ⁿ 



^A;B;C



Dạng 5: Mp( ) chứa (d) và song song (d^/ )

 Lấy điểm M x ; y ;z0



0 0 0

  

 d

(5)

 Xác định vectơ chỉ phương u ;u d d '

của đường thẳng

 

d và đường thẳng

 

d ' .

 Mặt phẳng

 

^ đi qua M và có vectơ pháp tuyến 0 n  u , u d d ' . Dạng 6 Mp( ) qua M, N và vuông góc  :

 Tính MN

.

 Tính n_  MN, n _

 Mặt phẳng

 

^ đi qua M (hoặc N) và có vectơ pháp tuyến n_ Dạng 7 Mp( ) chứa (d) và đi qua M

 Lấy điểm M x ; y ;z0



0 0 0

  

 d

 Tính MM0

. Xác định vectơ chỉ phương ud

 

d .

 Tính n_  MM , u 0 d

 Mặt phẳng

 

^ đi qua M (hoặc M ) và có vectơ pháp tuyến n0 _ . 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Vectơ n 0 

được gọi là vectơ pháp tuyến của mp

 

^ nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mp

 

^ , viết tắt là ⁿ^ ^{ }

 

.

Nếu u (x ; y ;z ), v (x ; y ;z )^ ₁ ₁ ₁ ^ ₂ ₂ ₂ là 2 vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên) mp

 

^ ( u, v 

còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp

 

^ ) thì:

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

y z z x x y

n u, v ; ;

y z z x x y

     là một VTPT của mp

 

^ . 2. Phương trình tổng quát: Ax By Cz D 0    với A²B²C² 0 Vectơ pháp tuyến: ⁿ^ ^



^A;B;C



3. mặt phẳng ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ 0 0 0

qua M (x ; y ;z )

( ) : mp( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0

VTPT n (A ; B ; C)^

         

 

4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp

 

^ : Ax By Cz D 0    . Khi đó:

* ^{D 0}^{  }

 

đi qua gốc tọa độ.

* ^{C 0;D 0}^ ^{  }

 

song song với trục Oz; ^{C 0;D 0}^ ^{  }

 

chứa trục Oz.

* ^{B C 0;D 0}^{ } ^{  }

 

song song với mp(Oyz); ^{B C D 0}^{    }

 

chính là mp(Oyz) (Các trường hợp khác suy ra tương tự).

5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng

 

 : Ax By Cz D 0    và

 

' : A 'x B' y C'z D' 0    .

A B C D

( ) / /( ')

A ' B' C' D'

      ( )   ( ') AA ' BB' CC' 0  

A B C D

( ) ( ')

A ' B' C' D'

       A B B C C A

( ) ( ') hay hay

A ' B' B' C' C' A '

      

 Chú ý: Ta quy ước nếu một “phân số” nào đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0.

6. Phương trình theo đọan chắn của mặt phẳng.

 

^ A a;0;0 , cắt Oy tại

 

B 0;b;0 , cắt Oz tại

 

C 0;0;c có phương trình là:

 

(6)

x y z

1 , abc 0 a   b c  7. Góc của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng

 

 : Ax By Cz D 0    và

 

' : A 'x B' y C'z D' 0    Gọi  là góc của hai mặt phẳng, ta có: ₂ AA ' BB' CC'₂ ₂ ₂ ₂ ₂

cos A B C . A ' B' C'

 

     

8. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Cho mp

 

 : Ax By Cz D 0    và điểm M x ; y ;z . Khi đó:0



0 0 0





0

   0 2 0 2 02

Ax By Cz D

d M ;

A B C

  

   

Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng:

Bài Toán 1: Viết Phương Trình Mặt Phẳng

 

^ Đi Qua M x ; y ;z0



0 0 0



Và Có Vectơ Pháp Tuyến ⁿ^ ^



^A;B;C



^⁰^.

 Phương trình mặt phẳng

 

^ là: A x x



 0



B y y



 0



C z z



 0



0 hay Ax By Cz D 0    với D 



Ax0By0Cz0



.

Bài Toán 2: Viết Phương Trình Mặt Phẳng

 

^ Đi Qua 3 Điểm A, B, C Không Thẳng Hàng.

 Tính AB;AC  AB, AC  .

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^ là n k. AB, AC   

với k là số thực khác 0.

 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng

 

^ .

 

^ Đi Qua M x ; y ;z0



0 0 0



Và Vuông Góc Với Đường Thẳng

 

^ Cho Trước.

 

^ là vectơ chỉ phương của đường thẳng

 

^ .

 

^ .

 

^ Đi Qua M x ; y ;z0



0 0 0



Và Song Song Với Hai Đường Thẳng

   

1 , 2 Chéo Nhau Cho Trước.

 Tìm vectơ chỉ phương u1

 

1 và vectơ chỉ phương u2

 

2 .

 Tính u , u 1 2 .

 

^ là n k. u , u   1 2

 

^ .

 

^ Đi Qua Đường Thẳng

 

1 Và Song Song Với Đường Thẳng

 

2 Cho Trước.

 Tìm vectơ chỉ phương u₁

 

1 và u₂

 

2 .

 Tính u , u 1 2 .

 

^ là n k. u , u   1 2

(7)

 Chọn điểm M x ; y ;z0



0 0 0

  

 1

 

^ .

 

^ Chứa Hai Đường Thẳng

   

1 , 2 Song Song.



1 1 1

  

 1 và M x ; y ;z2



2 2 2

  

 2 .

 Tìm vectơ chỉ phương u₁

 

1 hoặc vectơ chỉ phương u₂

 

2 .

 Tính u , M M 1 1 2

hoặc u ,M M 2 1 2 .

 

^ là n k. u , M M   1 1 2

hoặc n k. u , M M ;k 0   2 1 2  .

 

^ .

 

^ Đi Qua M x ; y ;z0



0 0 0



Và Vuông Góc Với Hai Mặt Phẳng

   

^{ }^, Cho Trước.

 Tìm vectơ pháp tuyến n₁

của mặt phẳng

 

^ và vectơ pháp tuyến n₂

của mặt phẳng

 

^ .

 Tính n , n 1 2 .

 

^ là n k. n , n   1 2

 

^ .

Bài Toán 8: Viết Phương Trình Mặt Phẳng

 

^ Chứa Hai Đường Thẳng

   

1 , 2 Cắt Nhau.

 

1 và u2

 

2 .

 Tính u , u 1 2 .

 

^ là n k. u , u   1 2



0 0 0

  

 1 hoặc M x ; y ;z0



0 0 0

  

 2

 

^ .

 

^ Đi Qua Đường Thẳng

 

1 Và Vuông Góc Với Mặt Phẳng

 

^ Cho Trước.

 

1 và vectơ pháp tuyến n1

của mặt phẳng

 

^ .

 Tính u , n 1 1 .

 

^ là n k. u , n   1 1



0 0 0

  

 1 .

 

^ . Dạng4: Hình chiếu của điểm M

1. H là hình chiếu của M trên mp 

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (): ta có a d n

 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và ()

2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)  

(8)

 Tọa độ H là nghiệm của hpt: (d) và () Dạng 5: Điểm đối xứng

1.Điểm M đối xứng với M qua mp^/ 

 Tìm hình chiếu H của M trên mp () (dạng 4.1)

 H là trung điểm của MM^/

2.Điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d:^/

 Tìm hình chiếu H của M trên (d) (dạng 4.2)

 H là trung điểm của MM^/ .

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc.

Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương 0



0 0 0



^^u^



^a;b;c



^{có :}

- Phương trình tham số của d:

o 0 0

x x at

y y bt (t R) z z ct

 

   

  



- Phương trình chính tắc của d: x x⁰ y y⁰ z z⁰

(abc 0)

a b c

  

  

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.



0 0 0



^u^^



^a;b;c



và đường thẳng d ' đi qua

 

0 0 0 0

M x ' ; y' ;z ' và có vectơ chỉ phương ^{u '}^ ^



^{a ';b';c'}



^{. Khi đó:}

+ d và d ' cùng nằm trong một mặt phẳng [u, u '].M M^{ } ₀ ^'₀ 0 . + d và d ' cắt nhau [u, u '].M M^{ } ₀ ^'₀  0 [u,u '] 0^{ } ^

. + d / /d '[u, u '] 0 [u, M M ] 0^{ }  ^ ^ ₀ ^'₀ ^

. + d d ' [u, u '] [u, M M ] 0^{ }  ^ ₀ ^'₀ ^ + d và d’ chéo nhau [u, u '].M M^{ } ₀ ^'₀ 0

3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng.



0 0 0



^u^^



^a;b;c



và mặt phẳng

 

 : Ax By Cz D 0    có vectơ pháp tuyến ⁿ^ ^



^A;B;C



. Khi đó:

+ d cắt ( )  Aa Bb Cc 0   +

0 0 0

Aa Bb Cc 0 d / /( )

Ax By Cz D 0

  

      

+

0 0 0

Aa Bb Cc 0 d ( )

Ax By Cz D 0

  

       

+ d ( )  u / /n  u, n  ^0 4. Góc giữa hai đường thẳng.

(9)

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ^u^^



^a;b;c



và đường thẳng d ' có vectơ chỉ phương

 

u '^  a ';b';c' . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:

0

2 2 2 2 2 2

u . u ' a.a ' bb ' cc'

cos (0 90 )

a b c . a ' b' c' u u '

 

 

     

   

5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ^^u^



^a;b;c



và mặt phẳng

 

^ có vectơ pháp tuyến

 

n  A;B;C

. Gọi  là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng

 

^ ta có:

2 2 2 2 2 2

u . n

Aa Bb Cc

sin u . n A B C . a b c

 

 

  

   

6. Khoảng cách từ điểm M x ; y ;z đến đường thẳng 1



1 1 1



 có vectơ chỉ phương u^: + Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng

 

^ qua M1 và vuông góc với . - Tìm tọa độ giao điểm H của  và mặt phẳng

 

^ .

- d M ;



1  



M H1 .

+ Cách 2: Sử dụng công thức:



1



¹ ⁰

M M , u d M ;

u

 

 

 

 



7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương u0



0 0 0



^và đường thẳng

' đi qua M ' x ' ; y ' ; z ' và có vectơ chỉ phương u'0



0 0 0



^. + Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng

 

^ chứa  và song song với ' . - Tính khoảng cách từ M ' mặt phẳng 0

 

^ .

- d( , ') d(M ' ,( ))   0  . + Cách 2: Sử dụng công thức:

'

0 0

u, u ' .M M d( , ')

u,u '

 

 

  

 

 



 

  .

2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có vectơ chỉ phương u^:

 Sử dụng công thức phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.

 Đường thẳng d đi qua A và B có vectơ chỉ phương u AB  .

 Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.

 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương

(10)

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( ) Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u u  _

. Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp( ) Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u n  _

. Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên  :

Cách 1:

 Viết phương trình mặt phẳng

 

^ chứa (d) và vuông góc với

 

^ .

 Đường thẳng d ' là giao tuyến của

 

^ và

 

^ . Cách 2:

 Xác định A là giao điểm của d và

 

^ .

 Lấy điểm M, M A trên d. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với

 

^ .

 Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của  với

 

^ .

 Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AH.

Đặc biệt: Nếu d song song

 

^ thì đường thẳng d ' là đường thẳng đi qua H và song song d.

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc 2 đường thẳng (d1) và (d2):

Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u  u ,u d₁ d₂ Dạng 6: phương trình đường vuông góc chung của

 

d1 và

 

d :2

 Chuyển phương trình đường thẳng

   

d , d về dạng tham số và xác định 1 2 u ,u 1 2

lần lượt là vectơ chỉ phương của

   

d , d .1 2

 Lấy A, B lần lượt thuộc

   

d , d (tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số).1 2

 Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó: ¹

 

2

AB.u 0 AB.u 0 *

 



 

 

  . Giải hệ phương trình

 

^*

tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A, B.

 Viết phương trình đường vuông góc chung.

Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = ( ) (  ) với mp() = (A,d1) ; mp() = (A,d2)

Dạng 8: PT d //  và cắt d1,d2 : d = ( 1)  (  2) với mp (1) chứa d1 //  ; mp (2) chứa d2 //  Dạng 9: PT d qua A và  d 1, cắt d2 : d = AB với mp () qua A,  d1 ; B = d2  ()

Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d = ( )   (  ) với mp() chứa d1 ,(P) ; mp() chứa d2 ,  (P).