Hiện tại, sự kết hợp giữa vật lý lượng tử và toán học hiện đại đã đặt nền móng cho việc xây dựng máy tính lượng tử trong tương lai. Với khả năng xử lý song song và tốc độ tính toán nhanh, mô hình máy tính lượng tử đã đặt ra những bài toán mới trong lĩnh vực CNTT. Năm 1994, Peter Shor trình bày thuật toán phân tích số trên máy tính lượng tử với độ phức tạp thời gian đa thức.
Như vậy, khi máy tính lượng tử xuất hiện sẽ dẫn đến việc các hệ thống mật mã được coi là an toàn hiện nay như RSA sẽ không còn an toàn nữa. Điều này đặt ra vấn đề nghiên cứu các hệ thống mật mã mới để đảm bảo an ninh khi máy tính lượng tử xuất hiện. Đồng thời, do máy tính lượng tử hiện nay mới chỉ xuất hiện trong các phòng thí nghiệm nên nhu cầu mô phỏng các thuật toán lượng tử trên máy tính thông thường là tất yếu.
Ở Việt Nam hiện nay, các nhà toán học cũng đã bước đầu triển khai nghiên cứu về điện toán lượng tử và mô phỏng điện toán lượng tử trên máy tính thông thường. Trong khuôn khổ luận án này, dựa trên các kết quả thu được trên thế giới và trong nước, tôi sẽ trình bày tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về điện toán lượng tử, đồng thời mô phỏng thuật toán mã hóa lượng tử BB84. .
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Một số khái niệm toán học
- Số nguyên tố và nguyên tố cùng nhau
- Đồng dư thức
- Không gian Z n và Z n *
- Phần tử nghịch đảo
- Khái niệm nhóm, nhóm con, nhóm Cyclic
- Bộ phần tử sinh (Generator-tuple)
- Bài toán đại diện (Presentation problem)
- Hàm băm
Các khái niệm mã hóa
- Khái niệm mã hóa
- Hệ mã hóa
- Những khả năng của hệ mật mã
- Các phương pháp mã hóa
- Mã hóa đối xứng
- Mã hóa phi đối xứng (Mã hóa công khai)
- Một số hệ mã hoá cụ thể
- Hệ mã hoá RSA
- Hệ mã hoá ElGamal
- Mã hoá đồng cấu
- Mã nhị phân
- Định nghĩa
- Phân loại sơ đồ chữ ký điện tử
- Một số sơ đồ ký số cơ bản
- Sơ đồ chữ ký Elgamal
- Sơ đồ chữ ký RSA
- Sơ đồ chữ ký Schnorr
Phân phối khóa và thỏa thuận khóa
- Phân phối khóa
- Sơ đồ phân phối khoá trước Blom
- Thỏa thuận khóa
- Sơ đồ trao đổi khoá Diffie-Hellman
- Giao thức thoả thuận khoá trạm tới trạm
- Giao thức thoả thuận khoá MTI
Ký hiệu Bra-Ket
Nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử
- Khái niệm Qubit
- Khái niệm thanh ghi lượng tử
Nguyên lý rối lượng tử (Nguyên lý Entanglement)
Nguyên lý song song lượng tử
Mạch và Cổng logic lượng tử
- Cổng 1 qubit
- Cổng 2 qubit
MÃ HÓA LƯỢNG TỬ
Giao thức phân phối khoá lượng tử BB84
- Giao thức BB84 trường hợp không nhiễu
- Giai đoạn 1: Giao tiếp qua kênh lượng tử
- Giai đoạn 2: Giao tiếp qua kênh công cộng
- Ví dụ
- Giao thức phân phối khoá lượng tử BB84 trường hợp có nhiễu
- Giai đoạn 2: Giao tiếp qua kênh công cộng
- Một số nhược điểm của giao thức BB84
- Về độ an toàn của giao thức phân phối khoá BB84
- Tạo bảng tham chiếu
- Kết luận về độ an toàn của giao thức BB84
Tuy nhiên, do Eve đang theo dõi nên rất có thể khóa thô của Alice và Bob không giống nhau. Alice và Bob sau đó trở lại từ cấp 1 và bắt đầu lại. Do đó, Alice và Bob có thể coi khóa thô là khóa bí mật để sử dụng trong mật mã One-time-pad.
Khi đó, Alice và Bob sẽ không phân biệt được đâu là lỗi do can thiệp hay lỗi do Eve rình mò. Do đó, Alice và Bob sẽ phải giả định rằng toàn bộ lỗi khóa thô là do Eve theo dõi đường truyền. Trong trường hợp bị nhiễu, Alice và Bob sẽ liên lạc qua kênh công cộng theo bốn giai đoạn.
Nếu R vượt quá RMax thì Alice và Bob sẽ phải quay lại bước 1 để bắt đầu lại. Mục đích của giai đoạn 3 là Alice và Bob sẽ loại bỏ tất cả các lỗi bit khỏi khóa thô và được thực hiện trong 2 bước. Alice và Bob sử dụng một quy trình đồng bộ khác để cân bằng kết quả.
Đầu tiên, Alice và Bob chọn công khai một tập hợp con ngẫu nhiên của khóa thô và so sánh bit kiểm tra chẵn lẻ. Tại thời điểm này, Alice và Bob có khóa đồng bộ hóa, nhưng chỉ bị ẩn một phần khỏi Eve. Vì vậy, Alice và Bob sẽ bắt đầu quá trình khuếch đại bí mật để trích xuất phần bí mật của khóa đồng bộ hóa.
Đặt tham số bảo mật mà Alice và Bob muốn, sau đó Alice và Bob xuất bản n - k - s tập con ngẫu nhiên của khóa đồng bộ (bất kể nội dung). Eve có thể phá hoại kênh lượng tử (bằng cách đo thông tin được truyền từ Alice dẫn đến xác suất lỗi tăng lên), sau đó Alice và Bob buộc phải giao tiếp qua kênh cổ điển. Trong giao thức phân phối khóa BB84, để trao đổi thông tin, Alice và Bob sẽ phải công bố các trạng thái lượng tử được sử dụng trong giao thức (mà Eve dễ dàng biết được).
Kết luận về mã hoá lượng tử và thám mã lượng tử
MÔ PHỎNG GIAO THỨC BB84
Nguyễn Thanh Tùng 43 CHƯƠNG 2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MÃ SỐ LƯỢNG 2.1 Ký hiệu Bra-Ket. Ký hiệu Bra-ket là một ký hiệu tiêu chuẩn thường được sử dụng trong vật lý lượng tử, dùng để mô tả các trạng thái lượng tử trong lý thuyết cơ học lượng tử. Nguyễn Thanh Tùng 47 Đối với các qubit có trạng thái chung là 0 1 thì chúng ta có thể đo trạng thái của qubit đó (sẽ nói thêm về điều này sau).
Để đi đến khái niệm về một thanh ghi lượng tử, người ta mở rộng không gian trạng thái bằng cách sử dụng tích tensor của các không gian H2. Định nghĩa: Một thanh ghi lượng tử biểu diễn một vectơ trong không gian Hilbert H = ((H2)n), được chuẩn hóa. Nguyễn Thanh Tùng 48 Trạng thái lượng tử được biểu diễn bằng một thanh ghi gọi là chồng chập.
Kết quả thu được phụ thuộc vào xác suất của các trạng thái được biểu diễn bởi hệ lượng tử. Nguyên lý rối lượng tử là một trong những nguyên lý quan trọng của điện toán lượng tử. Những trạng thái như vậy được gọi là rối lượng tử hay vướng víu lượng tử.
Do yêu cầu của cơ học lượng tử là các phép biến đổi hệ lượng tử cần thiết là Unita nên trong mô hình toán học của tính toán lượng tử ta sử dụng toán tử Unita. Tuy nhiên, như chúng ta đã thấy ở trên, với sức mạnh của điện toán lượng tử và các thuật toán phù hợp, chúng ta có thể phá vỡ các thuật toán mã hóa được coi là an toàn ngày nay như RSA. Trong đó, sức mạnh của máy tính lượng tử có thể được kết hợp với một hệ thống mật mã hoàn chỉnh là hệ thống mật mã One-time-pad.
Trong giai đoạn này, Alice sẽ truyền các trạng thái của bảng chữ cái z và x trên kênh lượng tử với xác suất ngẫu nhiên bằng nhau. Không có nhận dạng trước trước khi trao đổi khóa qua kênh lượng tử, vì vậy Alice có thể bị lừa. Hệ thống mật mã lượng tử cho phép hai người (hoặc hai tổ chức), những người trước đây chưa chia sẻ thông tin bí mật, giao tiếp an toàn qua các kênh công khai.
Hàm này là hàm một giá trị với tất cả các trạng thái lượng tử khác nhau được Alice và Bob sử dụng trong giao thức, nghĩa là mỗi giá trị của hàm tương ứng với các trạng thái lượng tử khác nhau. Nguyễn Thanh Tùng 70 - Khi Alice gửi các bit lượng tử ngẫu nhiên cho Bob, Eve sẽ nhận được chúng. Theo kết quả đo được, Eve sẽ biết Alice đã gửi trạng thái lượng tử nào dựa trên bảng tham chiếu.
Eve tạo ra một trạng thái lượng tử mới với giá trị tương ứng và gửi nó cho Bob.
