GIỚI HẠN HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
B. GIỚI HẠN MỘT BÊN 1) Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1 : Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0 ; b) (x0 R). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng (x0 ; b) mà limxn
= x0, ta đều có limf(xn) = L. Khi đó ta viết : lim f
x Lx0
x
hay f(x) L khi x x0+. Định nghĩa giới hạn bên trái của hàm số được phát biểu tương tự.
Định nghĩa 2 : Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a ; x0) (x0 R). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng (a ; x0) mà limxn
= x0, ta đều có limf(xn) = L. Khi đó ta viết : lim f
x Lx0
x
hay f(x) L khi x x0–. Định lý 4 : lim f
x L lim f
x lim f
x L0
0 x x0 x x
x
x
2) Giới hạn vô cực
Các giới hạn :
f x lim
x0
x
;
f x lim
x0
x
;
f x lim
x0
x
và
f x lim
x0
x
được định nghĩa tương tự.
Phương pháp tìm giới hạn một bên của hàm số :
Chú ý rằng : khi xx0 nghĩa là xx0 và x > x0. Khi xx0 nghĩa là xx0 và x < x0.
xlim f xx0 L
0 0
0 0
x x x x
x x x x
lim f x ; lim f x lim f x ; lim f x L
tồn tại.
Ví dụ 1 : Tìm :
x 2
x 2 lim x 2
x > 2, ta có : x – 2 > 0 x – 2 = x – 2. Vậy
x 2 x 2
x 2 x 2
lim lim 1
x 2 x 2
Ví dụ 2 : Tìm :
x 2
x 2 lim x 2
x < 2, ta có : x – 2 < 0 x – 2 = –(x – 2). Vậy
x 2 x 2
x 2 (x 2)
lim lim 1
x 2 x 2
Ví dụ 3 : Tìm :
x 2
lim x 2
x 2
x > 2, ta có : x – 2 > 0 x – 2 = x – 2. Do đó :
x 2 x 2
x 2 x 2
lim lim 1
x 2 x 2
x < 2, ta có : x – 2 < 0 x – 2 = –(x – 2). Do đó :
x 2 x 2
x 2 (x 2)
lim lim 1
x 2 x 2
Vì x 2
x 2 lim x 2
x 2
x 2 lim x 2
nên
x 2
lim x 2
x 2
không tồn tại Ví dụ 4 : Tìm :
x 2
x lim 4
2 2
x
Với x < 2 (2 x) 2 x
x 2
x 2 ) x 2 )(
x 2 ( x 2
x
4 2
. Vậy lim(2 x) 2 x 0
x 2
x lim 4
2 x 2 2
x
Ví dụ 5 : Tìm :
4 5 2 ) 1 (
x x x
2 x 3 lim x
Với x > –1 2 2 2
4 5 2
x 1 x ) 2 x ( )
1 x ( x
1 x ) 2 x )(
1 x ( 1 x x
) 2 x )(
1 x ( x x
2 x 3
x
Vậy 0
x 1 x ) 2 x lim ( x
x
2 x 3
lim x 2
) 1 ( 4 x
5 2 ) 1 ( x
Hoặc : 0
x 1 x ) 2 x lim ( )
1 x ( x
1 x ) 2 x )(
1 x lim ( 1
x x
) 2 x )(
1 x lim ( x
x
2 x 3
lim x 2
) 1 ( 2 x
) 1 ( 2 x
) 1 ( 4 x
5 2 ) 1 ( x
Ví dụ 6 : Tìm :
1 x ) x 1 x (
lim 3 2
) 1 (
x
1 0 x
) 1 x ( ) x 1 x x ( ) lim 1 x )(
1 x (
) 1 x ( ) x 1 x x ( ) lim 1 x )(
1 x ( ) x 1 x x )(
1 x ( 1 lim x ) x 1 x (
lim 2
) 1 ( x 2 2
) 1 ( x 2
) 1 ( 2 x
3 ) 1 (
x
BÀI 8 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn một bên) 1) x 2
x 2 lim x 2
ĐS : 1 2)
x 2
x 2 lim x 2
ĐS : –1 3)
x 2
lim x 2
x 2
ĐS: không tồn tại
4) 2 x
x lim 4
2 2
x
ĐS : 0 5)
4 5 2 ) 1 (
x x x
2 x 3 lim x
ĐS : 0 6)
x x
x 2 lim x
0
x
ĐS : –2
7) 2
2 3
x 9 x
12 x 7 lim x
ĐS :
6 6 8)
1 x ) x 1 x (
lim 3 2
) 1 (
x
ĐS : 0 9)
2 x
2 x 2 lim 8
) 2 (
x
ĐS : 0
10) 2
x ( 1)
x 3x 2 lim x 1
ĐS : –1 11)
x 0
1 1
lim 1
x x 1
ĐS : –1 12)
3 3
x 27 x
x lim 3
ĐS : 0
13) 2 1 x 1 x
x . 1
x lim
1
x
ĐS :
2
1 14)
3 1 2
x x x
1 x x lim 1
ĐS : 1 15)
1 3
x 1 x
1 1 x
lim 1 ĐS : +
16)
x 4
1 2 x
lim 1 2
2
x ĐS : – 17) 2 2
) 3 (
x (x 3)
3 x 5 x lim 2
ĐS : – 18)
x 2 x
8 lim 2x
3 2
x
ĐS : +
19) x x
1 lim 2x
1
x
ĐS : + 20) 2 2
0
x x
x x lim x
ĐS : + 21)
3 x 4 x
1 lim 2x
4 ) 3 (
x
ĐS : +
22)
4 x
2 x 3 lim x 2
2 2
x
ĐS : + 23)
4 x 5 x
2 x 3 lim x2
2 1
x
ĐS : + 24)
1 x
x 1 1 lim x
1 2
x
ĐS : 1
2
Tìm giới hạn của hàm số được cho bởi hai cơng thức
Tìm giới hạn bên trái, bên phải và giới hạn (nếu có) của hàm số f(x) :
1)
f(x) =
2 x hi k 1 2x
2 x khi 1
x 2
2 . Tìm lim f(x)
) 2 (
x ; lim f(x)
) 2 (
x và lim f(x)
2
x (nếu có)
x < –2 thì x = –x, ta có : lim f(x) lim (2 x 1) 2 2 1 3
) 2 ( x )
2 ( x
x > –2, ta có : lim f(x) lim 2x 1 lim 2( 2)2 1 3
) 2 ( x 2
) 2 ( x )
2 ( x
Vì lim f(x)
) 2 (
x = lim f(x)
) 2 (
x nên lim f(x)
2
x = 3
BÀI 9 : Tìm giới hạn bên trái, bên phải và giới hạn (nếu có) của hàm số f(x) : 1) f(x) =
2 x hi k 1 2x
2 x khi 1
x 2
2 . Tìm lim f(x)
) 2 (
x ; lim f(x)
) 2 (
x và lim f(x)
2
x ĐS : 3 2) f(x) =
2 x hi k 3
x 4
2 x khi 3 x 2 x2
. Tìm lim f(x)
2
x ;lim f(x)
2
x và lim f(x)
x2 ĐS : 3 ; 5 ; không tồn tại.
3) f(x) =
3 x hi k 9 x
3 x hi k 1
3 x 3 khi x
9
2 2
. Tìm lim f(x)
3
x ; lim f(x)
3
x và lim f(x)
x3 (nếu có) BÀI 10 :
1) Tìm m để hàm số f(x) =
1 x hi k m x x m
1 x 1 khi
x 1 x
2 2
3
có giới hạn tại x = –1. ĐS : m = 1 m = –2
2) Tìm m để hàm số
1 x khi 2
mx
1 x 1 khi x
3 1 x
1 x
f 3 có giới hạn khi x 1. ĐS : m = 1
Dạng 3 : Dạng vô định 0
0của một hàm số lượng giác.
Ví dụ 1 : Tìm:
x cos x sin 1
x cos x sin lim1
0
x
2 cosx 2 sinx 2 sinx 2
2 cosx 2 sinx 2 sinx 2 lim 2 cosx 2 sinx 2 2
sin x 2
2 cosx 2 sinx 2 2
sin x 2 x lim sin ) x cos 1 (
x sin ) x cos 1 lim( x cos x sin 1
x cos x sin lim1
0 2 x
2
0 x 0
x 0
x
1
1 0
1 0 2 cosx 2 sinx
2 cosx 2 sinx
limx 0
Ví dụ 2 : Tìm :
1 x sin 3 x sin 2
1 x sin x sin lim 2 2
2
x 6
1 3 x sin
1 x lim sin ) 1 x sin 2 )(
1 x (sin
) 1 x sin 2 )(
1 x lim (sin 1 x sin 3 x sin 2
1 x sin x sin lim 2
x 6 x 6
2 2
x 6
BÀI 11 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác) 1) 1 sinx cosx
x cos x sin lim1
0
x
ĐS : –1 2)
1 x sin 3 x sin 2
1 x sin x sin lim 2 2
2
x 6
ĐS : –3 3)
x tan 1
x 2 lim cos
x4
ĐS : 1
4) 1 cosx
x 3 sin 1 lim 1
0
x
ĐS : 3 2 5)
x cos
1 x 2 sin x 2 lim cos
x 2
ĐS : 2 6)
x x tan cos lim 1
x 2
ĐS : 0
7) 1 cosx
x 3 cos x limcos
0
x
ĐS : 8 8)
x 4 sin
1 x 4 limcos
0 x
ĐS : 0 9)
1 x tan
x 2 sin x lim tan
x 4
ĐS : 1 10) 1 sin2x cos2x
x 2 lim sin
0
x ĐS : –1 11)
x 2 sin x sin 2
x 2 sin x 2 cos lim1
0
x
ĐS :
2
1 12)
x tan 1
x cos x limsin
x 4
ĐS :–
2 2
13) 1 cos2x sin x x 2 sin x sin
lim 2 2
0
x
ĐS : 0 14)
1 x 2 cos x 2 sin
x 3 cos x lim cos
0
x
ĐS : 0 15)
1 x tan
1 x lim tan
3
x 4
ĐS : 3 B. GIỚI HẠN HÀM SỐ CỦA DẠNG VÔ ĐỊNH
, – , 0.
Nhớ : 1) limx a
a
x
;
x lim
x ;
x lim
x ; 0
x lim 1
x
.
2)
2
xlim x và
2 xlim x
3)
3
xlim x và
3 xlim x
Ví dụ 1 : Tìm : lim(3x3 5x2 7)
x
3
3 x 2
3
x x
7 x 3 5 x lim ) 7 x 5 x 3 ( lim
Vì
3
xlim x và 3 0
x 7 x 3 5
lim 3
x
nên
(3x 5x 7)
lim 3 2
x
BÀI 12 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn vô cực) 1) lim(3x3 5x2 7)
x
ĐS : – 2) lim 2x4 3x 12
x
ĐS : + 3) lim 2x4 3x 12
x
ĐS : +
Dạng 1 : Dạng vô định
Cách giải : Để khử dạng vô định
ta chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x (hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).
v(x) ) x ( lim u
x
mẫu.
bậc hơn lớn tử bậc nếu
mẫu.
bậc hơn nhỏ tử bậc nếu 0
mẫu bậc bằng tử bậc nếu số) hằng
là .
(C 0 C
Ví dụ 1 : Tìm :
1 x x
4 x 3 x lim 2 3 2
3
x
(Giới hạn dạng vô định
)
2 x
1 x 1 1
x 4 x 2 3 lim x
1 x 1 1 x
x 4 x 2 3 x 1 lim
x x
4 x 3 x lim 2
3 3 2 x
3 3
3 2 3
2 x 3 3
x
hay có thể trình bày như sau : 2
x 1 x 1 1
x 4 x 2 3 1 lim
x x
4 x 3 x lim 2
3 3 2 2 x
3 3
x
Ví dụ 2 : Tìm : 22 22
x (2 x)(3 x) (4 x) ) x 3 ( ) x 1 )(
x 1 lim (
(Giới hạn dạng vô định
)
1 1 . 1 ).
1 (
1 . 1 ).
1 ( x 1
1 4 x 1 3 x 2
x 1 1 3 x 1 1 x 1 lim x 1
x 4 x 1 x 3 x 1 x 2
x 1 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 ) lim
x 4 ( ) x 3 )(
x 2 (
) x 3 ( ) x 1 )(
x 1
lim ( 2 2
2 2
2 x 2
2 2
2 2
2 2
2 x 2
2 2
x
Ví dụ 3 : Tìm : 3 2 5 33
x (2x 1)(x x)
1 x x lim 2
(Giới hạn dạng vô định
)
2 1 2 x
1 1 x 2 1
x 1 x 2 1 ) lim
x x )(
1 x 2 (
1 x x
lim 2 3 3
2 2
5 2 x
3 2 3
3 5
x
BÀI 13 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định
)
1) x x 1 4 x 3 x lim 2 3 2
3
x
ĐS : –2 2)
1 x 6 x
8 x 3 lim x4
2
x
ĐS : 0 3)
3 x 2
1 x 2 lim x
2
x
ĐS : +
4) x 3x 2
7 x 2 x lim 4 23
x
ĐS : 5) 4 43
x x
15 x 7 x
lim 2
ĐS : 2 6)
2 x x
x lim 2x
x ĐS : 0
7) 22 22
x (2 x)(3 x) (4 x) ) x 3 ( ) x 1 )(
x 1 lim (
ĐS : 1 8)
2 x 3
2 x x lim 4 2
x
ĐS : 9)
) 3 x )(
2 x )(
1 x (
1 x lim x
3
x
ĐS : 1
10) 3 22
x 8x x 3
x 2 lim x
ĐS :
2
1 11) 3 2 5 33
x (2x 1)(x x)
1 x x lim 2
ĐS : 1 12)
1 x
5 lim x2
3
x
ĐS : +
13) 2 3
x 9 3x
10 x x lim 2
ĐS : 0 14)
7 x 2
11 x lim x
3 4
x
ĐS : + 15)
1 x 2
2 x 5 lim x
2
x
ĐS : +
16) x x 1
4 x 3 x lim 2 3 2
3
x
ĐS : –2 17)
) 1 x )(
1 x 2 (
) 3 x 5 )(
1 x 3 lim ( 3
2
x
ĐS : 0 18)
) 1 x 5 ( ) 4 x 3 (
) 7 x 4 ( ) 3 x 2
lim ( 2 2
3 2
x
ĐS:+
BÀI 14 : Tìm các giới hạn sau : Ví dụ 1 : Tìm
3 x 2
1 x 4 x lim x
2 2
x
3 x 2
x 4 1 x x
1 1 x 3 lim
x 2
1 x 4 x lim x
2 x
2 2
x
2
1 x
2 3
x 4 1 x 1 1 lim x
2 3 x
x 4 1 x x 1 1 x lim
2 x
2
x
Ví dụ 2 : Tìm
3 3
2
x x x 1
3 x 2 lim x
3
3 2
2 x
3 2 3
3
2 2
3 3 x 2 x
x 1 x 1 1 x
x 3 x 1 2 x lim x
1 x 1 1 x
x 3 x 1 2 x lim 1
x x
3 x 2 lim x
Khi x +, ta có : 1
x 1 x 1 1
x 3 x 1 2 lim x
1 x 1 1 x
x 3 x 1 2 x lim x
1 x 1 1 x
x 3 x 1 2 x lim
3
3 2
2 x
3
3 2
2 x
3
3 2
2
x
Khi x –, ta có : 1
x 1 x 1 1
x 3 x 1 2 lim x
1 x 1 1 x
x 3 x 1 2 x lim x
1 x 1 1 x
x 3 x 1 2 x lim
3
3 2
2 x
3
3 2
2 x
3
3 2
2
x
BÀI 14 : Tìm các giới hạn sau :
1) 2x 3
1 x 4 x lim x
2 2
x
ĐS :
2
1 2)
3 3
2
x x x 1
3 x 2 lim x
ĐS :1 ;–1 3)
x 3 4
2 x 1 x x lim 4 2
x
ĐS :–
3 1
4) 4 3 2 3
x 2x 3 3 2x x
3 x 4 1 lim x
ĐS : + 5)
5 x x
3 x lim 2
2
x
ĐS : 2 6)
4 x
x lim x
4
x
ĐS : –
7) 3 x 17
12 x 7 x lim 2
2
x
ĐS :
3
2 8) 3 22
x x 2x
x x 3 x lim 4
ĐS : 9)
x 2 1
x lim x
4
x
ĐS : +
10) x 10 x x lim x
2
x
ĐS : –2 11)
x 2 1
1 x x lim 2
2 4
x
ĐS : – 12)
1 x 2
5 x lim x
2
x
ĐS :
2
1
13) x 1
1 x 2 x 4 1 x x
lim 9 2 2
x
ĐS : 1 14)
x 3 1 x
5 x 3 x lim 2
2 2
x
ĐS : +
Giới hạn dạng vô định
Ví dụ 1 : Tìmxlim
4x2 x 2x
2
xlim 4x x 2x
2 2
x 2 x
(4x x) 4x x
lim lim
4x x 2x x 4 1 2x
x
4
1 x 2
4 1 lim 1 x x 2 4 1 x lim x
x
x
Ví dụ 2 : Tìm
x x 4 x 3
lim 2
x
3x x 1 x 1 1 x
x 1 4 x lim 3 x 4 x x
x 4 x lim x
3 x 4 x x lim
2 2 x
2 2
x 2
x
Khi x –, ta có : xlim
x2x4x3
Khi x +, ta có :
2 3 7 2 3 1 x 1
1 x 1 1
x 1 4 lim
3 x x
1 x 1 1 x
x 1 4 x lim
2 x
2
x
BÀI 15 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định ) 1) xlim
4x2 x 2x
ĐS :4
1 2)
x x 4 x 3 lim 2
x ĐS :
2
7;+ 3) lim
1 x x
x
ĐS : 0
4) xlim
1 x 1 x x2
ĐS : 5)xlim
4x24x32x1
ĐS : 0 6)xlim
x13 x32x2
ĐS : 1/37) lim
2x 3 4x2 4x 3
x
ĐS :–2;– 8)
3 3 2 3 2
xlim x 5x x 8x
ĐS: 9)xlim
4x3 3x264x3
ĐS :2110)xlim
3 x33x2 x22x
ĐS : 2 11)xlim
2 4x23x33 x3x7 x23
ĐS : 23 Giới hạn dạng vô định
.0 Ví dụ 1 : Tìm lim[(x 3)( x2 4 x)]x
Vì
(x 3) lim
x và 0
x 1 1 4
x 4 lim
x 4 x
x 4 lim x
) x 4 x ( lim
2 2 x
2 2
x 2
x
đây là dạng .0 khi x +. Khử ngay dạng vô định .0 như sau :
Ta có : 2
x 1 1 4
x 1 3 4 lim x x
1 4 x
x 1 3 x 4 lim x
4 x
) x 4 x )(
3 x lim ( )]
x 4 x )(
3 x [(
lim
2 x
2 2 x
2 2
x 2
x
Ví dụ 2 : Tìm
4 x ) x 2 x (
lim 2
2
x
(Chuyển về dạng
0 0)
Ta có :
) 2 x )(
2 x (
) 2 x ( lim x
4 x ) x 2 x ( lim
2 2
2 x 2
x
(Có dạng
0
0) 0
4 0 2
x ) 2 x ( lim x
2 x
BÀI 16 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định .0) 1) xlim
(x3)
x2 4x ĐS : 2 2)
4 x ) x 2 x (
lim 2
2
x
ĐS : 0 3)
1 2
2 lim 1
4 5
2
x
x x x x
x ĐS :
2 1
4) 2x x 1
) x 1 x (
lim 4 2
x
ĐS : 0 5)x
3x x 2 4
x 5 5
x
lim
ĐS : 1 6) 3
x
lim (x 2) x 1
x x
ĐS : 1 7)xlimx
x23x
ĐS :2
3 8)
1
1 1 lim 12 2
0x x
x ĐS : –1 9) xlimx
x x21
ĐS : –2 1
10) x 4
1 x x 8 2 x 4
lim 1 3
x
ĐS :
2
2 11)xlimx
x2 2xx2 x2x
ĐS : –4 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1) Phương pháp dùng định lý hàm số kẹp giữa hai hàm số.Đôi khi ta phải sử dụng định lý kẹp để tìm giới hạn các hàm số.
Định lý : (Định lý kẹp về giới hạn của hàm số)
Cho khoảng K chứa điểm x0 và ba hàm số f(x), u(x) và v(x). Nếu u(x) f(x) v(x) với mọi x K\x0 và nếu : limu
x lim v
x L0
0 x x
x
x
thì lim f
x Lx0
x
.
Ví dụ 1 : Tìm
x cos1 x lim 2
x0
Với mọi x 0, ta có : –1 x
cos1 1 –x2 x2 x
cos1 x2 Mặt khác : lim( x ) limx2 0
0 x 2 0
x
nên
x cos1 x lim 2
x0 = 0
BÀI 17 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng của hàm số lượng giác)
1) x
cos1 x lim 2
x0 ĐS : 0 2)
1 x x
x cos 2 x 2 limsin 2
x
ĐS : 0 3)
x sin 1 x lim 2
x0 ĐS : 0
2) Phương pháp dùng định lý 1 x
x limsin
0
x
.
Hệ quả : 1
) x ( u
) x ( u limsin
a
x
; 1
x sin lim x
0
x
; 1
x x limtan
0
x
.
Ví dụ 1 : Tìm
x x 3 limsin
x0
3 1 . x 3 3
x 3 3 sin x lim
x 3 limsin
0 x 0
x
Ví dụ 2 : Tìm 2
0
x x
x 5 cos lim1
2)
225 25
4 2
x 5
2 x sin 5 2 x lim
x 5 cos
lim1 2
2
0 2 x
0
x
BÀI 18 : Tìm các giới hạn sau :
1) x
x 3 limsin
x0 ĐS : 3 2) 2
0
x x
x 5 cos lim1
ĐS :
2
25 3)
1 1 x
x 2 lim sin
0
x ĐS : 4
4) sin3x x cos 3 x limsin
x 3
ĐS :
3
2 5) 22
0
x x
x cos x lim 1
ĐS : 1 6)
x sin
x 2 cos lim1 2
0 x
ĐS : 2
7) 2x
x 5 limsin
x0 ĐS :
2
5 8)
x cos 1
x sin lim x
0
x ĐS : 2 9) 3
0
x x
x sin x lim tan
ĐS :
2 1
MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO BÀI 19 : Tìm các giới hạn sau :
Ví dụ 1 : Tìm 3
x 0
x 1 x 1
lim x
(DBĐH 2002) ĐS : 5
6
3 x 0
x 1 x 1
lim x
(DBĐH 2002) ĐS : 5 6 Ta có :
x 1 x lim1 x
1 1 lim x x
1 x 1
lim x 3
0 x 0
x 3
0 x
x 1 1
lim
x 11 1
21x
1 1 x 1 1 lim x
x 1 1 lim x
0 x 0
x 0
x
31 1 x 1 x 1 lim 1 1
x 1 x 1 x
1 x lim 1
x 1 x lim1
3 2
0 3
3 2 x
0 3 x 3
0
x
Vậy
6 5 3 1 2 1 x
1 x 1 lim x 3
0
x
Cách khác : Xét f
x x13 x1 ; f(0) = 0
6 0 5 0 'f
x 0 f x lim f x
1 x 1 lim x
L
6 0 5 'f 1 ; x 3
1 1
x 2 x 1 'f
0 x 3
0 x
3 2
BÀI 19 : Tìm các giới hạn sau :
1) 3
x 0
x 1 x 1
lim x
(DBĐH 2002) ĐS : 5
6 2)
x cos 1
1 x 2 1 x
lim3 3 2 2
0
x
(DBĐH 2002) ĐS :5
6
3)
6 x 1 2
x 6x 5 lim
x 1
(DBĐH 2002) ĐS : 15 4) xlim
3 x3 3x2 x2 x 1
ĐS :3
2
Các em xem và làm các ví dụ trước khi làm bài tập.
Sau đó hãy xem bài giải ở dưới.
Chúc các em thành công.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Giới hạn một bên
BÀI 8 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn một bên)
1)
x 2
x 2 lim x 2
. x > 2, ta có : x – 2 > 0 x – 2 = x – 2. Vậy
x 2 x 2
x 2 x 2
lim lim 1
x 2 x 2
2)
x 2
x 2 lim x 2
. x < 2, ta có : x – 2 < 0 x – 2 = –(x – 2). Vậy
x 2 x 2
x 2 (x 2)
lim lim 1
x 2 x 2
3)
x 2lim x 2
x 2
x > 2, ta có : x – 2 > 0 x – 2 = x – 2. Do đó :
x 2 x 2
x 2 x 2
lim lim 1
x 2 x 2
x < 2, ta có : x – 2 < 0 x – 2 = –(x – 2). Do đó :
x 2 x 2
x 2 (x 2)
lim lim 1
x 2 x 2
Vì
x 2
x 2 lim x 2
x 2
x 2 lim x 2
nên
x 2
lim x 2
x 2
không tồn tại
4)
2 xx lim 4
2 2
x
Với x < 2 (2 x) 2 x
x 2
x 2 ) x 2 )(
x 2 ( x 2
x
4 2
.
Vậy lim(2 x) 2 x 0
x 2
x lim 4
2 x 2 2
x
5)
5 42 ) 1 (
x x x
2 x 3 lim x
Với x > –1 2 2 2
4 5 2
x 1 x ) 2 x ( )
1 x ( x
1 x ) 2 x )(
1 x ( 1 x x
) 2 x )(
1 x ( x x
2 x 3
x
Vậy 0
x 1 x ) 2 x lim ( x
x
2 x 3
lim x 2
) 1 ( 4 x
5 2 ) 1 ( x
Hoặc : 0
x 1 x ) 2 x lim ( )
1 x ( x
1 x ) 2 x )(
1 x lim ( 1
x x
) 2 x )(
1 x lim ( x
x
2 x 3
lim x 2
) 1 ( 2 x
) 1 ( 2 x
) 1 ( 4 x
5 2 ) 1 ( x
6)
x xx 2 lim x
0
x
Với x > 0
x 1
xx 12x
2 x x x
x x 2 x2
. Vậy 2
1 x
2 lim x
x x
x 2 lim x
0 x 0
x
7)
61 x 3
x lim 4
) x 3 )(
x 3 (
) x 4 )(
x 3 lim ( ) 3 x )(
3 x (
) 4 x )(
3 x lim ( x
9
12 x 7 lim x
3 x 3
x 3
2 x 2 3 x
8)
01 x
) 1 x ( ) x 1 x x ( ) lim 1 x )(
1 x (
) 1 x ( ) x 1 x x ( ) lim 1 x )(
1 x ( ) x 1 x x )(
1 x ( 1 lim x ) x 1 x (
lim 2
) 1 ( x 2 2
) 1 ( x 2
) 1 ( 2 x
3 ) 1 (
x
9)
xlim(2) 8x2x22xlim(2) x82
28x24x2
xlim(2) x22
(x822)x2
xlim(2) 82x2x22 010)
lim ( x 2) 1) 1 x (
) 2 x )(
1 x lim ( 1
x 2 x 3 lim x
) 1 ( x )
1 ( x 2
) 1 ( x
