Lý thuyết Ôn tập chương 1 (mới 2022 + Bài Tập) - Toán 11

Ôn tập chương 1 A. Lý thuyết

1. Định nghĩa phép biến hình

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

- Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

- Nếu ℋ là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu ℋ ' = F(ℋ) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc ℋ. Khi đó, ta nói F là biến hình ℋ thành hình ℋ ', hay hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ qua phép biến hình F.

- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

Ví dụ. Cho trước đường thẳng d, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho M’ đối xứng với M qua d.

Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên là một phép biến hình vì chỉ có duy nhất 1 điểm M’ thỏa mãn yêu cầu.

2. Định nghĩa phép tịnh tiến

- Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM ' v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .

- Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là T ; v_v được gọi là vectơ tịnh tiến.

Vậy: T (M)_v  M 'MM ' v.

- Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

- Ví dụ. Cho hình vẽ sau:

Ta có: T (A)_v A'; T (B)_v B'; T (C)_v C' . 3. Tính chất của phép tịnh tiến

- Tính chất 1. Nếu T (M)_v M'; T (N)_v  N'thì M ' N '  MN và từ đó suy ra M’N’ = MN.

Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

4. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v (a ; b). Với mỗi điểm M(x ; y) ta có M’(x’ ; y’) là ảnh của điểm M qua tịnh tiến theo vectơ v .

Khi đó: MM 'v x ' x a x ' x a

y' y b y' y b

   

 

      đây chính là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tv.

Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1 ; – 2). Phép tịnh tiến theo vectơ v (1;3)biến A thành điểm A’ có tọa độ là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm A’ = (x’; y’).

AA ' (x ' 1; y '  2) T (A)v A ' AA' v

x ' 1 1 x ' 2

A '(2;1)

y' 2 3 y' 1

  

  

 

      . Vậy tọa độ điểm A’(2 ; 1).

5. Định nghĩa của phép đối xứng trục

- Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.

- Nếu hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói ℋ đối xứng với ℋ ' qua d, hay ℋ và ℋ ' đối xứng với nhau qua d.

- Nhận xét:

1) Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó: M’ = Đd(M)M M '₀  M M₀ .

2) M’ = Đd(M) M = Đd(M’).

6. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

1) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M = (x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’ ; y’) thì x ' x

y ' y

 

  

 , đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox.

2) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M = (x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’) thì x ' x

y ' y

  

 

 , đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy.

Ví dụ. Cho điểm M(2 ; 4). Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng qua trục Ox và trục Oy.

Lời giải:

Gọi ĐOx(M) = A(x ; y) và ĐOy(M) = B(a; b)

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox ta có:

x 2

A(2 ; 4)

y 4

 

 

  

 .

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Oy ta có:

a 2

B( 2 ;4)

b 4

   

  .

7. Tính chất của phép đối xứng trục

- Tính chất 1. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Tính chất 2. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, qua phép đối xứng trục Ox, đường tròn (C) (x – 2)² + (y – 3)² = 36 biến thành đường tròn (C’). Tìm phương trình đường tròn (C’) ?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và bán kính là R = 6.

Qua phép đối xứng trục Ox, biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’), biến tâm I thành tâm I’(x’; y’) và bán kính R’ = R = 6.

Áp dụng biểu thức phép đối xứng trục Ox ta được I’(2; – 3) Do đó, phương trình đường tròn (C’) là:

(x – 2)² + (y + 3)² = 36.

8. Trục đối xứng của một hình

- Định nghĩa. Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến ℋ thành chính nó.

Khi đó, ta nói ℋ là hình có trục đối xứng.

- Ví dụ. Các hình sau có trục đối xứng

9. Định nghĩa của phép đối xứng tâm

- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác điểm I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.

- Nếu hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ qua ĐI thì ta còn nói ℋ đối xứng với ℋ ' qua tâm I, hay ℋ và ℋ ' đối xứng với nhau qua I.

Từ định nghĩa trên ta suy ra, M’ = ĐI(M) IM '  IM.

- Ví dụ. Cho hình vẽ sau. Các điểm A và B là ảnh của điểm A’ và B’ qua phép đối xứng tâm I và ngược lại.

10. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(x ; y), M’= ĐO(M) = (x’; y’). Khi đó:

x ' x y ' y

  

  , đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ.

- Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(7 ; – 4). Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải:

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có:

x ' 7

A '( 7 ; 4) y' ( 4) 4

  

 

   

 .

11. Tính chất của phép đối xứng tâm

- Tính chất 1. Nếu ĐI(M) = M’ và ĐI(N) = N’ thì M ' N ' MN, từ đó suy ra M’N’ = MN.

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Tính chất 2. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1; 2).

Lời giải:

Giả sử phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến điểm M(x ; y) d thành điểm M’(x’ ; y’).

Khi đó I là trung điểm của MM’. Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

x 2.1 x 2 x x 2 x

y 2.2 y 4 y y 4 y

      

 

        

  . (1)

Vì điểm M thuộc d nên: x + y – 2 = 0 (2).

Thay (1) vào (2) ta được:

(2 – x’) + (4 – y’) – 2 = 0 hay – x’ – y’ + 4 = 0.

Do đó, phương trình đường thẳng d’ là – x – y + 4 = 0 hay x + y – 4 =0.

12. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa. Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng tâm I biến hình ℋ thành chính nó.

- Khi đó, ta nói ℋ là hình có tâm đối xứng.

- Ví dụ. Các hình sau đây đều có tâm đối xứng:

13. Định nghĩa của phép quay

- Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc α được kí hiệu là Q(O, α).

- Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

2) Với k là số nguyên ta luôn có:

Phép quay Q_{(O, k2 )} là phép đồng nhất.

Phép quay Q(O, (2k 1) )_{ } là phép đối xứng tâm O.

14. Tính chất của phép quay

- Tính chất 1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Phép quay tâm O, góc (OA, OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’. Khi đó ta có A’B’ = AB.

- Tính chất 2. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Nhận xét: Phép quay góc α với 0   , biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho góc giữa d và d’ bằng α (nếu 0

2

  ), hoặc bằng    (nếu

2 )

     .

15. Khái niệm về phép dời hình

- Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M’; N’ thì MN = M’N’.

- Nhận xét:

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

- Ví dụ. Vì phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm là phép dời hình nên thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm O ta được một phép dời hình.

16. Tính chất của phép dời hình Phép dời hình:

(1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.

(2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

(3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

(4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

- Ví dụ. Cho đường tròn (C) có phương trình (x + 4)² + (y – 3)² = 49. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d và phép quay tâm O góc quay 90⁰ ta được đường tròn (C’).

Bán kính đường tròn (C’) là: R’ = R = 7.

17. Khái niệm hai hình bằng nhau

- Định nghĩa. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

- Ví dụ.

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Sau đó, ta thực hiện tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d biến tam giác A’B’C’ thành tam giác A”B”C”. Khi đó: ∆ABC = ∆A”B”C”.

b) Hình ảnh dưới đây cho ta hai hình bằng nhau:

18. Định nghĩa của phép vị tự

- Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM 'k.OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V(O, k). - Nhận xét:

(1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

(2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.

(3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.

(4) M’ = V(O, k)(M) ₁

O,k

M V_{ }(M ')

 

 

  .

19. Tính chất của phép vị tự

- Tính chất 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì M ' N 'k.MNvà M’N’ = |k|.MN.

- Tính chất 2.

Phép vị tự tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.

20. Tâm vị tự của hai đường tròn.

- Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

- Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn (I ; R) và (I’; R’) có ba trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp I trùng với I’

Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số ^{R '}

R và phép vị tự tâm I tỉ số ^{R '} R

 biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I ; R’).

+ Trường hợp I khác I’ và R ≠ R’

Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn (I ; R), đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’ ; R’) tại M’ và M”.

Giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ còn M, M” nằm khác phía đối với đường thẳng II’.

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II’, còn đường thẳng MM” cắt đường thẳng II’ tại điểm O1 nằm trong đoạn thẳng II’.

Khi đó, phép vị tự tâm O tỉ số k ^{R '}

 R và phép vị tự tâm O1 tỉ số k₁ ^{R '}

  R sẽ biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I’; R’).

Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên.

+ Trường hợp I khác I’ và R = R’.

Khi đó, MM’ // II’ nên chỉ có phép vi tự tâm O1 tỉ số k ^R 1 R

    biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’ ; R’). Đây chính là phép đối xứng tâm O1.

Ví dụ. Cho hai đường tròn (C): (x – 2)² + (y – 1)² = 4 và (C’): (x – 8)² + (y – 4)² = 16. Xác định tâm vị tự của hai đường tròn?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 1),bán kính R = 1;

Đường tròn (C’) có tâm I’(8 ; 4), bán kính R’ = 4.

Do I ≠ I’ và R ≠ R’ nên có hai phép vị tự V(J, 2) và V(J, -2) biến (C) thành (C’).

Gọi J(x ; y)

Với k = 2 khi đó

 

 

8 x 2 2 x x 4

JI ' 2JI

y 2

4 y 2 1 y

  

   

         . Suy ra: J(– 4; – 2)

Tương tự với k = – 2, tính có J’(4; 2).

Vậy có 2 phép vị tự thỏa mãn đầu bài.

21. Định nghĩa phép đồng dạng

- Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN.

- Nhận xét

(1) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

(2) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

22. Tính chất phép đồng dạng Phép đồng dạng tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính kR.

- Chú ý.

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thảng đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Ví dụ. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn (C) và (C’) có phương trình x² + y² – 4y – 5 = 0 và x² + y² – 2x + 2y – 14 = 0. Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k, khi đó giá trị k là ?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(0 ; 2) bán kính R = 3.

Đường tròn (C’) có tâm I’(1 ; – 1) bán kính R’ = 4.

Ta có (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k nên : 4 = 3k Suy ra : 4

k  3 .

Vậy 4

k  3.

23. Hình đồng dạng

- Định nghĩa. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

- Ví dụ. Các hình sau đôi một đồng dạng với nhau.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho phép tịnh tiến T_u biến điểm M thành M1 và phép tịnh tiến T_v biến M1

thành M2. Hỏi tịnh tiến theo vectơ (u v) biến điểm M thành điểm nào?

Lời giải:

Theo giả thiết ta có:

1 1

T (M)u M  u MM (1)

1 2 1 2

T (M )v  M  v M M (2) Từ (1) và (2) suy ra:

1 1 2 2

u v 2

u v MM M M MM

T _ (M) M

   

 

Vậy tịnh tiến theo vectơ (u v) biến điểm M thành điểm M2.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(2; 1); B(– 1; – 4). Gọi C và D lần lượt là ảnh của A và B qua phép tịnh tiến theo vectơ v (1 ; 5). Tính độ dài đoạn thẳng CD?

Lời giải:

Ta có: AB ( 1 2)  ²   ( 4 1)²  34

Vì T (A) C; T (B) D_v  _v  nên theo tính chất của phép tịnh tiến ta có:

CD AB 34 Vậy CD  34.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v (1;3)và đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến T_v.

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm M(x ; y) tùy ý thuộc d, ta có: 2x – 3y + 5 = 0 (1).

Gọi M ' x '; y '

 

 

y ' y 3 y y ' 3

   

 

       

Thay vào (1) ta được phương trình:

2(x’ – 1) – 3(y’ + 3) + 5 = 0 hay 2x’ – 3y’ – 6 = 0.

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: 2x – 3y – 6 = 0.

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do T (d) d'_v  nên d’ song song hoặc trùng với d.

Suy ra, phương trình đường thẳng d’ có dạng: 2x – 3y + c = 0 (2).

Lấy điểm M(– 1; 1) thuộc d.

Khi đó

T (M)v M'(x '; y'). x ' 1 1 0

M '(0; 2) y ' 1 3 2

   

  

    



Do M’ thuộc d’ nên thay tọa độ M’ vào d’ ta được:

2.0 – 3.(– 2) + c = 0 nên c = – 6.

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: 2x – 3y – 6 = 0.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình

x² + y² + 2x – 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v(1;1). Lời giải:

Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến:

Đường tròn (C) có tâm I(–1 ; 2) và bán kính R  ( 1) ²   2² ( 4) 3.

Gọi ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v(1;1) là (C’) có tâm I’(x’; y’) và bán kính R’ = R = 3.

Ta tìm tâm I’(x’; y’).

Ta có: x ' 1 1 0

I'(0;3) y ' 2 1 3

   

 

   



Do đó, phương trình của đường tròn (C’) là x² + (y – 3)² = 9.

Bài 5. Mỗi hình sau có bao nhiêu trục đối xứng?

a) Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau.

b) Hình gồm hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.

c) Hình gồm 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau.

Lời giải:

Một đường tròn có vô số trục đối xứng đi qua tâm của đường tròn đó.

Do đó, trục đối xứng thỏa yêu cầu của bài toán là đường thẳng nối hai tâm của đường tròn đã cho.

Vậy hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có 1 trục đối xứng.

b) Có bốn trục đối xứng gồm đường thẳng d; d’ và hai đường phân giác của hai góc tạo bởi d, d’.

c) Có 3 trục đối xứng là 3 đường trung trực của các đoạn nối tâm.

Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2 ; 3). Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d: x – y = 0?

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d.

Ta có đường thẳng MH vuông góc với d nên đường thẳng MH có vectơ chỉ phương là u_MH n_d ( 1; 1) n_MH(1 ; 1)

Phương trình đường thẳng MH: 1.(x – 2) + 1.(y – 3) = 0 hay x + y – 5 = 0 Hai đường thẳng MH và d cắt nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ:

x y 0 5 5 5

x y H ;

x y 5 0 2 2 2

        

     



Vì Đd(M) = M’ nên H là trung điểm của MM’.

 

M ' H M

M ' H M

x 2x x 3

M ' 3; 2

y 2y y 2

  

     .

Vậy M’(3; 2).

Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng d: x + y – 2 = 0 thành đường thẳng d’. Viết phương trình d’.

Lời giải:

Lấy điểm M(x ; y) thuộc d suy ra:

x + y – 2 = 0 (1)

Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox.

Khi đó ta có: x ' x x x '

y ' y y y '

 

 

     

  . (2)

Thay (2) vào (1) ta được : x’ – y’ – 2 = 0

Suy ra, phương trình đường thẳng d’ : x – y – 2 = 0.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng đường tròn (C):

x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R 1² 2²   ( 4) 3.

Gọi I’ và R’ là tâm và bán kính của (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Ta có: R’ = R = 3 Ta tìm tọa độ tâm I’.

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Oy ta được I’(– 1; 2) Phương trình đường tròn (C’): (x + 1)² + (y – 2)² = 9.

Bài 9. Tìm ảnh của điểm M(2 ; 1) qua phép đối xứng tâm I(1 ; – 3).

Lời giải:

Gọi ĐI(M) = M’(x’ ; y’)

Khi đó, I là trung điểm của MM’. Áp dụng biểu thức tọa độ trung điểm ta có:

x ' 2.1 2 0

M '(0; 7) y' 2.( 3) 1 7

  

  

     



Vậy ảnh của M qua phép đối xứng tâm I là M’(0 ; – 7).

Bài 10. Cho điểm I(2 ; 0)và đường thẳng d: 2x – 5y + 1 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải:

Lấy điểm M(x ; y) thuộc d. Suy ra: 2x – 5y + 1 = 0 (1) Gọi ĐI(M) = M’(x’ ; y’).

Khi đó, I là trung điểm của MM’. Áp dụng biểu thức tọa độ trung điểm ta có tọa độ của M’ là:

x ' 2.2 x x 4 x '

y ' 2.0 y y y '

     

    

 (2).

Thay (2) vào (1) ta được:

2.(4 – x’) – 5.(– y’) + 1 = 0 hay – 2x’ + 5y’ + 9 = 0 Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: – 2x + 5y + 9 = 0.

Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C): (x – 3)² + (y + 1)² = 16 qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(3 ; – 1) bán kính R = 4.

Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O(0 ; 0) nên đường tròn (C’) có bán kính R’ = R = 4 và tâm I’(– 3; 1) (tâm I’ đối xứng với tâm I qua O).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là (x + 3)² + (y – 1)² = 16.

Bài 12. Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay α với 0  2 biến hình vuông trên thành chính nó?

Lời giải:

Có 4 phép quay tâm O góc α với 0  2 biến hình vuông trên thành chính nó.

Đó là các phép quay với góc quay bằng: ; ;³ ; 2 .

2 2

   

Khi đó, các phép quay biến đỉnh này thành đỉnh kia của hình vuông.

Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(9; 0). Tìm tọa độ ảnh A’ của điểm A qua phép quay

(O, ) 2

Q _ . Lời giải:

Cách 1: Biểu diễn phép quay trên mặt phẳng tọa độ, suy ra A’(0; 9).

Cách 2. Áp dụng biểu thức tọa độ của phép quay (mở rộng) Ta có:

O;2

Q_{ }: A(x; y) A (x ; y )

 

 

  

Nên x y 0

y x 9

   

   

 . Vậy A’(0 ; 9).

Bài 14. Tìm ảnh của đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0 qua phép quay tâm O và góc quay 90⁰.

Lời giải:

Gọi d’ là ảnh cuả đường thẳng d qua phép quay trên.

Vì góc quay 90⁰ nên d d '.

Suy ra, phương trình đường thẳng d’ có dạng: 3x + 5y + c = 0 Lấy điểm M(– 3 ; 0) thuộc d.

Ta có Q0;900

 





Vì điểm M’ thuộc d’ nên thay tọa độ điểm M’ vào d’ ta được:

3.0 + 5.(– 3) + c = 0 nên c = 15.

Vậy phương trình đường thẳng d’ là 3x + 5y + 15 = 0.

Bài 15. Cho đường thẳng d: 3x + y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’

là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I(1 ; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v ( 2; 1) .

Lời giải:

Gọi F là phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép tịnh tiến theo v ( 2; 1) .

Gọi d1 Ð d ,d 'I

 

 

 

Do d’ song song hoặc trùng với d do đó phương trình của d’ có dạng 3x + y + c = 0 - Lấy M(0 ; – 3)d ta có ĐI(M) = M’. Khi đó, I là trung điểm MM’.

Áp dụng biểu thức tọa độ trung điểm ta có tọa độ của M’ là:

x ' 2.1 0 2

M '( 2 ; 7) y ' 2.2 ( 3) 7

  

 

    

 .

- Tịnh tiến theo v ( 2; 1) biến M’ thành M”. Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta được: M”(0 ; 8)

Mà M” thuộc d’ nên thay tọa độ M” vào d’ ta được:

3.0 + 8 + c = 0 nên c = – 8.

Vậy phương trình đường thẳng d’ là 3x + y – 8 = 0.

Bài 16. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2 ; 1). Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O(0; 0) và phép tịnh tiến theo vectơ

v (2 ; 3) biến điểm M thành điểm nào?

Lời giải:

+ Gọi ĐO(M) = M’.

Suy ra, O là trung điểm của MM’.

M M O

M M O

x x 2x

M ( 2; 1)

y y 2y





 

 

      .

+ Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v (2 ; 3) biến M’ thành M”

M M

M M

x x 2

M M v M (0;2)

y y 3

 

 

 

   

      .

Vậy khi ta thực hiện liên tiếp phép đối xứng và phép tịnh tiến trên biến M thành M”(0 ; 2).

Bài 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v (2 ; 3)biến (C) thành đường tròn nào?

Lời giải :

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; – 2) và bán kính R 1²  ( 2)² 1 2.

+ Thực hiện phép đối xứng qua trục Oy biến tâm I thành tâm I’(– 1 ; – 2) ; R’ = R = 2.

+ Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v (2 ; 3)biến I’ thành I”

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta được I’’(1 ; 1) và R’’ = R’ = 2.

Vậy đường tròn cần tìm có tâm I’’(1 ; 1) và bán kính R’’ = 2.

Phương trình (C’’) : (x – 1)² + (y – 1)² = 4.

Bài 18. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó phép vị tự nào biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC?

Lời giải :

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

GA 2GA ,GB  2GB ,GC  2GC .

Bởi vậy phép vị tự V(G; -2) biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC.

Bài 19. Trong măt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(– 2 ; 4). Phép vị tự tâm O(0 ; 0) tỉ số k = – 2 biến điểm M thành điểm nào?

Lời giải:

Nếu V_(O;k): M(x; y) M (x ; y )   thì x ' 2x 4

OM ' 2OM M '(4 ; 8)

y' 2y 8

  

       . Vậy điểm cần tìm là M’(4 ; – 8).

Bài 20. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0.

Phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng có phương trình là gì?

Lời giải:

Thực hiện phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng d’. Suy ra d’

song song hoặc trùng với d.

Do đó, d’ có dạng 2x + y + c = 0 (1) Lấy điểm M(1 ; 1) thuộc d.

Gọi V(O ; 2)(M) = M’(x’ ; y’)

x ' 2x 2

OM ' 2OM M '(2 ; 2)

y ' 2y 2

 

     .

Điểm M’ thuộc d’ nên thay tọa độ M’ vào d’ ta được : 2.2 + 2 + c = 0 nên c = – 6.

Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là 2x + y – 6 = 0.

Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)² + (y – 1)² = 4.

Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(– 1 ; 2) tỉ số k = 3.

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm A(1; 1), bán kính R = 2.

Gọi

 

   

 

I;3

x ' 1 3 1 1 x ' 5 A ' x '; y ' V A IA ' 3IA

y ' 1 y ' 2 3 1 2

  

  

         

Do đó, A’(5 ; – 1)

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự V thì (C’) có tâm A’, bán kính R’ = 3R = 6.

Vậy phương trình (C’): (x – 5)² + (y + 1)² = 36.

Bài 22. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(– 2 ; – 3); B(4 ; 1). Phép đồng dạng tỉ số k ¹

 2 biến điểm A thành A’, biến điểm B thành B’. Khi đó độ dài A’B’ là bao nhiêu?

Lời giải:

Vì phép đồng dạng tỉ số k ¹

 2 biến điểm A thành A’, biến điểm B thành B’ nên

  



1 1 52 2 13

A B AB 4 2 1 3 13

2 2 2 2

          .

Bài 23. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2 ; 4). Phép đồng dạng có được bằng

cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O(0 ; 0) tỉ số k ¹

 2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm nào?

Lời giải:

Gọi 1

 

 

O, O;

2 2

M V_{ } M ;M Đ V_{ } M .

   

   

 

    Tọa độ điểm M’ là:

OM ' 1OM

 2 

x 2.1 1

2 M '(1 ; 2) y 4.1 2

2

   

 

   



Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy ta có:

Tọa độ điểm M” là: x" x ' x" 1 y" y ' y" 2 .

   

 

   

 

Vậy điểm M” cần tìm là M” (– 1 ; 2).