• Không có kết quả nào được tìm thấy

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc (mới 2022 + Bài Tập) - Toán 11

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc (mới 2022 + Bài Tập) - Toán 11"

Copied!
7
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc A. Lý thuyết.

I. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

1. Góc giữa hai vecto trong không gian.

- Định nghĩa. Trong không gian, cho u ; vlà hai vecto khác vecto- không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB u ; AC v. Khi đó, ta gọi góc BAC (00 BAC180 )0 là góc giữa hai vecto u ; vtrong không gian.

Kí hiệu là (u ; v).

2. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

- Định nghĩa:

Trong không gian có hai vecto u ; vđều khác vecto- không . Tích vô hướng của hai vecto u ; vlà một số, kí hiệu là u . v, được xác định bởi công thức:

 

u.v u . v .cos u; v

Trường hợp u0hoặc v0ta quy ước: u . v = 0.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA= SB= SC và ASB BSCCSA. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC và AB?

Lời giải :

(2)

Ta có SC.AB SC. SB SA SC.SB SC.SA SC . SB .cos SC.SB SC . SA .cos SC.SA SC.SB.cos BSC SC.SA.cos ASC

Vì SA= SB= SC và ASB BSCCSA SC.AB 0

Ta lại có: SC.SA SC . SA .cos SC,SA cos SC,SA 0

Do đó SC; AB 900.

II. Vecto chỉ phương của đường thẳng.

1. Định nghĩa.

Nếu a khác vecto - không được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vecto a song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2. Nhận xét.

A C

B S

(3)

a) Nếu a là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì vecto ka (k0)cũng là vecto chỉ phương của d.

b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc đường thẳng d và một vecto chỉ phương của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vecto chỉ phương cùng phương.

III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

1. Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’

và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Nhận xét.

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

b) Nếu ulà vecto chỉ phương của đường thẳng a và vlà vecto chỉ phương của đường thẳng b và (u; v) thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu

0 0

0   90 và bằng 1800  nếu 900  1800 .

Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa AC và DA’

Lời giải:

(4)

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương.

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB’ = B’C= CA = a 2) Do đó B'CA 600.

Lại có, DA’ song song CB’ nên

(AC ; DA’) = (AC ; CB’) = B'CA 600. IV. Hai đường thẳng vuông góc.

1. Định nghĩa.

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 900. Ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a  b.

2. Nhận xét

a) Nếu u; v lần lượt là các vecto chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì a  b u.v 0.

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB= AC= AD và

BAC BAD 600; CAD 900. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Chứng minh hai đường thẳng AB và IJ vuông góc với nhau.

Lời giải:

A B

D C B'

D' C'

A'

(5)

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD IJ 1 IC ID

2 .

Tam giác ABC có AB = AC và BAC 600 nên tam giác ABC đều CI AB. (1)

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI AB. ( 2) Từ (1) và (2) ta có :

IJ AB 1 IC ID AB 1IC AB 1ID AB

. . . . 0

2 2 2

AB AB

IJ IJ .

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ a 3

 2 ( I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD:

Lời giải:

Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BD.

Ta có:

1 1 a

MI NI AB CD

2 2 2 MINJ MI // AB // CD // NI

    

 

 là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: MIN2MIO.

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

J I

B D

C A

O J M

I

B N D

C A

(6)

a 3

IO 4 3

cos MIO MIO 30 MIN 60

MI a 2

2

        .

Mà:

AB,CD

 

IM, IN

MIN 60 .

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Tính góc ( IE ; JF)

Lời giải :

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD

IF CD IF 1CD

2

( 1)

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD

JE CD JE 1CD

2

( 2) Từ (1) và (2) suy ra : IF = JE và IF// JE.

Suy ra, tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác:

IJ AB

JE CD

1 2 1 2

. Mà AB= CD nên IJ= JE.

Do đó IJEF là hình thoi.

Suy ra ( IE ; JF) = 900.

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

J

E I

F

B D

C A

(7)

Lời giải :

Gọi M là trung điểm của CD.

Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều ( vì ABCD là tứ diện đều) có AM ; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

CD AM. 0;CD MB. 0;

Do đó CD AB. CD AM. MB CD AM. CD MB. 0.

Suy ra AB CD nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 900

B C

D

M A

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.. c) Tính diện tích tam giác OAB... Vậy diện tích tam giác OAB là

Tìm vecto chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời c|ch điểm A một khoảng

Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.. Vậy điểm C là

Lời giải.. Gọi H là trực tâm của tam giác. c) Giải tam giác ABC.. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực F và lực F.. a) Giải tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trực

 Hướng dẫn giải:.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a. M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách giữa các đường

Mặt phẳng (P) không chứa đường cao SH Bước 1.. Cho hình chóp S ABC. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là

Vì vật chuyển động tròn đều thì độ lớn vận tốc (tốc độ) không đổi, chỉ có hướng của vecto vận tốc thay đổi nên ta vẽ các vecto chỉ vận tốc dài như nhau. Tính tốc độ

Table 3 shows the results of different concatenate schemes as described in Sec.2. 4 which shows confusion matrix of this concatenate strategy. Almost