CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VÀ CÁCH GIẢI I. LÝ THUYẾT
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình là
( ) (
S : x−a) (
2 + y−b) (
2 + z−c)
2 =R2 (1).Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng
2 2 2
(S) : x +y +z +2ax+2by+2cz+ =d 0 (2) với d=a2 +b2+c2 −R2
Từ đó ta có phương trình (2) với điều kiện a2 +b2 +c2 − d 0 là phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính là R= a2 +b2 + −c2 d.
Đặc biệt nếu mặt cầu (S) có tâm O 0;0;0
( )
bán kính R
thì phương trình mặt cầu (S) là
( )
S : x2 +y2 +z2 =R2.II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu.
Phương pháp giải:
Xét phương trình
( ) (
S : x−a) (
2 + y−b) (
2+ z−c)
2 =R2.Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b; c), bán kính R
+) Xét phương trình (S) : x2 +y2 +z2 −2ax−2by−2cz+ =d 0. Khi đó mặt cầu có
( )
2 2 2
tâm I a;b;c
bán kính R a b c d
= + + −
.
Điều kiện để (S) là phương trình mặt cầu là a2 +b2 +c2 − d 0. +) Đặc biệt:
( )
S : x2 +y2 +z2 =R2, suy ra (S) có tâm O 0;0;0( )
bán kính R
.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
( ) (
S : x 1+) (
2 + y−2) (
2 + z 1−)
2 =9. Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).A. I (-1; 2; 1) và R = 3.
B. I (1; -2; -1) và R = 3.
C. I (-1; 2; 1) và R = 9.
D. I (1; -2; -1) và R = 9.
Hướng dẫn giải
Dựa vào phương trình mặt cầu
( ) (
S : x 1+) (
2 + y−2) (
2+ z 1−)
2 =9, ta có tâm I( 1;2;1)− và R = 9 =3.Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2
x +y +z +2x−4y+6z− =2 0. Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A. Tâm I (-1; 2; -3) và bán kính R = 4.
B. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4.
C. Tâm I (-1; 2; 3) và bán kính R = 4.
D. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 16.
Hướng dẫn giải
Dựa vào phương trình mặt cầu (S) : x2 +y2 +z2 +2x−4y+6z− =2 0, ta có:
( )
2 2 2
tâm I 1;2; 3
bán kính R ( 1) 2 ( 3) ( 2) 16 4
− −
= − + + − − − = =
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho phương trình
( )
S : x2 +y2+z2+2 3 m x(
−)
−2 m 1 y(
+)
−2mz+2m2 + =7 0. Tìm tất cả giá trị của m để (S) là một phương trình mặt cầu.A. m 2
m 3
. B. 1 m 3. C. m 1
m 3
.
D. m 1
m 3
=
= .
Hướng dẫn giải Gọi tâm của mặt cầu là I (a ; b ; c) và bán kính là R.
Ta có : a = m – 3, b = m + 1, c = m, d=2m2 +7. (S) là mặt cầu a2 +b2 +c2− d 0
(
m 3) (
2 m 1)
2 m2 2m2 7 0 − + + + − −
m2 4m 3 0
− +
m 1
m 3
Chọn C.
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định tâm I (a; b; c).
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Thế vào phương trình (S):
Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R.
( ) (
2) (
2)
2 2(S) : x−a + y−b + z−c =R
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A (-1; 2; 0), viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính bằng 4
A. (S) : x 1
(
+) (
2 + y−2)
2 +z2 =16 B. (S) : x 1(
+) (
2 + y−2)
2+z2 =4 C. (S) : x 1(
−) (
2+ y−2)
2 +z2 =16 D. (S) : x 1(
−) (
2 + y−2)
2+z2 =4Hướng dẫn giải
Dạng phương trình mặt cầu (S) : x
(
−a) (
2 + y−b) (
2 + z−c)
2 =R 2Tâm là A suy ra a = -1, b = 2, c = 0 và R = 4
Thế vào phương trình mặt cầu (S) ta được (S) : x 1
(
+) (
2 + y−2)
2+z2 =16Chọn A
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B và đi qua điểm A.
A. (S) : x
(
−2) (
2 + y 1+)
2 + −(z 2)2 = 24B. (S) : x
(
−2) (
2 + y 1+)
2 + −(z 2)2 =24C. (S) : x
(
+2) (
2+ y 1−)
2 +z2 =24D. (S) : x
(
−2) (
2 + y 1−)
2 + −(z 2)2 =24Hướng dẫn giải
Dạng phương trình mặt cầu (S) : x
(
−a) (
2 + y−b) (
2 + z−c)
2 =R 2Tâm B (2; -1; 2).
Bán kính R = AB =
(
2+2) (
2 + − −1 1) (
2 + 2 0−)
2 = 24.Vậy phương trình mặt cầu là: (S) : x
(
−2) (
2 + y 1+)
2 + −(z 2)2 =24Chọn B.
Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với mặt phẳng Phương pháp giải:
Cho điểm I (a; b; c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có
( ( ) )
| Aa 2Bb 2Cc 2D |R d I; P
A B C
+ + +
= =
+ +
Từ đó viết được phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R đã tính phía trên.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là
A.
(
x – 2) (
2 + y 1−) (
2 + z 1−)
2 =4.B.
(
x−2) (
2+ y 1−) (
2 + z 1−)
2 =9C.
(
x−2) (
2 + y 1−) (
2 + z 1−)
2 =3.D.
(
x−2) (
2 + y 1−) (
2 + z 1−)
2 =5.Hướng dẫn giải :
Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là
( ( ) )
( )
22 2
| 2.2 1 2.1 1|
R d A; P 2
2 1 2
− + +
= = =
+ − + .
Vậy phương trình mặt cầu là :
(
x – 2) (
2 + y 1−) (
2+ z 1−)
2 =4.Chọn A.
Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng Phương pháp giải:
Cho điểm I (a; b; c) và đường thẳng d.
Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng d và mặt cầu tâm I. Tìm H.
Khi đó bán kính của mặt cầu R = IH.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
x 1 y 2 z 3
d : 2 1 1
+ = − = +
− và điểm I (1; -2; 3). Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là
A.
(
x 1−) (
2 + y+2) (
2 + z−3)
2 =5 2.B.
(
x 1−) (
2 + y+2) (
2 + z−3)
2 =50.C.
(
x 1+) (
2 + y−2) (
2+ z−3)
2 =50.D.
(
x 1+) (
2 + y−2) (
2+ z+3)
2 =50.Hướng dẫn giải
Gọi H là tiếp điểm của đường tròn lớn tâm I và đường thẳng d.
Vì H thuộc d nên H (-1 + 2t; 2 + t; -3 – t). Suy ra IH=
(
2t−2; t+ − −4; t 6)
.Vectơ chỉ phương của d là ud =
(
2;1; 1−)
Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên
IH.ud = 0 (2t – 2).2 + (t + 4).1 + (-t – 6 ).(-1) = 0t = -1 Suy ra IH= −
(
4;3; 5−)
.Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính của mặt cầu:
R = IH =
( )
−4 2 +32 + −( )
5 2 =5 2Vậy phương trình mặt cầu là
(
x 1−) (
2 + y+2) (
2+ z−3)
2 =50.Chọn B.
Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và đường thẳng d cắt mặt cầu theo dây cung AB
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d
Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH (với H là trung điểm AB)
Bước 3: Tính IA theo định lý Pytago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R
= IA.
Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R đã tính bên trên.
Ví dụ 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng
x 1 y 1 z
d : 1 4 1
+ −
= =
− tại hai điểm A, B với AB = 16.
A.
(
x−2) (
2 + y−3) (
2 + z 1+)
2 =76.B.
(
x−2) (
2+ y+3) (
2 + z 1+)
2 =76.C.
(
x−2) (
2 + y−3) (
2 + z 1+)
2 =56.D.
(
x−2) (
2 + y−3) (
2 + z 1+)
2 =66Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.
Vì H thuộc d nên H (-1 + t; 1 – 4t; t). Suy ra IH= − − −
(
t 3; 4t 2; t 1+)
.Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ud =
(
1; 4;1−)
Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên
IH.ud = 0 (t – 3).1 + (-4t – 2).(-4) + (t + 1).1 = 0 t 1
= −3.
Suy ra 10 2 2
IH ; ;
3 3 3
= − −
nên
2 2 2
10 2 2
IH 2 3
3 3 3
= − + − + = Vì AB = 16 nên 1
HA AB 8
=2 = .
Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông IAB ta có:
( )
22 2 2 2
IA =IH +HA = 2 3 +8 =76IA=2 19. Vậy bán kính mặt cầu là R = IA = 2 19 .
Khi đó phương trình mặt cầu là
(
x −2) (
2 + y−3) (
2 + z 1+)
2 =76Chọn A.
Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)
Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến.
Suy ra bán kính mặt cầu R= d (I,(P))2 +r2 Bước 3: Kết luận phương trình mặt cầu (S)
Ví dụ 9: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 1) và mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 7 = 0.
Viết phương trình mặt cầu (S) sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20.
A.
(
x 1)
2 y2(
z 1)
2 110− + + + = 3 . B.
(
x 1)
2 y2(
z 1)
2 110− + + − = 3 . C.
(
x 1)
2 y2(
z 1)
2 100− + + − = 3 . D.
(
x 1−)
2 +y2+(
z 1−)
2 =110.Hướng dẫn giải:
Ta có :
( ( ) )
( )
22 2
| 2.1 0 1 7 | 5 6 d I, Q
2 1 1 3
− + +
= =
+ − + .
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có diện tích đường tròn giao tuyến là 20 = =r2 r 2 5.
Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: R = d I, Q
( ( ) )
2 +r2 = 5 63 2 +( )
2 5 2 = 3303 .
Vậy (S):
(
x 1)
2 y2(
z 1)
2 110− + + − = 3 . Chọn B.
Dạng 7: Phương trình mặt cầu biết tâm thuộc một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
Bước 1: Rút tọa độ tâm I theo đường thẳng d đã cho trước.
Giả sử điểm I là tâm của mặt cầu và đường thẳng d có phương trình
0 0 0
x x at d : y y bt z z ct
= +
= +
= +
Khi đó nếu Id thì ta có I(x0 +at; y0 +bt;z0 +ct).
Bước 2: Dựa vào yêu cầu bài toán lập một phương trình theo biến t để giải
Tọa độ tâm I
Bước 3: Xác định bán kính R của mặt cầu Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S).
Ví dụ 10: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng
x t : y 1
z t
=
= −
= −
và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng
( )
: x + 2y + 2z + 3 = 0 và( )
: x + 2y + 2z + 7 = 0.A.
(
x 3) (
2 y 1) (
2 z 3)
2 4+ + + + − = 9. B.
(
x 3) (
2 y 1) (
2 z 3)
2 4− + − + + =9. C.
(
x 3) (
2 y 1) (
2 z 3)
2 4+ + + + + =9. D.
(
x 3) (
2 y 1) (
2 z 3)
2 4− + + + + = 9.
Hướng dẫn giải:
Do I thuộc d nên tâm mặt cầu có tọa độ dạng I (t; -1; -t). Khi đó do (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên khoảng cách từ I tới (P), (Q) là bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.
( ( ) ) ( ( ) )
d I; P =d I; Q
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
t 2. 1 2. t 3 t 2. 1 2. t 7
R
1 2 2 1 2 2
+ − + − + + − + − +
= =
+ + + +
Hay t 1 t 5 t 1 t 5
t 1 t 5
− + = − +
− + = − + − + = − t = 3 I (3; -1; -3).
Thay vào phương trình khoảng cách ta được R 2
= 3. Vậy phương trình mặt cầu:
(
x 3) (
2 y 1) (
2 z 3)
2 4− + + + + = 9. Chọn D
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1 : Mặt cầu
( ) (
S : x 1−) (
2 + y+2)
2 +z2 =9 có tâm I là : A. I (1 ; -2 ; 0).B. I (-1 ; 2 ; 0).
C. I (1 ; 2 ; 0).
D. I (-1 ; -2 ; 0).
Câu 2 : Mặt cầu
( )
S : x2 +y2 +z2 −8x+2y 1 0+ = có tâm I là : A. I (8 ; -2 ; 0).B. I (-4 ; 1 ; 0).
C. I (-8 ; 2 ; 0).
D. I (4 ; -1 ; 0).
Câu 3 : Mặt cầu
( )
S : x2 +y2 +z2 −4x 1 0+ = có tọa độ tâm I và bán kính R là : A. I (2; 0; 0), R= 3.B. I (2; 0; 0), R =3.
C. I (0; 2; 0), R= 3.
D. I (-2; 0; 0), R= 3.
Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
A. x2 +y2 +z2−2x=0.
B. x2 +y2−z2 +2x− + =y 1 0.
C. 2x2 +2y2 =
(
x+y)
2 −z2 +2x 1.−D.
(
x+ y)
2 =2xy−z2 −1.Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử tồn tại mặt cầu (S) có phương trình x2 +y2+z2 −4x+8y−2az+6a=0. Nếu (S) có đường kính bằng 12 thì a nhận những giá trị nào?
A. a 2 a 8
= −
= .
B. a 2
a 8
=
= −
. C. a 2
a 4
= −
= .
D. a 2
a 4
=
= −
.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Mặt cầu tâm I (1; 3; 2), bán kính R = 4 có phương trình
A. (x 1)− 2 +(y−3)2 +(x−2)2 =4. B. (x 1)− +(y 3)− +(x−2) 16= . C. (x 1)− 2 +(y−3)2 +(x−2)2 =16. D. (x 1)− 2 +(y−3)2 +(x−2)2 =8.
Câu 7: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB.
A. (S) : x2 +y2 +(z 1)− 2 =24 B. (S) : x2 +y2 + −(z 1)2 = 6 C. (S) : x2 +y2 +(z 1)− 2 =6 D. (S) : x2 +y2 + −(z 1)2 = 24
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) và đi qua A (1; 0; 4).
A.
(
x 1−) (
2 + y−2) (
2 + z+3)
2 = 53.B.
(
x 1−) (
2 + y−2) (
2+ z+3)
2 =53.C.
(
x 1+) (
2 + y+2) (
2 + z−3)
2 =53.D.
(
x 1+) (
2 + y+2) (
2 + z+3)
2 =53.Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (- 1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 2 = 0 là
A.
(
x 1+) (
2 + y−2) (
2+ z 1−)
2 =3B.
(
x 1+) (
2 + y−2) (
2 + z 1−)
2 =9C.
(
x 1+) (
2 + y−2) (
2+ z 1+)
2 =3D.
(
x 1+) (
2 + y−2) (
2+ z 1+)
2 =9.Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt cầu
( )
S : x2 +y2 +z2 −2x+4y− =4 0 cắt mặtphẳng (P): x + y – z + 4 = 0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C).
A. S= 6 . B. 2 78
S 3
= .
C. S 26 3
= .
D. S=2 6.
Câu 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A (2; 6; 0), B (4; 0; 8) và có tâm thuộc x 1 y z 5
d : 1 2 1
− +
− = = .
A.
2 2 2
32 58 44
x y z 932
3 3 3
− + + + + =
.
B.
(
x 1)
2 y2(
z 5)
2 244− + + + = 9 . C.
2 2 2
32 58 44
x y z 932
3 3 3
+ + − + − =
.
D.
(
x−3) (
2 + y 1+) (
2 + z+3)
2 =932.ĐÁP ÁN
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Đáp án
A D A A A B C B B A D