50 bài toán về các dạng toán về phương trình mặt cầu (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VÀ CÁCH GIẢI I. LÝ THUYẾT

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình là

( ) (

^{S : x}⁻^a

) (

² ⁺ ^y⁻^b

) (

² ⁺ ^z⁻^c

)

² ⁼^R²^(1).

Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng

2 2 2

(S) : x +y +z +2ax+2by+2cz+ =d 0 (2) với d=a² +b²+c² −R²

Từ đó ta có phương trình (2) với điều kiện a² +b² +c² − d 0 là phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính là R= a² +b² + −c² d.

Đặc biệt nếu mặt cầu (S) có tâm O 0;0;0

( )

bán kính R



 thì phương trình mặt cầu (S) là

( )

^{S : x}² ⁺^y² ⁺^z² ⁼^R²^.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu.

Phương pháp giải:

Xét phương trình

( ) (

^{S : x}⁻^a

) (

² ⁺ ^y⁻^b

) (

²⁺ ^z⁻^c

)

² ⁼^R²^.

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b; c), bán kính R

+) Xét phương trình (S) : x² +y² +z² −2ax−2by−2cz+ =d 0. Khi đó mặt cầu có

( )

2 2 2

tâm I a;b;c

bán kính R a b c d



= + + −

 .

Điều kiện để (S) là phương trình mặt cầu là a² +b² +c² − d 0. +) Đặc biệt:

( )

^{S : x}² ⁺^y² ⁺^z² ⁼^R², suy ra (S) có tâm O 0;0;0

( )

bán kính R



 .

(2)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) (

^{S : x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

² ⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼⁹. Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. I (-1; 2; 1) và R = 3.

B. I (1; -2; -1) và R = 3.

C. I (-1; 2; 1) và R = 9.

D. I (1; -2; -1) và R = 9.

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình mặt cầu

( ) (

^{S : x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼⁹, ta có tâm I( 1;2;1)− và R = 9 =3.

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

2 2 2

x +y +z +2x−4y+6z− =2 0. Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. Tâm I (-1; 2; -3) và bán kính R = 4.

B. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4.

C. Tâm I (-1; 2; 3) và bán kính R = 4.

D. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 16.

Dựa vào phương trình mặt cầu (S) : x² +y² +z² +2x−4y+6z− =2 0, ta có:

( )

2 2 2

tâm I 1;2; 3

bán kính R ( 1) 2 ( 3) ( 2) 16 4

 − −



= − + + − − − = =



Chọn A.

Ví dụ 3: Cho phương trình

( )

^{S : x}² ⁺^y²⁺^z²⁺^{2 3 m x}

(

⁻

)

⁻^{2 m 1 y}

(

⁺

)

⁻^2mz⁺^2m² ^{+ =}⁷ ⁰. Tìm tất cả giá trị của m để (S) là một phương trình mặt cầu.

(3)

A. m 2

m 3

 

  . B. 1 m 3. C. m 1

m 3

 

  .

D. m 1

m 3

 =

 = .

Hướng dẫn giải Gọi tâm của mặt cầu là I (a ; b ; c) và bán kính là R.

Ta có : a = m – 3, b = m + 1, c = m, d=2m² +7. (S) là mặt cầu a² +b² +c²− d 0

(

^m ³

) (

² ^{m 1}

)

² ^m² ^2m² ⁷ ⁰

 − + + + − − 

m2 4m 3 0

 − + 

m 1

m 3

 

   Chọn C.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tâm I (a; b; c).

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Thế vào phương trình (S):

Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R.

( ) (

²

) (

²

)

² ²

(S) : x−a + y−b + z−c =R

(4)

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A (-1; 2; 0), viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính bằng 4

A. (S) : x 1

(

+

) (

² + y−2

)

² +z² =16 B. (S) : x 1

(

+

) (

² + y−2

)

²+z² =4 C. (S) : x 1

(

−

) (

²+ y−2

)

² +z² =16 D. (S) : x 1

(

−

) (

² + y−2

)

²+z² =4

Dạng phương trình mặt cầu ^{(S) : x}

(

⁻^a

) (

² ⁺ ^y⁻^b

) (

² ⁺ ^z⁻^c

)

² ⁼^R²

Tâm là A suy ra a = -1, b = 2, c = 0 và R = 4

Thế vào phương trình mặt cầu (S) ta được ^{(S) : x 1}

(

⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

)

²⁺^z² ⁼¹⁶

Chọn A

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B và đi qua điểm A.

A. ^{(S) : x}

(

⁻²

) (

² ⁺ ^{y 1}⁺

)

² ^{+ −}^(z ²⁾² ⁼ ²⁴

B. ^{(S) : x}

(

⁻²

) (

² ⁺ ^{y 1}⁺

)

² ^{+ −}^(z ²⁾² ⁼²⁴

C. ^{(S) : x}

(

⁺²

) (

²⁺ ^{y 1}⁻

)

² ⁺^z² ⁼²⁴

D. ^{(S) : x}

(

⁻²

) (

² ⁺ ^{y 1}⁻

)

² ^{+ −}^(z ²⁾² ⁼²⁴

Dạng phương trình mặt cầu ^{(S) : x}

(

⁻^a

) (

² ⁺ ^y⁻^b

) (

² ⁺ ^z⁻^c

)

² ⁼^R²

Tâm B (2; -1; 2).

Bán kính ^R ⁼ ^AB ⁼

(

²⁺²

) (

² ^{+ − −}^{1 1}

) (

² ⁺ ^{2 0}⁻

)

² ⁼ ²⁴^.

(5)

Vậy phương trình mặt cầu là: ^{(S) : x}

(

⁻²

) (

² ⁺ ^{y 1}⁺

)

² ^{+ −}^(z ²⁾² ⁼²⁴

Chọn B.

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với mặt phẳng Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có

( ( ) )

^{| Aa} ₂^Bb ₂^Cc ₂^{D |}

R d I; P

A B C

+ + +

= =

+ +

Từ đó viết được phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R đã tính phía trên.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là

A.

(

^{x – 2}

) (

² ⁺ ^{y 1}⁻

) (

² ⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼⁴^.

B.

(

^x⁻²

) (

²⁺ ^{y 1}⁻

) (

² ⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼⁹

C.

(

^x⁻²

) (

² ⁺ ^{y 1}⁻

) (

² ⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼³^.

D.

(

^x⁻²

) (

² ⁺ ^{y 1}⁻

) (

² ⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼⁵^.

Hướng dẫn giải :

Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là

( ( ) )

( )

²

2 2

| 2.2 1 2.1 1|

R d A; P 2

2 1 2

− + +

= = =

+ − + .

Vậy phương trình mặt cầu là :

(

^{x – 2}

) (

² ⁺ ^{y 1}⁻

) (

²⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼⁴^.

Chọn A.

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng Phương pháp giải:

(6)

Cho điểm I (a; b; c) và đường thẳng d.

Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng d và mặt cầu tâm I. Tìm H.

Khi đó bán kính của mặt cầu R = IH.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

x 1 y 2 z 3

d : 2 1 1

+ = − = +

− và điểm I (1; -2; 3). Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là

A.

(

^{x 1}⁻

) (

² ⁺ ^y⁺²

) (

² ⁺ ^z⁻³

)

² ⁼^{5 2.}

B.

(

^{x 1}⁻

) (

² ⁺ ^y⁺²

) (

² ⁺ ^z⁻³

)

² ⁼^50.

C.

(

^{x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^z⁻³

)

² ⁼⁵⁰^.

D.

(

^{x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^z⁺³

)

² ⁼⁵⁰^.

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn lớn tâm I và đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + 2t; 2 + t; -3 – t). Suy ra ^IH⁼

(

^2t⁻^{2; t}^{+ − −}^{4; t} ⁶

)

^.

(7)

Vectơ chỉ phương của d là ud =

(

2;1; 1−

)

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

IH.ud = 0 (2t – 2).2 + (t + 4).1 + (-t – 6 ).(-1) = 0t = -1 Suy ra ^IH^{= −}

(

^{4;3; 5}⁻

)

^.

Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính của mặt cầu:

R = IH =

( )

⁻⁴ ² ⁺³² ^{+ −}

( )

⁵ ² ⁼^{5 2}

Vậy phương trình mặt cầu là

(

^{x 1}⁻

) (

² ⁺ ^y⁺²

) (

²⁺ ^z⁻³

)

² ⁼^50.

Chọn B.

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và đường thẳng d cắt mặt cầu theo dây cung AB

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH (với H là trung điểm AB)

Bước 3: Tính IA theo định lý Pytago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R

= IA.

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R đã tính bên trên.

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng

x 1 y 1 z

d : 1 4 1

+ −

= =

− tại hai điểm A, B với AB = 16.

(8)

A.

(

^x⁻²

) (

² ⁺ ^y⁻³

) (

² ⁺ ^{z 1}⁺

)

² ⁼⁷⁶^.

B.

(

^x⁻²

) (

²⁺ ^y⁺³

) (

² ⁺ ^{z 1}⁺

)

² ⁼⁷⁶^.

C.

(

^x⁻²

) (

² ⁺ ^y⁻³

) (

² ⁺ ^{z 1}⁺

)

² ⁼⁵⁶^.

D.

(

^x⁻²

) (

² ⁺ ^y⁻³

) (

² ⁺ ^{z 1}⁺

)

² ⁼⁶⁶

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + t; 1 – 4t; t). Suy ra ^IH^{= − − −}

(

^t ^{3; 4t} ^{2; t 1}⁺

)

^.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ud =

(

1; 4;1−

)

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

IH.ud = 0 (t – 3).1 + (-4t – 2).(-4) + (t + 1).1 = 0 t ¹

= −3.

Suy ra 10 2 2

IH ; ;

3 3 3

 

= − − 

  nên

2 2 2

10 2 2

IH 2 3

3 3 3

     

= −  + −  +   = Vì AB = 16 nên 1

HA AB 8

=2 = .

Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông IAB ta có:

( )

²

2 2 2 2

IA =IH +HA = 2 3 +8 =76IA=2 19. Vậy bán kính mặt cầu là R = IA = 2 19 .

Khi đó phương trình mặt cầu là

(

^x ⁻²

) (

² ⁺ ^y⁻³

) (

² ⁺ ^{z 1}⁺

)

² ⁼⁷⁶

(9)

Chọn A.

Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C)

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến.

Suy ra bán kính mặt cầu R= d (I,(P))² +r² Bước 3: Kết luận phương trình mặt cầu (S)

Ví dụ 9: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 1) và mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 7 = 0.

Viết phương trình mặt cầu (S) sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20.

A.

(

^{x 1}

)

² ^y²

(

^{z 1}

)

² ¹¹⁰

− + + + = 3 . B.

(

^{x 1}

)

² ^y²

(

^{z 1}

)

² ¹¹⁰

− + + − = 3 . C.

(

^{x 1}

)

² ^y²

(

^{z 1}

)

² ¹⁰⁰

− + + − = 3 . D.

(

^{x 1}⁻

)

² ⁺^y²⁺

(

^{z 1}⁻

)

² ⁼¹¹⁰^.

Ta có :

( ( ) )

( )

²

2 2

| 2.1 0 1 7 | 5 6 d I, Q

2 1 1 3

− + +

= =

+ − + .

(10)

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có diện tích đường tròn giao tuyến là 20 =   =r² r 2 5.

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: ^R ⁼ ^_^{d I, Q}

( ( ) )

^_² ⁺^r² ⁼ ^^^{5 6}₃ ^^² ⁺

( )

^{2 5} ² ⁼ ³³⁰₃ ^.

 

Vậy (S):

(

^{x 1}

)

² ^y²

(

^{z 1}

)

² ¹¹⁰

− + + − = 3 . Chọn B.

Dạng 7: Phương trình mặt cầu biết tâm thuộc một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước

Bước 1: Rút tọa độ tâm I theo đường thẳng d đã cho trước.

Giả sử điểm I là tâm của mặt cầu và đường thẳng d có phương trình

0 0 0

x x at d : y y bt z z ct

= +

 = +

 = +

 Khi đó nếu Id thì ta có I(x₀ +at; y₀ +bt;z₀ +ct).

Bước 2: Dựa vào yêu cầu bài toán lập một phương trình theo biến t để giải

 Tọa độ tâm I

Bước 3: Xác định bán kính R của mặt cầu Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S).

Ví dụ 10: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng

x t : y 1

z t

 =

  = −

 = −



và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng

( )

^ ^: x + 2y + 2z + 3 = 0 và

( )

^ ^: x + 2y + 2z + 7 = 0.

(11)

A.

(

^x ³

) (

² ^{y 1}

) (

² ^z ³

)

² ⁴

+ + + + − = 9. B.

(

^x ³

) (

² ^{y 1}

) (

² ^z ³

)

² ⁴

− + − + + =9. C.

(

^x ³

) (

² ^{y 1}

) (

² ^z ³

)

² ⁴

+ + + + + =9. D.

(

^x ³

) (

² ^{y 1}

) (

² ^z ³

)

² ⁴

− + + + + = 9.

Do I thuộc d nên tâm mặt cầu có tọa độ dạng I (t; -1; -t). Khi đó do (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên khoảng cách từ I tới (P), (Q) là bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.

( ( ) ) ( ( ) )

d I; P =d I; Q

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

t 2. 1 2. t 3 t 2. 1 2. t 7

R

1 2 2 1 2 2

+ − + − + + − + − +

 = =

+ + + +

Hay t 1 t 5 ^{t 1} ^t ⁵

t 1 t 5

− + = − +

− + = − +   − + = − t = 3 I (3; -1; -3).

Thay vào phương trình khoảng cách ta được R ²

= 3. Vậy phương trình mặt cầu:

(

^x ³

) (

² ^{y 1}

) (

² ^z ³

)

² ⁴

− + + + + = 9. Chọn D

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1 : Mặt cầu

( ) (

^{S : x 1}⁻

) (

² ⁺ ^y⁺²

)

² ⁺^z² ⁼⁹ có tâm I là : A. I (1 ; -2 ; 0).

B. I (-1 ; 2 ; 0).

C. I (1 ; 2 ; 0).

D. I (-1 ; -2 ; 0).

(12)

Câu 2 : Mặt cầu

( )

^{S : x}² ⁺^y² ⁺^z² ⁻^8x⁺^{2y 1 0}^{+ =} có tâm I là : A. I (8 ; -2 ; 0).

B. I (-4 ; 1 ; 0).

C. I (-8 ; 2 ; 0).

D. I (4 ; -1 ; 0).

Câu 3 : Mặt cầu

( )

^{S : x}² ⁺^y² ⁺^z² ⁻^{4x 1 0}^{+ =} có tọa độ tâm I và bán kính R là : A. I (2; 0; 0), R= 3.

B. I (2; 0; 0), R =3.

C. I (0; 2; 0), R= 3.

D. I (-2; 0; 0), R= 3.

Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. x² +y² +z²−2x=0.

B. x² +y²−z² +2x− + =y 1 0.

C. ^2x² ⁺^2y² ⁼

(

^x⁺^y

)

² ⁻^z² ⁺^{2x 1.}⁻

D.

(

^x⁺ ^y

)

² ⁼^2xy⁻^z² ⁻^1.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử tồn tại mặt cầu (S) có phương trình x² +y²+z² −4x+8y−2az+6a=0. Nếu (S) có đường kính bằng 12 thì a nhận những giá trị nào?

A. ^a ² a 8

 = −

 = .

B. ^a ²

a 8

 =

 = −

 . C. ^a ²

a 4

 = −

 = .

(13)

D. ^a ²

a 4

 =

 = −

 .

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Mặt cầu tâm I (1; 3; 2), bán kính R = 4 có phương trình

A. (x 1)− ² +(y−3)² +(x−2)² =4. B. (x 1)− +(y 3)− +(x−2) 16= . C. (x 1)− ² +(y−3)² +(x−2)² =16. D. (x 1)− ² +(y−3)² +(x−2)² =8.

Câu 7: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB.

A. (S) : x² +y² +(z 1)− ² =24 B. (S) : x² +y² + −(z 1)² = 6 C. (S) : x² +y² +(z 1)− ² =6 D. (S) : x² +y² + −(z 1)² = 24

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) và đi qua A (1; 0; 4).

A.

(

^{x 1}⁻

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

² ⁺ ^z⁺³

)

² ⁼ ^53.

B.

(

^{x 1}⁻

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^z⁺³

)

² ⁼^53.

C.

(

^{x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁺²

) (

² ⁺ ^z⁻³

)

² ⁼^53.

D.

(

^{x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁺²

) (

² ⁺ ^z⁺³

)

² ⁼^53.

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (- 1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 2 = 0 là

A.

(

^{x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼³

B.

(

^{x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

² ⁺ ^{z 1}⁻

)

² ⁼⁹

(14)

C.

(

^{x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^{z 1}⁺

)

² ⁼³

D.

(

^{x 1}⁺

) (

² ⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^{z 1}⁺

)

² ⁼⁹^.

Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt cầu

( )

^{S : x}² ⁺^y² ⁺^z² ⁻^2x⁺^4y^{− =}⁴ ⁰^{cắt mặt}

phẳng (P): x + y – z + 4 = 0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C).

A. S= 6 . B. 2 78

S 3

=  .

C. S ²⁶ 3

= .

D. S=2 6.

Câu 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A (2; 6; 0), B (4; 0; 8) và có tâm thuộc x 1 y z 5

d : 1 2 1

− +

− = = .

A.

2 2 2

32 58 44

x y z 932

3 3 3

 −  + +  + +  =

     

      .

B.

(

^{x 1}

)

² ^y²

(

^z ⁵

)

² ²⁴⁴

− + + + = 9 . C.

2 2 2

32 58 44

x y z 932

3 3 3

 +  + −  + −  =

     

      .

D.

(

^x⁻³

) (

² ⁺ ^{y 1}⁺

) (

² ⁺ ^z⁺³

)

² ⁼⁹³²^.

ĐÁP ÁN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Đáp án

A D A A A B C B B A D