Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Trần Sĩ Tùng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

VẤN ĐỀ I:

Chứng minh Bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến số

1. Dự đoán được điều kiện đẳng thức xảy ra

Ví dụ 1: Cho a b 2. Chứng minh rằng: B = a⁵b⁵2.  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.

Do vậy ta đặt: a 1 x. Từ giả thiết suy ra: b 1 x, ( x  R ).

Ta có: B = a⁵b⁵(1x)⁵(1x)⁵ 10x⁴20x² 2 2 Đẳng thức xảy ra  x = 0, hay a = b = 1. Vậy B  2.

Ví dụ 2: Cho a b 3,a1. Chứng minh rằng: C = b³a³6b²a²9b0.  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2.

Do vậy ta đặt a 1 x, với x  0. Từ giả thiết suy ra b 2 x.

Ta có: C = b³a³6b²a²9b = (2x)³(1x)³6(2x)²(1x)²9(2x) = x³2x²x = x x( 1)² 0 (vì x  0).

Đẳng thức xảy ra  x = 0 hoặc x = 1 tức a = 1, b = 2 hoặc a = 0, b = 3. Vậy C  0.

Ví dụ 3: Cho a b c 3   . Chứng minh rằng: A = a²b²c²ab bc ca  6.  Nhận xét: Dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Do vậy ta đặt: a 1 x b,  1 y, ( x, y  R ). Từ giả thiết suy ra: c  1 x y. Ta có: A = a²b²c²ab bc ca 

= (1x)²(1y)²(1 x y)²(1x)(1y) (1 y)(1 x y) (1  x y)(1x)

= x²xy y ²6 = x y y

2

1 3 2

2 4 6 6

 

   

 

 

Đẳng thức xảy ra  y = 0 và x 1y 2 0

   x = y = 0 hay a = b = c =1. Vậy A  6.

Ví dụ 4: Cho a b  c d. Chứng minh rằng: D = a²b²ab3cd.  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d.

Do vậy đặt: a c x  , với x  R. Từ giả thiết suy ra bdx.

Ta có: D = (c x )²(d x )²(c x d x )(  ) = c²d²x²cd cx dx 

= c² d² 1x² cd cx dx cd 3x²

2 3

4 4

 

      

 

  = c d x x cd cd

2

1 3 2

3 3

2 4

 

    

 

  .

Đẳng thức xảy ra  x = 0 và c d 1x 2 0

   x = 0 và c = d hay a = b = c = d.

Vậy D  3cd.

Ví dụ 5: Cho a b 2. Chứng minh rằng: a³b³a⁴b⁴.  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.

Do vậy đặt a 1 x b,  1 y. Từ giả thiết suy ra x y 0.

Ta có: a³b³a⁴b⁴  (1x)³(1y)³(1x)⁴(1y)⁴

 (1x)⁴(1y)⁴(1x)³(1y)³0  x(1x)³y(1y)³0

 x y 3(x y x )( ²xy y ²) 3( x²y²)x⁴y⁴ 0 ( Đúng vì x + y  0) Đẳng thức xảy ra  x = y = 0 hay a = b = 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 6: Cho a  4. Chứng minh rằng: E = a²(2a) 32 0  .  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 4.

Do vậy đặt a4x. Từ giả thiết suy ra x  0.

Ta có: E = (4x) (2 4²  x)x³10x²32xx(x5)²70. Đẳng thức xảy ra x = 0 hay a = 4. Vậy E  0 .

Ví dụ 7: Cho ab  1. Chứng minh rằng: a²b²  a b.  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.

Do vậy đặt a 1 x b;  1 y.

Ta có: ab  1  (1x)(1y)  1  x y xy    0

Mặt khác: a²b²  a b(1x)²(1y)² (1x) (1 y)x²y²  x y 0 Lại có: x²y² 2xy, với mọi x, y nên ta có:

x² y² x y 1 x² y² xy x y

( ) 0

   2      (Đúng vì xy + x + y  0) Đẳng thức xảy ra  x = y = 0 hay a = b = 1. Vậy BĐT được chứng minh.

2. Dạng cho biết điều kiện của tổng các biến nhưng không ( hoặc khó) dự đoán điều kiện của biến để đẳng thức xảy ra.

Đối với loại này ta cũng có thể đổi biến như trên.

Ví dụ 8: Cho a  1; a + b  3. Chứng minh rằng: F = a² b² ab 27

3 3 0

   4   Đặt a = 1– x và a + b = 3 + y. Từ giả thiết suy ra x, y  0 nên ta có: b = 2 + x + y.

Từ đó : F = x ² x y ² x x y 27

3(1– ) (2 )   3(1 – )(2 ) – 

      4 = x² y² x y xy 25

5 7

     4

= x y y y

2

1 5 3 2 9

2 2 4 2 0

 

    

 

 

Đẳng thức xảy ra  x = 5

2 và y = 0 hay a = 3

2 và b = 9 2. Vậy bất đẳng thức F  0 được chứng minh.

Ví dụ 9: Cho a, b, c [1; 3] và a + b + c = 6. Chứng minh rằng:

a) a²b²c²  14 b) a³b³c³  36

 Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + 1. Khi đó x, y, z  [0; 2] và x + y + z = 3

Giả sử x = max{x; y; z} suy ra: x + y+ z = 3  3x  1 x  2  (x –1)(x –2)  0 nên: x² y² z² x²(y z )² x²(3 – )   5 2( –1)( – 2)  5x ²  x x 

Tức là: x² y² z²  5 (*). Tương tự ta chứng minh được x³ y³z³   9 (**)

a) Ta có: a²b²c² (x1)²(y1)²(z1)² x² y² z²2(x y z  ) 3 (1) Thay (*) vào (1) ta có: a²b²c²  14 là điều phải chứng minh.

b) Ta có:

a³b³c³ (x1)³(y1)³(z1)³ x³y³z³3(x²y²z²) 3( x y z  ) 9 (2) Thay (*) và (**) vào (2) ta có: a³b³c³  36 là điều phải chứng minh.

Ví dụ 10: Cho các số thực a, b với a + b  0. Chứng minh: ab a b

a b

2

2 2 1

   2

   



  .

 Đặt ab

c a b

1

   . Ta có: ab + bc + ca = –1 và lúc này BĐT cần chứng minh trở thành:

a²b²c²2a²b²c² 2(ab bc ca  )(a b c  )²0 (luôn đúng).

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

3. Dạng bất đẳng thức với điều kiện cho ba số có tích bằng 1

Cách1 : Đặt x y z

a b c

y; z; x

   , với x, y, z 0.

Sau đây là một số ví dụ làm sáng tỏ điều này.

Ví dụ 11: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

a b b c c a

1 1 1 3

( 1) ( 1) ( 1)2

  

 Nhận xét: a, b, c là các số thực dương và abc = 1 nên ta đặt:

x y z

a b c

y; z; x

   , với x, y, z là các số thực dương.

Ta có:

a b b c c a

1 1 1 3

( 1) ( 1) ( 1)2

   

x y y z z x

y z z x x y

1 1 1 3

1 1 1 2

  

     

    

   

 

   

 yz zx xy

xy zx yz xy zx yz 3

   2

  

Đây chính là BĐT Néb–sít cho ba số dương xy, yz, zx, suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 12: (Ôlimpic quốc tế 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1.

Chứng minh rằng: a b c

b c a

1 1 1

1 1 1 1

     

      

     

      .

 Nhận xét: a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1, nên ta đặt:

x y z

a b c

y; z; x

   , với x, y, z là các số thực dương.

Ta có: a b c

b c a

1 1 1

1 1 1 1

     

      

     

       x y z y z x z x y

xyz

( )( )( )

      1



 (x y z y z x z x y  )(   )(   )xyz (*)

Đặt xm n y ; np z;  p m . Khi đó (*)  (m n n p p m )(  )(  ) 8 mnp (**) Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có: m n 2 mn n p;  2 np p m;  2 pm

Ba bất đẳng thức trên có hai vế đều dương nên nhân vế theo vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

Chú ý: Ta có thể chứng minh (*) theo cách sau đây:

Do vai trò x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát nên giả sử : x  y  z > 0.

Như vậy x – y +z > 0 và y – z + x > 0.

+ Nếu z – x + y  0 thì (*) hiển nhiên đúng.

+ Nếu z – x + y > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có:

x y z y z x x

(   )(   ) ; (y z x z x y  )(   )y; (z x y x y z  )(   )z Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, suy ra (*).

Vậy (*) đúng cho mọi x, y, z là các số thực dương, suy ra bài toán được chứng minh.

Phát hiện: Việc đổi biến và vận dụng (**) một cách khéo léo giúp ta giải được bài toán ở Ví dụ 13 sau đây:

Ví dụ 13: (Ôlimpic quốc tế 2001) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:

a b c

a² bc b² ca c² ab 1

8 8 8

  

  

.

 Đặt a b c

x y z

a² bc b² ca c² ab

; ;

8 8 8

  

  

.

Ta thấy x, y, z đều dương và BĐT cần chứng minh trở thành S = x y z 1   .

Do a

x

a² 8bc





 a

x

a bc

2 2

2 8

 

  

  

= ^a

a bc

2 28

 bc

x² a²

1 8

1

  .

Tương tự ta có: ^ca

y² b²

1 8

1

  ; ^ab

z² c²

1 8

1

  . Suy ra:

x y z

3

2 2 2

1 1 1

1 1 1 8

     

   

     

   

(1) Mặt khác nếu S = x + y + z < 1

thì: T =

x² y² z²

1 1 1

1 1 1

     

  

     

   

> ^{S S S}

x y z

2 2 2

2 1 2 1 2 1

     

  

     

   

   

– Ta thấy (S – x)(S – y)(S – z) =(x + y)(y + z)(z + x)  8xyz (theo (**) ở ví dụ 12) (2) – Với ba số dương x + y, y + z, z + x, ta lại có (S x S y S z )(  )(  ) 64 xyz (3) – Nhân (2) và (3) vế với vế, ta được: (S²–x²)(S² –y²)(S²–z²)  8 ^{3 2 2 2}x y z

hay: ^{S S S}

x y z

2 2 2

3

2 1 2 1 2 1 8

     

   

     

   

   

Từ đây suy ra: T > 8³ mâu thuẩn với (1).

Vậy S = x + y + z  1, tức bài toán được chứng minh.

Ngược lại, đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các biểu thức ( hoặc biến đổi của nó) có chứa các biểu thức có dạng: x y z

y z x; ; , với x, y, z 0. Lúc này việc

đặt x y z

a b c

y; z; x

   , với abc = 1 là một phương pháp hữu hiệu, sau đây là các ví dụ minh chứng điều này:

Ví dụ 14: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

1) b c a

a b b c c a 1

2  2  2 

   2) a b c

a b b c c a 1

2  2  2 

   .

1) BĐT 

a b c

b c a

1 1 1

1

2 2 2

  

  

.

Đặt a b c

x y z

b; c; a

   . Ta có x, y, z là các số thực dương có tích xyz = 1.

Suy ra:

a b c

b c a

1 1 1

1

2 2 2

  

  

 x y z

1 1 1

2 2 21

  

 (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2)  (x + 2)(y + 2)(z + 2)

 (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12  xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 8

 4  xyz + xy + yz + zx  3  xy + yz + zx.

Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho ba số dương ta có:

xy yz zx  3 (³ xyz)² 3. Suy ra điều phải chứng minh.

2) Cách 1: Chứng minh tương tự câu 1).

Cách 2: Ta có: b c a a b c

a b b c c a a b b c c a

2 3

2 2 2 2 2 2

   

     

   

     

   

Áp dụng kết quả bài toán 1), ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Cách 2 : Ngoài cách đặt x y z

a b c

y; z; x

   như trên ta còn có cách đổi biến khác. Cụ thể ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 15: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1.Chứng minh:

a b c

a b c

a ² b ² c ²

4 1

( 1)( 1)( 1) 4

( 1) ( 1) ( 1)  

  

  

(*)

 Đặt: a b c

x y z

a b c

1 1 1

; ;

1 1 1

  

  

    –1<x, y, z < 1 và x y z

a b c

x y z

1 1 1

; ;

1 1 1

  

  

   .

Từ abc = 1  (1 – x)(1 – y)(1 – z) = (1 + x)(1 + y)(1 + z)  x + y + z + xyz = 0.

Mặt khác: ^a x x

a a

2 2

4 2

1 ; 1

( 1)   1 

 

Tương tự: ^b y y

b b

2 2

4 2

1 ; 1

( 1)   1 

 

và ^c z z

c c

2 2

4 2

1 ; 1

( 1)   1 

 

nên: (*)  ^{a b c}

a b c

a ² b ² c ²

4 4 4 2 2 2

1 2. . .

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)  

  

  

 1x² 1 y² 1 z²  1 2(1x)(1y)(1z)

 x²y²z²2(xy yz zx  ) 2( x y z xyz   ) 0  (x y z  )²0. Đây là bất đẳng thức luôn đúng nên bài toán được chứng minh.

Phát hiện: Việc đổi biến bằng cách đặt x y z

a b c

y; z; x

   ở đây còn áp dụng được rất

hay ở bài toán chứng minh đẳng thức, ví dụ 16; 17 sau đây cho thấy điều này. (Việc đưa ra hai ví dụ sau nhằm nhấn mạnh thêm tính đa dạng và hữu hiệu của phương pháp đổi biến trong giải toán nói chung).

Ví dụ 16: Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

a ab b bc c ca

1 1 1

1 1 1 1

     

 Nhận xét: Vì abc = 1 nên ta có thể đặt x y z

a b c

y; z; x

   , với x, y, z 0.

Khi đó vế trái của đẳng thức trên được biến đổi thành:

x x y y z z

y z z x x y

1 1 1

1 1 1

 

     

= yz zx xy

xy yz zx xy yz zxxy yz zx

      = 1 (đpcm).

Ví dụ 17: Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

a b c a b c

b c a b c a

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

           

            

           

            (*)

 Nhận xét: Tương tự trên ta đặt x y z

a b c

y; z; x

   , với x, y, z 0.

Khi đó vế trái của đẳng thức (*) được biến đổi thành:

x z y x z y x y z y z x z x y

y 1 y z 1 y x 1 x y . z . x

           

       

   

 

   

= x y z y z x z x y xyz

(   )(   )(   )

(1) Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của (*) về biểu thức (1), suy ra đpcm.

4. Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c không âm có vai trò như nhau ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến như sau:

Đặt x  a b c; yab bc ca  ; zabc. Ta có các đẳng thức sau:

xy z– (a b b c c a )(  )(  ) (1)

x² y (a b b c )(  ) ( b c c a )(  ) ( c a a b )(  ) (2)

x²2ya²b²c² (3)

x³3xy3za³b³c³ (4)

Cùng với việc áp dụng các bất đẳng thức sau: x²3y (5)

x³27z (6)

y²3xz (7)

xy9z (8)

x³4xy9z0 (9) (Bạn đọc tự chứng minh các bất đẳng thức trên).

Sau đây là một số ví dụ để làm sáng tỏ vấn đề này:

Ví dụ 18: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh:

a b b c c a a b c (  )(  )(  )  2(1    )  Đặt x  a b c; yab bc ca  ; zabc.

Theo (1) thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

xy z 2(1x)  xy 1 2(1x)  x y( 2) 3 .

Do z = abc = 1 nên theo (6) và (7) suy ra: x  3; y  3 suy ra: x(y – 2)  3 là BĐT đúng.

Đẳng thức xảy ra  x = y = 3 hay a = b = c =1. Suy ra bài toán được chứng minh.

Ví dụ 19: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3. Chứng minh:

abc ab bc ca

12 5

 

 

 Đặt x  a b c; yab bc ca  ; zabc.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:

z y 12 5

  (*)

Theo (9) kết hợp với x = a + b + c =3 ta có: 27 12 y9z0.

Suy ra: y

z 4 9 3

   y

z y y

12 4 9 12

3

    (**)

Mặt khác: y

y y y

y 4 9 12 2

5 4 9 36 15

3

        (y3)²0(đúng với mọi y).

Từ (*) và (**) suy ra bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c =1.

Ví dụ 20: Cho ba số không âm a, b, c, thoả mãn: ab bc ca abc   4. Chứng minh:

3(a²b²c²)abc10 (*)

 Đặt x  a b c; yab bc ca  ; zabc.

Do y z ab bc ca abc     4, nên theo (3) bất đẳng thức (*) trở thành:

x² y z

3( 2 ) 10 3x² 6 7y. Mặt khác, theo (9) suy ra:

x³4xy9(y z ) 9 y  x³36 9 y4xy  x

y x

3 36

4 9

 

 Vậy để hoàn thành bài toán ta cần chứng minh: x

x x

2 3 36

3 6 7.

4 9

  

 . Thật vậy, từ (5) và (6) suy ra:

x x y z

2 3

4   3 27  x³9x²108 0  (x3)(x²12x36) 0  x3.

Từ đó ta có: x

x x

2 3 36

3 6 7.

4 9

  

  12x³24x27x²54 7 x³252

 (x3)(5x²42x102) 0

Đây là bất đẳng thức đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 1.

Ví dụ 21: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh:

a b c

a b b c c a a b c

1 1 1 3

6

     

    

 Đặt x  a b c; yab bc ca 3   ; zabc.

Ta có: a b c

a b b c c a a b c

1 1 1 3

6

     

    

 a b b c b c c a c a a b a b c

a b b c c a a b c

( )( ) ( )( ) ( )( ) 3

( )( )( ) 6

         

 

     (*)

Theo (1) và (2) thì (*) trở thành:

x y x

xy z x

2 3

6

  

  (x²3)6x(x²18)(3x z ) 0

 6x³18x3x³54x x z ² 18z0  3x³36x x z ² 18z0

 3(x³12x9 )z x z² 9z0  3(x³4xy9 )z z x( ²9) 0

Do y = 3 nên từ (5) suy ra x² 9, kết hợp (9) ta có bất đẳng thức trên đúng, suy ra bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1.

Ví dụ 22: Cho ba số a, b, c thuộc (0; 1) thoả mãn abc(1– )(1– )(1 – )a b c . Chứng minh:

a³b³c³5abc1

 Ta có: abc(1– )(1– )(1 – )a b c = 1–(a b c  ) ( ab bc ca  ) –abc.

Do vậy, nếu đặt x  a b c; yab bc ca 3   ; zabc thì ta có: 2z1–x y . Theo (9) thì ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

x³3xy3z5z1  x³3xy8z1  x³4x 3 y x(3 4) Chú ý rằng: 1–x y 2z0 và x² 3y suy ra: x

x y

2

1 3

   . Ta xét ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu x  1 thì x³4x 3 (1x)(3 x x²) 0 y x(3 4). Trường hợp 2: Nếu x 4

1 3 thì: 3x – 4< 0 và 0 < x – 1 < y, suy ra:

x³ x y x x³ x x x x ³

( 4 3) (3 4) ( 4 3) ( 1)(3 4) ( 1) 0 Trường hợp 3: Nếu x 4

3 thì:

x x

x x y x x x x

2 2

3 3 (2 3)

( 4 3) (3 4) ( 4 3) (3 4) 0

3 2

           

Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có x³4x 3 y x(3 4) luôn đúng, suy ra bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 1 2. II. Các bài tập áp dụng :

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) Cho a, b > 0 thoả mãn a + b = 1. Chứng minh:

ab a² b²

2 3

14

 



.

b) Cho a + b + c + d = 1. Chứng minh: a c b d ac bd 1

( )( ) 2( )

    2. c) Cho a + b + c  3. Chứng minh: a⁴b⁴c⁴a³b³c³. d) Cho a + b > 8 và b  3. Chứng minh: 27a²10b³945. Bài 2: Cho a, b, c là các số dương và

a b c

1 1 1

1 1 12

   . Chứng minh: 8abc  1

Bài 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh:

(a + b)(b + c)(c + a)  5(a + b + c) – 7

Bài 4: Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh:

a b c

a ² b ² c ²

3 3 3

3

( 1) ( 1) ( 1)

  

  

  

Bài 5: Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh: a b c

a b c b c a

3( 1)

  2    . Bài 6: Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = 1. Chứng minh:

ab bc ca abc

0 27(   ) 54 7 Bài 7: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh:

a² b² c² a b c abc

2(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 ) 2(1  )

VẤN ĐỀ II:

Chứng minh Bất đẳng thức bằng cách sử dụng vai trò như nhau của các biến

Ví dụ 1: Cho các số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng:

a a b a c(  )(  )b b c b a(  )(  )c c a c b(  )(  ) 0 (*)

 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a  b  c.

+ Nếu có hai trong ba số a, b, c bằng nhau thì BĐT hiển nhiên đúng.

+ Nếu a > b > c, chia hai vế của (*) cho (a b b c a c )(  )(  ) ta được BĐT tương đương:

a b c

b ca ca b0

   (1)

(1) luôn đúng do a b

b c a c 0 0

  

    

  a b

b c a c

  và c a b 0

 .

Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc đoạn [0; 2]. Chứng minh rằng:

a b ² b c ² c a ²

1 1 1 9

( ) ( ) ( )  4

  

(*)

 Sử dụng BĐT Cô-si với x > 0, y > 0, ta có: x y xy x y xy

2

2 2

1 1 1

( ) 2. .4 8

 

   

 

 

. Suy ra:

x² y² x y ²

1 1 8

( )

 



(1). Đẳng thức xảy ra  x = y.

Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a > b > c. Áp dụng BĐT (1) cho cặp số dương a – b và b – c, ta có:

a b ² b c ² a b b c ² a c ²

1 1 8 8

( ) ( ) ( ) ( )

     

. Đẳng thức xảy ra  a – b = b – c.

Suy ra:

a b ² b c ² c a ² a c ² c a ² a c ²

1 1 1 8 1 9

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

     

.

Mặt khác, do a, c  [0; 2] và a > c nên 0 < a – c  2. Đẳng thức xảy ra  a = 2 và c = 0.

Do đó:

a b ² b c ² c a ² a c ²

1 1 1 9 9

( ) ( ) ( ) ( ) 4

   

. Đẳng thức xảy ra khi (a; b; c) = (2; 1; 0) và các hoán vị.

Ví dụ 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b c abc   4. Chứng minh rằng:

a b c ab bc ca    

 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a  b  c.

Từ giả thiết ta có: 3c c ³4a b c abc   3a a ³  a  1 và c  1.

+ Nếu a  b  1  c thì 4 a b2 ab  ab  4. Do đó:

(a b 2)²4(a1)(b1)ab a( 1)(b1)

 (a b ab ab  )( 1) (4  a b a b)(  1)  a b

a b ab a b

ab

4 ( 1)

1

      

 (1)

Mặt khác, từ giả thiết suy ra a b c ab

4 1

  

 . Kết hợp với (1) ta có:

a b ab c a b   (  1)  a b c ab bc ca     (đpcm).

+ Nếu a  1  b  c thì ta có (a1)(b1)(c1) 0  a b c ab bc ca      1 abc (2) Mặt khác, áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương, ta có:

a b c abc ⁴abcabc

4    4  abc  1.

Kết hợp với (2) ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra  a = b= c = 1.

Ví dụ 4: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

a² b² c²

1 1 1 3

1 1 1 2

  

  

 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a  b  c.

Vì abc = 1 nên bc  1 và a  1. Ta có:

b c

b c

2

2 2

2 2

1 1 1 1

2 1 1

1 1

   

  

   

       

 

= b c

b c

2 2

2 2

2 1 1

(1 )(1 )

  

  

   

 

 b c

bc

2 2 2

2 1 1

(1 )

  

  

  

 

= a

bc a

4 4

1 1

 

Suy ra: a

b² c² a

1 1

2 1

1 1

 

  

(1)

Mặt khác ta có:

a² a

1 2

1 1

 



(2)

Ta sẽ chứng minh: ^a

a a

2 3

2 1 1  2

  (3)

Thật vậy, (3)  1 3 a2 2 (1a a)0 





Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1.

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

a²b²c²abc4

 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a  b  c. Suy ra c  1.

Ta có: a²b²c²abc 9 2(ab bc ca  )abc = 9ab c( 2) 2 (3 c c).

Lại có: a b c

ab

2 2

3

2 2

     

   

    và c – 2 < 0 nên

a b c c c c c

2

2 2 2 3

9 ( 2) 2 (3 )

2

  

        

  (1)

Ta sẽ chứng minh: c

c c c

3 2

9 ( 2) 2 (3 ) 4

2

  

      

  (2)

Thật vậy, (2)  (c1) (² c2) 0 (luôn đúng).

Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1.

Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a²b²c² 3. Chứng minh rằng:

ab bc ca   2 abc

 Do vai trò của a, b, c là như nhau nên có thể giả sử a = max{a, b, c}. Xét hai khả năng:

+ Với a  b  c  0. Khi đó:

a b a b c(  )(  ) 0 a b abc ab²   ²ca²  ab²bc²ca²a b bc²  ²abc (1) Mà a b bc²  ² 2 b(3b²) 2  (b1) (² b2) 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

+ Với a  c  b  0. Khi đó:

b c a c b(  )(  ) 0 ab²bc²ca² ca²cb²abc (3) Lại có: ca²cb² 2 c(3c²) 2  (c1) (² c2) 0 (4) Từ (3) và (4) suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra  ( ; ; ) (1;1;1),a b c 



    

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực không âm, thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

ab bc ca abc 1

3 4

    .

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực không âm, thoả mãn a²b²c²abc4. Chứng minh rằng:

abc 2 ab bc ca  abc.

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [–1; 1]. Chứng minh rằng:

a b b c b c c a c a a b 5 a b b c c a

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

        2    .

Bài 4: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1; 2]. Chứng minh rằng:

a b c

a b c 1 1 1

( )  10

     

  .

Bài 5: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng:

a(1b)b(1c)c(1a) 1 .

VẤN ĐỀ III:

Chứng minh Bất đẳng thức có chứa biến ở mẫu

I. Một số phương pháp

1. Sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản sau:

Với a, b, c là ba số thực dương tuỳ ý, ta có:

a b a b

1 1 4

 

 (1)

a b c a b c

1 1 1 9

  

  (2) Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

ac bc

1 1

16

  (*)

 Áp dụng (1) ta có:

ac bc c a b c a b c a b ²

1 1 1 1 1 4 4

( ) 16

2

 

      



     

 

 

.

Đẳng thức xảy ra  c 1 a b 1

2, 4

   .

Ví dụ 2: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c  3. Chứng minh rằng:

ab bc ca a² b² c²

1 2009

670

 

 

 

.

 Áp dụng (2), ta có:

ab bc ca ab bc ca

a b c a b c ab bc ca

a b c

2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 9

2( )

9 1 (3)

( )

  

   

      

 

  Mặt khác, ta có: 3(ab bc ca  ) ( a b c  )² 

ab bc ca a b c ²

2007 3.2007

669

( )

 

   

(4) Từ (3) và (4) suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra  ab c 1.

2. Đặt mẫu là các biến mới

Ví dụ 3: Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: x y z y z z x x y

25 4 9

12

  

   (*)

 Đặt a y z b,  z x c, x y (với a > 0, b > 0, c > 0).

Suy ra: b c a c a b a b c

x ,y ,z

2 2 2

     

   .

Ta có: VT (*) = b c a c a b a b c

a b c

25( ) 4( ) 9( )

2 2 2

     

 

= b a c a a b

a b a c b c

25 4 25 9 4 9

2 2 2 2 2 2 19

     

     

     

       10 + 15 + 6 – 19 = 12.

Đẳng thức xảy ra  b a c a

5 2

5 3

 

 

  5b5c5a  x = 0 (vô lí). Vậy BĐT (*) đúng.

3. Đánh giá nghịch đảo

Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a b c

b c a  c a b  a b c 3

      .

 Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: ^{b c a b c a b c}

a a a

2     1 

    ^{a a}

b c a b c

 2

   .

Tương tự: ^{b b c c}

c a b a c a b c a b

2 2

;

 

     

Ta chỉ cần chứng minh: a b c

b c c a a b 3

  2

   là xong.

4. Đưa về đồng bậc

Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: ab bc ca 1   . Chứng minh rằng:

a b c

a² b² c² 3

1 1 1 2

  

  

.

 Ta có: a a a a a

a b a c a b a c

a² ab bc ca a²

1 ( )( ) 2 1

 

     

 

 

 

   

.

Tương tự: b b b

a b b c b²

1 1 2

 

   

 

 



, c c c

a c b c c²

1 1 2

 

   

 

 



. Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm. Đẳng thức xảy ra  a b c 1

   3 . 5. Thêm bớt biểu thức để khử mẫu

Ví dụ 6: Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn x y z 3   . Chứng minh rằng:

x y z

xy yz zx

y z x

3 3 3

3 3 3

1 2

( )

9 27

8 8 8   

  

. (*)

 Ta có: x y y y x

y

3 2

3

2 2 4

27 27 3

8

  

  



 x x y y y

3 2

3

9 6

8 27

  





. Tương tự: ^{y y z z}

z

3 2

3

9 6

8 27

  





; ^{z z x x}

x

3 2

3

9 6

8 27

  





. Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta có:

VT (*)  10(x y z) (x² y² z²) 18 27

     

= 12 (x² y² z²) 27

  

=

= 3 (x y z)² (x² y² z²) 27

     

= 1 2 xy yz zx

( )

927   (đpcm).

Đẳng thức xảy ra  xy z 1.

Ví dụ 7: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 3   . Chứng minh rằng:

a b c

b² c² a² 3

1 1 1 2

  

. (*)

 Ta có: ^{a a b ab} a ^ab a ^ab

b b b

2 2 2

2 2 2

(1 )

1 1 1 2

 

    

  

.

Tương tự: b bc c ac

b c

c² ; a²

2 2

1   1  

 

.

Do đó, ta chỉ cần chứng minh: a b c 1 ab bc ca 3

( )

2 2

      . Từ BĐT 3(ab bc ca  ) ( a b c  )² suy ra ab bc ca 3   .

Do đó: a b c 1 ab bc ca 3

( )

2 2

      . Đẳng thức xảy ra  ab c 1. 6. Đánh giá mẫu

Ví dụ 8: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

a b c

a b c

a b ab b c bc c a ca

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1( )

3 8 14 3 8 14 3 8 14 5

    

     

(*)

 Ta có: a² b² ab a b a b 1 a b a b

3 8 14 ( 4 )(3 2 ) (4 6 ) 2 3

      2    .

Tương tự với các mẫu số còn lại. Từ đó:

VT (*)  a b c a b c

a b c

a b b c c a a b b c c a

2 2 2 ( )2 1

( )

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5

       

        (đpcm).

Đẳng thức xảy ra  abc.

Ví dụ 9: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng:

ab bc ca

a⁵ b⁵ abb⁵ c⁵ bcc⁵ a⁵ ca 1

     

. (*)

 Trước hết ta chứng minh BĐT: x⁵y⁵x y x y^{2 2}(  ) (1) với mọi x > 0, y > 0.

Ta có: (1)  x x³( ²y²)y y³( ²x²) 0  (x³y³)(x²y²) 0

 (x y ) (² x y x )( ²xy y ²) 0 (luôn đúng với mọi x > 0, y > 0).

Do đó: ^{ab ab}

ab a b abc ab a b c a⁵ b⁵ ab a b a b^{2 2} ab

1 1

( ) ( )

( )

  

   

   

. Tương tự: bc

bc a b c b⁵ c⁵ bc

1

( )

  

 

; ca

ca a b c c⁵ a⁵ ca

1

( )

  

 

.

Suy ra: VT (*)  a b c ab a b c bc a b c ca a b c abc a b c

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) 1

     

        . (đpcm)

Đẳng thức xảy ra  ab c 1. II. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

a b c a b c

bc ca ab a bc b ca c ab

3 3 3

6 6 6

2 2 2

    

  

.

Bài 2: Cho ba số thực dương x, y, z thảo mãn x2y3z18. Chứng minh rằng:

y z z x x y

x y z

2 3 5 3 5 2 5 51

1 1 2 1 3 7

     

  

   .

Bài 3: Cho hai số a, b dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = ^{a b}

a a(4 5 )b b b(4 5 )a



  

.

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c  2. Chứng minh rằng:

ab bc ca

c ab a bc b ca 1

2  2  2 

  

. Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c

3 6

1 

    .

Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a²b²c² 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: M = ^{a b c} a b c

b c c a a b

5 5 5

4 4 4

3 2  3 2  3 2   

  

.

Bài 7: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn ab bc ca 3   . Chứng minh rằng:

a b c² b c a² c a b² abc

1 1 1 1

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

     

.

Bài 8: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a²b²c² 1. Chứng minh rằng:

a b b c c a

ab bc ca ab a b bc b c ca c a

5 5 5 5 5 5

3( ) 2

( ) ( ) ( )

  

     

   .

Bài 9: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng:

a b c

a b c

1 1 1 27

1 1 1 8

     

   

     

  

      .

Bài 10: Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

a bc b ca c ab

a b c

b c c a a b

2 2 2

    

   .

VẤN ĐỀ IV:

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TỪ NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp mà từ trước đến nay thông thường các em ít nghĩ đến.

I. Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác?

 Từ điều kiện a b c R, ,  ^, ab bc ca  1 luôn tồn tại 3 góc của ABC sao cho:

A B C

a tan ,b tan , c tan

2 2 2

  

 Từ điều kiện a b c R, ,  ^, ab bc ca  abc luôn tồn tại 3 góc của ABC sao cho:

atan ,A btan ,B ctanC

 Từ điều kiện a b c R, ,  ^,a² b²c²bc (*) với (0;2)Tồn tại ABC có 3 góc thoả mãn điều kiện (*) và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số côsin……..

 Từ điều kiện a²b²c²2abc1, , ,a b c 





a = cosA, b = cosB, c = cosC với A B C   II. Một số kết quả cơ bản

 Khi ta đặt A a a A a A

a A A

a a a a

2

2 2 2 2

2 1 1

tan sin ; cos ;sin ; cos

2 1 1 2 1 2 1

      

   

 a, b, cR^, ab + bc + ca = 1

a² a b a c b² b c b a c² c a c b

1 ( )( ), 1 ( )( ), 1 ( )( )

             (1)

 a, b ab

R

a² b²

1 1

1 1

 

  

 

(2)

Thật vậy (2) tương đương với (1ab)²(1a²)(1b²)2ab a ²b²

 a b

a b c R ab bc ca

a² b² c²

, , , 1 1

1 1 1

       

  

(3) Thật vậy trước hết ta chứng minh:

a b ab

a² b² a² b² c² 1

1 1 (1 )(1 )(1 )

  

    

 a b c b c a ab

a b b c c a a b b c c a

( ) ( ) 1

( )( )( ) ( )( )( )

   

       (Áp dụng kết quả (1))

 a b c(  )b c a(  ) 1 abab bc ca  1

Vì ab

a² b²

1 1

(1 )(1 )

 

 

đpcm

 a b c

a b c R ab bc ca

a b c

2 2

2 2 2

1 1 2

, , , 1

1 1 1

  

      

  

Thật vậy trước hết ta chứng minh ^{a b c ab}

a b a b c

2 2

2 2 2 2 2

1 1 2 (1 )

1 1 (1 )(1 )(1 )

  

 

    

Sau đó dùng kết quả (2), ta có điều phải chứng minh.

III. Nhìn bài toán bằng con mắt lượng giác:

 Ta thấy (2) ab

a² b² a² b²

1 1

1 1 1 1

  

   

cos^A.cos^B sin^A.sin^B 1 cos ^{A B} 1

2 2 2 2 2 2

 

      

 

Rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng.

 Ta thấy (3)  C

A B

sin sin 2 cos

  2

Nhưng ta có: sinA sinB 2 cos^C.cos ^{A B} , cos ^{A B} 1

2 2 2

     

     

   

 đpcm.

 Ta thấy (4)  C

A B

cos cos 2 sin

  2

Nhưng ta có: C A B A B

A B

cos cos 2sin .cos , cos 1

2 2 2

     

     

     đpcm.

Bây giờ ta sẽ chứng minh các bài toán phức tạp hơn.

Bài 1. Cho a b c, , 0,ab bc ca  1. Chứng minh rằng: a b c a² b² c²

3 10

1 1 1

  

  

(1)

 Ta thấy (1) C

A B

sin sin 6 sin 2 10

   2  .

Lại có C

A B

sin sin 2 cos

  2 , nên ta sẽ chứng minh C C

3sin cos 10

2  2  .

Theo BĐT Bunhiacopxki C C ² ₂C ₂C

3sin cos (9 1) sin cos 10

2 2 2 2

   

    

   

     đpcm.

Bài 2. Cho a b c, , 0,abc a c b   . Chứng minh rằng:

a² b² c²

2 2 3 10

1 1 1  3

  

(2)

 Đây là bài toán khó nhưng nhìn kỹ các bạn sẽ thấy a c abc a c b ac

b b 1

       .

Từ đó ta đặt A B C

a c

b

tan , 1 tan , tan

2 2 2

   .

(2) A B C C

A B

2 2 2 10 2 10

2 cos 2sin 3 cos (cos 1) (1 cos ) 3 1 sin

2 2 2 3 2 3

 

           

 

 2sin^C.cos ^{A B} 3sin^{2C 1}

2 2 2 3

  

 

 

 

(*) Vì cos ^{A B} 1

2

  

 

 

C C

VT<