Kiến thức và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng - THI247.com

CHUYÊN ĐỀ 1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng : a. Định nghĩa : Cho đường thẳng D. Vectơ nur¹ 0r

gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của D nếu giá của nur

vuông góc với D. Nhận xét :

- Nếu nur

là VTPT của D thì ^{kn kur}

(

^{¹ 0}

)

cũng là VTPT của D. b. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng D đi qua M x y₀( ; )_{0 0} và có VTPT nur=( ; )a b . Khi đó M x y( ; )Î D

0 0. 0 ( 0) ( 0) 0

MM n MM n a x x b y y

Û uuuuur ^ urÛ uuuuur ur= Û - + - =

0 0

0 ( )

ax by c c ax by

Û + + = = - - (1)

(1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng D. Chú ý :

- Nếu đường thẳng D :ax+by+ =c 0 thì nur=( ; )a b

là VTPT của D. c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

 D song song hoặc trùng với trục Ox Û D :by+ =c 0

 D song song hoặc trùng với trục Oy Û D :ax+ =c 0

 D đi qua gốc tọa độ Û D :ax+by=0

 D đi qua hai điểm ^{A a}

(

^{;0 ,}

)

^B

(

^0;b

)

^{Û D :}_a^{x+ =y}_b ^{1 với}

(

^{ab¹ 0}

)

 Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y=kx+m với k =tana, ^a là góc hợp bởi tia Mt của D ở phía trên trục Ox và tia Mx

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng d a x₁: ₁ +by₁ +c₁ =0; d a x₂: ₂ +by c₂ + ₂ =0

 d1 cắt d2 khi và chỉ khi ^{1 1}

2 2

a b 0 a b ¹

 d1/ /d2 khi và chỉ khi ^{1 1}

2 2

a b 0

a b = và ^{1 1}

2 2

b c 0

b c ¹ , hoặc ^{1 1}

2 2

a b 0

a b = và ^{1 1}

2 2

c a 0 c a ¹

 d1 º d2 khi và chỉ khi ^{1 1 1 1 1 1}

2 2 2 2 2 2

a b b c c a 0 a b = b c = c a = Chú ý: Với trường hợp a b c_{2 2 2}. . ¹ 0 khi đó

+ Nếu ^{1 2}

1 2

a a

b ¹ b thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu ^{1 2 1}

1 2 2

a a c

b =b ¹ c thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu ^{1 2 1}

1 2 2

a a c

b =b =c thì hai đường thẳng trùng nhau.

§2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

3 3

Chương

1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng : a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :

Cho đường thẳng D. Vectơ ur ¹ 0r

gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giá của nó song song hoặc trùng với D.

Nhận xét : - Nếu ur

là VTCP của D thì ^{ku kr}

(

^{¹ 0}

)

cũng là VTCP của D.

- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu D có VTCP ur =( ; )a b

thì nur= -( ; )b a

là một VTPT của D.

b. Phương trình tham số của đường thẳng :

Cho đường thẳng D đi qua M x y₀( ; )_{0 0} và ur =( ; )a b

là VTCP.

Khi đó M x y( ; )Î D. ₀ ⁰

0

x x at

MM tu t R

y y bt

ì = +

Û = Û ïïíï = +ïî Î uuuuur r

. (1) Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng D, t gọi là tham số

Nhận xét : Nếu D có phương trình tham số là (1) khi đóA Î D Û A x( ₀+at y; ₀+bt) 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.

Cho đường thẳng D đi qua M x y₀( ; )_{0 0} và ur =( ; )a b

(với a¹ 0,b¹ 0) là vectơ chỉ phương thì phương trình x x⁰ y y⁰

a b

- -

= được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng D.

Câu 1: Cho phương trình: ^{ax by c  0 1}

 

với a²b² 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

 

¹ là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là



^;



 

n a b .

B. a0

 

¹ là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục ^ox . C. b0

 

¹ là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục ^oy. D. Điểm M x y0



0; 0



thuộc đường thẳng

 

¹ khi và chỉ khi ax₀ by₀ c 0.

Lời giải Chọn D.

Ta có điểm M x y0



0; 0



thuộc đường thẳng

 

¹ khi và chỉ khi ax0by0 c 0. Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng

 

^d được xác định khi biết.

A. Một vecto pháp tuyến hoặc một vec tơ chỉ phương.

B. Hệ số góc và một điểm thuộc đường thẳng.

C. Một điểm thuộc

 

^d và biết

 

^d song song với một đường thẳng cho trước.

D. Hai điểm phân biệt thuộc

 

^d .

Lời giải Chọn A.

Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết đường thẳng.

Câu 3: Cho tam giác ABC. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. 

BC là một vecto pháp tuyến của đường cao AH.

B. 

BC là một vecto chỉ phương của đường thẳng BC.

C. Các đường thẳng AB, BC, CA đều có hệ số góc.

D. Đường trung trực của AB có ^_AB là vecto pháp tuyến.

Lời giải Chọn C.

Câu 4: Đường thẳng

 

^d có vecto pháp tuyến ^n



^{a b;}



. Mệnh đề nào sau đây sai ? A. ^u1



^{b a;}



là vecto chỉ phương của

 

^d .

B. ^{u2  }



^{b a;}



là vecto chỉ phương của

 

^d . C. ^{n }



^{ka kb k R;}



^ là vecto pháp tuyến của

 

^d . D.

 

^d có hệ số góc ^{k b}



^b0



a .

Lời giải Chọn D.

Phương trình đường thẳng có vecto pháp tuyến ^n



^{a b;}



là

 

0 a c 0

ax by c y x b

b b

        Suy ra hệ số góc a

k b.

Câu 5: Đường thẳng đi qua ^A



^1;2



, nhận ^n



^{2; 4}



làm véc tơ pháo tuyến có phương trình là:

A. x2y 4 0 B. x y  4 0 C.  x 2y 4 0 D.

2 5 0

x y 

Lời giải Chọn D

Gọi

 

^d là đường thẳng đi qua và nhận ^n



^{2; 4}



làm VTPT

 

^{d :x 1 2}



^{y 2}



^{0 x 2y 5 0}

        

Câu 6: Cho đường thẳng (d): ^{2x3y 4 0} . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?

A. 1

 

3; 2

n . B. 2   



4; 6



n . C. 3 



2; 3



n . D. 4  



2;3



n .

Lời giải Chọn B.

Ta có

 

^{d : 2x3y  4 0 VTPT n }

  

^{2;3   4; 6}



Câu 7: Cho đường thẳng

 

^{d : 3x7y15 0} . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ^u

 

^7;3 là vecto chỉ phương của

 

^d . B.

 

^d có hệ số góc 3

7

k .

C.

 

^d không đi qua góc tọa độ.

D.

 

^d đi qua hai điểm ¹; 2 3

 

 

 

M và ^N

 

^5;0 . Lời giải Chọn D.

Giả sử N

 

^5;0 d^{: 3}x⁷y^{15 0} 3.5 7.0 15 0  

 

vl .

Câu 8: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ^A



^{2; 4 ;}

 

^{B 6;1}



là:

A. ^{3x4y10 0.} B. ^{3x4y22 0.} C. ^{3x4y 8 0.} D.

3x4y22 0

Lời giải Chọn B.

Ta có

 

^{: 2 4 3 4 22 0}

4 3

A A

B A B A

x x y y x y

AB x y

x x y y

   

      

   

Câu 9: Cho đường thẳng

 

^{d : 3x5y15 0} . Phương trình nào sau đây không phải là một dạng khác của (d).

A. 1

5 3x y

. B. 3

5 3

  

y x C.

 

5

 

  



x t t R

y D.    ^{5 5}3







 

x t

t R y t

. Lời giải

Chọn C.

Ta có đường thẳng

 

^{d : 3x5y15 0} có VTPT

 

 

3;5 5;0 n

qua A

 





 

^53;1

 

^{: 5 5}3 5;0

VTCP u x t

d qua A y t

      

   

   

  





Suy ra D đúng.

 

^{: 3 5 15 0 3 5 15 1}

5 3 x y

d x y   x y    Suy ra A đúng.

 

^{: 3 5 15 0 5 3 15 3 1}

d x y    y x   y 5x Suy ra B đúng.

Câu 10: Cho đường thẳng

 

^{d :x2y 1 0}. Nếu đường thẳng

 

^ đi qua ^M



^{1; 1}



và song song với

 

^d thì

 

^ có phương trình

A. ^{x2y 3 0} B. ^{x2y 5 0} C. ^{x2y 3 0} D. ^{x2y 1 0} Lời giải

Chọn A.

Ta có

   

^{ / / d x2y   1 0}

 

^{:x2y c 0}



^c1



Ta lại có ^M



^{1; 1}          

  

^{1 2 1}

 

^{c 0 c 3}

Vậy

 

^{ :x2y 3 0}

Câu 11: Cho ba điểm ^A



^{1; 2 ,}

 

^{B 5; 4 ,}

 

^{C 1; 4}



. Đường cao AA của tam giác ABC có phương trình

A. ^{3x4y 8 0} B. ^{3x4y 11 0} C. ^{ 6x 8y11 0} D. ^{8x6y13 0} Lời giải

Chọn B.

Ta có ^{BC }



^6;8



Gọi AA' là đường cao của tam giác ABC AA' nhận

 

 

6;8 1; 2

VTPT n BC qua A

   



 

 

Suy ra ^{AA' : 6}



^{x 1}

 

^{8 y2}



^{   0 6x 8y22 0 3x4y 11 0}.

Câu 12: Cho hai đường thẳng

 

d1 :mx y m  1 ,

 

d2 :x my 2 cắt nhau khi và chỉ khi :

A. m2. B. m 1. C. m1. D. m 1.

Lời giải Chọn C.

   

d1  d2

 

 

1 1 2 2 mx y m x my

  

 

 

 có một nghiệm

Thay

 

² vào

 

^{1 m}



^2my



^{    y m 1}



^{1 m y2}



^{ 1 m}

 

^*

Hệ phương trình có một nghiệm ^

 

^* có một nghiệm

1 2 0

1 0 1

m m

m

  

  

   .

Câu 13: Cho hai điểm ^A



^{4;0 ,}

  

^{B 0;5} . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB?

A. ^{4 4}

 

5

  

  



x t

y t t R B. 1

4 5x y

C. 4

4 5

 



x y

D. 5

4 15

  

y x

Lời giải Chọn D.

Phương trình đoạn chắn

 

^{: 1}

4 5 x y

AB   loại B

     

 

5;4 4;5

: 1 5 4 20 0

4 5 4;0

VTPT n VTCP u x y

AB x y

qua A

    

       



 

 

^{: 4 4}

 

5

x t

AB t

y t

  

    loại A

 

^{: 1 1 4}

4 5 5 4 5 4

x y y x y x

AB 

      

 loại C

 

^{: 1 1 5 5}

4 5 5 4 4

x y y x

AB        y x chọn D

Câu 14: Đường thẳng

 

^ : ^{3x2y 7 0} cắt đường thẳng nào sau đây?

A.

 

d1 : 3x2y0 B.

 

d2 : 3x2y0 C.

 

d3 : 3 x 2y 7 0. D.

 

d4 : 6x4y14 0.

Lời giải Chọn A.

Ta nhận thấy

 

^ song song với các đường

     

d2 ; d3 ; d4

Câu 15: Mệnh đề nào sau đây đúng? Đường thẳng

 

^{d :x2y 5 0}: A. Đi qua ^A



^{1; 2}



.

B. Có phương trình tham số:

 

2

 

   



x t t R

y t .

C.

 

^d có hệ số góc 1

2 k .

D.

 

^d cắt

 

^d có phương trình: ^x2y0. Lời giải Chọn C.

Giả sử ^A



^{1; 2 }

  

^{d :x2y 5 0  1 2. 2}

 

^{  5 0}

 

^vl loại A. Ta có

 

^{d :x2y  5 0 VTPT n}



^{1; 2 }



^VTCPu

 

^2;1 loại B.

Ta có

 

^{: 2 5 0 1 5}

d x y    y 2 2  hệ số góc 1

k 2 Chọn C.

Câu 16: Cho đường thẳng

 

^{d : 4x3y 5 0}. Nếu đường thẳng

 

^ đi qua góc tọa độ và vuông góc với

 

^d thì

 

^ có phương trình:

A. ^4x3y0 B. ^3x4y0 C. ^3x4y0 D. ^4x3y0 Lời giải

Chọn C.

Ta có

   

^{  d : 4x3y   5 0}

 

^{: 3x4y c 0}

Ta lại có ^O

   

^{0;0    c 0}

Vậy

 

^{ : 3x4y0}

Câu 17: Cho tam giác ABC có ^A



^4;1

 

^{B 2; 7}

 

^{C 5; 6}



và đường thẳng

 

^{d : 3x y  11 0}

. Quan hệ giữa

 

^d và tam giác ABC là:

A. Đường cao vẽ từ A.

B. Đường cao vẽ từ B.

C. Đường trung tuyến vẽ từ A.

D. Đường Phân giác góc BAC .

Lời giải Chọn D.

Ta có

 

^{d : 3x y   11 0 VTPT n}

 

^3;1

Thay ^A



^4;1



vào

 

^{d : 3x y  11 0 3. 4}

 

^{   1 11 0}

 

^ld loại B Ta có: ^{BC}

 

^3;1 xét n BC . 3.3 1.1 10 0   loại A

Gọi M là trung điểm của BC 7 13 2; 2

M 

    thay vào

 

^d

3.7 13 11 4 11 15 0 2 2

       loại C Câu 18: Giao điểm M của

 

^{: 1 2}

3 5

  

   



x t

d y t và

 

^{d : 3x2y 1 0} là A. ^{2; 11 .}

2

  

 

 

M B. ^{0;1 .}

2

 

 

 

M C. ^{0; 1 .}

2

  

 

 

M D. ^{1;0 .}

M2  Lời giải

Chọn C.

Ta có

 

^{: 1 2}

 

^{: 5 2 1 0}

3 5

x t

d d x y

y t

  

   

   



Ta có ^{M }

   

^{d  d' M} là nghiệm của hệ phương trình 3 2 1 0 0

5 2 1 0 1

2 x y x

x y y

 

  

 

      

 

Câu 19: Phương trình nào sau đây biểu diển đường thẳng không song song với đường thẳng

 

^{d y: 2x1}?

A. ^{2x y  5 0.} B. ^{2x y  5 0.} C. ^{  2x y 0.} D. ^{2x y  5 0.}

Lời giải Chọn D.

Ta có

 

^{d y: 2x 1}

 

^{d : 2x y  1 0} chọn D

Câu 20: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm ^I



^1;2



và vuông góc với đường thẳng có phương trình 2x y  4 0

A.  x 2y 5 0 B. x2y 3 0 C. x2y0 D. x2y 5 0

Lời giải Chọn B

Gọi

 

^d là đường thẳng đi qua ^I



^1;2



và vuông góc với đường thẳng

 

d1 : 2x y  4 0

Ta có

   

d  d1 n _{ d} u_{ d1} 

 

1;2

 

^{d :x 1 2}



^{y 2}



^{0 x 2y 3 0}

         Câu 21: Hai đường thẳng

 

1

: 2 5 2

  

 



x t

d y t và

 

d2 : 4x3y18 0 . Cắt nhau tại điểm có tọa độ:

A.

 

^{2;3 .} B.

 

^{3; 2 .} C.

 

^{1; 2 .} D.

 

^{2;1 .}

Lời giải Chọn A.

Ta có

 

1

 

1

: 2 5 : 2 5 4 0

2

x t

d d x y

y t

  

    

 

Gọi M 

   

d1  d2 _M là nghiệm của hệ phương trình

2 5 4 0 2

4 3 18 0 3

x y x

x y y

   

 

     

 

Câu 22: Cho đường thẳng

 

^{: 2 3}

1 2

  

   



x t

d y tvà điểm ^{7; 2 .} 2

  

 

 

A Điểm ^A

 

^d ứng với giá trị nào của t?

A. 3 2.



t B. 1

2.



t C. 1

2.

 

t D. t2

Lời giải Chọn C.

Ta có

 

7 1

7; 2 2 2 3 2 1

1

2 2

2 1 2

2 t t

A d t

t t

  

   

 

       

 

        

Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm ^M



^2;3



và vuông góc với đường thẳng

 

^{d : 3x4y 1 0}là

A. 2 4

3 3

  

  



x t

y t B. 2 3

3 4

  

  



x t

y t C. 2 3

3 4

  

  



x t

y t D. 5 4

6 3

  

  



x t

y t

Lời giải Chọn B.

Ta có

   

^{d  d : 3x4y 1 0} VTCP ud 



^{3; 4}



và qua ^M



^2;3



Suy ra

 

^{: 2 3}

 

3 4

x t

d t

y t

  

 

  

 

Câu 24: Cho ABC có ^A



^{2; 1 ;}

   

^{B 4;5 ;C 3;2}



. Viết phương trình tổng quát của đường cao AH.

A. 3x7y 1 0 B. 7x3y13 0 C.  3x 7y13 0 D.

7x3y 11 0

Lời giải Chọn C

Ta có: ^{BC  }



^{7; 3}



^{. Vì AH BC nên}

 

 

2; 1

: 3; 7 lam VTPT qua A

AH n

 



 

 ^{AH: 3}



^{x 2}

 

^{7 y  1}



^{0 3x7y13 0}

Câu 25: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm ^M



^2;1



^và

vuông góc với đường thẳng có phương trình



^{2 1}

 

^{x 2 1}



^y0.

A.



^{1 2}

 

^{x 2 1}



^{y 1 2 2 0 B.   x}



^{3 2 2}



^{y 3 2 0}

C.



^{1 2}

 

^{x 2 1}



^{y 1 0} _D. ^{  x}



^{3 2 2}



^{y 2 0}

Lời giải Chọn A.

Ta có đường thẳng vuông góc đường thẳng với đường thẳng đã cho Suy ra

 

^{d : 1}



^{ 2}

 

^{x 2 1}



^{y c 0}

Mà ^M



^2,1



^

 

^{d   c 1 2 2}

Vậy



^{1 2}

 

^{x 2 1}



^{y 1 2 2 0}

Câu 26: Cho đường thẳng

 

^d đi qua điểm ^M

 

^1;3 và có vecto chỉ phương ^{a }



^{1; 2}



. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của

 

^d ?

A. 1 3 2 .

  

  



x t

y t B. 1 3

1 2 .

 

 

x y

C. ^{2x y  5 0.} D. ^{y  2x 5.}

Lời giải Chọn D.

Ta có

   

 

^{1; 2}

 

¹

   

¹

 

: : :

3 2 3 2

1;3

VTCP a x t x t

d d t d t

y t y t

qua M

        

    

      





  loại A

Ta có

 

^{: 1}

 

^{1 3}

3 2 1 2

x t x y

d t

y t

       

   

  loại B

Có ^{VTCP a }



^{1; 2 }



^{VTPT n }

 

^2;1 suy ra

  

^{d : 2 x 1 1}

 

^{x  3}



^{0 2x3y 5 0}

loại C

Câu 27: Cho tam giác ABC có ^A



^{2;3 ,}

 

^{B 1; 2 ,}

 

^{C 5; 4 .}



Đường trung trực trung tuyến AM có phương trình tham số

A. 2 3 2 .

 

  x

t B. 2 4

3 2 .

  

  



x t

y t C. 2

2 3 .

  

   



x t

y t D. 2

3 2 .

  

  

 x

y t

Lời giải Chọn D.

Gọi M trung điểm BC ^M



^2;1

 

^{0; 2}

  

^{: 2}

3 2

AM AM x

y t

  

      



Câu 28: Cho

 

^{: 2 3}

5 4

  

  



x t

d y t . Điểm nào sau đây không thuộc

 

^{d ?}

A. ^A

 

^{5;3 .} B. ^B

 

^{2;5 .} C. ^C



^{1;9 .}



D. ^D



^{8; 3 .}



Lời giải Chọn B.

Thay

 

^{2;5 2 2 3 0 0}

5 5 4 0

t t

B t

t t

  

 

      

Câu 29: Cho

 

^{: 2 3}

3 .

  

  



x t

d y t . Hỏi có bao nhiêu điểm ^M

 

^d cách ^A

 

^9;1 một đoạn bằng 5.

A. 1 B. 0

C. 3 D. 2

Lời giải Chọn D.

Luôn có 2 điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Thật vậy ^M



^{2 3 ;3 m m}



, ^M



^{2 3 ;3 m m}



. Theo YCBT ta có 5 10 2 38 51 25

AM   m  m  ^{10m238m26 0 *}

 

, phương trình

 

^{* có hai}

nghiệm phân biệt nên có hai điểm M thỏa YCBT.

Câu 30: Cho hai điểm ^A



^{2;3 ;}

 

^{B 4; 1 .}



viết phương trình trung trực đoạn AB.

A. ^{x y  1 0.} B. ^{2x3y 1 0.} C. ^{2x3y 5 0.} D. ^{3x2y 1 0.}

Lời giải Chọn D.

Gọi M trung điểm AB ^M

 

^1;1

Ta có ^{AB}



^{6; 4}



Gọi d là đường thẳng trung trực của AB.

Phương trình d nhận ^{VTPT n }



^{6; 4}



và qua ^M

 

^1;1

Suy ra

  

^{d : 6 x 1}



⁴



^{y  1}



^{0 6x4y  2 0 3x2y 1 0}

Câu 31: Cho hai đường thẳng

 

d1 :mx y m  1 ,

 

d2 :x my 2 song song nhau khi và chỉ khi

A. m2. B. m 1. C. m1. D. m 1.

Lời giải Chọn D.

   

d1 ; d2 song song nhau

2 2

1 1 1

1 1 2

2 m m m

m m

m m

m

 

  

 

 

    

   

   

Câu 32: Cho hai đường thẳng

 

1 :11x12y 1 0 và

 

2 :12x11y 9 0. Khi đó hai đường thẳng này 

A. Vuông góc nhau B. cắt nhau nhưng không vuông góc C. trùng nhau D. song song với nhau

Lời giải Chọn A

Ta có:

 

1 có VTPT là n1



11; 12



;

 

2 có VTPT là n2 



12;11



. Xét n n ₁. ₂11.12 12.11 0     

   

1 2

Câu 33: Với giá trị nào của ^m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc

  

²



1

1 1

: 2

x m t

y mt

   

 

   và

 

2

2 3 '

: 1 4 '

x t

y mt

  

   

A. m  3 B. m  3 C. m 3 D. không có ^m Lời giải

Chọn A

 

1 có ^u1



^{m2 1; m}



^;

 

^{2 có u2   }



^{3; 4m}



   

^{    1 2 u 1 u2  3}



^{m2 1}



^{4m2 0 m2   3 m 3}

Câu 34: Cho 4 điểm ^A

  

^{1;2 ,B 4;0 ,}

 

^{C 1; 3 ,}

 

^{D 7; 7}



. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD.

A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.

C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau.

Lời giải Chọn A.

Ta có ^{AB}



^{3; 2 ,}



^{CD}



^{6; 4}



Ta có 3 2

6 4



 Suy ra AB CD/ /

Câu 35: Với giá trị nào của ^m thì hai đường thẳng

 

1 : 3x4y 1 0 và

  

2 : 2m1



x m y ²  1 0 trùng nhau.

A. m2 B. mọi ^m C. không có ^m D. m 1 Lời giải

Chọn C

   

 

2

1 2

3 2 1

4 1 1

 



    

  m m

VL

Câu 36: Cho 4 điểm ^A



^{3;1 ,}

 

^{B  9; 3 ,}

 

^{C 6;0 ,}

 

^{D 2; 4}



. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD.

A.



^{ 6; 1}



B.



^{ 9; 3}



C.



^9;3



D.



^{0; 4}



Lời giải Chọn B.

Ta có AB   



^{6; 4}



VTPT nAB 



^{2; 3} 

  

AB ^{: 2}x³y ⁹ Ta có CD



^{4; 4}



VTPT nCD 



^{1; 1} 

 

CD x y



^:   ⁶ Gọi N  AB CD

Suy ra N là nghiệm của hệ ^{2 3 9 9}



^{9; 3}



6 3

x y x

x y y N

    

 

   

      

 

Câu 37: Cho tam giác ABC có ^A



^{ 1; 2 ;}

   

^{B 0;2 ;C 2;1}



. Đường trung tuyến BM có phương trình là:

A. 5x3y 6 0 B. 3x5y10 0 C. x3y 6 0 D.

3x y  2 0

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm AC 3 1 2; 2

M 

   

  . 3 5

2; 2 BM    

 



BM qua ^B

 

^0;2 và nhận ^{n }



^{5; 3}



làm VTPT

 

: 5 3 2 0 5 3 6 0

BM x y x y

       

Câu 38: Cho tam giác ABC với ^A



^{2; 1 ;}

   

^{B 4;5 ;C 3;2}



. Phương trình tổng quát của đường cao đi qua A của tam giác là

A. 3x7y 1 0 B. 7x3y13 0 C.  3x 7y13 0 D.

7x3y 11 0

Lời giải

Chọn C

Gọi AH là đường cao của tam giác. ^{BC  }



^{7; 3}



^.

AH đi qua ^A



^{2; 1}



và nhận ^{n }



^{3; 7}



làm VTPT

   

: 3 2 7 1 0 3 7 13 0

AH x y x y

        

Câu 39: Cho tam giác ABC với ^A

  

^{2;3 ;B 4;5 ;}

 

^{C 6; 5}



. M N, lần lượt là trung điểm của AB và AC. Phương trình tham số của đường trung bình MN là:

A. 4 1

x t

y t

  

   

 B. 1

4

x t

y t

  

  

 C. 1 5

4 5

x t

y t

  

  

 D.

4 5 1 5

x t

y t

  

   



Lời giải Chọn B

Ta có: ^M



^{1;4 ;}

 

^{N 4; 1}



. MN đi qua ^M



^1;4



và nhận ^{MN}



^{5; 5}



làm VTCP : 1 5

4 5

x t

MN y t

  

   

Câu 40: Phương trình đường thẳng đi qua điểm ^M



^{5; 3}



và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB là:

A. ^{3x5y30 0.} B. ^{3x5y30 0.} C. ^{5x3y34 0.} D.

5x3y34 0

Lời giải Chọn A.

Gọi A Ox A x



A^{;0 ;}



B Oy B



^0;yB



Ta có M là trung điểm AB 2 10

2 6

A B M A

A B M B

x x x x

y y y y

  

 

      Suy ra

 

^{: 1 3 5 30 0}

10 6 x y

AB    x y 

 .

Câu 41: Cho ba điểm ^A

     

^{1;1 ;B 2;0 ;C 3;4} . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B C, .

A. 4x y  3 0;2x3y 1 0 B. 4x y  3 0;2x3y 1 0 C. 4x y  3 0;2x3y 1 0 D. x y 0;2x3y 1 0

Lời giải Chọn A

Gọi

 

^d là đường thẳng đi qua A và cách đều B C, . Khi đó ta có các trường hợp sau

TH1: d đi qua trung điểm của BC. 5 2; 2 I 

 

  là trung điểm của BC. 3 2;1 AM  

  



là VTCP của đường thẳng d. Khi đó

 

^{d : 2}



^{x 1}

 

^{3 y 1}



^{0  2x 3y 1 0}. TH2: d song song với BC, khi đó d nhận ^{BC}

 

^1;4 làm VTCP, phương trình đường thẳng

 

^{d : 4}



^{x   1}



^{y 1 0     4x y 3 0}.

Câu 42: Cho hai điểm ^P

 

^6;1 và ^Q



^{ 3; 2}



và đường thẳng ^{: 2x y  1 0}. Tọa độ điểm M thuộc  sao cho MP MQ nhỏ nhất.

A. ^{M(0; 1)} B. ^M(2;3) C. ^M(1;1) D. ^M(3;5) Lời giải

Chọn A.

Đặt ^{F x y}



^,



^{2x y 1}

Thay ^P

 

^6;1 vào ^{F x y}



^;



2.6 1 1 10  

Thay ^Q



^{ 3; 4}



vào ^{F x y}



^;



^{2. 3}

   

     ^{2 1 5}. Suy ra P Q, nằm về hai phía của đường thẳng . Ta có MP MQ nhỏ nhất M P Q, , thẳng hàng

PQ

cùng phương PM suy ra ^{M(0; 1)}

Câu 43: Cho ABC có ^A



^{4; 2}



. Đường cao BH: 2x y  4 0 và đường cao

: 3 0

CK x y   . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A

A. 4x5y 6 0 B. 4x5y26 0 C. 4x3y10 0 D.

4x3y22 0

Lời giải Chọn A

Gọi AI là đường cao kẻ từ đỉnh A. Gọi H1 là trực tâm của ABC, khi đó tọa

độ điểm H thỏa mãn hệ phương trình

7

2 4 0 3

3 0 2

3 x y x

x y y

 

  

 

    

   



. 1

5 4; AH   3 3



AI qua 1

7 2 3; 3

H    và nhận ^{n }

 

^{4;5 làm VTPT}

7 2

: 4 5 0 4 5 6 0

3 3

AI x  y  x y

          

Câu 44: Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm ^M



^{2; 3}



và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

A. 1 0

5 0.

  

   

 x y

x y B. 1 0

5 0.

  

   

 x y

x y C. ^{x y  1 0.} D. 1 0 5 0.

x y x y

  

   

 Lời giải

Chọn A.

Phương trình đoạn chắn

 

^{AB : x y 1}

a b 

Do OAB vuông cân tại O b a a b

b a

 

      TH1: b a x y 1

x y a

     a a mà ^M



^{2; 3 }

  

^AB         ^{2 3 a a 1 b 1} Vậy

 

^{AB x y:   1 0}

TH2: b a x y 1

x y a

     a a mà ^M



^{2; 3 }

 

^AB



       ^{2 3 a a 5 b 5} Vậy

 

^{AB x y:   5 0}

Câu 45: Cho hai điểm ^P

 

^1;6 và ^Q



^{ 3; 4}



và đường thẳng ^{: 2x y  1 0}. Tọa độ điểm N thuộc  sao cho NP NQ lớn nhất.

A. ^{N( 9; 19) } B. ^{N( 1; 3) } C. ^N(1;1) D. ^N(3;5) Lời giải

Chọn A.

Ta có PQ  



^{4; 10}



VTPT nPQ 



^{10; 4}



Suy ra phương trình



^PQ



^{: 5x2y 7 0}

Ta có NA NB AB

Dấu " " xãy ra khi và chỉ khi N A B, , thẳng hàng Ta có N PQ 

N là nghiệm của hệ phương trình ^{5 2 7 0 9}



^{9; 19}



2 1 0 19

x y x

x y y N

    

 

   

      

 

Câu 46: Cho hai điểm ^A



^{1; 2}



, ^B

 

^3;1 và đường thẳng 1

: 2

x t

y t

  

    . Tọa độ điểm C thuộc  để tam giác ACB cân tại C.

A. ^{7 13;} 6 6

 

 

  B. ^{7; 13}

6 6

  

 

  C. ^{7 13;} 6 6

 

 

  D. ^{13 7;} 6 6

 

 

 

Lời giải Chọn A.

Ta có

   

 

2 ; 1 , 2

2 ; 1

CA t t

C C t t

CB t t

    

      

   







Ta có ACB cân tại C ^{2 2}



²

   

^{2 2 2}

 

^{2 1}



^{2 1}

CA CB t t t t t 6

              Suy ra 7 13

6 6; C 

 

 

Câu 47: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác là: ^{AB: 7x y  4 0;BH:2x y  4 0;AH x y:   2 0}. Phương trình đường cao CH của tam giác ABC là:

A. ^{7x y  2 0.} B. ^{7x y 0.} C. ^{x7y 2 0.} D. ^{x7y 2 0.}

Lời giải Chọn D.

Ta có H BHAH H là nghiệm của hệ phương trình

 

2 4 0 2

2 0 0 2;0

x y x

x y y H

   

 

 

     

 

Ta có CH  ABCH x: 7y c 0 mà ^H



^2;0



^{CH  2 7.0    c 0 c 2}

Suy ra CH x: 7y 2 0.

Câu 48: Cho tam giác ABC có ^C



^1;2



, đường cao BH x y:   2 0, đường phân giác trong AN: 2x y  5 0. Tọa độ điểm A là

A. ^{4 7;} A3 3

 

  B. ^{4 7;} A3 3

 

  C. ^{4; 7} 3 3 A  

 

  D. ^{4; 7} A3 3 

 

 

Lời giải Chọn D.

Ta có ^{BH  AC}



^{AC x y c}



^{:   0}

Mà ^C



^{1; 2}

 

^{ AC}



       ^{1 2 c 0 c 1} Vậy



^{AC x y}



^{:   1 0}

Có A AN AC A là nghiệm của hệ phương trình 4

1 0 3 4 7;

2 5 0 7 3 3

3 x y x

x y A

y

  

   

    

      

  



Câu 49: Cho tam giác ABC biết trực tâm ^H(1;1) và phương trình cạnh : 5 2  6 0

AB x y , phương trình cạnh ^{AC: 4x7y21 0} . Phương trình cạnh BC là

A. ^{4x2y 1 0} B. ^{x2y14 0} C. ^{x2y14 0} D. ^{x2y14 0} Lời giải

Chọn D.

Ta có ^{A AB AC A}

 

^{0;3 AH }



^{1; 2}



Ta có ^{BH  AC}



^BH



^{: 7x4y d 0}

Mà ^H

  

^{1;1  BH}



^{  d 3} suy ra



^BH



^{: 7x4y 3 0}

Có 19

5; 2 B AB BH B  

Phương trình



^BC



nhận ^{AH }



^{1; 2}



là VTPT và qua 19 5; 2 B   Suy ra

  

^{: 5}



^{2 19 0 2 14 0}

BC x  y 2   x y 

Câu 50: Cho tam giác ABC có ^A



^{1; 2}



, đường cao CH x y:   1 0, đường phân giác trong BN: 2x y  5 0. Tọa độ điểm B là

A.

 

^4;3 B.



^{4; 3}



C.



^4;3



D.



^{ 4; 3}



Lời giải Chọn D.

Ta có ^{AB CH }

 

^{AB x y c:   0}

Mà ^A



^{1; 2 }

 

^AB



     ^{1 2 c 0 c 1} Suy ra

 

^{AB x y:   1 0}

Có BABBN N là nghiệm hệ phương trình

 

1 0 4

2 5 0 3 4;3

x y x

x y y B

    

   

     

  .