• Không có kết quả nào được tìm thấy

Các Bài Toán Liên Quan Đến Dãy Số Có Lời Giải Chi Tiết

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Các Bài Toán Liên Quan Đến Dãy Số Có Lời Giải Chi Tiết"

Copied!
27
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ

CHỦ ĐỀ 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Lý thuyết nêu trong từng dạng bài tập ở phần II.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tổng dãy phân số có dạng a. a k

k

.

1) Tính tổng : 1 2 2 3 3 4 1

1 1 1 ... 1

. . . n . n

S =a a +a a +a a + +a a-

Với a2- a1= -a3 a2= -a4 a3= =... an- an-1=1 Phương pháp:

Ta có:

2 1

1 2 1 2 1 2

1 1 1 ;

. .

a a

a a a a a a

= - = -

3 2

2 3 2 3 2 3

1 1 1 ;

. .

a a

a a a a a a

= - = -

...

1

1 1 1

1 1 1 ;

. n .n

n n n n n n

a a

a a- a a- - a - a

= - = -

Do đó:

1 2 2 3 3 4 1 1

1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

n n n

S = -a a +a - a + -a a + +a - - a = -a a

Bài 1: Tính tổng:

1 1 1

1.2 2.3 ... 2014.2015

    A

Lời giải:

Ta có:

(2)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014

... 1 .... 1

1.2 2.3 2014.2015 2 2 3 2014 2015 2015 2015

A             

Vậy

2014 A 2015

Bài 2: Tính tổng

1 1 1 ... 1

1.2 2.3 3.4 100.101

B = + + + +

Lời giải:

Ta có: = 1 + 1 + 1 + + 1 = -1 1+ -1 1+ -1 1+ + 1 - 1

... ...

1.2 2.3 3.4 100.101 1 2 2 3 3 4 100 101 B

= -1 1 =100 1 101 101

Vậy

100 B101

Bài 3: Tính tổng

1 1 ... 1

9.10 10.11 2004.2005

S = + + +

Lời giải:

Ta có:

1 1 ... 1

9.10 10.11 2004.2005

S = + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1996

9 10 10 11 ... 2004 2005 9 2005 18045

S          

Vậy

1996 18045 S

2) Tính tổng : 1 2 2 3 3 4 1

1 1 1 ... 1

. . . n . n

S =a a +a a +a a + +a a-

Với a2- a1= -a3 a2= -a4 a3= = -... an an-1= >k 1 thì:

Phương pháp:

Ta có:

2 1

1 2 1 2 1 2

1 1 ;

. .

a a k

a a a a a a

= - = -

(3)

3 2

2 3 2 3 2 3

1 1 ;

. .

a a k

a a a a a a

= - = -

...

1

1 1 1

1 1 ; . n .n

n n n n n n

a a k

a a- a a- - a - a

= - = -

Do đó:

1 2 2 3 3 4 1 1

1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1

n n n

S k a a a a a a a - a k a a

æ ö÷ æ ö÷

ç ÷ ç ÷

= çççè - + - + - + + - ÷÷ø= çççè - ÷÷ø

Bài 4: Tính tổng

2 2 2 ... 2

1.3 3.5 5.7 99.101

A = + + + +

Lời giải:

Ta có:

2 2 2 ... 2 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 100

1.3 3.5 5.7 99.101 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101

A = + + + + = - + - + - + + - = - =

Vậy

100 S101

Bài 5: Tính tổng

1 1 1 1 1

1.3 3.5 5.7 7.9 ... 97.99 S       Lời giải:

Ta có:

1 1 1 1 1

1.3 3.5 5.7 7.9 ... 97.99 S      

(4)

1 1 1 1 1 1.3 3.5 5.7 7.9 ... 97.99

1 2 2 2 2 2

2 1.3 3.5 5.7 7.9 ... 97.99

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 3 3 5 5 7 7 9 ... 97 99 1 1 1

2 1 99 1 98. 2 99 49 99 S S S S S S

     

 

       

 

 

            

 

   

Vậy

49 S99

Bài 6: Tính nhanh tổng sau :

a)

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

A = + + + +

b)

4 4 4 ... 4

11.16 16.21 21.26 61.66

B = + + + +

Lời giải:

a) Ta có :

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

3 3 3 3 3

3 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 1 1

3 2 17 3.15

4534 A A A A A A A

= + + + +

= + + + +

æ ö÷

= çççè + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

= çççè - + - + - + - + - ÷÷÷ø æ ö÷

= çççè - ø÷÷÷

=

=34

Vậy

45 S 34 b) Ta có :

(5)

4 4 4 ... 4 11.16 16.21 21.26 61.66

1 1 1 1

4 ...

11.16 16.21 21.26 61.66

5 5 5 5

5 4 ...

11.16 16.21 21.26 61.66

1 1 1 1 1 1 1 1

5 4 ...

11 16 16 11 21 26 61 66 1 1

5 4 5

11 66 B

B B B

B B

= + + + +

æ ö÷

= çççè + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

Þ = çççè + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷

= çççè - ÷÷÷øÞ

55 4 2

4.11.66 B 66 33

= Þ = =

Vậy 2 B33

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức :

3 3 3 ... 3 25 25 ... 25

1.8 8.15 15.22 106.113 50.55 55.60 95.100 A =æçççè + + + + ö æ÷÷÷÷ø è- ççç + + + ö÷÷÷÷ø Lời giải:

Đặt

3 3 3 ... 3

1.8 8.15 15.22 106.113

B = + + + +

Ta có :

7 7 7 7

7 3 ...

1.8 8.15 15.22 106.113

1 1 1 1 1 1 1 1

7 3 ...

1 8 8 15 15 22 106 113

1 1 112 3.112 48

7 3 3.

1 113 113 7.113 113

B B

B B

æ ö÷

= çççè + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷

= çççè - ÷÷÷ø= Þ = =

Đặt

25 25 ... 25

50.55 55.60 95.100

C = + + +

Ta có :

(6)

1 5 5 ... 5 5 50.55 55.60 95.100

1 1 1 1 1 ... 1 1

5 50 55 55 60 95 100

1 1 1 1

5 50 100 100 1

20 C

C C C

= + + +

= - + - + + -

= - =

Þ =

Khi đó

48 1 847

113 20 2260 A = -B C = - =

Vậy

847 A2260

.

Bài 8: Tính nhanh :

9 9 9 ... 1

9.19 19.29 29.39 1999.2009

A = + + + +

Lời giải:

9 9 9 ... 1

9.19 19.29 29.39 1999.2009

A = + + + +

10 10 10 10

10 9 ...

9.19 19.29 29.39 1999.2009

1 1 1 1 1 1 1 1

10 9 ...

9 19 19 29 29 39 1999 2009

1 1

10 9

9 2009

2000 2000 200

10 9.

9.2009 2009 2009 A

A A

A A

æ ö÷

= çççè + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷

= çççè - ÷÷÷ø

= = Þ =

Vậy

200 A2009

.

Bài 9: Thực hiện phép tính :

1 1 1 1 1

3. 5. 7. ... 15. 17.

1.2 2.3 3.4 7.8 8.9

A= - + - + -

Lời giải:

Ta có :

(7)

1 1 1 1 1

3. 5. 7. ... 15. 17.

1.2 2.3 3.4 7.8 8.9

3 5 7 ... 15 17 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9

1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 7 8 8 9

1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 7 8 8 9

A A A A A

= - + - + -

= - + - + -

æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷ æ ö æ÷ ö÷

ç ç ç ç ç

= + -ççè ÷÷÷ø èçç + + +÷÷÷ø èçç ÷÷÷ø- +ççè + -÷÷÷ø èçç + ø÷÷÷

= + - - + + - + + - - 1 1

1 9 8 A 9

= -

=

Vậy 8 A9

.

Bài 10: Tính tỉ số A B biết:

1 1 1 ... 1

1.300 2.301 3.302 101.400

A = + + + +

1 1 1 ... 1

1.102 2.103 3.104 299.400

B = + + + +

Lời giải:

Ta có:

299 299 299 299

299 ...

1.300 2.301 3.302 101.400

1 1 1 1 1 1 1 1

299 ...

1 300 2 301 3 302 101 400

1 1 1 1 1 1 1 1

299 ... ...

1 2 3 101 300 301 302 400

A A A

= + + + +

æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷ æ ö÷

ç ç ç ç

= -ççè ÷÷÷ø è+ -çç ÷÷÷ø è+ -çç ÷÷÷ø+ +ççè - ÷÷÷ø

æ ö æ÷ ö÷

ç ç

= + + + +ççè ÷÷÷ø è- çç + + + + ÷÷÷ø

101 101 101 101

101 ...

1.102 2.103 3.104 299.400

1 1 1 1 1 1 1 1

101 ...

1 102 2 103 3 104 299 400

1 1 1 1 1 1 1 1

101 ... ...

1 2 3 299 102 103 104 400

B B B

= + + + +

æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷ æ ö÷

ç ç ç ç

= -ççè ÷÷÷ø è+çç - ÷÷÷ø è+ -çç ÷÷÷ø+ +ççè - ÷÷÷ø

æ ö æ÷ ö÷

ç ç

= + + + +ççè ÷÷÷ø è- çç + + + + ÷÷÷ø

1 1 1 1 1 1 1

101 ... ...

1 2 3 101 300 301 400

B = + +æçççè + ö æ÷÷÷÷ø è- ççç + + + ö÷÷÷÷ø

Khi đó

299 101 101

299 A B A

= Þ B = .

(8)

Bài 11: Rút gọn :

1 1 1 1 ... 1 1

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

A = - - - -

Lời giải:

Ta có:

1 1 1 1 ... 1 1

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

1 1 1 1 ... 1 1

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

1 1 1 ... 1 1 1

100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100

1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1

100 1 2 2 3 97 98 98 99 99 100 A

A A A

= - - - -

æ ö÷

= - çççè + + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

= - çççè + + ++ + + ÷÷÷ø æç

= - ç - + - + + - + - + - è

1 1 1

100 1 100

1 1 1 49

100 100 50

A A

ö÷

÷÷

ç ÷ø

æ ö÷

= - çççè - ÷÷÷ø

= - + =-

Vậy

49 A 50

 .

Dạng 2: Tổng dãy phân số có mẫu là tích n số tự nhiên liên tiếp

n3

.

1) Tính tổng sau:

1 1 ... 1

1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)

S = + + +n n n

+ + Nhận xét đề bài:

+ Tử các số hạng đều là 1.

+ Mẫu các số hạng đều là tích ba số tự nhiên liên tiếp.

+ Số hạng tổng quát có dạng:

1 ( 1)( 2) n n+ n+ Ta có:

1 1. 2 1. ( 2) 1 1 1

( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)

k k

k k k k k k k k k k k k k

é ù

+ - ê ú

= = = ê - ú

+ + + + + + ë + + + û

(9)

Do đó:

1 1 1. 1 1.2.3 2 1.2 2.3

æ ö÷

= çççè - ø÷÷÷

1 1 1. 1

2.3.4 2 2.3 3.4 æ ö÷

= çççè - ÷÷÷ø ...

1 1 1 1

( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)

n n n n n n n

æ ö÷

= ççç - ÷÷÷

+ + è + + + ø

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:

1 1 1 1 1 ... 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2) Sn

n n n n

æ ö÷

= çççè - + - + + + - + + ø÷÷÷

1 1 1

2 1.2 ( 1)( 2) Sn

n n

æ ö÷

ç ÷

Þ = çççè - + + ÷÷ø

 Nhận xét kết quả:

Nếu mẫu là tích 3 số tự nhiên liên tiếp thì tổng bằng tích nghịch đảo của (3 1)- với hiệu nghịch đảo của tích hai thừa số có giá trị nhỏ nhất và nghịch đảo của tích hai thừa số có giá trị lớn nhất.

1 1 1

2 1.2 ( 1)( 2) Sn

n n

æ ö÷

= çççè - + + ÷÷÷ø

Bài 1: Tính

1 1 1

1.2.3 2.3.4 ... 37.38.39

A   

Lời giải:

Ta có:

(10)

1 1 1 1.2.3 2.3.4 ... 37.38.39

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 ... 2 37.38 38.39

1 1 1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 ... 37.38 38.39 A

A A

   

     

          

 

        

1 1 1

2 1.2 38.39

 

    A

185

741 A

Vậy

185 A741

.

Bài 2: Tính tổng

1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 97.98.99

S     

Lời giải:

Ta có:

1 1 1 1 2 2 2 2

... 2 ...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99

S       S    

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 ...

2 1 3 3 2 4 4 3 5 98 97 99

S        

              

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2425

2 . . . ... . . .

2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 98 97 98 99 2 1 98.99 4851

S           

2425 S 9702

 

Vậy

2425 A9702

.

2) Tính tổng sau:

1 1 ... 1

1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1)( 2)( 3)

S = + + +n n n n

+ + +

- Nhận xét đề bài:

+ Tử các số hạng đều là 1.

+ Mẫu các số hạng đều là tích bốn số tự nhiên liên tiếp.

+ Số hạng tổng quát có dạng:

1

( 1)( 2)( 3) n n+ n+ n+

(11)

Ta có:

1 1. 3 1. ( 3)

( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2)( 3)

1 1 1

3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

k k

k k k k k k k k k k k k

k k k k k k

= = + -

+ + + + + + + + +

é ù

ê ú

= êë + + - + + + úû

Do đó:

1 1. 1 1

1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4

æ ö÷

= çççè - ÷÷÷ø

1 1. 1 1

2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5

æ ö÷

= çççè - ÷÷÷ø ...

1 1 1 1

( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

n n n n n n n n n n

æ ö÷

= ççç - ÷÷÷

+ + + è + + + + + ø

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:

1 1 1 1 1 ... 1 1

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

1 1 1

3 1.2.3 ( 1)( 2)( 3)

n

n

S n n n n n n

S n n n

æ ö÷

= çççè - + - + + + + - + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

Þ = çççè - + + + ÷÷÷ø

Bài 3: Tính

1 1 1

1.2.3.4 2.3.4.5 ... 27.28.29.30

B   

Lời giải:

Nhận xét:

1 1 3 ; 1 1 3 ;...; 1 1 3

1.2.3 2.3.4 1.2.3.4 2.3.4 3.4.5 2.3.4.5- = - = 27.28.29 28.29.30- =27.28.29.30 Ta có:

1 1 1

1.2.3.4 2.3.4.5 ... 27.28.29.30

1 1 4059

3 1.2.3 28.29.30 28.29.30 1353

8120 B

B B

   

   

 

(12)

Vậy

1353 A8120

.

Bài 4: Tính

18 18

10.11.12.13 ... 96.97.98.99

D  

Lời giải:

Ta cĩ:

18 18

10.11.12.13 ... 96.97.98.99

1 1

6 10.11.12 97.98.99

  

 

   

D D

97.49.3 20 6.97.98.99.20

14239 3136980

 

D D

Vậy

14239 3136980 D

.

Dạng 3. Tích dãy phân số theo quy luật Bài 1: Tính tích.

a)

2 2 2 2

2 3 4. . ... 20 1.3 2.4 3.5 19.20 A =

b)

2 2 2 2

1 2 3. . ... 10 1.2 2.3 3.4 10.11 B =

Lời giải:

a) Ta cĩ:

2 2 2 2

2 .3 .4 ... 20 2.2 3.3 4.4 20.20. . ... (2.3.4...20)(2.3.4...20) 20.2 40 1.3 2.4 3.5 19.20 1.3 2.4 3.5 19.20 (1.2.3....19)(3.4.5...21) 21 21

A = = = = =

b) Ta cĩ:

2 2 2 2

1 2. .3 ... 10 1.1 2.2 3.3 10.10 (1.2.3...10)(1.2.3...10). . ... 1 1.2 2.3 3.4 10.11 1.2 2.3 3.4 10.11 (1.2.3...10)(2.3.4...11) 11

B = = = =

Bài 2: Tính tích:

1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1

1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... 2016

C = -ỉçççè + ưỉ÷÷÷÷øèççç- + + ưỉ÷÷÷÷øèççç - + + + ư ỉø è÷÷÷÷ ççç - + + + + ừ÷÷÷÷

Lời giải:

(13)

Ta có:

1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1

1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... 2016

1 1 1

1 . 1 . 1 ...

(1 2).2 (1 3).3 (1 4)4

2 2 2

C

C

æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷

ç ç ç ç

= -ççè + ÷÷÷øèçç- + + ÷÷÷øèçç - + + + ÷÷÷ø èçç- + + + + ÷÷÷ø

æ öæ÷ öæ÷ ö÷

ç ÷ç ÷ç ÷

ç ÷ç ÷ç ÷

ç ÷ç ÷ç ÷

ç ÷ç ÷ç ÷

= -çççççè + ÷÷÷÷÷øèççççç- + øè÷÷÷÷÷ççççç- + ÷÷÷÷÷ø 1 1

(1 2016).2016 2

2 5 9. . ...2016.2017 2 3 6 10 2016.2017 4 10 18 2016.2017 2. . ...

6 12 20 2016.2017 1.4 2.5 3.6 2015.2018. . ...

2.3 3.4 4.5 2016.2017 1004

3009 C

C C C

æ ö÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

ç - ÷

ç ÷

ç + ÷

ç ÷÷

ç ÷

çè ø

= -

= -

=

=

Vậy

1004 C3009

Bài 3: Tính:

1 1 1 1 1 1. . ... 1 1 .

2 3 2 5 2 7 2 99

A =æçççè - öæøè÷÷÷÷ççç - öæ÷÷÷÷øèççç - ö æ÷÷÷÷ø èççç - ö÷÷÷÷ø

Lời giải:

Ta có:

( )

49 49

1.3.5...97

1 . 3 . 5 ... 97 1

2.3 2.5 2.7 2.99 2 (3.5.7...99) 2 .99

A = = =

Vậy 49

1 2 .99 A

Bài 4: Tính:

1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1 .

4 9 16 400

A = -æçççè öæ÷÷÷÷øèççç - öæ÷÷÷÷øèççç- ö æ÷÷÷÷ø èççç- ö÷÷÷÷ø

Lời giải:

Ta có:

(14)

( )( )

( )( )

1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1

4 9 16 400

3 8 15 399. . ...

4 9 16 400 1.3 2.4 3.5 19.21. . ...

2.2 3.3 4.4 20.20 1.2.3...19 3.4.5...21 2.3.4...20 2.3.4...20 21

20.2 21 40 A A A A A A

æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷

ç ç ç ç

= -ççè ÷÷÷øèçç- ÷÷÷øèçç- ÷÷÷ø èçç- ÷÷÷ø

=

=

=

=

=

Vậy

21 A40 Bài 5: Tính:

a)

1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1

1.3 2.4 3.5 2018.2020

A = +æçççè öæ÷÷÷÷øèççç + öæ÷÷÷÷øèççç + ö æ÷÷÷÷ø èççç + ö÷÷÷÷ø b)

1 1 1

1 . 1 ... 1 .

5 6 100

B = -æçççè öæ÷÷÷÷øèççç- ö æø è÷÷÷÷ ççç- ö÷÷÷÷ø

Lời giải:

a) Ta có:

( )( )

( )( )

2 2 2 2

1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1

1.3 2.4 3.5 2018.2020

2 . 3 .4 ... 2019 1.3 2.4 3.5 2018.2019

2.3.4...2019 2.3.4...2019 1.2.3...2.18 3.4.5...2019 2.2019 4038

A A

A A

æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷

ç ç ç ç

= +ççè ÷÷÷øèçç + ÷÷÷øèçç+ ÷÷÷ø èçç + ÷÷÷ø

=

=

= =

Vậy A4038 b) Ta có:

(15)

1 1 1 1 . 1 ... 1 .

5 6 100

5 1 6 1. ... 99 1 100 1.

5 6 99 100

4 5 98 99. ... . 5 6 99 100

4 1

100 25 B

B B B

æ öæ÷ ö æ÷ ö÷

ç ç ç

= -ççè øè÷÷÷çç- ÷÷÷ø èçç- ÷÷÷ø

æ- öæ÷ - ö æ÷ - öæ÷ - ö÷

ç ç ç ç

=ççè øè÷÷÷çç ÷÷÷ø èçç ÷÷÷øèçç ÷÷÷ø

=

= =

Vậy 1 B25

Bài 6: Tính tích:

a)

2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 4 5 6 7 8 9. . . . 3 8 15 24 35 48 63 80 C =

b)

8 15 24 2499. . ... . 9 16 25 2500 D =

Lời giải:

a) Ta có:

( )( )

( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 4 5 6 7 8 9. . . 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9. . . . 3 8 15 24 35 48 63 80 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8 7.9 8.10 2.3.4.5.6.7.8.9 2.3.4.5.6.7.8.9 9.2 9

10 5 1.2.3.4.5.6.7.8 3.4.5.6.7.8.9.10

C = =

= = =

Vậy 9 C 5 b) Ta có:

( )( )

( )( )

2.3.4...49 4.5.6...51

8 15 24 2499. . ... 2.4 3.5 4.6 49.51. . ... 2.51 17 9 16 25 2500 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4.5...50 3.4.5...50 50.3 25

D = = = = =

Vậy

17 D25

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

1. 1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017

A = æçççè+ öæ÷÷÷÷øèççç + öæ÷÷÷÷øèççç + ö æ÷÷÷÷ø èççç + ö÷÷÷÷ø

Lời giải:

(16)

( )

1. 1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017

1 2.2 3.3 4.4. . . ... 2016.2016 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017

2.3.4...2016 2.3.4...2 1 .2

A A A

æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷

ç ç ç ç

= ççè+ ÷÷÷øèçç + øè÷÷÷çç + ÷÷÷ø èçç + ÷÷÷ø æ öæ öæ ö æ÷ ÷ ÷ ö÷

ç ç ç ç

= ççè ÷÷÷øèçç ÷÷÷øèçç ÷÷÷ø èçç ÷÷÷ø

=

( )

( )( )

016 1.2.3...2015 3.4.5...2017 1 2016. . 2

2 1 2017 2016

2017 A

A

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

æ ö÷

= çççè ÷÷÷ø

=

Vậy

2016 A2017

Bài 8: So sánh: 20 1

2 1

V =

- và

1.3.5...39 21.22.23...40 U =

Lời giải:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

10

10 10 5

1.3.5...39 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39

21.22.23...40 21.23.25...39 22.24.26...40 21.23.25...39 .2 11.12.13...20

1.3.5...37.39 1.3.5...37.39

2 21.23.25...39 . 11.13...19 12.14...20 2 11.13.55...39 .2 . 6.7.8.

U = = =

= =

( )

( ) ( ) ( )

15 15 5 20 20

9.10 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 1

2 7.9.11...39 . 6.8.10 2 7.9....39 .2 .3.5 2 .3.5.7...39 2

= = = =

20 20

1 1

2 <2 1Þ U V<

-

Dạng 4: Tính tổng dãy phân số có mẫu là lũy thừa các số tự nhiên.

Bài 1: Tính tổng sau: 2 2005

1 1 ... 1 (1)

2 2 2

S = + + +

Lời giải:

Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kém số hạng liền trước của nó 2 lần.

2 2004

1 1 1

2 1 ... (2)

2 2 2

S = + + + +

(17)

Trừ vế với vế của (2)cho (1) ta được

2005

2005 2005

1 2 1

1 2 2

S -

= - =

Cách 2: Ta có: 2 3 2006

1 1 1 ... 1 (3)

2S =2 +2 + +2

Trừ vế với vế của (1) cho (3) ta được:

2005 2005 2005

2006 2006 2006 2005

1 1 1 2 1 1 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2

s S - S - S -

- = - = Þ = Þ =

Bài 2: Tính nhanh: 2 3 8

1 1 1 ... 1

3 3 3 3

A = + + + +

Lời giải:

Ta có: 2 7

1 1 1

3 1 ... (1)

3 3 3

A = + + + +

2 7 1 1 ... 1 (2)

3 3 3

A = + + +

Lấy (1) (2)- được: 8

1 1 6560

2 1 1

6561 6561 A = - 3 = - =

Do đó:

6560 A =6561

Bài 3: Tính tổng sau: 2 3 100

1 1 1 ... 1

7 7 7 7

A = + + + +

Lời giải:

Ta có: 2 3 4 100 101

1 1 1 1 ... 1 1

7A =7 +7 +7 +7 +7

2 2 3 3 100 100 101

100 100

101 100

1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

7 7 7 7 7 7 7 7 7

6 7 1 7 1

7 7 6.7

A A

A A

æ ö æ÷ ö÷ æ ö æ÷ ö÷

ç ç ç ç

- =ççè - ÷÷÷ø è+çç - ÷÷÷ø+ +èçç - ÷÷÷ø è+ -çç ø÷÷÷

- -

Þ = Þ =

Bài 4: Tính tổng: 4 7 100

3 3 3 ... 3

5 5 5 5

G = + + + +

(18)

Lời giải:

Ta có:

4 7 100 4 7 100

3 3 3 ... 3 3 1 1 1 ... 1

5 5 5 5 5 5 5 5

G = + + + + = æçççè + + + + ö÷÷÷÷ø

Đặt 4 7 100 3 4 7 10 103

1 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... 1

5 5 5 5 5 5 5 5 5

A =æçççè + + + + ö÷÷÷÷øÞ A = + + + +

4 4 7 7 100 100 103

1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

125 5 5 5 5 5 5 5 5

A- A =æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è+ççç - ö÷÷÷÷ø+ +æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è+ -ççç ö÷÷÷÷ø

102

03 103

102 100

124. 1 1 5 1

125 5 5 5

5 1

5 .124 A

A

= - = - Þ = -

Bài 5: Tính tổng: 3 5 99

1 1 1 ... 1

2 2 2 2

C = + + + +

Lời giải:

Ta có: 2 3 5 7 99 101

1 1 1 1 ... 1 1

2 C =2 +2 +2 + +2 +2

3 3 5 5 98 98 101

1 3 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

C - C = C =æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è+ççç - ö÷÷÷÷ø+ +æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è+ -ççç ö÷÷÷÷ø

100 100

101 99

3 2 1 2 1

4C 2 - C 3.2-

Þ = Þ =

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

D = + + + +

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Hoằng Hóa năm học 2018-2019) Lời giải:

Ta có:

(19)

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

3 3 3 3 3

3. 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 45

3 3 3.

2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 2 17 34 34

D D D D

= + + + +

= + + + +

æ ö÷

= çççè + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷ æ ö÷

ç ç

= ççè - + - + - + - + - ÷÷÷ø= ççè - ÷÷÷ø= =

Vậy

45 D =34

Bài 2: Tính hợp lí:

1 1 ... 1

1.2.3 2.3.4 98.99.100

C = + + +

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ba Vì năm học 2018-2019)

Lời giải:

Ta có:

1 1 ... 1

1.2.3 2.3.4 98.99.100

2 2 2 1 1 1 1 1 1

2 ... ...

1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100

1 1 50.99 1 4949

1.2 99.100 100.99 9900 4949

19800 C

C

C

= + + +

Þ = + + + = + + + + +

= - = - =

Þ =

Bài 3: Thực hiện phép tính sau:

1 1 1 ... 1

2.5 5.8 8.11 2015.2018

B = + + + +

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nghi Xuân năm học 2018-2019) Lời giải:

Ta có:

(20)

1 1 1 ... 1 2.5 5.8 8.11 2015.2018

1 3 3 3 ... 3

3 2.5 5.8 8.11 2015.2018

1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

3 2 5 5 8 8 11 2015 2018 1 1 1

3 2 2018 336

2018 B

B B B B

= + + + +

æ ö÷

= çççè + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷

= çççè - ÷÷÷ø

=

Bài 4:Tính giá trị biểu thức:

5 4 3 1 13

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

C = + + + +

( Trích đề HSG Toán 6 huyện nga Sơn năm học 2018-2019) Lời giải:

Ta có:

5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 5 1 13 4 3

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11 22 30 60 2 30 60 11 22 5.30 1.2 13.1 4.2 3 150 12 13 11

2.30 30.2 60.1 11.2 22 60 22

165 11 11 1 13

60 22 4 2 4

C = + + + + = + + + + =æçççè + + ö æ÷÷÷÷ø è+ççç + ö÷÷÷÷ø

æ ö æ÷ ö÷ + +

ç ç

=ççè + + ÷÷÷ø è+çç + ø÷÷÷= +

= + = + =

Vậy

13 C = 4

Bài 5: Tính:

1 1 1 1 1 1

20 30 42 56 72 90 C =- +- +- +- +- +-

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Như Thanh năm học 2018-2019)

Lời giải:

Ta có:

(21)

1 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72 90

1 1 1 1 1 1

4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

1 1 3

4 10 20 C

C C C

- - - -

= + + + + +

æ ö÷

=- çççè + + + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

=- çççè - + - + - + - + - + - ÷÷÷ø

=- + =-

Vậy

3 C =-20

Bài 6: Tính hợp lí giá trị biểu thức sau:

2 2 2 ... 2

60.63 63.66 66.69 117.120

B = + + +

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nông Cống năm học 2018-2019)

Lời giải:

Ta có:

2 2 2 ... 2

60.63 63.66 66.69 117.120

2. 3 3 3 ... 3

3 60.63 63.66 66.69 117.120

2 1. 1 1 1 1 1 ... 1 1

3 60 63 63 66 66 69 117 120

2 1 1

3 60 120 1

180 B

B B B B

= + + +

æ ö÷

= çççè + + + ÷÷÷ø

æ ö÷

= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷

= çççè - ÷÷÷ø

=

Vậy

1 C =180

Bài 7: Tính giá trị các biểu thức:

a)

1 1

2019 2018

2019 2019

A =æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è- ççç - ö÷÷÷÷ø

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nghĩa Đàn năm học 2018-2019) Lời giải:

(22)

a) Ta có:

1 1

2019 2018

2019 2019

1 1

2019 2018

2019 2019

1 1

2019 2018

2019 2019 1

A A A A

æ ö æ÷ ö÷

ç ç

=ççè - ÷÷÷ø è- çç - ÷÷÷ø

= - - +

= - - +

= Vậy A =1

Bài 8: Thực hiện phép tính:

a)

1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1

4 9 16 400

B =æçççè - öæ÷÷÷÷øèççç - öæ÷÷÷÷øèççç - ö æ÷÷÷÷ø èççç - ö÷÷÷÷ø b)

2010 20009 2008 ... 1

1 2 3 2010

1 1 1 ... 1 2 3 4 2011

C + + + +

=

+ + +

( Trích đề HSG Toán 6 thành phố Chí Linh năm học 2018-2019) Lời giải:

a) Ta có:

2 2 2 2

1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1

4 9 16 400

3 8 15. . ... 399 4 9 15 400

3.8.15...399 2 .3 .4 ...20 1.3.2.4.3.5...19.21 2.2.3.3.4.4...20.20 1.2.3...19 3.4.5...21. 2.3.4...20 2

B B B B B

æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷

ç ç ç ç

=ççè - ÷÷÷øèçç - ÷÷÷øèçç - ÷÷÷ø èçç - ÷÷÷ø - - - -

=

=-

=-

=- .3.4..20

1 21. 21

20 2 40

B =- =-

Vậy

21 B =- 40

(23)

b) Ta có:

2010 2009 2008 ... 1 2009 1 2008 1 2007 1 ... 1 1 1

1 2 3 2010 2 3 4 2010

2011 2011 2011 ... 2011 2011 2011. 1 1 1 ... 1 1

2 3 4 2010 2011 2 3 4 2010 2011

æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷ æ ö÷

ç ç ç ç

+ + + + =ççè + +÷÷÷ø èçç + +÷÷÷ø èçç + + +÷÷÷ø ççè + +÷÷÷ø

æ ö÷

= + + + + + = çççè + + + + + ÷÷÷ø

Do đó

1 1 1 1

2010 20009 20081 2 3 ... 20101 2011 2 3 4 ...2011 2011

1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1

2 3 4 2011 2 3 4 2011

C

æ ö÷

ç + + + ÷

+ + + + ççè ÷÷ø

= = =

+ + + + + +

Vậy C =2011.

Bài 9: Tính

1 1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1 . 1

2 3 4 2018 2019

A = -æçççè öæ÷÷÷÷øèççç- öæ÷÷÷÷øèççç- ö æ÷÷÷÷ø èççç- ÷÷÷÷öæøèççç- ö÷÷÷÷ø

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Thanh Trì năm học 2012018-2019) Lời giải:

Ta có:

1 1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1 . 1

2 3 4 2018 2019

1 2 3 2017 2018. . ... . 1 2 3 4 2018 2019 2019 A

A

æ öæ÷ öæ÷ ÷ö æ öæ÷ ö÷

ç ç ç ç ç

= -ççè ÷÷÷øèçç- ÷÷÷øèçç - ÷÷÷ø èçç - ÷÷÷øèçç - ÷÷÷ø

Þ = =

Vậy

1 A =2019

Bài 10: Cho

34 51 85 68

7.13 13.22 22.37 37.49

A = + + +

39 65 52 26

7.16 16.31 31.43 43.49

B = + + +

Tính A B .

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Vĩnh Yên năm học 2018-2019) Lời giải:

Ta có:

(24)

34 51 85 68 7.13 13.22 22.37 37.49

A= + + +

17.2 17.3 17.5 17.4 7.13 13.22 22.37 37.49

A= + + +

17 3.2 3.3 3.5 3.4 3 7.13 13.22 22.37 37.49 A= ỉççççè + + + ừ÷÷÷÷

17 6 9 15 12

3 7.13 13.22 22.37 37.49 A= ỉççççè + + + ừ÷÷÷÷

17 1 1 1 1 1 1 1 1

3 7 13 13 22 22 37 37 49 A= ỉççççè - + - + - + - ư÷÷÷÷ø

17 1 1 3 7 49 A= ỉççççè - ư÷÷÷÷ø

Ta lại cĩ:

39 65 52 26

7.16 16.31 31.43 43.49 13.3 13.5 13.4 13.2 7.16 16.31 31.43 43.49 13 3.3 3.5 3.4 3.2

3 7.16 16.31 31.43 43.49

13 1 1 1 1 1 1 1 1

3 7 16 16 31 31 43 43 49 13 1 1

3 7 49 B

B B B B

= + + +

= + + +

ỉ ư÷

= çççè + + + ÷÷÷ø

ỉ ư÷

= çççè - + - + - + - ÷÷÷ø ỉ ư÷

= çççè - ÷÷÷ø

Từ đĩ suy ra:

17 1 1

3 7 49 17 13 1 1 13

3 7 49 A

B

ỉ ư÷ ç - ÷

ç ÷

ç ÷

è ø

= ỉç -ççè ư÷÷÷÷ø=

Vậy

17 13 A B =

.

Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: 2 3 4 199 200

1 1 1 1 1 1

1 ...

3 3 3 3 3 3

A = + - + - + + -

(25)

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2018-2019) Lời giải:

Ta có:

2 3 198 199

1 1 1 1 1

3 3 1 ...

3 3 3 3 3

A = + - + - + + -

2 3 198 199 2 3 4 199 200 200

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 1 ... 1 ... 5

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

A A+ = + -æçççè + - + + - ö æ÷÷÷÷ø è+ + -ççç + - + - ö÷÷÷÷ø= -

200 200

1 1

4 5 5 : 4

2 2

A = - Þ A = -æçççè ö÷÷÷÷ø

Bài 12: Tính tỉ số A B biết:

4 6 9 7

7.31 7.41 10.41 10.57

A = + + +

7 5 3 11

19.31 19.43 23.43 23.57

B = + + +

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Phú Xuyên năm học 2018-2019) Lời giải:

Ta có:

4 6 9 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 35.31 35.41 50.41 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57

A = + + + = - + - + - + - = -

7 5 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 38.31 38.43 46.43 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57

B = + + + = - + - + - + - = -

5

5 2 2

A B A

Þ = Þ B = .

Bài 13: Tính tổng

11 19 29 41 55 71 89 109 1 6 12 20 30 42 56 72 90 S        

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Gia Lộc năm học 2018-2018) Lời giải:

(26)

11 19 29 41 55 71 89 109 1 6 12 20 30 42 56 72 90 S         

5 7 9 11 13 15 19 19

1 1 1 1 1 1 1 1 1

6 12 20 30 42 56 72 90

S                  5 7 9 11 13 15 17 19

1 6 12 20 30 42 56 72 90 S         

2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 S                 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 4 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 2 10 5 S                    

Vậy 3 S =5

.

Bài 14: Tính tổng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 5 7 9 19

1 .2 2 .3 3 .4 4 .5 ... 9 .10

S     

( Trích đề HSG Toán 6 Ninh Bình năm học 2018-2019).

Lời giải:

Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 3 2 4 3 5 4 10 9

1 .2 2 .3 3 .4 4 .5 ... 9 .10

S           

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 99

... 1

1 2 2 3 3 4 9 10 100 100

 S           

Vậy

99 S =100

.

Bài 15: Hãy so sánh:

1 1 1

124 ...

1.1985 2.1986 16.2000

A     

  và

1 1 1

1.17 2.18 ... 1984.2000

B   

( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ninh Giang năm học 2018-2019).

Lời giải:

Ta có:

(27)

1 1 1

124 ...

1.1985 2.1986 16.2000

124 1 1 1

1 ...

1984 1985 16 2000

1 1 1 1 1 1

1 ... ...

16 2 16 1985 1986 2000

A     

 

 

      

   

         

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... ... ... ...

16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 1986 2000

B                       

1 1 1 1 1 1

1 ... ...

16 2 16 1985 1986 2000

B            A Vậy A B .

 HẾT 

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

A trên mặt đáy là trung điểm của BC.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là giao điểm của hai

[r]

[r]

Khi lăng kính ở vị trí có góc lệch cực tiểu thì tia tới và tia ló đối xứng với nhau qua mặt phẳng phân giác của góc chiết quang A.. Lăng kính là môi trường trong suốt

Khi tia sáng qua lăng kính có góc lệch cực tiểu thì đường đi của tia sáng đối xứng qua mặt phân giác của góc chiết quang của lăng kính. - Trong ống nhòm, người ta dùng

 Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt đại lượng đơn giản nhất theo x hoặc hằng số mà các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định.. Nếu có chứa biến x

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dƣới) sau đó dựa vào hệ thức truy

Bài toán 13 (China South East Mathematical Olympiad 2021).. Chứng minh hoàn tất. a) Tìm công thức tổng quát của dãy trên... Theo nguyên lí quy nạp thì