ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Lý thuyết nêu trong từng dạng bài tập ở phần II.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tổng dãy phân số có dạng a. a k
k
.1) Tính tổng : 1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 ... 1
. . . n . n
S =a a +a a +a a + +a a-
Với a2- a1= -a3 a2= -a4 a3= =... an- an-1=1 Phương pháp:
Ta có:
2 1
1 2 1 2 1 2
1 1 1 ;
. .
a a
a a a a a a
= - = -
3 2
2 3 2 3 2 3
1 1 1 ;
. .
a a
a a a a a a
= - = -
...
1
1 1 1
1 1 1 ;
. n .n
n n n n n n
a a
a a- a a- - a - a
= - = -
Do đó:
1 2 2 3 3 4 1 1
1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
n n n
S = -a a +a - a + -a a + +a - - a = -a a
Bài 1: Tính tổng:
1 1 1
1.2 2.3 ... 2014.2015
A
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014
... 1 .... 1
1.2 2.3 2014.2015 2 2 3 2014 2015 2015 2015
A
Vậy
2014 A 2015
Bài 2: Tính tổng
1 1 1 ... 1
1.2 2.3 3.4 100.101
B = + + + +
Lời giải:
Ta có: = 1 + 1 + 1 + + 1 = -1 1+ -1 1+ -1 1+ + 1 - 1
... ...
1.2 2.3 3.4 100.101 1 2 2 3 3 4 100 101 B
= -1 1 =100 1 101 101
Vậy
100 B101
Bài 3: Tính tổng
1 1 ... 1
9.10 10.11 2004.2005
S = + + +
Lời giải:
Ta có:
1 1 ... 1
9.10 10.11 2004.2005
S = + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1996
9 10 10 11 ... 2004 2005 9 2005 18045
S
Vậy
1996 18045 S
2) Tính tổng : 1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 ... 1
. . . n . n
S =a a +a a +a a + +a a-
Với a2- a1= -a3 a2= -a4 a3= = -... an an-1= >k 1 thì:
Phương pháp:
Ta có:
2 1
1 2 1 2 1 2
1 1 ;
. .
a a k
a a a a a a
= - = -
3 2
2 3 2 3 2 3
1 1 ;
. .
a a k
a a a a a a
= - = -
...
1
1 1 1
1 1 ; . n .n
n n n n n n
a a k
a a- a a- - a - a
= - = -
Do đó:
1 2 2 3 3 4 1 1
1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1
n n n
S k a a a a a a a - a k a a
æ ö÷ æ ö÷
ç ÷ ç ÷
= çççè - + - + - + + - ÷÷ø= çççè - ÷÷ø
Bài 4: Tính tổng
2 2 2 ... 2
1.3 3.5 5.7 99.101
A = + + + +
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 ... 2 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 100
1.3 3.5 5.7 99.101 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101
A = + + + + = - + - + - + + - = - =
Vậy
100 S101
Bài 5: Tính tổng
1 1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 7.9 ... 97.99 S Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 7.9 ... 97.99 S
1 1 1 1 1 1.3 3.5 5.7 7.9 ... 97.99
1 2 2 2 2 2
2 1.3 3.5 5.7 7.9 ... 97.99
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 3 5 5 7 7 9 ... 97 99 1 1 1
2 1 99 1 98. 2 99 49 99 S S S S S S
Vậy
49 S99
Bài 6: Tính nhanh tổng sau :
a)
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
A = + + + +
b)
4 4 4 ... 4
11.16 16.21 21.26 61.66
B = + + + +
Lời giải:
a) Ta có :
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
3 3 3 3 3
3 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 1 1
3 2 17 3.15
4534 A A A A A A A
= + + + +
= + + + +
æ ö÷
= çççè + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
= çççè - + - + - + - + - ÷÷÷ø æ ö÷
= çççè - ø÷÷÷
=
=34
Vậy
45 S 34 b) Ta có :
4 4 4 ... 4 11.16 16.21 21.26 61.66
1 1 1 1
4 ...
11.16 16.21 21.26 61.66
5 5 5 5
5 4 ...
11.16 16.21 21.26 61.66
1 1 1 1 1 1 1 1
5 4 ...
11 16 16 11 21 26 61 66 1 1
5 4 5
11 66 B
B B B
B B
= + + + +
æ ö÷
= çççè + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
Þ = çççè + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷
= çççè - ÷÷÷øÞ
55 4 2
4.11.66 B 66 33
= Þ = =
Vậy 2 B33
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức :
3 3 3 ... 3 25 25 ... 25
1.8 8.15 15.22 106.113 50.55 55.60 95.100 A =æçççè + + + + ö æ÷÷÷÷ø è- ççç + + + ö÷÷÷÷ø Lời giải:
Đặt
3 3 3 ... 3
1.8 8.15 15.22 106.113
B = + + + +
Ta có :
7 7 7 7
7 3 ...
1.8 8.15 15.22 106.113
1 1 1 1 1 1 1 1
7 3 ...
1 8 8 15 15 22 106 113
1 1 112 3.112 48
7 3 3.
1 113 113 7.113 113
B B
B B
æ ö÷
= çççè + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷
= çççè - ÷÷÷ø= Þ = =
Đặt
25 25 ... 25
50.55 55.60 95.100
C = + + +
Ta có :
1 5 5 ... 5 5 50.55 55.60 95.100
1 1 1 1 1 ... 1 1
5 50 55 55 60 95 100
1 1 1 1
5 50 100 100 1
20 C
C C C
= + + +
= - + - + + -
= - =
Þ =
Khi đó
48 1 847
113 20 2260 A = -B C = - =
Vậy
847 A2260
.
Bài 8: Tính nhanh :
9 9 9 ... 1
9.19 19.29 29.39 1999.2009
A = + + + +
Lời giải:
9 9 9 ... 1
9.19 19.29 29.39 1999.2009
A = + + + +
10 10 10 10
10 9 ...
9.19 19.29 29.39 1999.2009
1 1 1 1 1 1 1 1
10 9 ...
9 19 19 29 29 39 1999 2009
1 1
10 9
9 2009
2000 2000 200
10 9.
9.2009 2009 2009 A
A A
A A
æ ö÷
= çççè + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷
= çççè - ÷÷÷ø
= = Þ =
Vậy
200 A2009
.
Bài 9: Thực hiện phép tính :
1 1 1 1 1
3. 5. 7. ... 15. 17.
1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
A= - + - + -
Lời giải:
Ta có :
1 1 1 1 1
3. 5. 7. ... 15. 17.
1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
3 5 7 ... 15 17 1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 7 8 8 9
1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 7 8 8 9
A A A A A
= - + - + -
= - + - + -
æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷ æ ö æ÷ ö÷
ç ç ç ç ç
= + -ççè ÷÷÷ø èçç + + +÷÷÷ø èçç ÷÷÷ø- +ççè + -÷÷÷ø èçç + ø÷÷÷
= + - - + + - + + - - 1 1
1 9 8 A 9
= -
=
Vậy 8 A9
.
Bài 10: Tính tỉ số A B biết:
1 1 1 ... 1
1.300 2.301 3.302 101.400
A = + + + +
và
1 1 1 ... 1
1.102 2.103 3.104 299.400
B = + + + +
Lời giải:
Ta có:
299 299 299 299
299 ...
1.300 2.301 3.302 101.400
1 1 1 1 1 1 1 1
299 ...
1 300 2 301 3 302 101 400
1 1 1 1 1 1 1 1
299 ... ...
1 2 3 101 300 301 302 400
A A A
= + + + +
æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷ æ ö÷
ç ç ç ç
= -ççè ÷÷÷ø è+ -çç ÷÷÷ø è+ -çç ÷÷÷ø+ +ççè - ÷÷÷ø
æ ö æ÷ ö÷
ç ç
= + + + +ççè ÷÷÷ø è- çç + + + + ÷÷÷ø
101 101 101 101
101 ...
1.102 2.103 3.104 299.400
1 1 1 1 1 1 1 1
101 ...
1 102 2 103 3 104 299 400
1 1 1 1 1 1 1 1
101 ... ...
1 2 3 299 102 103 104 400
B B B
= + + + +
æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷ æ ö÷
ç ç ç ç
= -ççè ÷÷÷ø è+çç - ÷÷÷ø è+ -çç ÷÷÷ø+ +ççè - ÷÷÷ø
æ ö æ÷ ö÷
ç ç
= + + + +ççè ÷÷÷ø è- çç + + + + ÷÷÷ø
1 1 1 1 1 1 1
101 ... ...
1 2 3 101 300 301 400
B = + +æçççè + ö æ÷÷÷÷ø è- ççç + + + ö÷÷÷÷ø
Khi đó
299 101 101
299 A B A
= Þ B = .
Bài 11: Rút gọn :
1 1 1 1 ... 1 1
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
A = - - - -
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 ... 1 1
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
1 1 1 1 ... 1 1
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
1 1 1 ... 1 1 1
100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100
1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1
100 1 2 2 3 97 98 98 99 99 100 A
A A A
= - - - -
æ ö÷
= - çççè + + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
= - çççè + + ++ + + ÷÷÷ø æç
= - ç - + - + + - + - + - è
1 1 1
100 1 100
1 1 1 49
100 100 50
A A
ö÷
÷÷
ç ÷ø
æ ö÷
= - çççè - ÷÷÷ø
= - + =-
Vậy
49 A 50
.
Dạng 2: Tổng dãy phân số có mẫu là tích n số tự nhiên liên tiếp
n3
.1) Tính tổng sau:
1 1 ... 1
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
S = + + +n n n
+ + Nhận xét đề bài:
+ Tử các số hạng đều là 1.
+ Mẫu các số hạng đều là tích ba số tự nhiên liên tiếp.
+ Số hạng tổng quát có dạng:
1 ( 1)( 2) n n+ n+ Ta có:
1 1. 2 1. ( 2) 1 1 1
( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)
k k
k k k k k k k k k k k k k
é ù
+ - ê ú
= = = ê - ú
+ + + + + + ë + + + û
Do đó:
1 1 1. 1 1.2.3 2 1.2 2.3
æ ö÷
= çççè - ø÷÷÷
1 1 1. 1
2.3.4 2 2.3 3.4 æ ö÷
= çççè - ÷÷÷ø ...
1 1 1 1
( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)
n n n n n n n
æ ö÷
= ççç - ÷÷÷
+ + è + + + ø
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
1 1 1 1 1 ... 1 1
2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2) Sn
n n n n
æ ö÷
= çççè - + - + + + - + + ø÷÷÷
1 1 1
2 1.2 ( 1)( 2) Sn
n n
æ ö÷
ç ÷
Þ = çççè - + + ÷÷ø
Nhận xét kết quả:
Nếu mẫu là tích 3 số tự nhiên liên tiếp thì tổng bằng tích nghịch đảo của (3 1)- với hiệu nghịch đảo của tích hai thừa số có giá trị nhỏ nhất và nghịch đảo của tích hai thừa số có giá trị lớn nhất.
1 1 1
2 1.2 ( 1)( 2) Sn
n n
æ ö÷
= çççè - + + ÷÷÷ø
Bài 1: Tính
1 1 1
1.2.3 2.3.4 ... 37.38.39
A
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1.2.3 2.3.4 ... 37.38.39
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 ... 2 37.38 38.39
1 1 1 1 1 1 1
2 1.2 2.3 2.3 3.4 ... 37.38 38.39 A
A A
1 1 1
2 1.2 38.39
A
185
741 A
Vậy
185 A741
.
Bài 2: Tính tổng
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 97.98.99
S
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 2 2 2 2
... 2 ...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99
S S
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ...
2 1 3 3 2 4 4 3 5 98 97 99
S
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2425
2 . . . ... . . .
2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 98 97 98 99 2 1 98.99 4851
S
2425 S 9702
Vậy
2425 A9702
.
2) Tính tổng sau:
1 1 ... 1
1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1)( 2)( 3)
S = + + +n n n n
+ + +
- Nhận xét đề bài:
+ Tử các số hạng đều là 1.
+ Mẫu các số hạng đều là tích bốn số tự nhiên liên tiếp.
+ Số hạng tổng quát có dạng:
1
( 1)( 2)( 3) n n+ n+ n+
Ta có:
1 1. 3 1. ( 3)
( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2)( 3)
1 1 1
3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
k k
k k k k k k k k k k k k
k k k k k k
= = + -
+ + + + + + + + +
é ù
ê ú
= êë + + - + + + úû
Do đó:
1 1. 1 1
1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4
æ ö÷
= çççè - ÷÷÷ø
1 1. 1 1
2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5
æ ö÷
= çççè - ÷÷÷ø ...
1 1 1 1
( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
n n n n n n n n n n
æ ö÷
= ççç - ÷÷÷
+ + + è + + + + + ø
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
1 1 1 1 1 ... 1 1
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
1 1 1
3 1.2.3 ( 1)( 2)( 3)
n
n
S n n n n n n
S n n n
æ ö÷
= çççè - + - + + + + - + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
Þ = çççè - + + + ÷÷÷ø
Bài 3: Tính
1 1 1
1.2.3.4 2.3.4.5 ... 27.28.29.30
B
Lời giải:
Nhận xét:
1 1 3 ; 1 1 3 ;...; 1 1 3
1.2.3 2.3.4 1.2.3.4 2.3.4 3.4.5 2.3.4.5- = - = 27.28.29 28.29.30- =27.28.29.30 Ta có:
1 1 1
1.2.3.4 2.3.4.5 ... 27.28.29.30
1 1 4059
3 1.2.3 28.29.30 28.29.30 1353
8120 B
B B
Vậy
1353 A8120
.
Bài 4: Tính
18 18
10.11.12.13 ... 96.97.98.99
D
Lời giải:
Ta cĩ:
18 18
10.11.12.13 ... 96.97.98.99
1 1
6 10.11.12 97.98.99
D D
97.49.3 20 6.97.98.99.20
14239 3136980
D D
Vậy
14239 3136980 D
.
Dạng 3. Tích dãy phân số theo quy luật Bài 1: Tính tích.
a)
2 2 2 2
2 3 4. . ... 20 1.3 2.4 3.5 19.20 A =
b)
2 2 2 2
1 2 3. . ... 10 1.2 2.3 3.4 10.11 B =
Lời giải:
a) Ta cĩ:
2 2 2 2
2 .3 .4 ... 20 2.2 3.3 4.4 20.20. . ... (2.3.4...20)(2.3.4...20) 20.2 40 1.3 2.4 3.5 19.20 1.3 2.4 3.5 19.20 (1.2.3....19)(3.4.5...21) 21 21
A = = = = =
b) Ta cĩ:
2 2 2 2
1 2. .3 ... 10 1.1 2.2 3.3 10.10 (1.2.3...10)(1.2.3...10). . ... 1 1.2 2.3 3.4 10.11 1.2 2.3 3.4 10.11 (1.2.3...10)(2.3.4...11) 11
B = = = =
Bài 2: Tính tích:
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... 2016
C = -ỉçççè + ưỉ÷÷÷÷øèççç- + + ưỉ÷÷÷÷øèççç - + + + ư ỉø è÷÷÷÷ ççç - + + + + ừ÷÷÷÷
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... 2016
1 1 1
1 . 1 . 1 ...
(1 2).2 (1 3).3 (1 4)4
2 2 2
C
C
æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷
ç ç ç ç
= -ççè + ÷÷÷øèçç- + + ÷÷÷øèçç - + + + ÷÷÷ø èçç- + + + + ÷÷÷ø
æ öæ÷ öæ÷ ö÷
ç ÷ç ÷ç ÷
ç ÷ç ÷ç ÷
ç ÷ç ÷ç ÷
ç ÷ç ÷ç ÷
= -çççççè + ÷÷÷÷÷øèççççç- + øè÷÷÷÷÷ççççç- + ÷÷÷÷÷ø 1 1
(1 2016).2016 2
2 5 9. . ...2016.2017 2 3 6 10 2016.2017 4 10 18 2016.2017 2. . ...
6 12 20 2016.2017 1.4 2.5 3.6 2015.2018. . ...
2.3 3.4 4.5 2016.2017 1004
3009 C
C C C
æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç - ÷
ç ÷
ç + ÷
ç ÷÷
ç ÷
çè ø
= -
= -
=
=
Vậy
1004 C3009
Bài 3: Tính:
1 1 1 1 1 1. . ... 1 1 .
2 3 2 5 2 7 2 99
A =æçççè - öæøè÷÷÷÷ççç - öæ÷÷÷÷øèççç - ö æ÷÷÷÷ø èççç - ö÷÷÷÷ø
Lời giải:
Ta có:
( )
49 49
1.3.5...97
1 . 3 . 5 ... 97 1
2.3 2.5 2.7 2.99 2 (3.5.7...99) 2 .99
A = = =
Vậy 49
1 2 .99 A
Bài 4: Tính:
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1 .
4 9 16 400
A = -æçççè öæ÷÷÷÷øèççç - öæ÷÷÷÷øèççç- ö æ÷÷÷÷ø èççç- ö÷÷÷÷ø
Lời giải:
Ta có:
( )( )
( )( )
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
4 9 16 400
3 8 15 399. . ...
4 9 16 400 1.3 2.4 3.5 19.21. . ...
2.2 3.3 4.4 20.20 1.2.3...19 3.4.5...21 2.3.4...20 2.3.4...20 21
20.2 21 40 A A A A A A
æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷
ç ç ç ç
= -ççè ÷÷÷øèçç- ÷÷÷øèçç- ÷÷÷ø èçç- ÷÷÷ø
=
=
=
=
=
Vậy
21 A40 Bài 5: Tính:
a)
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
1.3 2.4 3.5 2018.2020
A = +æçççè öæ÷÷÷÷øèççç + öæ÷÷÷÷øèççç + ö æ÷÷÷÷ø èççç + ö÷÷÷÷ø b)
1 1 1
1 . 1 ... 1 .
5 6 100
B = -æçççè öæ÷÷÷÷øèççç- ö æø è÷÷÷÷ ççç- ö÷÷÷÷ø
Lời giải:
a) Ta có:
( )( )
( )( )
2 2 2 2
1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
1.3 2.4 3.5 2018.2020
2 . 3 .4 ... 2019 1.3 2.4 3.5 2018.2019
2.3.4...2019 2.3.4...2019 1.2.3...2.18 3.4.5...2019 2.2019 4038
A A
A A
æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷
ç ç ç ç
= +ççè ÷÷÷øèçç + ÷÷÷øèçç+ ÷÷÷ø èçç + ÷÷÷ø
=
=
= =
Vậy A4038 b) Ta có:
1 1 1 1 . 1 ... 1 .
5 6 100
5 1 6 1. ... 99 1 100 1.
5 6 99 100
4 5 98 99. ... . 5 6 99 100
4 1
100 25 B
B B B
æ öæ÷ ö æ÷ ö÷
ç ç ç
= -ççè øè÷÷÷çç- ÷÷÷ø èçç- ÷÷÷ø
æ- öæ÷ - ö æ÷ - öæ÷ - ö÷
ç ç ç ç
=ççè øè÷÷÷çç ÷÷÷ø èçç ÷÷÷øèçç ÷÷÷ø
=
= =
Vậy 1 B25
Bài 6: Tính tích:
a)
2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 5 6 7 8 9. . . . 3 8 15 24 35 48 63 80 C =
b)
8 15 24 2499. . ... . 9 16 25 2500 D =
Lời giải:
a) Ta có:
( )( )
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 5 6 7 8 9. . . 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9. . . . 3 8 15 24 35 48 63 80 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8 7.9 8.10 2.3.4.5.6.7.8.9 2.3.4.5.6.7.8.9 9.2 9
10 5 1.2.3.4.5.6.7.8 3.4.5.6.7.8.9.10
C = =
= = =
Vậy 9 C 5 b) Ta có:
( )( )
( )( )
2.3.4...49 4.5.6...51
8 15 24 2499. . ... 2.4 3.5 4.6 49.51. . ... 2.51 17 9 16 25 2500 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4.5...50 3.4.5...50 50.3 25
D = = = = =
Vậy
17 D25
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
1. 1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1
2 1.3 2.4 3.5 2015.2017
A = æçççè+ öæ÷÷÷÷øèççç + öæ÷÷÷÷øèççç + ö æ÷÷÷÷ø èççç + ö÷÷÷÷ø
Lời giải:
( )
1. 1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1
2 1.3 2.4 3.5 2015.2017
1 2.2 3.3 4.4. . . ... 2016.2016 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017
2.3.4...2016 2.3.4...2 1 .2
A A A
æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷
ç ç ç ç
= ççè+ ÷÷÷øèçç + øè÷÷÷çç + ÷÷÷ø èçç + ÷÷÷ø æ öæ öæ ö æ÷ ÷ ÷ ö÷
ç ç ç ç
= ççè ÷÷÷øèçç ÷÷÷øèçç ÷÷÷ø èçç ÷÷÷ø
=
( )
( )( )
016 1.2.3...2015 3.4.5...2017 1 2016. . 2
2 1 2017 2016
2017 A
A
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
æ ö÷
= çççè ÷÷÷ø
=
Vậy
2016 A2017
Bài 8: So sánh: 20 1
2 1
V =
- và
1.3.5...39 21.22.23...40 U =
Lời giải:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
10
10 10 5
1.3.5...39 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39
21.22.23...40 21.23.25...39 22.24.26...40 21.23.25...39 .2 11.12.13...20
1.3.5...37.39 1.3.5...37.39
2 21.23.25...39 . 11.13...19 12.14...20 2 11.13.55...39 .2 . 6.7.8.
U = = =
= =
( )
( ) ( ) ( )
15 15 5 20 20
9.10 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 1.3.5...37.39 1
2 7.9.11...39 . 6.8.10 2 7.9....39 .2 .3.5 2 .3.5.7...39 2
= = = =
Mà 20 20
1 1
2 <2 1Þ U V<
-
Dạng 4: Tính tổng dãy phân số có mẫu là lũy thừa các số tự nhiên.
Bài 1: Tính tổng sau: 2 2005
1 1 ... 1 (1)
2 2 2
S = + + +
Lời giải:
Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kém số hạng liền trước của nó 2 lần.
2 2004
1 1 1
2 1 ... (2)
2 2 2
S = + + + +
Trừ vế với vế của (2)cho (1) ta được
2005
2005 2005
1 2 1
1 2 2
S -
= - =
Cách 2: Ta có: 2 3 2006
1 1 1 ... 1 (3)
2S =2 +2 + +2
Trừ vế với vế của (1) cho (3) ta được:
2005 2005 2005
2006 2006 2006 2005
1 1 1 2 1 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2
s S - S - S -
- = - = Þ = Þ =
Bài 2: Tính nhanh: 2 3 8
1 1 1 ... 1
3 3 3 3
A = + + + +
Lời giải:
Ta có: 2 7
1 1 1
3 1 ... (1)
3 3 3
A = + + + +
2 7 1 1 ... 1 (2)
3 3 3
A = + + +
Lấy (1) (2)- được: 8
1 1 6560
2 1 1
6561 6561 A = - 3 = - =
Do đó:
6560 A =6561
Bài 3: Tính tổng sau: 2 3 100
1 1 1 ... 1
7 7 7 7
A = + + + +
Lời giải:
Ta có: 2 3 4 100 101
1 1 1 1 ... 1 1
7A =7 +7 +7 +7 +7
2 2 3 3 100 100 101
100 100
101 100
1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
7 7 7 7 7 7 7 7 7
6 7 1 7 1
7 7 6.7
A A
A A
æ ö æ÷ ö÷ æ ö æ÷ ö÷
ç ç ç ç
- =ççè - ÷÷÷ø è+çç - ÷÷÷ø+ +èçç - ÷÷÷ø è+ -çç ø÷÷÷
- -
Þ = Þ =
Bài 4: Tính tổng: 4 7 100
3 3 3 ... 3
5 5 5 5
G = + + + +
Lời giải:
Ta có:
4 7 100 4 7 100
3 3 3 ... 3 3 1 1 1 ... 1
5 5 5 5 5 5 5 5
G = + + + + = æçççè + + + + ö÷÷÷÷ø
Đặt 4 7 100 3 4 7 10 103
1 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... 1
5 5 5 5 5 5 5 5 5
A =æçççè + + + + ö÷÷÷÷øÞ A = + + + +
4 4 7 7 100 100 103
1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
125 5 5 5 5 5 5 5 5
A- A =æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è+ççç - ö÷÷÷÷ø+ +æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è+ -ççç ö÷÷÷÷ø
102
03 103
102 100
124. 1 1 5 1
125 5 5 5
5 1
5 .124 A
A
= - = - Þ = -
Bài 5: Tính tổng: 3 5 99
1 1 1 ... 1
2 2 2 2
C = + + + +
Lời giải:
Ta có: 2 3 5 7 99 101
1 1 1 1 ... 1 1
2 C =2 +2 +2 + +2 +2
3 3 5 5 98 98 101
1 3 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
C - C = C =æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è+ççç - ö÷÷÷÷ø+ +æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è+ -ççç ö÷÷÷÷ø
100 100
101 99
3 2 1 2 1
4C 2 - C 3.2-
Þ = Þ =
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
D = + + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Hoằng Hóa năm học 2018-2019) Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
3 3 3 3 3
3. 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 45
3 3 3.
2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 2 17 34 34
D D D D
= + + + +
= + + + +
æ ö÷
= çççè + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷ æ ö÷
ç ç
= ççè - + - + - + - + - ÷÷÷ø= ççè - ÷÷÷ø= =
Vậy
45 D =34
Bài 2: Tính hợp lí:
1 1 ... 1
1.2.3 2.3.4 98.99.100
C = + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ba Vì năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
1 1 ... 1
1.2.3 2.3.4 98.99.100
2 2 2 1 1 1 1 1 1
2 ... ...
1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100
1 1 50.99 1 4949
1.2 99.100 100.99 9900 4949
19800 C
C
C
= + + +
Þ = + + + = + + + + +
= - = - =
Þ =
Bài 3: Thực hiện phép tính sau:
1 1 1 ... 1
2.5 5.8 8.11 2015.2018
B = + + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nghi Xuân năm học 2018-2019) Lời giải:
Ta có:
1 1 1 ... 1 2.5 5.8 8.11 2015.2018
1 3 3 3 ... 3
3 2.5 5.8 8.11 2015.2018
1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
3 2 5 5 8 8 11 2015 2018 1 1 1
3 2 2018 336
2018 B
B B B B
= + + + +
æ ö÷
= çççè + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷
= çççè - ÷÷÷ø
=
Bài 4:Tính giá trị biểu thức:
5 4 3 1 13
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
C = + + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện nga Sơn năm học 2018-2019) Lời giải:
Ta có:
5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 5 1 13 4 3
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11 22 30 60 2 30 60 11 22 5.30 1.2 13.1 4.2 3 150 12 13 11
2.30 30.2 60.1 11.2 22 60 22
165 11 11 1 13
60 22 4 2 4
C = + + + + = + + + + =æçççè + + ö æ÷÷÷÷ø è+ççç + ö÷÷÷÷ø
æ ö æ÷ ö÷ + +
ç ç
=ççè + + ÷÷÷ø è+çç + ø÷÷÷= +
= + = + =
Vậy
13 C = 4
Bài 5: Tính:
1 1 1 1 1 1
20 30 42 56 72 90 C =- +- +- +- +- +-
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Như Thanh năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72 90
1 1 1 1 1 1
4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1 3
4 10 20 C
C C C
- - - -
= + + + + +
æ ö÷
=- çççè + + + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
=- çççè - + - + - + - + - + - ÷÷÷ø
=- + =-
Vậy
3 C =-20
Bài 6: Tính hợp lí giá trị biểu thức sau:
2 2 2 ... 2
60.63 63.66 66.69 117.120
B = + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nông Cống năm học 2018-2019)
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 ... 2
60.63 63.66 66.69 117.120
2. 3 3 3 ... 3
3 60.63 63.66 66.69 117.120
2 1. 1 1 1 1 1 ... 1 1
3 60 63 63 66 66 69 117 120
2 1 1
3 60 120 1
180 B
B B B B
= + + +
æ ö÷
= çççè + + + ÷÷÷ø
æ ö÷
= çççè - + - + - + + - ÷÷÷ø æ ö÷
= çççè - ÷÷÷ø
=
Vậy
1 C =180
Bài 7: Tính giá trị các biểu thức:
a)
1 1
2019 2018
2019 2019
A =æçççè - ö æ÷÷÷÷ø è- ççç - ö÷÷÷÷ø
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Nghĩa Đàn năm học 2018-2019) Lời giải:
a) Ta có:
1 1
2019 2018
2019 2019
1 1
2019 2018
2019 2019
1 1
2019 2018
2019 2019 1
A A A A
æ ö æ÷ ö÷
ç ç
=ççè - ÷÷÷ø è- çç - ÷÷÷ø
= - - +
= - - +
= Vậy A =1
Bài 8: Thực hiện phép tính:
a)
1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1
4 9 16 400
B =æçççè - öæ÷÷÷÷øèççç - öæ÷÷÷÷øèççç - ö æ÷÷÷÷ø èççç - ö÷÷÷÷ø b)
2010 20009 2008 ... 1
1 2 3 2010
1 1 1 ... 1 2 3 4 2011
C + + + +
=
+ + +
( Trích đề HSG Toán 6 thành phố Chí Linh năm học 2018-2019) Lời giải:
a) Ta có:
2 2 2 2
1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1
4 9 16 400
3 8 15. . ... 399 4 9 15 400
3.8.15...399 2 .3 .4 ...20 1.3.2.4.3.5...19.21 2.2.3.3.4.4...20.20 1.2.3...19 3.4.5...21. 2.3.4...20 2
B B B B B
æ öæ÷ öæ÷ ö æ÷ ö÷
ç ç ç ç
=ççè - ÷÷÷øèçç - ÷÷÷øèçç - ÷÷÷ø èçç - ÷÷÷ø - - - -
=
=-
=-
=- .3.4..20
1 21. 21
20 2 40
B =- =-
Vậy
21 B =- 40
b) Ta có:
2010 2009 2008 ... 1 2009 1 2008 1 2007 1 ... 1 1 1
1 2 3 2010 2 3 4 2010
2011 2011 2011 ... 2011 2011 2011. 1 1 1 ... 1 1
2 3 4 2010 2011 2 3 4 2010 2011
æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷ æ ö÷
ç ç ç ç
+ + + + =ççè + +÷÷÷ø èçç + +÷÷÷ø èçç + + +÷÷÷ø ççè + +÷÷÷ø
æ ö÷
= + + + + + = çççè + + + + + ÷÷÷ø
Do đó
1 1 1 1
2010 20009 20081 2 3 ... 20101 2011 2 3 4 ...2011 2011
1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1
2 3 4 2011 2 3 4 2011
C
æ ö÷
ç + + + ÷
+ + + + ççè ÷÷ø
= = =
+ + + + + +
Vậy C =2011.
Bài 9: Tính
1 1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1 . 1
2 3 4 2018 2019
A = -æçççè öæ÷÷÷÷øèççç- öæ÷÷÷÷øèççç- ö æ÷÷÷÷ø èççç- ÷÷÷÷öæøèççç- ö÷÷÷÷ø
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Thanh Trì năm học 2012018-2019) Lời giải:
Ta có:
1 1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1 . 1
2 3 4 2018 2019
1 2 3 2017 2018. . ... . 1 2 3 4 2018 2019 2019 A
A
æ öæ÷ öæ÷ ÷ö æ öæ÷ ö÷
ç ç ç ç ç
= -ççè ÷÷÷øèçç- ÷÷÷øèçç - ÷÷÷ø èçç - ÷÷÷øèçç - ÷÷÷ø
Þ = =
Vậy
1 A =2019
Bài 10: Cho
34 51 85 68
7.13 13.22 22.37 37.49
A = + + +
và
39 65 52 26
7.16 16.31 31.43 43.49
B = + + +
Tính A B .
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Vĩnh Yên năm học 2018-2019) Lời giải:
Ta có:
34 51 85 68 7.13 13.22 22.37 37.49
A= + + +
17.2 17.3 17.5 17.4 7.13 13.22 22.37 37.49
A= + + +
17 3.2 3.3 3.5 3.4 3 7.13 13.22 22.37 37.49 A= ỉççççè + + + ừ÷÷÷÷
17 6 9 15 12
3 7.13 13.22 22.37 37.49 A= ỉççççè + + + ừ÷÷÷÷
17 1 1 1 1 1 1 1 1
3 7 13 13 22 22 37 37 49 A= ỉççççè - + - + - + - ư÷÷÷÷ø
17 1 1 3 7 49 A= ỉççççè - ư÷÷÷÷ø
Ta lại cĩ:
39 65 52 26
7.16 16.31 31.43 43.49 13.3 13.5 13.4 13.2 7.16 16.31 31.43 43.49 13 3.3 3.5 3.4 3.2
3 7.16 16.31 31.43 43.49
13 1 1 1 1 1 1 1 1
3 7 16 16 31 31 43 43 49 13 1 1
3 7 49 B
B B B B
= + + +
= + + +
ỉ ư÷
= çççè + + + ÷÷÷ø
ỉ ư÷
= çççè - + - + - + - ÷÷÷ø ỉ ư÷
= çççè - ÷÷÷ø
Từ đĩ suy ra:
17 1 1
3 7 49 17 13 1 1 13
3 7 49 A
B
ỉ ư÷ ç - ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
= ỉç -ççè ư÷÷÷÷ø=
Vậy
17 13 A B =
.
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: 2 3 4 199 200
1 1 1 1 1 1
1 ...
3 3 3 3 3 3
A = + - + - + + -
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2018-2019) Lời giải:
Ta có:
2 3 198 199
1 1 1 1 1
3 3 1 ...
3 3 3 3 3
A = + - + - + + -
2 3 198 199 2 3 4 199 200 200
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 1 ... 1 ... 5
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A A+ = + -æçççè + - + + - ö æ÷÷÷÷ø è+ + -ççç + - + - ö÷÷÷÷ø= -
200 200
1 1
4 5 5 : 4
2 2
A = - Þ A = -æçççè ö÷÷÷÷ø
Bài 12: Tính tỉ số A B biết:
4 6 9 7
7.31 7.41 10.41 10.57
A = + + +
và
7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
B = + + +
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Phú Xuyên năm học 2018-2019) Lời giải:
Ta có:
4 6 9 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 35.31 35.41 50.41 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57
A = + + + = - + - + - + - = -
7 5 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 38.31 38.43 46.43 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57
B = + + + = - + - + - + - = -
5
5 2 2
A B A
Þ = Þ B = .
Bài 13: Tính tổng
11 19 29 41 55 71 89 109 1 6 12 20 30 42 56 72 90 S
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Gia Lộc năm học 2018-2018) Lời giải:
11 19 29 41 55 71 89 109 1 6 12 20 30 42 56 72 90 S
5 7 9 11 13 15 19 19
1 1 1 1 1 1 1 1 1
6 12 20 30 42 56 72 90
S 5 7 9 11 13 15 17 19
1 6 12 20 30 42 56 72 90 S
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 S
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 4 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 2 10 5 S
Vậy 3 S =5
.
Bài 14: Tính tổng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 7 9 19
1 .2 2 .3 3 .4 4 .5 ... 9 .10
S
( Trích đề HSG Toán 6 Ninh Bình năm học 2018-2019).
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 3 2 4 3 5 4 10 9
1 .2 2 .3 3 .4 4 .5 ... 9 .10
S
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 99
... 1
1 2 2 3 3 4 9 10 100 100
S
Vậy
99 S =100
.
Bài 15: Hãy so sánh:
1 1 1
124 ...
1.1985 2.1986 16.2000
A
và
1 1 1
1.17 2.18 ... 1984.2000
B
( Trích đề HSG Toán 6 huyện Ninh Giang năm học 2018-2019).
Lời giải:
Ta có:
1 1 1
124 ...
1.1985 2.1986 16.2000
124 1 1 1
1 ...
1984 1985 16 2000
1 1 1 1 1 1
1 ... ...
16 2 16 1985 1986 2000
A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ... ... ...
16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 1986 2000
B
1 1 1 1 1 1
1 ... ...
16 2 16 1985 1986 2000
B A Vậy A B .
HẾT