Câu 30: [2D1-3] Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
3 6 2 2
1 2
x x mx
y
luôn đồng biến
trên khoảng
1;3 là :A. 8. B. 9. C. 10. D.Vô số.
Lời giải Chọn B.
2
1 3 6 2 2 1' 3 12 ln
2 2
x x mx
y x x m
Hàm số đồng biến trên
1;3 khi y' 0 x
1;3
2 2
1;3
3x 12x m 0 x 1;3 m 3x 12x g x x 1;3 m min g x
Mà g x'
6x12 0 x 2
1;3Lại có
lim1 9
x g x
;
lim3 9
x g x
; g
2 12Do đó m9
Các giá trị nguyên dương của m là 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Vậy có 9 số.
Câu 31: [2D1-3] Cho hàm số y f x
có đạo hàm f x
x x2
9
x4
2.Xét hàm số
2y g x f x
trên . Trong các phát biểu sau:
I. Hàm số y g x
đồng biến trên khoảng
3;
.II. Hàm số y g x
nghịch biến trên khoảng
; 3
.III. Hàm số y g x
có 5 điểm cực trị.IV.
9Min g xx f
.
Số phát biểu đúng là:
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lời giải Chọn C.
Ta có y g x
f x
2
2y g x f x 2 .x x x4
29
x24
2 2x x5
3
x3
x2
2 x2
2Khi đó
0 2
0 3
2 3 x x
g x x
x x
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y g x
đồng biến trên khoảng
3;
, hàm số y g x
nghịch biến trên khoảng
; 3
,hàm số y g x
có 3 điểm cực trị và
9Min g xx f
.
Câu 32: [2D4-3] Cho hai số phức z1, z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M1, M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x2 y2 1 và z1z2 1
. Tính giá trị biểu thức P z1z2 .
A .
3 P 2
. B. P 2. C.
2 P 2
. D. P 3.
Lời giải Chọn D.
Cách 1: Do M1, M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x2y2 1 nên z1 z2 1. Lại có: z1z2 1 z1z22 1
z1z2
z1z2
1
z1z2
z1z2
1
1 1. 1. 2 1. 2 2. 2 1
z z z z z z z z
z12 z2 2
z z1. 2z z1. 2
1z z1. 2z z1. 2 1.2 2
1 2
P z z
z1z2
z1z2
z1z2
z1z2
z12 z2 2
z z1. 2z z1. 2
3.Vậy P 3.
Cách 2: Do M1, M2 cùng thuộc đường tròn
T tâm O
0;0 , bán kính R1 và z1z2 1 nên M M1 2 1. Suy ra OM M1 2 là tam giác đều cạnh bằng 1.1 2
P z z =OM 1OM2 2OH 2. 2. 3 3 OH 2
( Trong đó H là trung điểm M M1 2)
Câu 33: [2D3-3]Cho
1
0
8 2
3 3
2 1
dx a b a
x x
, a b, *. Tính a2bA . a2b7. B. a2b8. C. a2b1. D.a2b5. Lời giải
Chọn B.
Theo giả thiết ta có:
1 1
0 0
2 1
2 1
dx x x dx
x x
23
x2
32 x1
3210 2 3 8 2 23 3
. Do đó a2;b3 nên a2b8.
Câu 34: [2D2-3] Cho phương trình 25x-
(
m+2 .5)
x+2m+ =1 0 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên mÎ[
0;2018]
để phương trình có nghiệm?A. 2015. B. 2016. C. 2018. D. 2017.
Lời giải Chọn B.
Đặt t=5 ,x t>0.
Phương trình trở thành: t2-
(
m+2)
t+2m+ =1 0 Û t2- 2t+ -1(
t- 2 .)
m=02 2 1
( )
2 1 t t
t m - +
Û =
- (do t=2 không là nghiệm của phương trình)
Xét hàm số
( )
2 2 12 t t f t t
- +
= - trên ¡ \ 2 .
{ }
Có
( ) ( )
2 2
4 3
2 t t
f t t
- +
¢ = -
,
( )
0 13 f t t
t é=ê
¢ = Û ê=ë Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên: Phương trình đã cho có nghiệm Û phương trình
( )
1 có nghiệm t>0 40 m m é ³ê Û ê £ë
Kết hợp điều kiện mnguyên và mÎ
[
0; 2018]
Þ mÎ{
0; 4; 5;...; 2018}
Vậy có 2016 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 35: [2H3-2] Trong không gian tọa độ Oxyz, cho M
2;0;0
, N
1;1;1
. Mặt phẳng
P thay đổiqua M N, cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại B
0; ;0b
, C
0;0;c
b0,c0
. Hệ thức nào dưới đây là đúng?A. bc2
b c
. B. bc 1 1b c . C. b c bc . D. bc b c .Lời giải.
Chọn A.
Ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm M B C, , là
12
x y z P b c
.
Lại có N
1;1;1
thuộc mặt phẳng
P nên ta được1 1 1 2 b c 1
. Hay bc2
b c
.Câu 36: [2D5-3] Cho hai số phức ,z thỏa mãn z 1 z 3 2i ; z m i với m là tham số. Giá trị của m để ta luôn có 2 5 là:
A.
7 3 m m
. B.
7 3 m m
. C. 3 m7. D. 3m7. Lời giải
Chọn B.
Đặt z a ib a b , ,
có biểu diễn hình học là điểm M x y
;
1 3 2
z z i x 1 iy x 3
y2
i
x1
2 y2
x3
2 y2
22x 1 6x 9 4y 4
2x y 3 0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng : 2 x y 3 0. Ta có: 2 5 z m i 2 5 x m
y1
i 2 5
x m
2 y 1
2 2 5 MI 2 5 với I
m; 1
.Mà ta có MI d I
,
Nên MI 2 5 d I
,
2 5 2m54 2 5 2m 4 102 4 10
2 4 10
m m
3 7 m m
.
Câu 37: [2H3-3] Trong không gian hệ trục Oxyz cho tam giác ABC có A
1;0; 1
,B
2;3; 1
,
2;1;1
C .Phương trình đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC và vuông góc với mặt phẳng
ABC
là:A.
3 3 5
3 1 5
x y z
. B.
2
3 1 5
x y z
. C.
1 1
1 2 2
x y z
. D.
3 2 5
3 1 5
x y z
.
Lời giải Chọn A.
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Ta có AB 10,AC 14,BC 24 ABC vuông tại A.
Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC I là trung điểm BC I
0; 2;0
. Mặt phẳng
ABC
có VTPT n AB AC,
3; 1;5
. Do d
ABC
VTCP của d là: u n
3; 1;5
.Vậy phương trình đường thẳng d là:
3 3 5
3 1 5
x y z
.
Câu 38: [1D1-3]Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn
0;10
của phương trình sin 22 x3sin 2x 2 0.A.
105 2
. B.
105 4
. C.
297 4
. D.
299 4
. Lời giải
Chọn A.
Ta có
2 sin 2 1
sin 2 3sin 2 2 0
sin 2 2(VN) x x x
x
Với
sin 2 1 2 2
x x 2 k 4 ,
x k k
Vì nghiệm thuộc đoạn
0;10
nên tổng các nghiệm là:3 3 3 105
... 9
4 4 4 2
S . Câu 39: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC A B C. có thể tích bằng 6a3. Các điểm M , N , P lần lượt
thuộc các cạnh AA, BB, CC sao cho
1 2 AM AA
,
2 3 BN CP BB CC
. Tính thể tích V của khối đa diện ABCMNP.
A.
11 3
V 27a
. B.
9 3
V 16a
. C.
11 3
V 3 a
. D.
11 3
V 18a . Lời giải
Chọn D.
Q P
N M
A C
B
A'
B'
C'
Gọi Q là điểm thuộc cạnh AAsao cho
2 3 AQ AA
1 MQ 6AA
1
MNPQ 18
V V
.
.
2
ABC NPQ 3
V V
; . .
2 1 11
3 18 18
ABC MNP ABC NPQ MNPQ
V V V V V V
.
Câu 40: [2D3-4] Cho hàm số f x
xác định trên \
2;1
thỏa mãn '
2 1f x 2
x x
,
3
3 0f f và
0 1f 3
. Giá trị biểu thức f
4 f
1 f
4 bằng:A.
1 1
3ln 23
. B. ln 80 1 . C.
1 4
ln ln 2 1
3 5
. D.
1 8
ln 1 3 5
. Lời giải
Chọn A.
Ta có
22 f x dx
x x
13
x11 x12dx 13ln xx12 C.
Do hàm số f x
không xác định tại x1;x 2
1
2
3
1 1
ln 2
3 2
1 1
ln 2 1
3 2
1 1
ln 1
3 2
x C khi x x
f x x C khi x
x
x C khi x x
3
3 0f f 1 1 1 2 3
ln 4 ln 0
3 C 3 5 C
1 3 1
3ln10 C C
.
0 1f 3 1 2 1
3ln 2 C 3
2 1 1
3 3ln 2
C .
4
1
4f f f 1 5 1 1 2 1 1 3
ln ln 2 ln
3 2 C 3 C 3 2 C
1 5 2 2 1 3
ln ln 2
3 2 3 C C C
1 5 2 1 1 1
ln ln 2 ln 2 ln10
3 2 3 3 3 3
1 1 5 1
ln .4.2.
3 3 2 10
1 1ln 2
3 3
.
Câu 41: [1H3-3] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB2a, SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Cosin góc giữa hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
bằngA.
2
2 . B.
2
3 . C.
2
4 . D.
2 5 . Lời giải
Chọn C.
Gọi I AD BC .
Ta có BD AD BD
SAD
BD SA
BDSI
Kẻ DESI (E SI ), ta có SI BD SI
BDE
SI DE
SIBE và SI DE
Ta có
, ,
SI BE SI SBC SI DE SI SAD
SBC SAD SI
, suy ra góc giữa
SAD
và
SBC
là
DE BE,
DEBXét SIA vuông tại A có
3
sin 7
AIS SA
SI .
Mà
3
sin sin
7
DE a
AIS DE DI AIS
DI tan BD 7
DEB ED
.
Mặt khác, ta có
2
2
1 1
cos DEB 1 tan 8
DEB
cos 2 DEB 4
.
Câu 42: [1H3-3] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng
SAB
, SAC
cùng vuông góc với đáy
ABCD
và SA2a. Tính cosin của góc giữa SB và mặt phẳng
SAD
.A.
5
5 . B.
2 5
5 . C.
1
2. D. 1.
Lời giải Chọn B.
Ta có:
SAB
ABCD
, SAC ABCD SA
ABCD
SAB SAC SA
Lại có:
( do )
AB AD
AB SAD AB SA SA ABCD
Khi đó SA là hình chiếu của SB lên
SAD
SB SAD,
SB SA,
BSA ( do BSA 90o ) 2 2
2 2
cos 4 5
SA a
BSA SB a a
.
Câu 43: [2D2-3]Cho dãy số
unthỏa mãn ln2u6 lnu8 lnu41 và un1u en. với mọi n1. Tìm u1
A. e. B. e2. C. e3. D. e4.
Lời giải Chọn D.
Do un1u en. nên
un là cấp số nhân công bội q e .Ta có : ln2u6lnu8 lnu4 1ln2
u e1. 5
ln
u e1. 7
ln
u e1. 3
1
5 lnu1
2 7 lnu1
3 lnu1 1 ln2u18lnu116 0
4
1 1
lnu 4 u e
.
Câu 44: [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn
1 1
3 2
z z i
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 4 7
P z i z i
A. 20 . B. 10 . C. 12 5 . D. 4 5 .
Lời giải Chọn A.
Gọi z x yi ,
x y,
.Ta có
1 1
3 2
z z i
2 z 1 z 3i 2
x1
2y2 x2
y3
22 2 4 6 7 0
x y x y
.
Lại có P z i 2 z 4 7i x2
y1
2 2
x4
2 y7
24x 8y 8 2 4x 8y 72
.
Mặt khác
4x8y 8 2 4x 8y72
2 5.80 4x8y 8 2 4x 8y72 20Suy ra P20.
Câu 45: [2D1-3] Cho hàm số y ax 3bx2cx d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn x1
1;0
, x2
1;2 . Biết hàm số đồng biến trên khoảng
x x1; 2
. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d0. C. a0,b0,c0,d0. D. a0,b0,c0,d 0.
Lời giải Chọn A.
Vì hàm số hàm số y ax 3bx2cx d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 và hàm số đồng biến trên khoảng
x x1; 2
nên suy ra a0.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d 0.
Ta có y 3ax22bx c . Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn x1
1;0
,
2 1;2
x
nên suy ra y 0 có hai nghiệm trái dấu ac 0 c 0.
Mặt khác x1
1;0
, x2
1; 2nên x1x2 0 2 3 0 b
a
0
b . Vậy a0, b0, c0, d0.
Câu 46: [2D1-3] Cho hàm số y f x
xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau f x
0, x , f x
e fx. 2
x , x và
0 1f 2
. Phương trinh tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 ln 2 là:
A. 2x9y2 ln 2 3 0 . B. 2x9y2ln 2 3 0 . C. 2x9y2 ln 2 3 0 . D. 2x9y2 ln 2 3 0 .
Lời giải Chọn A.
Ta có f x
e fx. 2
x 2
xf x e f x
ln 2 ln 2
2
0 0
d xd
f x x e x f x
ln 2
ln 200
1 x
f x e
1ln 2
1
0 1f f
ln 2
1f 3
.
Vậy f
ln 2
eln 2.f2
ln 2
1 2
2. 3
2 9
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2
ln 2
19 3
y x
2x 9y 2ln 2 3 0
.
Câu 47: [2H3-2] Trong không gian Oxyz cho các điểm A
1;2;3 ,
B
2;1;0 ,
C
4; 3; 2 ,
D
3; 2;1 ,
1;1; 1
E
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?
A. 1. B. 4. C. 5. D. không tồn tại.
Lời giải Chọn C.
Ta có: AB
1; 1; 3
DC. Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.Lại có: AB AC AE, . 0
. Suy ra 5 điểm trên tạo thành hình chóp tứ giác .E ABCD có đáy là hình bình hành.
Do đó các mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán gồm có:
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AE và song song với mặt phẳng
ABCD
.+) Mặt phẳng đi qua tâm I của hình bình hành ABCD và lần lượt song song với các mặt bên.
Suy ra chọn đáp án C.
Câu 48: [2D3-3] Cho hàm số y f x
0 xác định, có đạo hàm trên đoạn
0;1 và thỏa mãn:
2
0
1 2018 d , .
x
g x
f t t g x f xTính
1
0
d . g x x
A.
1011.
2 B.
1009.
2 C.
2019.
2 D. 505.
Lời giải Chọn A.
Ta có g
0 1
0
1 2018 d
x
g x
f t t
' 2018 2018
g x f x g x
' 2018
g x
g x
0 0
' 2018 d .
t g x t
dx x
g x
2 g t 1 2018t
g t
1009t1 1
0
1011 g t dt 2
.
Câu 49: [1D2-4] Có 12 người xếp thành hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác suất để 3 người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau
A.
21
55 . B.
6
11 . C.
55
126 . D.
7 110 . Lời giải
Chọn B.
Ta có n( ) C123 .
Giả sử chọn 3 người trong hàng có thứ tự lần lượt là a b c, , .
Theo giả thiết ta có a b c ; b a 1;c b 1;a b c, ,
1;2;3;...;12
.Đặt aa b; b 1;c c 2. Suy ra a b c b ; a 1;c b 1;1 a b c c 2 10.
Vậy a b c , , là ba số bất kì trong tập hợp
1;2;3;...;10
có C103 cách chọn n A
C103 .Vậy 123
(A) 120 6
( ) ( ) 11
P A n
n C
.
Câu 50: [2H3-4] Cho ,x y là các số thực dương thay đổi. Xét hình chóp .S ABC có SA x BC , y các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích .S ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích xy bằng :
A.
4
3 B.
4 3
3 . C. 2 3 . D.
1 3 . Lời giải
Chọn A.
Gọi M N, lần lượt là trung điểm BC SA, . Ta có BC (SAM).
Kẻ SH AM tại H SH (ABC).
2
1 2
1 4
4 2
AM y y
Tam giác MAS cân tại M.
nên
2 2
2 2
1 1 4
4 4 2
y x
MN x y .
2 2
1 1 1 1
. . 4 4
2 2 2 4
SABC BC AM y y y y .
2 2
2
. 4
. . .
4
x x y
MN SA SH AM MN SA SH
AM y
.
2 2
2 2 2
2
. 4
1 1 1 1
.SH . 4 4
3 3 4 4 12
SABC ABC
x x y
V S y y xy x y
y
.
2 2 2 2 3
2 2 2 2
1 1 4 2 3
(4 )
12 12 3 27
x y x y
x y x y
.
max
2 3 V 27
khi
2 2 2 2 2 3
4 3
x y x y x y
. Vậy 4 xy3
.