ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

(1)

Đáp án Toán cao cấp A1-HKII 1819

Trang 1

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BỘ MÔN TOÁN

ĐÁP ÁN TOÁN A1 HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 -2019

Ngày thi: 31/5/2019

Câu Đáp án Điểm

I -1

Với 2 3 3 2

z = + i , ta có 4 4 3

3 4 3

r = + = ,

cos 1 2

3 3

sin 2

  



 =

  =

 =



Biểu diễn lượng giác của ⁴

256 4 4

cos sin

9 3 3

z =    + i   

 

0.75

0.25 I - 2

( ) ( ) ( )

( )

0 0

0

9 3

lim lim

sin 2 sin 2 9 3

1 1

lim 2 9 3 12

x x

x

x x

x x x

x

+ +

+

→ →

→

+ − =

+ +

= =

+ +

0.5

0.5 II - 1 Hàm số khả vi tại 0 f liên tục và có đạo hàm hữu hạn tại 0.

( ) ( ) ( )

( )

0 0

2

0 0 0

lim lim 1 , 0 .

lim lim tan lim tan 0.

x x

x x x

f x a x b b f b

f x x x

x

− −

+ + +

→ →

→ → →

 = − + = =



= = =



Hàm f liên tục tại 0

( ) ( )

0

lim 0 0

x f x f b

 → =  = .

Hàm f có đạo hàm tại0



( )

2

0 0

tan 0

1 0

lim 1 lim 1 2.

0 0

x x

x

a x a x a

x x

− +

→ →

− − −

= − = =  =

− −

Vậy hàm khả vi tại 0 a=2,b=0.

0.5

1.0

II - 2

Thể tích hộp: ² 300₂

300

V r h h



r

= =  =



, (r 0,h0)

Chi phí in nhãn hộp: 600 900000

2 rh 1500 1500

r r



 =  =

Chi phí làm vỏ hộp:

(

² ^rh ² ^r²

)

¹⁰⁰⁰ ⁶⁰⁰⁰⁰⁰ ²⁰⁰⁰ ^r²



+



 = r +



Tổng chi phí: ^{C r}

( )

^1500000 ²⁰⁰⁰ ^r²

r



= +

( ) 1500000

₂ ³

375

' 4000 0 4.9237

C r r r

r 



= − + =  = 

(cm).

0.25

0.5

0.25

(2)

Trang 2 Vậy cần thiết kế hộp với bán kính ³

375

, 3.939

r h

=  

.

r

0 ³

375





( )

'

C r - 0 +

( )

C r

 

456971,0839 III - 1

2 2

0 0

cos cos

lim

sin ^t _t sin

x x

I dx dx

x x

 

→ +

=



=

 .

Đặt u=sin ,x du=cosxdx, khi đó

1 1

0 0 sin 0

sin

lim lim 2 lim 2 2 sin 2.

t t t t

t

I du u t

+ u + +

→ → →  

=



= =  − =

0.25 0.25

0.5 III - 2

2

( )

6

2

1

2

x dx f x dx

x

+ +

− =

 

( )

₆² ²₆

1 ( ) 0

1

x x

f x g x

x x x

= = = 

− , ( )

( )

3

lim lim 6 1

x x 1

f x x

g x x

→+ = →+ =

−

.

Vì

2

1 dx x

+

 phân kỳ ( 

⁼¹

), nên

2 6

2

1

x dx x

+

 − phân kỳ theo t/c so sánh 2.

0.5

0.5 IV - 1

2 2

1 1 1 1 1

3 1 1

.3 .3

k

k k

k k k k k

k a b

k k k

+ + + + +

= = = = =

+ = + = +

    

Chuỗi – p: ₂

1 1

1

k

k k

a k

+ +

= =

 = 

hội tụ với p= 2 1 (hoặc hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân).

Chuỗi

1 k k

b

+



= hội tụ theo tiêu chuẩn tỉ số

( .3 )

¹

1

lim 1

1 3 3

k k k

k

⁺

→+

 

 =  

 + 

 

^.

Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

0.25

0.25 IV – 2

Đặt ( )

0 0

2 1

, , 2.

2 1 2 1

k

k k

x a X a X x

k k

+ +

= =

+ = = = +

+ +

 

1

2 1

lim lim 1

2 3

k

k k

k

a k



⁺

→+ →+

= = + = 

+

bán kính hội tụ R=1. Chuỗi lũy thừa

0 k k k

a X

+



= hội tụ với mọi ^X^{ −}

(

^1,1

)

^.

Với X = −1:chuỗi lũy thừa trở thành chuỗi số đan dấu

( )

0

1 2 1

k

+

=

−

 +

, chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz .

0.25

(3)

Trang 3 Với X =1: chuỗi lũy thừa trở thành

0

1 2 1

k

+

=

+



, chuỗi này phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân (hoặc tiêu chuẩn so sánh.)

Vậy chuỗi

0 k k k

a X

+



= ^{hội tụ}^{  −}^X ^{[ 1,1)} suy ra miền hội tụ của

( )

0

2 2 1

k

x k

+

=

+

 +

^là [ 3, 1)− − .

0.25

0.25 IV – 3

( )

⁰

0

1 1

2 1

a f x dx dx xdx

 



₋



₋



 

= =  +  = +

 

  

( )

0

0 0

2 2

0 0

1 1

cos cos 2 cos

2 1 1

sin 2 2

sin cos

n

a f x nxdx nxdx x nxdx

nx x

nx nx

n n n n

 



 

   

− −

−

 

= =  + 

 

 − − 

 

= + + =

  

( )

( )  

0

0 0

2

0 0

1 1

sin sin 2 sin

1 1 2 1

cos 2 2

cos sin

n

b f x nxdx nxdx x nxdx

nx x

nx nx

n n n n

 



 



   

− −

−

 

= =  + 

 

− − −

= − − + =

  

Vậy khai triển Fourier của hàm số ^{f x}

( )

^là:

( )

⁰

( )

1

cos sin ,

2

n ⁿ ⁿ

f x a a nx b nx



=

= +  +

^với^{a a b}⁰^, ⁿ^, ⁿ xác định như trên.

0.25

Hết