Bài 9. Độ dài đường tròn, cung tròn.
Bài 52 trang 109 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho hai đường tròn bán kính lần lượt R = 1km và r = 1m. Nếu độ dài mỗi đường tròn ấy đều tăng thêm 1m thì bán kính của mỗi đường tròn tăng thêm bao nhiêu ? Hãy giải thích.
Lời giải:
Gọi bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính R là a, phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính r là b. Khi độ dài mỗi đường tròn tăng thêm 1m, ta có:
12 R a 2 R 1 2 a 1 a
2
(m)
12 r b 2 r 1 2 b 1 b
2
(m) Vậy bán kính mỗi đường tròn đều tăng thêm 1
2 (m).
Bài 53 trang 109 SBT Toán lớp 9 tập 2: Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp:
a) Một lục giác đều có cạnh là 4cm;
b) Một hình vuông có cạnh là 4cm;
c) Một tam giác đều có cạnh là 6cm.
Lời giải:
a)
Cạnh lục giác đều nội tiếp trong đường tròn (O; R) bằng bán kính R. Vì cạnh lục giác đều là 4cm nên AB = 4cm
Xét tam giác OAB có:
OA = OB (cùng bằng R)
o
360 o
AOB 60
6
Do đó, tam giác OAB đều
R OA OB AB 4cm
Chu vi đường tròn là:
C 2 R 2 .4 8 (cm) b)
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có đường kính là đường chéo của hình vuông Độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng 4cm là:
2 2 2 2
AC AB BC 4 4 4 2 (cm) (định lí Py-ta-go) Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông là:
R 4 2 2 2
2 (cm)
Chu vi đường tròn là: C 2 R 2 .2 2 4 2 (cm) c)
Vì tam giác đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm ba đường trung trực cũng là giao điểm ba đường cao, ba đường trung tuyến nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng 2
3 đường cao của tam giác đều
Xét tam giác AHB vuông tại H (do AH là đường cao)
o 3
AH AB.sin B 6.sin 60 6. 3 3
2 (cm)
Bán kính 2 2
R AH .3 3 2 3
3 3
(cm)
Chu vi đường tròn là: C 2 R 2 .2 3 4 3 (cm).
Bài 54 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Xích Đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 000 km . Hãy tính bán kính của Trái Đất.
Lời giải:
Gọi bán kính trái đất là R (km)
Do đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 000 km nên ta có:
40000 40000
2 R 40000 R 6369
2 2.3,14
(km).
Bài 55 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Mát-xcơ-va có vĩ độ là 56° Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Mát-xcơ-va đến Xích đạo, biết rằng mỗi kinh tuyến là một nửa đường tròn lớn của Trái Đất, có độ dài khoảng 20 000 km.
Lời giải:
Ta có: Cung 180° (một nửa đường tròn lớn) có độ dài bằng 20 000 km nên ta có độ dài cung 56° là: 20000.56
l 6222
180 (km)
Vậy Mát-xcơ-va cách xích đạo khoảng 6222 km.
Bài 56 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Hãy so sánh độ dài ba đường cong a, b, c trong hình 6.
Lời giải:
Đường cong a là nửa đường tròn đường kính 12cm nên có độ dài là: 1 1
l .12 6
2 (cm)
Đường cong b gồm ba nửa đường tròn có đường kính 4cm nên có độ dài là:
2
l 3.1 .4 6
2 (cm)
Đường cong c gồm hai nửa đường tròn có đường kính 6cm nên có độ dài là:
3
l 2.1 .6 6
2 (cm) Vậy ba đường cong có độ dài bằng nhau.
Bài 57 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Các tam giác trong hai hình quả tim dưới đây đều là tam giác đều. Biết AB = CD = 8cm. Tính chu vi của mỗi hình quả tim.
Lời giải:
*Hình 7 có hai nửa đường tròn đường kính 4cm và có bốn cung có độ dài là 1
6 đường tròn có bán kính 4cm .
Cung AmI là nửa đường tròn đường kính 4cm, gọi độ dài cung này là l , có hai cung 1 như thế: 1 1
l .4 2
2 (cm) Cung AnJ là cung 1
6 đường tròn bán kính 4cm (trên hình 7 có bốn cung bằng nhau, vì bốn đường tròn đó có cùng bán kính)
Gọi cung AnJ có độ dài 2 1 4 l .2 .4
6 3
(cm)
Chu vi hình 7 là: 1 2 4 28
2l 4l 2 .2 .4
3 3
(cm)
8Hình 8 có hai nửa đường tròn đường kính 4cm và hai cung 1
6 đường tròn bán kính 8cm Cung CpS là cung nửa đường tròn đường kính 4cm có độ dài 1 1
l ' . .4 2
2 (cm) Cung CqT là cung 1
6 đường tròn bán kính 8cm có độ dài 2 1 8 l ' .2 .8
6 3
(cm)
Chu vi hình 8 là: 1 2 8 28
2l ' 2l ' 2.2 2.
3 3
(cm).
Bài 58 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Vẽ hình quả trứng (hình dưới 9) với AB = 3cm. Nêu cách vẽ. Tính chu vi của hình quả trứng đó.
Lời giải:
Cách vẽ:
- Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm
- Vẽ đường tròn tâm A bán kính 3cm - Vẽ đường tròn tâm B bán kính 3cm
- Đường tròn (A) và đường tròn (B) cắt nhau tại C và D
-Vẽ cung tròn tâm C bán kính 6cm cắt đường tròn (A) và (B) tại F và H -Vẽ cung tròn tâm D bán kính 6cm cắt đường tròn (A) và (B) tại E và G Tính chu vi:
Theo cách vẽ, ta có:
Tam giác ABD có: AB = AD = BD = 3cm Do đó, tam giác ABD đều
Tam giác ACB có: AC = AB = BC = 3cm Do đó, tam giác ACB đều
Do đó ta có: CAD CBD 120 o; FmEHG; FnHEG Cung FmE bằng 1
3 đường tròn bán kính 3cm nên có độ dài là:
1
l 1.2 .3 2
3 (cm) Cung FnH bằng 1
6 đường tròn bán kính 6cm nên có độ dài là:
2
l 1.2 .6 2
6 (cm)
Chu vi quả trứng là: 2l12l22.22.2 8 (cm).
Bài 59 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Tính độ dài cung 36°45' của một đường tròn có bán kính là R.
Lời giải:
Đổi
o
o 147
36 45'
4
Ta có:
R147
Rn 4 49
l R
180 180 240
.
Bài 60 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho tam giác cân ABC có B 120 o , AC = 6cm. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Lời giải:
Xét đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
Do tam giác ABC cân có B 120 o nên tam giác ABC cân tại B
o o
180 120 o
A C 30
2
Kẻ BH vuông góc với AC tại H
Do đó, BH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến Do đó, H là trung điểm của AC
1 1
AH HC AC .6 3
2 2
(cm)
Xét tam giác BHA vuông tại H có:
o
AH 3 3
AB 2 3
cos A cos30 3 2
(cm)
Xét đường tròn (O) có:
C 1AOB
2 (hệ quả góc nội tiếp)
o o
AOB 2C 2.30 60
OA = OB (cùng bằng bán kính) Do đó, tam giác OAB đều
R OA OB AB 2 3
Độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: C 2 R 2 .2 3 4 3 (cm).
Bài 61 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Trong dân gian Việt Nam có lưu truyền quy tắc sau đây để tìm đường kính khi biết độ dài đường tròn: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”, tức là chia đường tròn thành 8 phần, bỏ đi 3 phần, còn lại 5 phần, lại chia đôi.
a) Theo quy tắc đó thì được lấy đúng là bao nhiêu?
b) Hãy áp dụng quy tắc trên để tính đường kính của một thân cây gần tròn bằng cách dùng dây quấn quanh thân cây.
Lời giải:
a)
Gọi C là độ dài đường tròn, d là đường kính C
d Theo quy tắc trên ta tìm được đường kính d như sau:
Lấy C chia làm 8 phần, bỏ đi 3 phần và phần còn lại chia 2
Ta có: 3C 5C 5C
d C : 2 : 2
8 8 16
C C
5C 3,2 d
16
.
Vậy theo quy tắc trên thì π được lấy gần đúng 3,2.
b)
Lấy dây quấn quanh thân cây được độ dài đường tròn là C là chu vi thân cây.
Do đó, đường kính thân cây là: 5C 16 .
Bài 62 trang 110 SBT Toán lớp 9 tập 2: Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo gần tròn. Giả thiết quỹ đạo này tròn và có bán kính khoảng 150 triệu kilomet.
Cứ hết một năm thì Trái Đất quay được một vòng quanh Mặt Trời. Biết một năm có 365 ngày, hãy tính quãng đường đi được của Trái Đất sau một ngày (làm tròn đến 10000km).
Lời giải:
Quãng đường đi của Trái Đất trong một năm là:
2 R 2. .1500000002.3,14.150000000 942000000 (km) Quãng đường đi của Trái Đất trong một ngày là:
942000000
2580821 2580000
365 (km).
Bài tập bổ sung
Bài 9.1 trang 111 SBT Toán lớp 9 tập 2: Tính chu vi của hình bên biết OA = OB = R
> 0 (h.bs.5).
Lời giải:
Hình đó gồm một nửa đường tròn bán kính 3R và ba nửa đường tròn bán kính R
Chu vi của hình đó là:
1 1
l .2 .3R 3. .2 .R 6 R
2 2
.
Bài 9.2 trang 111 SBT Toán lớp 9 tập 2: Tính chu vi của hình cánh hoa, biết OA = R (h.bs.6).
Lời giải:
Hình vẽ có sáu cung tròn bằng nhau có bán kính bằng R
Cung BOF của đường tròn (A; R) Cung AOC của đường tròn (B; R) Cung BOD của đường tròn (C; R) Cung COE của đường tròn (D; R) Cung DOF của đường tròn (E; R) Cung EOA của đường tròn (F; R)
Vì ABCDEF là lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm O Nên AB = BC = CD = DE = EF = FA
Từ đó ta có các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA bằng nhau (cạnh – cạnh – cạnh)
o
360 o
AOB BOC COD DOE EOF FOA 60
6
Vì OA = OB và AOB 60 o nên tam giác AOB đều Vì OA = OF và AOF 60 o nên tam giác AOF đều
o o o
BAF BAO FAO 60 60 120
sđBOF 120 o
Chu vi một cánh hoa là: R.120 2 R
l 180 3
Chu vi cánh hoa là: 2 R
.6 4 R 3
.
