Chuyên đề thể tích khối đa diện – Nguyễn Văn Thân - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

VẤN ĐỀ 1: ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hê ̣ thức lượng trong tam giác vuông

Cho DABC vuông ta ̣i A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:

2/ Các hê ̣ thức lượng trong tam giác bất kỳ a) Đinh lı̣ ́ hàm số cosin

b) Đinh lı̣ ́ hàm số sin

c) Công thức tı́nh diên tı̣ ́ch của tam giác

d) Công thức tı́nh độ dài đường trung tuyến của tam giác

. .

.

A

B C R

sin sin sin 2

a b c

A= B = C = R

(R là bán kı́nh đường tròn ngoa ̣i tiếp ABC)

c b a

A

B C

b c

a

 1 1 1

. . .

2 2 2

ABC a b c

S_D = a h = b h = c h

 1 sin 1 sin 1 sin

2 2 2

S_DABC = ab C = bc A= ac B

 , .

ABC 4 ABC

S abc S p r

D = R D =

( )( )( ),

ABC 2

a b c S_D = p p-a p-b p-c æçççèp= + + ÷ö÷÷ø

p

– nửa chu vi

r

– bán kı́nh đường tròn nô ̣i tiếp R – bk đường ngoại nô ̣i tiếp

A

B C

b c

a

2 2 2

2 cos cos

2

2 cos cos

2

2 cos cos

2 b c a

a b c bc A A

bc a c b

b a c ac B B

ac a b c

c a b ab C C

ab + -

* = + -  =

+ -

* = + -  =

+ -

* = + -  =

A

B H M C

 ^BC² ⁼^AB²⁺^AC²

(

^Pitago

)

 AH BC. =AB AC.

 AB²=BH BC AC. , ² =CH CB.

 1₂ 1₂ 1₂ ²

, AH HB HC.

AH =AB +AC =

 2 AM =BC

A

B C

N K

M

2 2 2

2

2 4

AB AC BC

AM +

* = -

2 2 2

2

2 4

BA BC AC

BN +

* = -

2 2 2

2

2 4

CA CB AB

CK +

* = -

(2)

3/ Đi ̣nh lı́ Talet

4/ Diê ̣n tı́ch của đa giác

a/ Diê ̣n tı́ch tam giác vuông

Diê ̣n tı́ch tam giác vuông bằng ½ tı́ch 2 ca ̣nh góc vuông.

b/ Diê ̣n tı́ch tam giác đều

+ Diê ̣n tı́ch tam giác đều: . 3 S_D = 4

+ Chiều cao tam giác đều: . 3 h_D = 2

c/ Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông và hı̀nh chữ nhâ ̣t + Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông bằng ca ̣nh bı̀nh phương.

+ Đường chéo hı̀nh vuông bằng ca ̣nh nhân 2. + Diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t bằng dài nhân rô ̣ng.

d/ Diê ̣n tı́ch hı̀nh thang Diê ̣n tı́ch hı̀nh thang:

SHı̀nh Thang 1

=2.(đáy lớn + đáy bé) . chiều cao

e/ Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc + Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng ½ tı́ch hai đường chéo.

+ Hı̀nh thoi có hai đường chéo vuông góc nhau ta ̣i trung điểm của mỗi đường.

Lưu ý: Trong tı́nh toán diê ̣n tı́ch, ta có thể chia đa giác thành những hı̀nh đơn giản dễ tı́nh diê ̣n tı́ch, sau đó

cô ̣ng các diê ̣n tı́ch được chia này, ta được diê ̣n tı́ch đa giác.

VẤN ĐỀ 2: ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

1/ Chứng minh đường thẳngd // mp( )a a. Phương pháp 1: Chứng minh

( )

//

'

' ( ) ( )

( ) d d

d d mp

d

a a

a ìïïïïï Ì  íïïï Ë

ïïî

2 2

/ /

AMN ABC

AM AN MN

MN BC k

AB AC BC

S AM k

S AB

D D

*  = = =

æ ö÷

ç ÷

* =çççè ÷÷ø =

(Tı̉ diên tı̣ ́ch bằng tı̉ bı̀nh phương đồng dạng)

A

B C

N M

A C

B

1 .

ABC 2

S_D AB AC

 =

A B

C h

a

2 3

4 3 2

ABC

S a h a

ìïï D =

 íïïï ïï = ïïïî

A B

C D

a _O

2

2 SHV a

AC BD a

ì =

 íïïïïïïî = =

A

B H C

D

( )

.

2

AD BC AH

S +

 =

A

B

D

C _. 1

2 .

H Thoi

S AC BD

 =

(ca ̣nh)

²

đều

(ca ̣nh)

đều

(3)

b. Phương pháp 2: Chứng minh

( )

^// ^//

( ) ( )

( )

d b d mp

b a a ìĩ ỉĩĩ  ắĩĩĩî

c. Phương pháp 3: Chứng minh d_và( )a cùng vuông góc với mô ̣t đường thẳng hoă ̣c cùng vuông góc với mô ̣t mă ̣t phẳng.

2/ Chứng minh^mp^{( )}^a ^//^mp

( )

^b

a. Phương pháp 1: Chứng minh mp( )a chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với ^mp

( )

^b ^.

mp

( )a _và^mp

( )

^b cùng song song với 1 mă ̣t phẳng hoă ̣c cùng vuông góc với 1 đường thẳng.

3/ Chứng minh hai đường thẳng song song:

a. Phương pháp 1: Hai

mp

^{( ),}^{a b}

( )

có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song

a b

, _thı̀

( )

^{// //}

( )a đ b =Sx a b.

( ) ( )

//

( ) ( )

a mp

a mp a b

b a

b a b

ìĩĩĩĩĩ ỉ  ắĩĩĩ đ = ĩĩî

.

c. Phương pháp 3: Hai mă ̣t phẳng cùng song song với mô ̣t đường thẳng thı̀ giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

d. Phương pháp 4: Mô ̣t mă ̣t phẳng cắt hai mă ̣t phẳng song song theo giao tuyến song song.

e. Phương pháp 5: Hai đường thẳng cùng vuông góc với mô ̣t mă ̣t phẳng thı̀ song song với nhau.

f. Phương pháp 6: Sử du ̣ng phương pháp hı̀nh ho ̣c phẳng: Đường trung bı̀nh, đi ̣nh lı́ Talét đảo, Ẩ 4/ Chứng minh đường thẳng^d ^{^}^mp

( )

^a

a. Phương pháp 1: Chứng minh:

( )

, d a d b a b

a b mp a ìĩ ^ĩĩ

ĩ ^ĩĩ 

ắ đĩĩ ĩĩ ỉĩĩî

( )

d ^mp a

b. Phương pháp 2: Chứng minh:

( )

// ' ' d d d mp a

ìĩĩĩ 

ắĩ ^ĩĩî ^d ^{^}^mp

( )

^a

c. Phương pháp 3: Chứng minh:

( ) ( )

^//

( )

d mp

mp mp

b

b a

ìĩ ^ĩĩ 

ắĩĩĩî ^d ^{^}^mp

( )

^a

d. Phương pháp 4: Hai mă ̣t phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mă ̣t phẳng thứ 3 thı̀ giao tuyến của chúng vuông

góc với mă ̣t phẳng thứ 3:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P

P d P

d a

b a b ìĩ ^

ĩĩĩĩ ^  ^

ắĩĩĩ đ = ĩĩî

e. Phương pháp 5: Có hai mă ̣t phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mă ̣t phẳng này và vuông góc với giao

tuyến của 2 mặt phẳng, cũng vuông góc với mă ̣t phẳng kia:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

^a ^d

( )

d d a

a b

a b a b ìĩ ^ ĩĩĩĩ đ =

ĩ  ^

ắĩ ỉĩĩ ĩ ^ĩĩî 5/ Chứng minh đường thẳng

d

^

d

'

a. Phương pháp 1: Đường thẳng ^d ^{^}

( )

^a ^thì^d ^{^} tất cả các đường thẳng nằm trong ^mp

( )

^a ^.

(4)

b. Phương pháp 2: Sử du ̣ng đi ̣nh lý ba đường vuông góc.

c. Phương pháp 3: Chứng tỏ góc giữa

d

_và

d

' bằng90⁰. d. Phương pháp 4: Sử du ̣ng hı̀nh ho ̣c phẳng.

6/ Chứng minh^mp

( )

^a ^{^}^mp

( )

^b

a. Phương pháp 1: Chứng minh

( )

^d ^mp

( )

^mp

( )

d

a a b

b ìï É

ïï  ^

íï ^ïïî (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông

góc với mp kia)

b. Phương pháp 2: Chứng tỏ góc giữa hai mă ̣t phẳng bằng90⁰.

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH (Phần này cần nắm cho thật vững)

I. TÍNH GÓC

1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:

a. Cách 1: (theo phương pháp hình học)

+ Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0 + Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó:

  //

//

' ( , ) ( ', ') '

a a

a b a b

b b f

ìïï  = =

íïïî

(chú ý: Góc giữa hai đường thẳngchỉ lấy góc nhọn không lấy góc tù) b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ): ^{cos ,}

 

^{a b} ^{a b}

a b

 



 

  ^. 2. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

 

^P

Phương pháp xác định : + ^a^

   

^P ^ ^A

+ Trên đường thẳng a lấy điểm M bất kỳ.

+ Tìm điểm H là hình chiếu của M trên mp

 

^P ^^MH ^

 

^P

+ a P^;

 

^MAH

Chú ý: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng

 

^P ^và

 

^Q

Phương pháp :

+ Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng

 

^P ^và

 

^Q

+ Tìm 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng

 

^P ^và

 

^Q

đồng thời 2 đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng

 

^P ^và

 

^Q

+ Góc của 2 mặt phẳng

 

^P ^và

 

^Q là góc của 2 đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng

 

P và

 

Q Chú ý: 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0 II. TÍNH KHOẢNG CÁCH

1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :

Cách 1 :

+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .

 a

b '

a

' b

(5)

+ Xác định ^{m P}^

   

^ ^Q ^.

+ Dựng ^{MH m P}^{ }

   

^ ^Q ^,^^MH^

 

^P

Suy ra MH là đoạn cần tìm . Cách 2: Dựng ^{MH AK}^{/ /} ^

 

^P

Chú ý :

+ Nếu ^MA^{/ /}

 

^P ^^d^_^{M P}^,

 

^_ ^^d^_^{M P}^,

 

^_^.

+ Nếu ^MA^

 

^{P I}^

 

, ,

d M P IM d M P IA

 

 

 

 

 

2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:

+ Khi ^a^//

 

^P ^^d^_^{a P}^,

 

^_ ^^d^_^{A P}^,

 

^_^với^{A P}^

 

^.

+ Khi đường thẳng ^a^

 

^P ^hoặc^a^

 

^P thì khoảng cách bằng 0 3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :

+ Khi

   

^P ^// ^Q

d

__{   }_P _,_Q_

d

__{M Q}_,_{ }_

   

 

với

A    P

^.

+ Khi

   

^{   }^P ^,^Q ⁰

P Q

d

_ _

 

 

  

 

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a. Khi

   

^{   }^, ^'

' 0

'

d

__ _ _

 

   

  

  

 .

b. Khi

   

^{/ /} ^'

d

__{   }_ _, __'_

d

__M_,_{ }__'_

d

__N_,_{ }__

     

   



với ^M^{ }

 

^,^N^{ }

 

^' ^.

c. Khi hai đường thẳng chéo nhau :

+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

 

^ ^và

 

^^' là đường thẳng

 

^a ^cắt

 

^ ^ở^M^{và cắt}

 

^^' ^ở^N

đồng thời vuông góc với cả

 

^ ^và

 

^^' ^.

+ Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

 

^ ^và

 

^^' ^.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó .

Phương pháp :

+ Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P)

+ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .

+ Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .

* Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau : + Dựng

 

^P ^^{b P}^,

 

^//^a^.

+ Dựng ^{a hch}^'^

 

^P ^a, bằng cách lấy M a

+ Dựng đoạn ^MN^

 

^ , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a .

+ Gọi H a b ' , dựng HK MN//

HKlà đoạn vuông góc chung cần tìm ( Hay MN là đoạn vuông góc chung cần tìm) .

* Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì:

+ Dựng một ^{mp P}

 

^^{b P}^,

 

^^a^{tại H .}

+ Trong (P) dựng HK b tại K .

+ Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b .

VẤN ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT

(a)

'

M 

N

(6)

S

A

B

C O H

A

B C

D S

O H

I. HÌNH CHÓP ĐỀU

1/ Đi ̣nh nghı̃a: Mô ̣t hı̀nh chóp được go ̣i là hı̀nh chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

+ Hı̀nh chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.

+ Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

+ Các cạnh bên của hı̀nh chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

+ Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông ...) 2/ Hai hı̀nh chóp đều thường gă ̣p

a/ Hı̀nh chóp tam giác đều:

Cho hı̀nh chóp tam giác đềuS ABC. . Khi đó:

+ ĐáyABClà tam giác đều.

+ Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i

S

. + Chiều cao: SO.( O là tâm của đáy)

+ Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy: SAO =SBO =SCO. + Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO.

+ Tı́nh chất: 2 1 3

, ,

3 3 2

AO = AH OH = AH AH = AB . Lưu ý: Hı̀nh chóp tam giác đều khác với tứ diên đều: ̣

+ Tứ diê ̣n đều có các mă ̣t là các tam giác đều.

+ Tứ diê ̣n đều là hı̀nh chóp tam giác đều có ca ̣nh bên bằng ca ̣nh đáy.

b/ Hı̀nh chóp tứ giác đều:

Cho hı̀nh chóp tam giác đều

S ABCD

. . + ĐáyABCDlà hı̀nh vuông.

+ Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i

S

. + Chiều cao:

SO

.

+ Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy:

    SAO =SBO =SCO=SDO. + Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO. II. TỨ DIỆN ĐỀU:

+ Tứ diê ̣n đều có 4 mă ̣t là các tam giác đều

+ Khi hı̀nh chóp tam giác đều có ca ̣nh bên bằng ca ̣nh đáy thì đó là tứ diê ̣n đều. Do đó tứ diê ̣n đều có tính chất như hình chóp tam giác.

III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.

+ các cạnh bên song song và bằng nhau + các mặt bên là hình bình hành

+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy

Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành

+ các cạnh bên song song và bằng nhau

+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2 mặt đáy

+ Chiều cao là cạnh bên

Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là

(7)

hình chữ nhật

Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình vuông.

IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT

1/ Hı̀nh chóp có mô ̣t ca ̣nh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hı̀nh chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS ABCD. có ca ̣nh bên ^SA^{^}

(

^ABCD

)

thı̀ chiều cao là SA.

2/ Hı̀nh chóp có mô ̣t mă ̣t bên vuông góc với mă ̣t đáy: Chiều cao của hı̀nh chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.

Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS ABC. có mă ̣t bên

(

^SAB

)

vuông góc với mă ̣t đáy

(

^ABC

)

thı̀ chiều cao của hı̀nh chóp là chiều cao của D

SAB

.

3/ Hı̀nh chóp có hai mă ̣t bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hı̀nh chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.

Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS ABCD. có hai mă ̣t bên

(

^SAB

)

và

(

^SAD

)

cùng vuông góc với mă ̣t đáy

(

^ABCD

)

thı̀ chiều cao là SA.

4/ Hı̀nh chóp đều và tứ diện đều: Chiều cao của hı̀nh chóp là đoạn thẳng nối đı̉nh và tâm của đáy.

Vı́ du ̣: Hı̀nh chóp tứ giác đềuS ABCD. có tâm mă ̣t phẳng đáy là giao điểm O của hai đường chéo hı̀nh vuông

ABCD

thı̀ có đường cao là

SO

.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

LÝ THUYẾT: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN

Thể tích Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần

KHỐI CHÓP

1 . V 3B h + B là diện tích đáy + h đường cao hình chóp

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy

KHỐI LĂNG TRỤ

. VB h

+ B là diện tích đáy

+ h là đường cao lăng trụ Sxq = Tổng diện tích các mặt bên Stp = Sxq + Diện tích 2 mặt đáy

KHỐI CHÓP CỤT

(

^' ^'

)

3

V =h B+B + BB +Với

B B

, 'là diên tı̣ ́ch hai đáy + h đường cao hình chóp

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy

Chú ý:

I. Thể tı́ch hı̀nh hô ̣p chữ nhâ ̣t: V =a b c. . Thể tı́ch khối lâ ̣p phương: V =a³

Hình hộp chữ nhật Hình lập phương

II. 4 phương pháp thường dùng tı́nh thể tı́ch 1.Tı́nh thể tı́ch bằng công thức.

+ Tı́nh các yếu tố cần thiết: đô ̣ dài ca ̣nh, diê ̣n tı́ch đáy, chiều cao,….

+ Sử du ̣ng công thức tı́nh thể tı́ch.

a b

c

a a a

(8)

+ Cần năm vững các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, ....

2. Tı́nh thể tı́ch bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diê ̣n thành nhiều khối đa diê ̣n nhỏ mà có thể dễ dàng tı́nh thể

tı́ch của chúng. Sau đó, ta cô ̣ng kết quả la ̣i, ta sẽ có kết quả cần tı̀m.

3. Tı́nh thể tı́ch bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diê ̣n mô ̣t khối đa diê ̣n khác, sao cho khối đa diê ̣n thêm vào và khối đa diê ̣n mới có thể dễ dàng tı́nh được thể tı́ch.

4. Tı́nh thể tı́ch bằng tı̉ số thể tı́ch.

* Trong nhiều bài toán, viêc tı̣ ́nh trực tiếp thể tı́ch khối đa diên cọ ́ thể gặp khó khăn vı̀ hai lı́ do:

+ Hoặc là khó xác đinh vạ ̀ tı́nh được chiều cao.

+ Hoặc tı́nh được diên tı̣ ́ch đáy nhưng cũng không dễ dàng.

* Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:

+ Phân chia khối cần tı́nh thể tı́ch thành tổng hoặc hiêu cạ ́c khối cơ bản (hı̀nh chóp hoặc hı̀nh lăng trụ) mà các khối này dễ tı́nh hơn.

+ Hoặc là so sánh thể tı́ch khối cần tı́nh với một đa diên khạ ́c đã biết trước hoặc dễ dàng tı́nh thể tı́ch.

* Trong dạng này, ta thường hay sử dụng phương pháp tỉ số, lấy kết quả của bài toán sau:

Cho hı̀nh chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên ca ̣nh SA, SB, SC. Khi đó: ^{. ' ' '}

.

' ' '

. .

S A B C S ABC

V SA SB SC

V = SA SB SC . Chứng minh:

Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mă ̣t phẳng (SBC).

Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng.

Ta có: ^{. ' ' '} ^' ^{' '} ^{' '}

. .

1 . ' '

3

1 .

3

S A B C A SB C SB C

S ABC A SBC

SBC

S A H

V V

S AH

D

= =

( )

1 '. '.sin . ' ' '. '. ' 2

1 . .

. .sin . 2

SB SC A H SB SC SA SB SC SA Ðpcm SB SC AH

a a

= =  .

Trong đó: a=B SC' '=BSC.

Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm AºA B', ºB C', ºC'. Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tı̉ lê, song song, hı̣ ̀nh chiếu,…

III. Sử dụng phương pháp thể tích khối đa diện để tính khoảng cách

* Các bài toán tı̀m khoảng cách: Khoảng cách từ mô ̣t điểm đến mô ̣t mă ̣t phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tı́ch khối đa diê ̣n. Viê ̣c tı́nh khoảng cách này dựa vào công thức hiển nhiên: 3V

h= B _{, ở đây}V B h, , lần lượt là thể tı́ch, diê ̣n tı́ch đáy và chiều cao của mô ̣t hı̀nh chóp nào đó (hoă ̣c h V

= S đối với hı̀nh lăng trụ).

* Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tı̀m khoảng cách về bài toán tı̀m chiều cao của mô ̣t hı̀nh chóp (hoă ̣c mô ̣t lăng trụ) nào đó. Dı̃ nhiên, các chiều cao này thường là không tı́nh được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như đi ̣nh lı́ Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diê ̣n này la ̣i dễ dàng tı́nh được thể tı́ch và diê ̣n tı́ch đáy. Như vâ ̣y, chiều cao của nó sẽ được xác đi ̣nh bởi công thức đơn giản trên.

* Phương pháp: Sử du ̣ng các đi ̣nh lı́ của hı̀nh ho ̣c trong không gian sau đây:

+ Nếu ^AB^//^{mp P}

( )

trong đó^{mp P}

( )

chứaCD_thı̀^{d AB CD}

(

^,

)

_{= ê}^{d AB P}^é_ë ^,

( )

^ù_ú_û^.

+ Nếu ^{mp P}

( )

^//^{mp Q}

( )

trong đó ^{mp P mp Q}

( )

^,

( )

lần lượt chứa AB_và CD_thı̀:

(

^,

) ( )

^,

( )

d AB CD = êd mp P mp Qéë ùúû^.

+ Từ đó, qui bài toán tı̀m khoảng cách theo yêu cầu bài toán về viê ̣c tı̀m chiều cao của khối chóp (hoă ̣c mô ̣t khối lăng tru ̣) nào đó.

S

A’ B’

C’

A B

C H H’

(9)

+ Giả sử bài toán đã được qui về tı̀m chiều cao kẻ từ đı̉nh

S

của mô ̣t hı̀nh chóp (hoă ̣c mô ̣t lăng trụ). Ta tı̀m thể tı́ch của hı̀nh chóp (lăng tru ̣) này theo mô ̣t con đường khác mà không dựa vào đı̉nh S này, chẳng ha ̣n như quan niê ̣m hı̀nh chóp ấy có đı̉nh

S

'¹

S

. Sau đó, tı́nh diê ̣n tı́ch đáy đối diê ̣n với đı̉nh

S

. Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từ

S

cần tı̀m.

CHỦ ĐỀ 1: CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP

DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Bài 1. Cho hı̀nh chóp

S ABC

. có đáy là D

ABC

vuông cân ở^{B AC}^, ⁼^a ^2,^SA^{^}^{mp ABC SA}

( )

^, ⁼^a^.

a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABC

. . ĐS: ^{S ABC}. 6³

( )

^đvtt

V =a .

b. Go ̣i Glà tro ̣ng tâm của DSBC, ^mp

( )

^a ^{đi qua}^AGvà song song với BC cắt SC SB, lần lượt ta ̣i M N, _{. Tı́nh}

thể tı́ch khối chóp

S AMN

. . ĐS: ² ³

( )

^đvtt

SAMN 27

V = a .

Bài 2. Cho hı̀nh chóp S ABC. có đáy là DABC đều ca ̣nh a_và^SA^{^}

(

^ABC

)

^,^SA⁼²^a^{. Go ̣i}^{H K}^, lần lượt là hı̀nh chiếu vuông góc của điểm A lần lượt lên ca ̣nh SB SC, .

a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp

H ABC

. theo

a

. ĐS: . ³

( )

^đvtt

3

H ABC 30

V =a .

b. Tı́nh thể tı́ch khối

ABCKH

. theo

a

. ĐS: _. ³ ³ ³

( )

^đvtt

A BCKH 50

V = a .

c. Tính khoảng cách từ

H

đến

mp SAC ( )

^. ^ĐS:^dé_{H SAC}_,₍ ₎ù ^a₁₀³

(

^đvđd

)

ê ú

ë û = .

Bài 3. Cho tứ diê ̣n

ABCD

có ca ̣nh

AD

vuông góc với ^{mp ABC}

( )

^, ^AC ⁼^AD⁼⁴

( )

^{cm AB}^, ⁼³

( )

^cm ^,

( )

5

BC = cm . Tı́nh khoảng cách từ A đến ^{mp BCD}

( )

^. ^ĐS:^dé_{A DBC}_,₍ ₎ù ^{6 34}₁₇

( )

^cm

ê ú

ë û =

S ABC

. _{có đáy}

ABC

là tam giác có AC =a AB, =3a, BAC =600. Go ̣i

H

là hình chiếu của S trên

(

^ABC

)

^biết^H ^Î^AB và AH =2HB. Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 45⁰.

a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABC. b. Tı́nh khoảng cách từ A đến ^{mp SBC}

( )

^.

S ABC

. có đáy D

ABC

là tam giác vuông ta ̣i

B

_và ^SA^{^}

(

^ABC

)

với ACB =600,

, 3

BC =a SA=a . Go ̣i

M

là trung điểm của ca ̣nh

SB

. a. Chứng minh rằng: ^{mp SAB}

( )

^{^}^{mp SBC}

( )

^.

b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABC

. . ĐS: ^{S ABC}. 2³

( )

^đvtt

V =a .

c. Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣nMABC. ĐS: MABC ₄³

( )

^đvtt

V =a .

d. Tı́nh khoảng cách từ điểm M đến ^{mp SAC}

( )

^. ^ĐS: ^déêë_{M SAC}_,₍ ₎ùúû =^a₂

(

^đvđd

)

S ABCD

. _{có đáy}

ABCD

là hı̀nh vuông ca ̣nh

a

,

SA

^{^}

( ABCD )

^,^SA⁼^a ³^{. Gọi}

O

là giao điểm của hai đường chéo hình vuông

ABCD

.

S ABCD

. theo

a

. ĐS: . ³

( )

^đvtt

3

S ABCD 3

V =a .

(10)

b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S OBC. theo a. ĐS: . ³

( )

^đvtt

3

S ABCD 12

V =a .

c. Tı́nh khoảng cách từ điểm A đến ^{mp SBC}

( )

^. ^ĐS: ^dé_{A SBC}_,₍ ₎ù ^a₂³

(

^đvđd

)

ê ú

ë û =

d. Tı́nh khoảng cách từ điểm O đến ^{mp SBC}

( )

^. ^ĐS: ^déêë_{A SBC}_,₍ ₎ùúû =^a₄³

(

^đvđd

)

S ABCD

. _{có đáy}

ABCD

a

,^SA^{^}

(

^ABCD

)

^{. Cạnh}

SC

tạo với mặt phẳng đáy

(

^ABCD

)

^{một góc}⁶⁰⁰^.

S ABCD

. theo

a

. ĐS: . ³

( )

^đvtt

6

S ABCD 3

V =a .

b. Xác đi ̣nh và tı́nh đô ̣ dài đoa ̣n vuông góc chung của hai đường thẳng

SC

_và

BD

. ĐS: ₍ _; ₎ 3

SC BD 4 d =a

S ABCD

. có đáy là hı̀nh vuông ca ̣nh bằng

a

, chiều cao

SA

=2

a

. Go ̣i

N

là trung điểm của

SC

. a. Tính diện tích toàn phần hình chóp

S ABCD

. .

b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABCD. theo a. ĐS: . ³

( )

^đvtt

2

S ABCD 3

V = a .

c. Mă ̣t phẳng

( )

^P chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB SD, ta ̣i M P, . Tı́nh thể tı́ch khối chóp .

S AMNP theo a. ĐS: . ³

( )

^đvtt

2

S AMNP 9

V = a .

S ABCD

. _{có đáy}

ABCD

là hı̀nh chữ nhâ ̣t tâm

O SA

^, ^{^}

mp ABCD ( )

^{. Biết}

AB

⁼³

a

, góc

 600

BAC = . Mặt bên

(

^SBC

)

hợp với đáy một góc 45⁰.

a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABCD. theo a. ĐS: V_{S ABCD}. =9a³ 3

( )

^đvtt .

SOAD

. ĐS: . ³

( )

^đvtt

9 3

S OAD 4

V = a .

c. Tı́nh khoảng cách từ điểm

O

đến^{mp SBC}

( )

^.

ĐS:

^déêë_{O SBC}_,₍ ₎ùúû = ³^a₂ ²

(

^đvđd

)

Bài 10. Cho khối chóp

S ABCD

. _{có đáy}

ABCD

là hı̀nh chữ nhâ ̣t. Biết rằng ^SA^{^}

(

^{ABCD SC}

)

^, hợp với mă ̣t phẳng chứa đáy

ABCD

mô ̣t góc 30⁰_vàAB =a BC, =2a.

a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABCD. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

15

S ABCD 3

V =a .

S ABC

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

15

S ABC 6

V =a .

c. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tı́nh khoảng cách từ điểm O đến ^{mp SCD}

( )

^.

ĐS: ^dé_{O SCD}_,₍ ₎ù ^a ₆₀¹¹⁴⁰

(

^đvđd

)

ê ú

ë û =

(11)

DẠNG 2: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Chú ý:

-

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

P Q

P Q a

b Q b P

b a ìï ^ ïïïï Ç =

ï  ^

íï Ìïï ï ^ïïî

- Tam giác

BAC

cân tại

A

,

I

là trung điểm BC 

AI

vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác D

ABC

.

- Tam giác

ABC

đều ,

G

là trọng tâm D

ABC

, M N P, , lần lượt là trung điểm cạnh BC AC AB, , . Ta cần nhớ:

+

1 2

3 3

1 2

3 3

1 2

3 3

AG GM AM

BG GN BN

CG GP CP

ìïï = =

ïïïï

ïï = =

íïïï

ïï = =

ïïïî

+ AM BN CP, , vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác của D

ABC

.

Bài 1. Cho hı̀nh chóp S ABCD. _{có đáy}ABCDlà hı̀nh vuông ca ̣nh a. Mă ̣t bên SAB là tam giác đều nằm trong mă ̣t phẳng vuông góc với mă ̣t phẳng đáy

(

^ABCD

)

^.

a. Chứng minh rằng chân đường cao của khối chóp đã cho trùng với trung điểm của ca ̣nh AB.

b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABCD. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

3

S ABCD 6

V =a .

c. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S BCD. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

3

S BCD 12

V =a .

d. Tı́nh khoảng cách từ D đến ^{mp SBC}

( )

^. ^ĐS:^déêë_{D SBC}_,₍ ₎ùúû =^a₂³

(

^đvđd

)

.

S ABCD

. _{có đáy}

ABCD

là hı̀nh chữ nhâ ̣t. Mă ̣t bên

SAB

là tam giác đều ca ̣nh là

a

và nằm trong mă ̣t phẳng vuông góc với^{mp ABCD}

( )

. Cạnh bên SC hợp với ^{mp ABCD}

( )

mô ̣t góc bằng 30⁰.

a. Tı́nh thể tı́ch khối chópS ABCD. đã cho. ĐS:

3 .

30

S ABCD 12

V =a .

b. Tı́nh khoảng cách của điểm C đến ^{mp SAD}

( )

^ĐS: _,₍ ₎ ³

(

^đvđd

)

2

C SAD

d_é _ù a

ê ú

ë û

= .

c. Tı́nh khoảng cách của điểm B đến ^{mp SAC}

( )

^ĐS:^dé_{B SAC}_,₍ ₎ù ^a ₁₃³⁹⁰

(

^đvđd

)

ê ú

ë û

= .

S ABC

. _có BAC^ =90 ,⁰ ABC^ =30 ,⁰ DSBC là tam giác đều ca ̣nh

a

_và

( ) ( )

mp SAB ^mp ABC .

S ABC

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

39

S ABC 96

V =a .

b. Tính khoảng cách từ

B

đến ^{mp SAC}

( )

^. ^ĐS:^déêë_{B SAC}_,₍ ₎ùúû =^a ₈³⁹

(

^đvđd

)

. c. Gọi Glà trọng tâm DSBC. Tı́nh khoảng cách của điểm G đến ^{mp SAC}

( )

^.

S ABC

. _{có đáy}

ABC

là tam giác vuông cân ta ̣i

B

_{, có}

BC

=

a

. Mă ̣t bên

(

^SAC

)

vuông góc với mă ̣t phẳng đáy, mă ̣t bên

(

^SAB

)

ta ̣o với mă ̣t phẳng đáy mô ̣t góc45⁰. Biết DSAC cân tại S.

(12)

a. Gọi

H

là trung điểm

AC

. Chứng minh ^SH ^{^}

(

^ABC

)

^.

S ABC

. . ĐS: ^{S ABC}. 12³

( )

^đvtt

V =a .

H

đến ^{mp SBC}

( )

^. ^ĐS: _,₍ ₎ ²

(

^đvđd

)

4

H SBC

d_é _ù a

ê ú

ë û

= .

S ABCD

. _{có đáy}

ABCD

a

,^{mp SAB}

( )

^{^}^{mp ABCD}

( )

^,

SA

⁼

SB

, góc giữa đường thẳng

SC

và mă ̣t phẳng đáy bằng 45⁰.

a. Tı́nh theo

a

thể tı́ch của khối chóp

S ABCD

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

5

S ABCD 6

V =a .

D

đến ^{mp SBC}

( )

^. ^ĐS:^déêë_{D SBC}_,₍ ₎ùúû ^a ₆³⁰

(

^đvđd

)

= .

c. Gọi

G

là trọng tâm D

SAB

. Tı́nh khoảng cách của điểm

G

đến ^{mp SCD}

( )

. ĐS: _,₍ ₎ 2 5 9

G SCD

d_é _ù a

ê ú

ë û = .

Bài 6. Cho hı̀nh chóp S ABCD. _{có đáy}ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a,^{mp SAC}

( )

^{^}^{mp ABCD}

( )

^,^D^SAC ^{, vuông}

cân tại

S

.

a. Tı́nh theo

a

S ABCD

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

2

S ABCD 6

V =a .

b. Tı́nh theo

a

S BCD

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

2

S BCD 12

V =a .

B

đến ^{mp SAD}

( )

^. ^ĐS:^dé_{B SAD}_,₍ ₎ù ^a₁₂⁶

(

^đvđd

)

ê ú

ë û

= .

DẠNG 3: HÌNH CHÓP CÓ HAI MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Chú ý:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Q P

R P a P

Q R a

^ üïïïïï

^ ýï ^

ïï Ç = ïïþ

Bài 1. Cho hı̀nh chóp S ABC. _cóSA=AB=AC =BC =a. Hai mp SAB( )_vàmp SAC( ) cùng vuông góc với

( )

mp SBC .

a. Tı́nh thể tı́ch của hı̀nh chóp S ABC. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

3

S ABC 12 V =a

b. Tính góc giữa đường thẳng SB và mp ABC( ). ĐS: ^{SB ABC}^^,

( )

⁼⁴⁵⁰^.

A

đến ^{mp SBC}

( )

^. ^ĐS:^dé_{A SBC}_,₍ ₎ù ^a ₅¹⁵

(

^đvđd

)

ê ú

ë û

= .

Bài 2. Cho hình chóp

S ABCD

. có đáy

ABCD

là hình chữ nhật cóAB=a BC, =2a. Hai ^{mp SAB}

( )

^và

( )

mp SAD cùng vuông góc với mă ̣t phẳng đáy, cạnh

SC

hợp với đáy một góc 60⁰.

a. Tính thể tích khối chóp S ABCD. theo a. ĐS: ABCD ² ³₃¹⁵

( )

^đvtt

V = a

b. Gọi

{ }

^O ⁼^AC ^Ç^BD. Tính thể tích khối chóp S OBC. theo a. ĐS: . ³ ^đvtt

( )

15

S OBC 6 V =a

c. Tính khoảng cách từ O đến ^{mp SCD}

( )

^. ^ĐS: _,₍ ₎ ⁶⁰

(

^đvđd

)

O SCD 2 19 d_é _ù a

ê ú

ë û = .

(13)

S ABC

. _{có đáy}

ABC

là tam giác vuông cân ta ̣i

A

. Hai mă ̣t phẳng

(

^SAB

)

và

(

^SAC

)

cùng vuông góc với mă ̣t phẳng đáy

( ABC )

^{, cho}^BC ⁼^a ², mă ̣t bên

( SBC )

ta ̣i với đáy

( ABC )

mô ̣t góc 60⁰.

a. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S ABC.

b. Tı́nh khoảng cách từ điểm

A

đến mă ̣t phẳng

(

^SBC

)

^.

c. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho: 2

AD = 3AB. Tı́nh khoảng cách từ điểm D đến mă ̣t phẳng

(

^SAC

)

^.

Bài 4. Cho hı̀nh chóp S ABCD. _{có đáy}ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a, hai mă ̣t bên

(

^SAB

)

và

(

^SAD

)

cùng vuông góc với

(

^ABCD

)

^{. Cho}^SB ⁼³^a^{. Go ̣i}^M là trung điểm của CD.

a. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp

S ABCM

. . b. Tı́nh khoảng cách của điểm M đến ^{mp SBC}

( )

S ABCD

. _{có đáy}

ABCD

là hı̀nh chữ nhâ ̣t, các mă ̣t bên

(

^SAB

)

và

(

^SAD

)

cùng vuông góc với mă ̣t đáy

(

^ABCD

)

^{, cho}^AB⁼^{a AD}^, ⁼^{2 ,}^{a SC} ta ̣o với mă ̣t đáy

(

^ABCD

)

mô ̣t góc 45⁰.

a. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S ABCD. theo a.

b. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BD. Tính thể tı́ch của khối chóp

S AHCD

. theo

a

. c. Tı́nh khoảng cách của điểm C đến ^{mp SAH}

( )

^.

d. Tı́nh khoảng cách 2 đường thẳng

SB

_và

AH

.

S ABCD

. _{có đáy}

ABCD

là hı̀nh thoi cạnh

a

, BAD =1200. Biết mặt bên

(

^SAB

)

^và

(

^SAD

)

cùng vuông góc với mặt đáy

(

^ABCD

)

. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60⁰.

S ABCD

. . ĐS: ^{S ABCD}. 2³

( )

^đvtt

V =a .

b. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S BCD. . ĐS: ^{S BCD}. 4³

( )

^đvtt

V =a .

C

đến ^{mp SAB}

( )

^. ^ĐS:^déêë_{C SAB}_,₍ ₎ùúû =^a₂³

(

^đvđd

)

.

DẠNG 4: HÌNH CHÓP ĐỀU Định nghĩa:

+ đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều ...) + các mặt bên là tam giác cân tại đỉnh của hình chóp.

+ đường cao là đường hạ từ đỉnh đến tâm của đa giác đều.

+ các cạnh bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.

+ các mặt bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.

Chú ý:

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên.

+ Hình chóp đều khác với hình chóp có đáy là đa giác đều (hình chóp có đáy là tứ giác đều là hình chóp chỉ có đáy là đa giác đều )

Bài 1. Cho hình chóp đều S ABCD. có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60⁰. Gọi G là trọng tâm tam giác D

SAC

.

a. Tính thể tích của hình chóp

S ABCD

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

4 3

S ABCD 3

V = a .

A

đến ^{mp SBC}

( )

^. ^ĐS:^dé_{A SBC}_,₍ ₎ù ^a ³

(

^đvđd

)

ê ú

ë û

= .

(14)

c. Tính khoảng cách từ Gđến ^{mp SAB}

( )

^ĐS: _,₍ ₎ ³

(

^đvđd

)

3

G SAB

d_é _ù a

ê ú

ë û

= .

Bài 2. Cho khối chóp tứ giác đều

S ABCD

. . Mô ̣t mă ̣t phẳng

( )

^P ^qua^{A B}^, và trung điểm

M

của

SC

. Tı́nh tı̉ số thể tı́ch của hai phần khối chóp bi ̣ phân chia bởi mă ̣t phẳng đó. ĐS: ^. 3

5

S ABMN ABCDNM

V

V =

Bài 3. Cho tứ diê ̣n đều ABCDcó ca ̣nh a. Lấy các điểm B C', ' trên AB_vàAC sao cho ' , 2

AB =a ' 2 3 AC = a.

a. Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣n AB C D' ' . ĐS: ' ' ³

( )

^đvtt

2

AB C D 36

V =a .

b. Tı́nh khoảng cách từ

B

' đến ^{mp ACD}

( )

^. ^ĐS: _';_ _ ⁶



^đvđd



B ACD 6 d_ _ a

  

Bài 4. Cho khối tứ diê ̣n đều ABCD ca ̣nh bằng a. Go ̣iM là trung điểm của ca ̣nhDC .

a. Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣n đều ABCD. ` ĐS: ABCD ³₁₂²

( )

^đvtt

V =a .

b. Tı́nh khoảng cách từ M đến ^{mp ABC}

( )

. Suy ra thể tı́ch hı̀nh chópM ABC. . ĐS:

3 .

2

M ABC 24 V =a Bài 5. Cho khối chóp tam giác đều

S ABC

. biết ca ̣nh đáy bằng

a

, ca ̣nh bên bằng 2

a

.

S ABC

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

11

S ABC 2

V =a .

b. Trên cạnh

AC

lấy điểm

E

sao cho: 1

AE = 3AC. Tı́nh khoảng cách từ

E

đến

mp SBC ( )

^.

Bài 6. Cho khối chóp tam giác đều S ABC. biết ca ̣nh đáy bằng a, mă ̣t bên hợp với đáy mô ̣t góc 60⁰. Trên cạnh SB lấy điểm E sao cho: 1

3 SE

SB = , trên cạnh SC lấy điểm F sao cho: 2 3 SF SC = .

a. Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABC. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

3

S ABC 24

V =a .

S AEF

. .

Bài 7. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều

S ABCD

. có ca ̣nh đáy bằng

a

, góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy bằng 60⁰. a. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S ABCD. theo a.

b. Gọi

O

là tâm của đáy

ABCD

. Tı́nh thể tı́ch của khối tứ diện

SOAB

. c. Tı́nh khoảng cách từ điểm

A

đến ^{mp SBC}

( )

^.

Bài 8. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều

S ABCD

. có ca ̣nh đáy bằng

a

_vàBSA^ =60⁰.

a. Tı́nh diện tích xung quanh của hı̀nh chóp đều này. ĐS: ² ³

(

^đvdt

)

3

S =a .

b. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp

S ABCD

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

2

S ABCD 6

V =a .

Bài 9. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều S ABCD. có ca ̣nh đáy bằng avà ca ̣nh bên hợp với đáy mô ̣t góc 60⁰. a. Tı́nh diện tích toàn phần của hı̀nh chóp đều này. ĐS: ^S^tp ⁼^a²

(

¹⁰⁺¹

) (đvdt).

b. Tı́nh thể tı́ch của khối chóp

S ABCD

. . ĐS: . ³

( )

^đvtt

6

S ABCD 6

V =a .

(15)

CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

DẠNG 1: LĂNG TRỤ ĐỨNG

HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

+ các cạnh bên song song và bằng nhau + các mặt bên là hình bình hành

+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy

Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành

+ các cạnh bên song song và bằng nhau

+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2 mặt đáy

+ Chiều cao là cạnh bên

Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình chữ nhật

Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình vuông.

Chú ý: + Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là tam giác đều.

+ Hình lăng trụ có đáy tam giác đều là hình lăng trụ xiên có 2 đáy là tam giác đều.

+ Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình vuông.

Bài 1. Cho hı̀nh lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' '_{có đáy}ABC là tam giác đều. Biết ca ̣nh bên AA'=a. Tı́nh thể tich khối lăng tru ̣ trong các trường hợp sau:

a. ^{mp A BC}

(

^'

)

hợp với đáy mă ̣t phẳng chứa đáy

ABC

mô ̣t góc 60⁰. ĐS: V_{ABC A B C}. ' ' ' =a³ 3

( )

^đvtt

b. Đường thẳng

A B

' _{hợp với}^{mp ABC}

( )

mô ̣t góc 45⁰. ĐS: . ' ' ' ³

( )

^đvtt

3

ABC A B C 4

V =a

c. Chiều cao kẻ từA'của DA BC' bằng đô ̣ dài ca ̣nh đáy của lăng trụ. ĐS: V_{ABC A B C}. ' ' ' =a³ 3

( )

^đvtt

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

. ' ' 'có đáy

ABC

là tam giác vuông tại A AC, =a ACB, =600. Đường chéo

BC

'của mặt bên

(

^{BC C C}^{' '}

)

tạo với mặt phẳng ^{mp AA C C}

(

^{' '}

)

^{một góc}³⁰⁰^.

a. Tính thể tích của khối lăng trụ theo

a

. ĐS: V_{ABC A B C}. ' ' ' =a³ 6

( )

^đvtt . b. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.

ĐS: ^S^xq ⁼^{2 2 3}

(

⁺ ³

)

^a²

(

^đvdt

)

Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B BC, =a, ^{mp A BC}

(

^'

)

^{tạo với}

đáy một góc 30⁰ và DA BC' có diện tích bằng a² 3.

a. Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

. ' ' '. ĐS: . ' ' ' ³

( )

^đvtt

3 3

ABC A B C 2

V = a

b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ. ĐS: ^S^tp ⁼

(

³