PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý. Nếu A x
0 tại xx1 hoặc xx2 thì
0A x khi xx1 và xx2
II.BÀI TẬP MINH HỌA A.DẠNG BÀI CƠ BẢN Phương Pháp
Vận dụng phương pháp giải phưng trình chứa ẩn ở mẫu, đưa về phương trình bậc nhất đã biết Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a. 3 2 6 1
7 2 3
x x
x x ;
b. 1 1 24
1 1 1
x x
x x x . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a. x65x28
x5 818
x
1;b. x31x12
x19x2
;c. 2 2 7 2 32
3 3 9
x x x x x
x x x . Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a. 2x13x x
233
x5;b.
x13x2
x12x3
x2
1x3
.Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a. 2 1x x12
x21
;b. x 1 1 2 x 1 1 2
x x
.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a. 1 33 2 2 2
1 1 1
x x
x x x x
;
b.
x3 2
13x7
2x17
x3
6x3
.Ví dụ 6. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.
a. 3 1 3
3x 1 x 3 A x x
;
b. 10 3 1 7 2
3 4x 12 6x 18 B x x
. LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
c. 3 2 6 1
7 2 3
x x
x x ;
d. 1 1 24
1 1 1
x x
x x x . Lời giải
a. 3 2 6 1
7 2 3
x x
x x . (1)
ĐKXĐ của phương trình (1) là 3
x 2 và x 7.
Mẫu số chung (MSC) của phương trình là
x 7 2
x3
. Khi đó:
3 2 2 3 6 1 7
1 7 2 3 7 2 3
x x x x
x x x x
2 2
6x 9x 4x 6 6x 42x x 7
56 1 1
x x 56
. So với ĐKXĐ ta thấy 1
x 56 thỏa mãn, vậy 1
x 56là nghiệm của phương trình đã cho.
b. 1 1 24
1 1 1
x x
x x x . (2)
ĐKXĐ của phương trình (2) là x 1.
Mẫu số chung của phương trình là
x1 x1 . Khi đó:
12 1 4
2 1 1 1 1
x x
x x x x
2 2 1 2 2 1 4
x x x x
4x 4 x 1
.
So với ĐKXĐ ta thấy giá trị x 1 không thỏa mãn nên bị loại.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a.x65x2 8
x5 818
x
1;b.x31x12
x19x2
;c. 2 2 7 2 32
3 3 9
x x x x x
x x x
.
Lời giải
a. ĐKXD của phương trình là x 5,x 8.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
x5
x8
.Với điều kiện đó phương trình trở thành
6 x 8 2 x 5 18 x 5 x 8 0. Phương trình tương đướng với x x
5
0.Phương trình cuối có hai nghiệm x 0 và x 5. So với điều kiện thì giá trị x 5 bị loại.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 0. b. ĐKXĐ của phương trình là x 1,x 2.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
x1 x2
.Với điều kiện đó phương trình trở thành 3
x 2
x 1 9, hay 2x 16.Phương trình này có ngiệm x 8, giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình đã cho.
c. ĐKXĐ của phương trình là x 3.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
x3
x 3
x2 9.Với điều kiện đó phương trình trở thành
x2x x 3 x x2 3 7x23x 0.
Biến đổi phương trình trở thành 0 0 .
Phương trình này nghiệm đúng với mọi giá trị x thỏa mãn điều kiện nên nghiệm của phương trình đã cho là mọi x 3.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a.2x13x x
233
x5;b.
x13x2
x12x3
x2
1x3
.Lời giải
a. ĐKXĐ của phương trình là 0, 3 x x 2.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là x x
2 3
.Với điều kiện đó phương trình trở thành x 3 5 2
x 3
0, hay 9x 12.Phương trình có nghiệm x 4
x , giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình đã cho.
b. ĐKXĐ của phương trình là x 1,x 2,x 3.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là
x1 x2
x3
.Với điều kiện có phương trình trở thành 3
x 3
2 x 2
x 1, hay 0x 4. Phương trình cuối vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a.2 1x x12
x21
; b. x 1 1 2 x 1 1 2x x
.
Lời giải
a. ĐKXD của phương trình là x 0.
Với điều kiện đó phương trình trở thành x2 1 2 0 x
, hay x
1 2 x
0.Phương trình có nghiệm x 0 và 1
x 2. Chỉ có giá trị 1
x 2 thỏa mãn điều kiện nên nó là nghiệm của phương trình đã cho.
b. ĐKXD của phương trình là x 0.
Với điều kiện đó phương trình trở thành x 1 1 2 x 1 1 2 0
x x
.
Biến đổi phương trình trở thành 2 2x 2 0 x
, hay x 1 0.
Phương trình có nghiệm x 1, giá trị đó thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a. 1 33 2 2 2
1 1 1
x x
x x x x
;
b.
x3 2
13x7
2x17
x3
6x 3
.Lời giải
a. 1 33 2 2 2
1 1 1
x x
x x x x
.
Ta có x3 1
x 1
x2 x 1 ,
x2 x 1 x 122 34 0 nên ĐKXD của phương trình là 1x .
Với điều kiện đó, MSC là x3 1
x 1
x2 x 1
. Quy đồng mẫu số, ta có2
3 2
1 3 2
1 1 1
x x
x x x x
2 2
2 2
2 1
1 3
1 1 1 1
x x x x x
x x x x x x
4x2 3x 1 0 4x 1 x 1 0
1; 1
x x 4
.
So với ĐKXĐ giá trị x 1 bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm 1 x 4. b.
x3 2
13x7
2x17
x3
6x3
.ĐKXĐ của phương trình là 3; 2
x x 7. Với điều kiện này, ta có
x3 2
13x 7
2x17
x3
6x3
13 3 3 3 6 2 7
3 2 7 3 3 2 7 3
x x x x
x x x x x x
13x 39 x2 9 12x 42
2 12 0 3 4 0
x x x x
3; 4
x x
.
So với ĐKXĐ giá trị x 3 bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm x 4. Ví dụ 6. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.
a. 3 1 3
3x 1 x 3 A x x
;
b. 10 3 1 7 2
3 4x 12 6x 18 B x x . Lời giải
a. Ta thấy ĐKXĐ của biểu thức A là 3, 1 x x 3. Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức A trở thành:
3 1 3 3 3 1
3 1 3
x x x x
A x x
2 2
3 8 3 3 8 3
3 1 3
x x x x
x x
6 2 6
3 1 3
x
x x
.
Để biểu thức có giá trị bằng 2, ta có:
6 2 6 2
3 1 3
x
x x
, hay 6x2 6 2 3
x1
x3
.Tức là 6x2 6 6x2 20x6, hay 20x 12, nghĩa là 3 x 5. Giá trị này của c thỏa mãn điều kiện đặt ra.
Vậy với 3
x 5 thì biểu thức A có giá trị bằng 2.
b. Ta thấy ĐKXĐ của biểu thức B là x 3. Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức B trở thành:
40 3 3 3 1 2 7 2
12 3
x x x
B x
17 7
40 1120 9 3 14 4
12 3 12 3
x x x x
x x
.
Để biểu thức có giá trị bằng 2, ta có:
17 7
12 3 2 x x
, hay 7x 47, tức là 47 x 7 . Giá trị này của x thỏa mãn điều kiện đặt ra.
Vậy với 47
x 7 thì biểu thức B có giá trị bằng 2.
B.DẠNG NÂNG CAO
Ví dụ1. Cho
2 2
6 5
2 2
x x x
A x x x x
và
2
3 2
6 4
3 6 6
x x x
B x x x x
a) Tìm x để giá trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau;
b) Tìm x để
5A x B x Ví dụ 2. Cho phương trình ẩn x:
1 5 1
5 2
2
x m
x
x m x
(với m là hằng số).
a) Giải phương trình với m = 5;
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x10; c) Giải phương trình với tham số m.
Ví dụ 3. Giải các phương trình:
a)
2x2 9x 4
38 9x2x 1
x211x20
38 9x2x1b) 2 22 2 2 5 2 7
2 5 3 2 9 7 2 5 3 2 9 7
x x x
x x x x x x x x
Ví dụ 4. Cho phương trình
2 2
5 3
1 1
4
a a x x
x x a x a x a x a
với a là hằng số.
a) Tìm a để phương trình trên có nghiệm là nghiệm của phương trình
2
3 2 29
5 5 25
x x x
;
b) Giải phương trình với a = 6.
Ví dụ 5. Giải phương trình
a.
3 2
3
3
3 2 0
1 1
x x
x x x
b. 2 1 2 1 2 1 2 1 1
5 6 7 12 9 20 x 11 30 8
x x x x x x x
HƯỚNG DẪN DẠNG BÀI NÂNG CAO
Ví dụ1. Cho
2 2
6 5
2 2
x x x
A x x x x
và
2
3 2
6 4
3 6 6
x x x
B x x x x
c) Tìm x để giá trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau;
d) Tìm x để
5A x B x Lời giải
a) Để A(x) = B(x) thì
2 2
2 2
6 5 6 4
2 2 3 2 2
x x x x x x
x x x x x x
ĐKXĐ: x x
2 2x 2
0 và 3x36x2 2x 0 hay 3x x
2 2x 2
0Do x2 2x 2
x 1
2 1 0, x nên ĐKXĐ là x0.Từ phương trình trên suy ra: 3
x2 x 6 x5x2 x 6 x4
x2 x 6 3 x 15
x2 x 6 x 4 0
x2 x 6 3 x 15 x 4 0
3 0 3
0 2 0
2 1
3 2 2 11 2
1 0 5,5
x x x x
x x x
x x
Cả ba giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy với x 2;x3;x5,5 thì A(x) = B(x).
b)
5A x
B x nghĩa là
2 2
3 2
2
6 5 6 4
: 5
3 6 6
2 2
x x x x x x
x x x
x x x
Hay là
2 2
2 2
6 5 3 2 2
. 5 *
2 2 6 4
x x x x x x
x x x x x x
Do x2 2x 2
x 1
21 0, x, nên ta có
2 2
3 3 2
* 5 5
2
6 5 3 5
3 4
6 4
x x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
ĐKXĐ: x0;x2;x3;x4
Từ ĐKXĐ và phương trình trên suy ra 3
x 5
5 x 4
03x 15 5x 20 0 2x 5 x 2,5
thỏa mãn ĐKXĐ.
Nhận xét: Từ
3 5
3 4
3 2
2 5
x x x x
x x x x
suy ra 3
x 5
5 x 4
0Ta có thể hiểu như sau: Do x0;x2;x3; nên x x
2
x 3
0. Do đó chia cả tử và mẫu cho số khác 0 ta có
4
3 x 5 5
x và với x4 ta được phương trình tương đương
5
5 4
3 x x 0
Hoặc có thể hiểu như sau:
Từ
3 5
3 4
3 2
2 5
x x x x
x x x x
với x0;x2;x3;x4 ta có:
3x x2 x3 x5 5x x2 x3 x4
2
3
3 5
5 4
0x x x x x
3 x 5 5 x 4 0 do x x 2 x 3 0
Ví dụ 2. Cho phương trình ẩn x:
1 5 1
5 2
2
x m
x
x m x
(với m là hằng số).
d) Giải phương trình với m = 5;
e) Tìm m để phương trình có nghiệm x10; f) Giải phương trình với tham số m.
Lời giải
5 5
1 1
2 2
5 2 5 2
2
x m x m
x
x x
m x x x m
a) ---Khi m = 5 ta có: xx105 xx1502 1
Với ĐKXĐ x5 và x10 thì
từ
1 x2100x2 25 2x230x10030x 225 x 7,5
(thỏa mãn ĐKXĐ)
b) Nếu x10 ta có (10 25 m10 215 m2 2
Với ĐKXĐ m5 2
100 4m27510020m4m220m 75 0
2m 15
2m 5
0 22mm 155 00 mm 7,52,5
c) Điều kiện của nghiệm nếu có là x5 và x2m
Biến đổi phương trình 2
5
2 5
2 x
x m
x m
x thành
x2m x
2m
x5
x5
2 x5
x2m
2 2
2 4m2 x 25 2x 4m 10x 20
x x m
20 4 2 20 25 2 2 5 2 5 *
4mx 1 x m m x m m
Nếu m2,5 thì 2 5 2
x m . Giá trị này là nghiệm của phương trình nếu
2 5
2 2 5 4 2,5
2
m m m m m
và 2 5 5 2 5 10 2 5,
2
m m m
Nếu m2,5 thì (*) có dạng 0x0. Phương trình nghiệm đúng x 5
Kết luận: Nếu m 2,5 phương trình có nghiệm duy nhất là 2 5 2 x m
Nếu m2,5 phương trình vô nghiệm;
Nếu m2,5 phương trình nghiệm đúng x 5
Nhận xét: Câu b) có cách giải khác như sau:
10 2 15 2
2 100 4 100 0
5 1 2
0 2 m 75
m m
m
100 4m220m 25
22 5 1
5 5 1
2 0 2 15 7,5
10 2
2 0 2 5 2,5
m m m
m m m m
Ví dụ 3. Giải các phương trình:
c)
2x2 9x 4
38 9x2x 1
x211x20
38 9x2x1d) 2 22 2 2 5 2 7
2 5 3 2 9 7 2 5 3 2 9 7
x x x
x x x x x x x x
Lời giải
a) Hai vế có nhân tử chung. Ta chuyển vế rồi đưa về dạng A x B x
. 0 ĐKXĐ: 8x9. Biến đổi phương trình thành
x2 2x 24
83xx92 1 0 Với x2 2x 24 0
x4
x6
0 xx64
Với 2
2 8 9 9
3 1 0 3 0 1
8
x x x
x x
Cả ba giá trị trên x đều thỏa mãn ĐKXĐ nên tập nghiệm của phương trình là S
4;1;6
b) Các mẫu số khá phức tạp nên không dễ tìm ĐKXĐ. Nếu ta chuyển vế rồi cộng, trừ các phân thúc cùng mẫu ta thấy xuất hiện nhân tử chung là
x5
Từ đó có cách giải sau: Biến đổi phương trình về dạng:
2 2
5 5
2 5 3 2 9 0
7
x x
x x x x
2 2 2 2
5 4
5 1
5 3 2 9
1 4
7 0 5 3 9
2 2 7 0
2 x
x x x
x x x x
x
x x
Xét tử số
x5 4
4x
0 x 1 hoặc x5. Với x1 thì 2x2 9x 7 0 phương trình không xác định.
Với x5 thì
2x2 5x 3
2x2 9x 7
28.120.Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x5.
Ví dụ 4. Cho phương trình
2 2
5 3
1 1
4
a a x x
x x a x a x a x a
với a là hằng số.
c) Tìm a để phương trình trên có nghiệm là nghiệm của phương trình
2
3 2 29
5 5 25
x x x
;
d) Giải phương trình với a = 6.
Lời giải
a.ĐKXĐ: x a
Với ĐKXĐ trên ta biến đổi phương trình thành:
2
2 2
2 5 15
4
x x a ax
x a x a x a
. Quy đồng và khử mẫu được phương trình
24x x a 8x x a 5a 15ax
2 2 2 2
12x 11ax 5a 012x 4ax 15ax 5a 0 3x a 4x 5a 0
Giải phương trình 3 2 292
5 5 25
x x x
với x 5 ta có nghiệm x4 Với x4 ta có:
12a
16 5 a
0 aa3, 21, 2 b.Khi a6 thì
3x6 4
x30
0 xx7,52
thỏa mãn ĐKXĐ.
Ví dụ 5. Giải phương trình
a.
3 2
3
3
3 2 0
1 1
x x
x x x
b. 2 1 2 1 2 1 2 1 1
5 6 7 12 9 20 x 11 30 8
x x x x x x x
Lời giải
a.Từ
a b
3 a3 b3 3ab a
b
a3b3
a b
33ab a b
Áp dụng để giải phương trình. Ta có ĐKXĐ: x1
3 3 . 3 2 2
1 1 1 0
1
x x x x
PT x x x
x x x x
3 2
2 2
3 +3 1 1 0
1 1 1
x x
x x
x x
. Đặt 2
1 y x
x
ta có
2 3
3 3 3 1 1 0 1 1 2
y y y y y
Hay là 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x x 0
x x x
x
Phương trình đã cho vô nghiệm vì x2 2x 2
x 1
2 10 xb.ĐKXĐ: x
2;3; 4;5;6
2
1 3
3
1 4
4
1 5
5
1 6
18PT x x x x x x x x
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 4 3 5 4 6 5 8
x x x x x x x x
1 1 1 2
8 2 2 1
6 2 8 x x 0 0 x x 0 0
x x
2
x hoặc x10 . Tập nghiệm S
2;10
Ví dụ 7. Giải phương trình a.
2
3
56 21 4
22 4
7 2
x x
x x
x
b. 2
21 3 2
1 1 2
x x x
Lời giải a.ĐKXĐ: 4
x7 và x32
2
2
3 3
56 21 22 56 21 22
4 5 1
4 7 2 4 7 2 0
x x x x x x
x x x x
3 3
3
56 2 35 2 21 22
4 7 0
2 0
x x x x x
x x
x3 21x 20
4 71 x x31 2
Xét x321x 20 0
x 1
x5
x 4
0 ta tìm được: x4;x 1;x5 thỏa mãn ĐKXĐ. Xét 1 31
4 7 0
2 xx
biến đổi thành x3 7x 6 0
x 1
x 2
x 3
0 ta tìm được x 3;x1;x2 thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
4; 3; 1;1; 2;5
b.
ĐKXĐ: x0 và x 1.
2
22 2
1 3 2 1 3 2
2 1 1
1 1 1 1
x x x x x x
3 3
2 2
2 2
2 2
1 1
1 0
1
1
x x x
x x x
x x x x
Với x0 và x1 thì
3 3
3 3
0 1
0 1
1 1 x 0
x x x
x x
Với x 1 0 x 1 thỏa mãn ĐKXĐ.
Với
1x3
x3 0
1 x
3 x3 1 x x x 12 thỏa mãn ĐKXĐ.Tập nghiệm là 1 2;1 S
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
1. Giải các phương trình sau:
a. 3 2 8 62
1 4 4 1 16 x1 x x x
;
b. 5x31 3 5 2 x
1 5 5 x x
4 3
.2. Giải các phương trình sau:
a. 2 3 2 3 1
1 2 2
x
x x x x
;
b. 4x52x8x 78 2x xx
12
8x116.3. Giải các phương trình sau:
a. 6 5 2 22 23 61
5 6 30
x x x x
x x x x
;
b. 2 2 7 2 32
3 3 9
x x x x x
x x x . 4. Giải các phương trình sau:
a. 2 3 2 3 1
1 2 2
xx x x x ;
b. 6 5 2 22 23 61
5 6 30
x x x x
x x x x
.
5. Giải các phương trình sau:
a. 1 1 12 3
2 8
x x
;
b.
2x3
32 7xx8 1
x 5
32 7xx81. 6. Giải các phương trình sau với a là tham số:a. 1 1
1 a a
x
;
b. 2 28 2 2
2 x 2a x a4 a x a x x a .
HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 1.
a. xét phương trình: 3 2 8 62
1 4 4 1 16 1
x
x x x
.
Điều kiện: 1 x 4.
Với điều kiện đó phương trình tương đương với:
3 4x 1 2 1 4 x 8 6x , hay 14x 7, tức là 1 x 2. Ta thấy giá trị 1
x 2thỏa mãn điều kiện 1
x 4nên là nghiệm của phương trình đã cho.
b.Xét phương trình:
3 2 4
5x 1 3 5 x 1 5 5x x 3
.
Điều kiện: 1, 3
5 5
x x .
Với điều kiện đó phương trình tương đương với:
3 3 5 x 2 5x 1 4, hay 5x 3, tức là 3 x 5. Ta thấy giá trị 3
x 5không thỏa mãn điều kiện 3
x 5 nên bị loại.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2.
a. xét phương trình: 2 3 2 3 1
1 2 2
x
x x x x
.
Điều kiện: x 2,x 1.
Với điều kiện đó phương trình tương đương với:
2 3 3 1
1 2 2 1
x
x x x x
Tức là phương trình
x2
x 2
3 x 1
3
x 2
x1 , hay 4x 2, nghĩa là 1 x 2.Ta thấy giá trị 1
x 2 thỏa mãn điều kiện x 2,x 1nên là nghiệm của phương trình đã cho.
b.Xét phương trình:
2
5 7 1 1
8 8 16
4 8 2 2
x x
x x x x x
.
Điều kiện: x 2,x 0.
Với điều kiện đó phương trình tương đương với:
5 7 1 1
4 2 8 2 2 4 2
x x
x x x x x
, tức là phương trình
2 5 x 7x x 2 4 x 1 x, hay 7
x2 3x 2
0, nghĩa là x 1,x 2. So với điều kiện, ta thấy giá trị x 2 không thỏa mãn nên bị loại.Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1. 3.
a. xét phương trình: 6 5 2 22 23 61
5 6 30
x x x x
x x x x
.
Điều kiện: x 5,x 6.
Với điều kiện đó phương trình tương đương với:
6 5 2 2 23 61
5 6 5 6
x x x x
x x x x
, tức là phương trình
x6
2 x 5
2 2x2 23x61, hay21x 0, nghĩa là x 0.
Ta thấy giá trị x 0thỏa mãn điều kiện x 5,x 6 nên là nghiệm của phương trình đã cho.
b.xét phương trình: 2 2 7 2 32
3 3 9
x x x x x
x x x
.
Điều kiện: x 3.
Với điều kiện đó phương trình tương đương với:
2 2 7 2 3
3 3 3 3
x x x x x
x x x x
.
Hay
x2x 3 x x x2 3 7x23x, nghĩa là 0 0 .
Ta thấy mọi giá trị x thỏa mãn điều kiện x 3 đều thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy mọi x 3 đều là nghiệm của phương trình.
4.
a. ta có x2 x 2
x 1 x2
, nên ĐKXĐ của phương trình là x 1,x 2. Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:
2 2
2 2
4 3 1 3 2
2 2
x x x x
x x x x
.
Hay 4x 2, tức là 1 x 2. So với điều kiện ta thấy 1
x 2 thỏa mãn nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình có nghiệm 1 x 2.
b.ta thấy x2 x 30
x 6
x5
, nên ĐKXĐ của phương trình là x 6,x 5.Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:
2
2 22 2
6 5 2 23 61
30 30
x x x x
x x x x
, hay 21x 0, tức là x 0.
So cới điều kiện ta thấy x 0 thỏa mãn nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình có nghiệm x 0. 5.
a. Ta có 8 x3
x 2 x2 2x 4, nên ĐKXĐ của phương trình là x 2. Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:
3 2 3 2
8 x x 2x 4 12x x 2x 0
2 2
0
1 2
0x x x x x x
.
Phương trình cuối có nghiệm x 0,x 1,x 2.
Chỉ có các giá trị x 0,x 1thỏa mãn điều kiện đặt ra nên là nghiệm của phương trình đã cho.
b. Ta có ĐKXĐ của phương trình là 2 x 7.
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:
2x 3 10 4
x
x 5 10 4
x
2 5 2 x x
8
0.Phương trình cuối có nghiệm 5 , 8
x 2 x , các giá trị này thỏa mãn điều kiện đặt ra nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 5 , 8 x 2 x . 6.
a. Ta có ĐKXĐ của phương trình là x 1.
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:
1 a 1 a 1x , hay x a
1 2a.Nếu a1 phương trình có dạng 0x 2, trường hợp này phương trình vô nghiệm.
Nếu a1 phương trình đã cho có nghiệm 2 1 x a
a
. b.ta có ĐKXĐ của phương trình là x 2a.
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:
2 8 2
2 2 2 2
x a x a
x a x a x a x a
2
2
2 8 2 6 12 2x x a a x a ax a
.
Nếu a0 phương trình có dạng 0x 0, trường hợp này phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x 0.
Vậy a 0 phương trình đã cho có nghiệm là mọi x 0.
Nếu a0 phương trình có nghiệm là x 2, giá trị này thỏa mãn điều kiện x 2avới 1
a .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 2 với a 1.
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========