BẤT ĐẲNG THỨC

(1)

Chương 4. Bất đẳng thức, bất phương trình Bài 1:

BẤT ĐẲNG THỨC

I. Định nghĩa

Định nghĩa 1. Cho a b, là hai số thực. Các mệnh đề "a b ", "a b " được gọi là những bất đẳng thức.

II. Tính chất

a) ^{a b}^ và ^{b c}^{  }^{a c}. b) a b  0 a b. c) ^{a b}^{  +  +}^{a c b c}. d) a b  0 a² b².

e) ^{a b}^ và ^{c d}^ ^{ +  +}^{a c b d}. f) a b  0 aⁿ bⁿ.

g) Nếu ^c^⁰ thì ^{a b}^{ }^{ac bc}^ . h) Nếu ^c^⁰ thì ^{a b}^{ }^{ac bc}^ . III. Bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối

a) −  a a a với mọi số thực a.

b) ^{x a}^{  −  }^{a x a} ( với a0) c) _{    −}^ ^

 x a x a

x a (với a0)

IV. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ( Bất đẳng thức Cauchy).

a) Đối với hai số không âm. Cho a0,b0, ta có bất đẳng thức 2

a b+  ab. Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a b=

Hệ quả.

-Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

-Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

b) Đối với ba số không âm. Cho a0,b0,c0, ta có bất đẳng thức ³ 3

a b c+ +  abc Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

V. BÀI TẬP

Dạng 1. Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp: Để chứng minh bất đẳng thức A B ta có thể sử dụng các cách sau:

-Ta đi chứng minh A B− 0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phan tích A B− thành tổng hoặc tích của các biểu thức không âm.

-Xuất phát từ bất đẳng thức đúng, biến đổi tương đương về bất đẳng thức cần chứng minh.

Câu 1. Cho a b, là các số thực. Chứng minh rằng a)  ²+ ²

2 a b

ab b) _{ }^ ⁺ ^_

 

2

2 ab a b

(2)

Lời giải:

a/ Ta có a² +b²−2ab=

(

a b−

)

² 0. Suy ra a² +b² 2abhay ² ² 2

a +b ab

 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= .

b/ Bất đẳng thức tương đương với

2

2 0

a b+ ab

  − 

 

 

2 2 2 4

a ab b ab

 + +  

(

a b−

)

² 0 (đúng).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= .

Câu 2. Cho a b, là hai số thực thỏa mãn a b . Chứng minh rằng ⁴

(

^a³⁻^b³

)

^{ −}

(

^{a b}

)

³ Lời giải

Bất đẳng thức tương đương ⁴

(

^{a b a}⁻

) (

²⁺^{ab b}⁺ ²

)

^{− −}

(

^{a b}

)

³ ^⁰

(

^{a b}

)

^⁴

(

^a² ^{ab b}²

) (

^{a b}

)

²^ ⁰

 −  + + − − 

(

^{a b}

)

^³^a² ³^{ab b}²^ ⁰

 −  + + 

( )

² ³ ²

3 0

2 4

b b

a b a  

 −  +  +  ( đúng với a b ).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= .

Câu 3. Cho a b, là các số thực. Chứng minh rằng a) a⁴+b⁴−4ab+ 2 0.

b) ²

(

^a⁴^{+ +}¹

) (

^b²⁺¹

)

² ^²

(

^ab⁺¹

)

²^.

Lời giải:

a) Bất đẳng thức tương đương

(

^a⁴⁺^b⁴ ⁻²^{a b}^{2 2}

) (

⁺ ²^{a b}^{2 2}⁻⁴^ab⁺²

)

^⁰ ^

(

^a² ⁻^b²

)

² ⁺²

(

^ab⁻¹

)

² ^⁰^(đúng).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= = 1. b) Bất đẳng thức tương đương với

(

⁴

) (

⁴ ²

) (

^{2 2}

)

2 a +1 + b +2b +1 −2 a b +2ab+1 0

(

^a⁴ ^b⁴ ²^{a b}^{2 2}

) (

²^a² ⁴^ab ²^b²

) (

^a⁴ ⁴^a² ¹

)

⁰

 + − + − + + − + 

(

^a² ^b²

)

² ²

(

^{a b}

)

²

(

^a² ¹

)

² ⁰

 − + − + −  ( đúng).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= = 1.

(3)

Dạng 2: Phương Pháp Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cô – Si

- Cho a b, là hai số không âm. Ta có 2

a b+ ab

 hoặc

2

2 ab a b+ 

   .

- Cho a b c, , là ba số không âm. Ta có ³ 2

a b c+ +  abc hoặc

3

2 a b c abc  + + 

   . Câu 1. Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x y+ =1. Chứng minh rằng

a) 1 4+ 9

x y b)  +  + +  

   

2 2

1 1 25

x y 2

x y .

Lời giải:

a) Đặt A 1 4

= +x y, ta cần chứng minh A9.

Ta có ^A ^1. ^{1 4}

(

^{x y}

)

^{1 4} ⁵ ⁴^x ^y

x y x y y x

   

=  + = +  + = + +

    .

Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số không âm 4x y và ^y

x, ta có

4 4

2 . 4

y y

x x

y + x y x = .

Do đó A 5 4x y 5 4 9 y x

= + +  + = .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 1

2 3

1 2

1 3

x y y x x

y x

x y y

x y

 =  =  =

  

  + = 

 + =  =

 

b) Đặt

2 2

1 1

B x y

x y

 

= +  + +  , ta cần chứng minh ²⁵ B 2 .

Ta có

2 2

2 2 1 1

4

B x y

x y

   

= + + +   +    .

Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương _x và y, ta có

1 1

2 2 4

x y+ xy xy xy

     .

Khi đó ² ²

( )

² 2 1 ¹ ¹

( )

1

2 2

x +y = x y+ − xy − = và ¹ ² ¹ ² 2 _{2 2}¹ ² 8 2

( )

x y x y xy

  +    = 

     Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.

(4)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ¹ x y= =2.

Câu 2. Cho a b, là số thực dương thỏa mãn a²+b² =2. Chứng minh rằng a) a b+  a² + b²4

b a b a . b)

(

^{a b}⁺

)

⁵ ^¹⁶^ab

(

¹⁺^a²

)(

¹⁺^b²

)

^.

Lời giải

a) Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có

2 . 2

a b a b

b a+  b a = , ₂ ₂ ₂ ₂ 2

2 .

a b a b

b +a  b a = ab . Suy ra a b a₂ b₂ 4

b a b a ab

 +  + 

  

   . (1)

Mặt khác, ta có ₂=_a²+_b² ₂ _{a b}^{2 2} =₂_ab. suy ra ab1. (2) Từ (1) và (2), suy ra a b a₂ b₂ 4

b a b a

 +  + 

  

   .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= =1. b) Ta có

(

^{a b}⁺

)

⁵ ⁼

(

^a² ⁺²^{ab b}⁺ ²

)(

^a³⁺³^ab²⁺³^{a b b}² ⁺ ³

)

_.

Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có

( )

2 2 2 2 2 2 2 4

a + ab b+  ab a +b = ab;

(

^a³⁺³^ab²

) (

⁺ ³^{a b b}² ⁺ ³

) (

² ^a³⁺³^ab²

)(

³^{a b b}² ⁺ ³

)

⁼⁴ ^ab

(

¹⁺^b²

)(

^a²⁺¹

)

^.

Suy ra

(

^a²⁺²^{ab b}⁺ ²

)(

^a³⁺³^ab²⁺³^{a b b}² ⁺ ³

)

^¹⁶^{ab a}

(

²⁺¹

)(

^b² ⁺¹

)

^.

Do đó

(

^{a b}⁺

)

⁵ ^¹⁶^ab

(

¹⁺^a²

)(

¹⁺^b²

)

^.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= =1.

Dạng 3. Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

xác định trên tập D. Khi đó

( ) ( )

( )

o o

m x

a : ,

D

f x M x

f x M D f D

x x M

  

 

=  

 = .

( ) ( )

( )

o o

m n

i :,

D

f x m x

f x m D f D

x x m

  

 

=  

 = .

Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau a) ^A=

(

^x+¹

) (

²+ ^x+³

)

².

b) ^B=

(

^x+^y

)

²+³^y²−¹²^y−⁴^xy+²⁵.

(5)

Lời giải

a) Ta có ^A=²^x²+⁸^x+¹⁰=²

(

^x+²

)

²+ ² ². Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= −2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2, khi x= −2. b) Ta có B=x²+2xy+y²+3y²−12y−4xy+25

(

^x² ²^xy ^y²

) (

³ ^y² ⁴^y ⁴

)

¹³

= − + + − + + =

(

^x−^y

)

²+³

(

^y−²

)

²+^{13 13} .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2

2 x y

x y y

 =

 = =

 = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 13, khi x= =y 2.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) ^y⁼

(

^x⁺^{3 5}

)(

⁻^x

)

^với^{−  }³ ^x ⁵^.

b) y= x− +1 4−x. Lời giải

a) Vì −  3 x 5 nên x+ 3 0 và 5− x 0.

Suy ra y0. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= −3 hoặc x=5. Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có

(

^x^{+ + − }³

) (

⁵ ^x

)

²

(

^x⁺^{3 5}

)(

⁻^x

)

^hay⁸^ ^y ^{ }^y ¹⁶^.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x+ = −  =3 5 x x 1.

Vậy giá trị lớn nhất của y bằng 16, khi x=1; giá trị nhỏ nhất của y bằng 0, khi x= −3 hoặc x=5. b) Điều kiện: 1 x 4.

Ta có y0 và ^y² ^{= − + − +}^x ^{1 4} ^x ²

(

^x⁻^{1 4}

)(

⁻^x

)

^{= +}^{3 2}

(

^x⁻^{1 4}

)(

⁻^x

)

^.

Do đó y²3 suy ra y 3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1 hoặc x=4. Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có

( )( ) ( ) ( )

2 3 2 1 4 3 1 4 6

y = + x− −x  + − + −x x = suy ra y 6.

(6)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 4 ⁵ x− = −  =x x 2. Vậy giá trị lớn nhất của y bằng 6, khi ⁵

x= 2; giá trị nhỏ nhất của y bằng 3, khi x=1 hoặc x=4. Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a)

( )

²

f x x 1

= +x

− với x1.

b)

( )

²

g x x 2

= +x

+ với x −2. Lời giải

a) Vì x1 nên x− 1 0 và ² 0 1

x 

− . Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có

( )

² ¹ ¹ ² ^{1 2}

(

^{1 .}

)

² ^{1 2 2}

1 1 1

f x x x x

x x x

= + = + − +  + − = +

− − − .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

1 1

x x x

x

 − =

 −  = +

 



.

Vậy giá trị nhỏ nhất của ^{f x}

( )

^{là 1 2 2}⁺ ^{, khi}^x^{= +}¹ ²^.

b) Vì x −2 nên x+ 2 0 và ² 0 2

x 

+ . Áp dụng bất đẳng thức CôSi, ta có

( )

²

(

²

)

² ²

2 2

g x x x

x x

= + = + + −

+ + ²

(

^{2 .}

)

² ² ^{2 2} ²

x 2

 + x − = −

+ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 2

2 2

x x x

x

 + =

 +  = − +

  −



.

Vậy giá trị nhỏ nhất của ^{g x}

( )

^là²

(

^{2 1}⁻

)

^{, khi}^x^{= − +}² ²^.