64 bài tập Tích phân hàm lượng giác có lời giải – Trần Sĩ Tùng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác

Câu 1. I x x dx

x x

8cos2 sin2 3 sin cos

 







 ^{I }



^(sinx_sin^{cos )}_x^x_cos^24cos2_x ^xdx



^_



^{sinxcosx4(sinxcosx dx}



^_

x x C

3cos 5sin

   .

Câu 2. I x x x dx

x cot tan 2tan2

sin 4

 





 Ta có: I ^{x x} dx ^x dx ^x dx C

x x ² x x

2cot 2 2tan2 2cot 4 2 cos4 1

sin 4 sin 4 sin 4 2sin 4





 







  

Câu 3.

x

I dx

x x

cos2

8 sin2 cos2 2



 

  

 





 

 Ta có: x

I dx

x 1 cos 2

1 4

2 2 1 sin 2 4





 

   

    



x dx dx

x x x

2

cos 2

1 4

2 2 1 sin 2 4 sin 8 cos 8



  

   

    

   

               

 

x dx dx

x ² x

cos 2

1 4 1

2 3

2 2 1 sin 2 sin

4 8



 

   

    

 

 

   

        

     



 

x x C

1 ln 1 sin 2 cot 3

4 8

4 2

 

    

         

Câu 4. I dx

x x

3

2 3 sin cos









 

 I dx

3 x 1

2 1 cos 3



 

    

 



^{= I} ₂^dx_x

3

1 4 2sin

2 6



 

   

 



⁼ _{4 3}^{1 .}

Câu 5. I dx

x

6 0

1 2sin 3









 Ta có: I ⁶ dx ⁶ dx

1 1 12

2 sin sin

 

 









x x

dx dx

x x

x

6 6

0 0

cos3 cos 2 6 2 6

sin sin 3 2cos 2 6 .sin 2 6

    

  

   

  

   

   

 

 

   

      

   

 

x x

dx dx

x x

6 6

0 0

cos sin

2 6 2 6

1 1

2 sin 2 cos

2 6 2 6

   

 

     

   

   

 

   

 

   

   

 

^{ln sin}_{2 6}^{x}_{ 0}^{6 ln cos}_{2 6}^{x  }_{ 0}^{6 ...}

Câu 6. I ^{2 4}x ⁴x ⁶x ⁶x dx

0

(sin cos )(sin cos )







  ^.

 Ta có: (sin⁴xcos )(sin⁴x ⁶xcos )⁶x 33 7 cos4x 3 cos8x

64 16 64

    I 33

128

 .

Câu 7. I ² x ⁴x ⁴x dx

0

cos2 (sin cos )









 I ² x ² x dx ^{2 2} x d x

0 0

1 1 1

cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0

2 2 2

 

   

        

   

 

Câu 8. I ^{2 3}x ²x dx

0

(cos 1)cos .









 A = ^{2 5}_xdx ²



²_{x d}



² _x

0 0

cos 1 sin (sin )

 

 

 

⁼ ₁₅⁸

B = ^{2 2}x dx ² x dx

0 0

cos . 1 (1 cos2 ).

2

 

 

 

^{= }₄

Vậy I = 8 15 –

4

 .

Câu 9.

2 2

0

I cos xcos 2xdx







 I ^{2 2}x xdx ² x xdx ² x x dx

0 0 0

1 1

cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )

2 4

  









 



 

x x x ²

0

1( sin2 1sin 4 )

4 4 8

 

   

Câu 10. I xdx

x

2 3 0

4sin 1 cos









 x x x x x x x x

x x

3 3

2

4sin 4sin (1 cos ) 4sin 4sin cos 4sin 2sin2

1 cos sin

     



I ₀²(4sinx 2sin2 )x dx 2



 



 

Câu 11. I ² xdx

0

1 sin





 

 I ^{x x} dx ^{x x}dx

2 2 2

0 0

sin cos sin cos

2 2 2 2

   





   



 ^{2 x dx}

0

2 sin

2 4

   





  

x dx x dx

3 2 2

3 0

2

2 sin sin

2 4 2 4







 

 

     

         

 

 

 

^{4 2}

Câu 12. I dx x

4 0 cos6







^{ Ta có: I 4 2x 4x d x}

0

(1 2tan tan ) (tan ) 28 15







   ^.

Dạng 2: Đổi biến số dạng 1

Câu 13. I xdx

x x

sin2

3 4sin cos2





 

 Ta có: I ^{x x} dx

x x

2

2sin cos 2sin 4sin 2





  ^{. Đặt tsinx  I ln sinx 1} _sin¹_x1^C Câu 14. I dx

x x

3 5

sin .cos





 ^{I }



_sin³_x.cos^dx3_x.cos² _x ^8



_sin³₂^dx_x.cos² _x

Đặt ttanx. I t t t dt x x x C

t x

3 3 4 2

2

3 1 3 1

3 tan tan 3ln tan

4 2 2tan

  





         

Chú ý: x ^t

t² sin2 2

1

 . Câu 15. I dx

x ³x sin .cos





 I ^{dx dx}

x x ²x 2 x ²x

sin .cos .cos sin2 .cos









^{. Đặt ttanx dt dx}2_x ^{x t}_t2

; sin2 2

cos 1

  



dt t

I dt

t t

t

2

2

2 1 2 1

   



 

^



^(t1_t^{)dt t}₂^{2 lnt C  tan}₂^{2xln tanx C}

Câu 16. I x x xdx x

2011 2011 2009

5

sin sin cot

sin







 Ta có: I x xdx x xdx

x x

2011 2 2011 2

4 4

1 1

sin cot cot cot

sin sin

 









Đặt tcotx  I t tdt t t C

2 4024 8046

2011 2 2011 2011 2011 2011

t (1 )

4024 8046





   

= x x C

4024 8046

2011 2011

2011cot 2011cot

4024 8046 

Câu 17. I x xdx

x

2 0

sin2 .cos 1 cos









 Ta có: I ^{x x}dx x

2 2 0

sin .cos 2 1 cos







 ^{. Đặt t 1 cosx  I 2 t} _t ^2dt

1

2 ( 1) 2ln2 1





 

Câu 18. I ^{3 2}x xdx

0

sin tan







 Ta có: I x ^x dx ^{x x}dx

x x

3 3 2

2

0 0

sin (1 cos )sin sin .

cos cos

 









 ^{. Đặt tcosx}

 I ^u du u

1 2 2 1

1 ln2 3

8

 



  

Câu 19. I ²x x dx

2

sin (2 1 cos2 )









 

 Ta có: I ²xdx ²x xdx H K

2 2

2sin sin 1 cos2

 

 









  

+ H ²xdx x dx

2 2

2sin (1 cos2 )

2 2

 

 

  









   

+ K ²x ²x ²x xdx

2 2

sin 2cos 2 sin cos

 

 





 



^{2xd x}

2

2 sin (sin ) 2 3





 





I 2

2 3

  

Câu 20. I dx

x x

3

2 4

4

sin .cos









 I dx

x x

3

2 2

4

4. sin 2 .cos









^{. Đặt ttanx  dt}_cos^dx_2x ^.

t dt t

I t dt t

t t t

3 2 2 3 3 3

2 2 2

1 1 1

(1 ) 1 2 1 2 8 3 4

3 3

 

 

 









          Câu 21.

 

2

2 0

sin 2 2 sin

I x dx

x









 Ta có: I ^x dx ^{x x} dx

x x

2 2

2 2

0 0

sin2 2 sin cos (2 sin ) (2 sin )

 

 

 

 

^{. Đặt t 2 sinx.}

 I t dt dt t

t t

t t

3 3 3

2 2

2 2 2

2 1 2 2

2  2   2 ln 

        

   

 

^{2ln3 2}_{2 3}^

Câu 22. I x dx x

6 0

sin cos2







 I ^x dx ^x dx

x x

6 6

0 0 2

sin sin

cos2 2cos 1

 

 

 

 ^{. Đặt tcosx  dt sinxdx}

Đổi cận: x 0 t 1; x t 3

6 2

     

Ta được I dt t

t t

3 1

2

2 3

1 2

1 1 ln 2 2

2 2 2 2

2 1

   





 ⁼ _{2 2}^{1 ln 3 2 2}_{5 2 6}^_

Câu 23. I ²e^sin2x x ³x dx

0

.sin .cos .







^{ Đặt tsin2x  I = 1et t dt}

0

1 (1 )

2



 ^{= 1}₂^e1.

Câu 24. I 2sinx sin2x 1dx 2 6



    Đặt tcosx. I 3 ( 2) 16 

 

Câu 25. I x dx

x x

4

6 6

0

sin 4 sin cos









 I x dx x

4 0 2

sin 4 1 3sin 2

4







 ^{. Đặt t 1 3}₄^{sin 22 x  I =} _t ^dt

1 4 1

2 1 3

 

 

 



^{= t}

1 1 4

4 2

3 3.

Câu 26.

 

I x dx

x x

2 0 3

sin sin 3 cos









 Ta có: sinx 3 cosx 2cos x 6



 

    

 ;

x x

sin sin

6 6

 

  

    

 

 = 3sin x 1cos x

2 6 2 6

 

     

   

   

 I =

x dx

dx

x x

2 2

3 2

0 0

sin 6

3 1

16 cos 16 cos

6 6

  

 

 

  

  

     

   

   

 

⁼ ₆³

Câu 27. I x xdx

x

4 2

2 3

sin 1 cos cos











 I x x dx x x dx

x x

4 4

2

2 2

3 3

sin 1 cos . sin sin

cos cos

 

 

 





 



⁰ 2^x_x ^{x dx 4} 2^x_x ^{x dx}

0 3

sin sin sin sin

cos cos



 











= x dx x dx

x x

0 2 4 2

2 2

0 3

sin sin

cos cos













^7₁₂^{  3 1 .}

Câu 28. I dx

x x

6 0

1 sin 3 cos









 I dx

x x

6 0

1 sin 3 cos







 ^{= dx}

x

6 0

1 1

2 sin 3





  

 

 



^{= x dx}

x

6 0 2

1 sin 3

2 1 cos

3

 



 

  

 

 

   



^.

Đặt t cos x dt sin x dx

3 3

 

   

          I dt t

1 2 0 2

1 1 1 ln3

2 1 4

 





Câu 29. I ² x ²xdx

0

1 3 sin2 2cos







 

 I ² x x dx

0

sin 3 cos







 ^{= I 3 x x dx 2 x x dx}

0

3

sin 3 cos sin 3 cos

 







 



 ^{ 3 3}

Câu 30. I xdx

x x

2 0 3

sin

(sin cos )









 Đặt x t dx dt 2

      I ^{tdt xdx}

t t x x

2 2

3 3

0 0

cos cos

(sin cos ) (sin cos )

 

 

 

 

 2I dx dx x

x x x

2 2 4

2 2 0

0 0

1 1 cot( ) 1

2 2 4

(sin cos ) sin ( ) 4

  



      

 

 

^{ I 1}₂

Câu 31. I x xdx

x x

2 0 3

7sin 5cos (sin cos )



 





 Xét:

   

xdx xdx

I I

x x x x

2 2

1 3 2 3

0 0

sin ; cos

sin cos sin cos

 

 

 

 

^.

Đặt x t

2

  . Ta chứng minh được I1 = I2

Tính I1 + I2 =

 

dx dx x

x x x

2 2

2 2

0 0

1 tan( ) 2 1

2 4

sin cos 2cos ( ) 0

4

 

 

    

 

 

 I₁ I₂ 1

 2  I 7 –5I₁ I₂ 1.

Câu 32. I x xdx

x x

2 0 3

3sin 2cos (sin cos )



 





 Đặt x t dx dt 2

      I ^{t t}dt ^{x x}dx

t t x x

2 2

3 3

0 0

3cos 2sin 3cos 2sin (cos sin ) (cos sin )

 

 

 

 

 

 I I I ^{x x}dx ^{x x}dx dx

x x x x x x

2 2 2

3 3 2

0 0 0

3sin 2cos 3cos 2sin 1

2 1

(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )

  

 

     

  

  

^{ I 1}₂^.

Câu 33. I x x dx

2x

0

sin 1 cos







 Đặt x t dx dt I t tdt t dt I

t t

2 2

0 0

( )sin sin

1 cos 1 cos

  

 ^ 

        

 

 

t d t

I dt I

t t

2

2 2

0 0

sin (cos )

2 1 cos 1 cos 4 4 8

    

  ^{ }

 



  



     

Câu 34. I x x dx

x x

2 4

3 3

0

cos sin cos sin









 Đặt x t dx dt 2

      I t t dt x x dx

t t x x

0 4 2 4

3 3 3 3

0 2

sin cos sin cos

cos sin cos sin





  

 

 

 I ^{x x x x}dx ^{x x x x} dx xdx

x x x x

4 4 3 3

2 2 2

3 3 3 3

0 0 0

cos sin sin cos sin cos (sin cos ) 1 1

2 sin2

2 2

sin cos sin cos

  

 

   

 

  

 I 1

4.

Câu 35. I x dx

x

2 2

0 2

1 tan (cos ) cos (sin )



 

   

 

 



 Đặt x t dx dt 2

    

 I t dt

t

2 2

0 2

1 tan (sin ) cos (cos )



 

   

 

 



² 2 _x ^{2 x dx}

0

1 tan (sin ) cos (cos )



 

   

 

 



Do đó: I x x dx

x x

2 2 2

2 2

0

1 1

2 tan (cos ) tan (sin )

cos (sin ) cos (cos )



 

     

 

 



^{= 2dt}

0

2









 I 2

 .

Câu 36. I x xdx

x

4 0

cos sin 3 sin2



 





 Đặt usinxcosx I du u

2 1 4 2

 



 ^{. Đặt u2sint I tdt dt}

t

4 4

2

6 6

2cos 4 4sin 12

 

 

    







^.

Câu 37. I x dx

x x

3 0 2

sin cos 3 sin









 Đặt t 3 sin ²x= 4 cos ²x . Ta có: cos²x 4 t²và dt ^{x x} dx

2x sin cos

3 sin

  .

I = x dx

x x

3 0 2

sin .

cos 3 sin





 ^{= x x dx}

x x

3

2 2

0

sin .cos cos 3 sin





 ^{= dt}_t

15 2

3 4 2



⁼ _{t t} ^dt

15 2

3

1 1 1

4 2 2

 

    

 



= ^t t

15 2 3

1ln 2

4 2



 = 1 ln 15 4 ln 3 2

4 15 4 3 2

   

  

   

 

= 1 ln 15 4 ln 3 2

     

2    .

Câu 38. I x x x xdx

x x

2

3 3 2

3

( sin )sin sin sin





 







 I x dx dx

x x

2 2

3 3

2

3 sin 3 1 sin

 

 

 

 

 ^.

+ Tính I x dx

x

2

1 3 2

3 sin







 ^{. Đặt u x}_dv ^{dx du dx}_{v x}

2x cot

sin

   

    

  I₁

3

 

+ Tính I = dx dx dx

x x x

2 2 2

3 3 3

2 3 3 3 2

4 2 3

1 sin 1 cos 2cos

2 4 2

  

  ^   ^   ^{ }

      

   

  

Vậy: I 4 2 3

3

    .

Câu 39. x dx

x x

I

²

2 2

0

sin2 cos 4sin



 



 x x dx

I

² x

0 2

2sin cos 3sin 1







 ^{. Đặt u 3sin2x1 }

I

^{2 udu}_u ^2du

1 1

23 2 2

3 3

 

  

Câu 40.

I x dx

x

6 0

tan 4

cos2

   





 I x dx x dx

x x

6 6 2

0 0 2

tan 4 tan 1

cos2 (tan 1)

   

   

 

  

 

 ^{. Đặt t x dt} 2_x^{dx 2x dx}

tan 1 (tan 1)

   cos  

 I dt

t t

1 1

3 3

2 0

0

1 1 3

1 2

( 1)

    

 



^.

Câu 41. I x dx

x x

3

6

cot sin .sin

4



 

   



 I x dx

x x

3 2 6

2 cot

sin (1 cot )









 ^{. Đặt 1 cot x t} 2_x^{dx dt}

1

sin  

 ^{I 3 1t} _t ^dt



^{t t}



^{3 1}3 1 3 1

1 2

2 2 ln 2 ln 3

3

 





 

       

 



Câu 42. I dx

x x

3

2 4

4

sin .cos









 Ta có: I dx

x x

3

2 2

4

4. sin 2 .cos









^{. Đặt t} tan^{x dx dt}_t2

  1



 I t dt t dt t t

t t t

2 2 3 3

3(1 ) 3( 1 2 2) ( 1 2 ) 8 3 4

2 2 3 3

1 1 1

 

          

Câu 43. I x dx

x x x

4 0 2

sin

5sin .cos 2cos









 Ta có: I ^x dx

x x x

4

2 2

0

tan . 1

5tan 2(1 tan ) cos







  ^{. Đặt ttanx,}

 I t dt dt

t t

t t

1 1

0 2 0

1 2 1 1ln3 2ln2

3 2 2 1 2 3

2 5 2

 





  



      

Câu 44. xdx

x x x

I ⁴ _{4 2} ²

4

sin

cos (tan 2 tan 5)



  





 Đặt t x dx ^dt t²

tan 1

  

  I ^{t dt dt}

t t t t

2

1 1

2 2

1 1

2 ln2 3

2 5 3 2 5

 

   

   

 

Tính I ^dt

t t

1

1 2

1 2 5







  ^{. Đặt t u I}1 ^{0 du}

4

1 tan 1

2 2 _ 8





   



 ^{. Vậy I  2 ln2 3}₃^ ₈^{ .}

Câu 45. I xdx x

2 2

6

sin sin3









^.

 I ^x dx ^x dx

x x x

2 2 2

3 2

6 6

sin sin

3sin 4sin 4cos 1

 

 

 

 

 

Đặt tcosxdt sinxdx I ^{dt dt}

t t

3

0 2

2 0 2

3 2

1 1 ln(2 3)

4 1 4

4 1

4

    

 

 

Câu 46. I x xdx

x

2 4

sin cos 1 sin2





 





 Ta có: 1 sin2 x  sinxcosx sinxcosx (vì x ; 4 2

 

 

  )

 I x xdx

x x

2 4

sin cos sin cos





 



 ^{. Đặt tsinxcosxdt(cosxsin )x dx}

I dt t

t

2 2 1 1

1 ln 1ln2

 



 2

Câu 47. I ^{26 3}x x ⁵xdx

1

2 1 cos .sin .cos







 Đặt t x t x t dt x xdx dx t dt

x x

6 3 6 3 5 2 5

2

1 cos 1 cos 6 3cos sin 2

cos sin

        

t t

I t t dt

1 7 13 1

6 6

0 0

2 (1 ) 2 12

7 13 91

 

       

 



Câu 48. I xdx

x x

4 0 2

tan cos 1 cos









 Ta có: I xdx

x x

4

2 2

0

tan

cos tan 2







 ^{. Đặt t 2tan2x   t2 2 tan2xtdt}_cos^tan2x_x^dx



3 3

2 2

3 2





^tdt 



 

I dt

t

Câu 49. I x dx

x x

2 0 3

cos2 (cos sin 3)







  ^{ Đặt tcosxsinx3  I 4t}_t3 ^dt 2

3 1

32





   ^.

Câu 50. I x dx

x x

4

2 4

0

sin 4

cos . tan 1









 Ta có: I x dx

x x

4

4 4

0

sin 4 sin cos







 ^{. Đặt t sin4xcos4x I dt}

2 2 1

2 2 2

  



  ^.

Câu 51. I x dx

x

4 0 2

sin 4 1 cos









 Ta có: I ^{x x} dx x

4 2 0 2

2sin2 (2cos 1) 1 cos



 



 ^{. Đặt tcos 2x I} _t^{t dt}

1 2 1

2(2 1) 2 6ln1

1 3

    



 ^.

Câu 52.

I x dx

x

6 0

tan( ) cos2 4

 _





 Ta có: ^{6 2} ₂

0

tan 1

(tan 1)



  



^x

I dx

x . Đặt ttanx 

1 3

2 0

1 3

( 1) 2

   



^dt

I t .

Câu 53.

6 3

0

tan cos 2







^x

I dx

x

 Ta có: 6 tan3 6 tan3

2 2 2 2

cos sin cos (1 tan )

0 0

 

   

 

x x

I dx dx

x x x x

.

Đặt ttanx 

3

3 3 1 1 2

2 6 2ln3

0 1

    



I t dt

t

.

Câu 54. I x dx

x

2 0

cos 7 cos2







 ^{ I x dx}

x

2

2 2

0

1 cos

2 2 sin 6 2



  





Câu 55. dx

x x

3

4 3 5

4 sin .cos







 Ta có: dx

x x

x

3

3 8

4 4 3

1 sin .cos cos







_x^dx

x

3 4 3 2 4

1 . 1 tan cos









^.

Đặt ttanx  I t dt

 

3 3 4 8 1

4 3 1





  

Câu 56.

3

2 0

cos cos sin

( )

1 cos

x x x

I x dx

x

  







 Ta có: I x x x x dx x x dx x x dx J K

x x

2

2 2

0 0 0

cos (1 cos ) sin .cos . .sin

1 cos 1 cos

      





   







  

+ Tính J x x dx

0

.cos .







^{. Đặt }_^{u x}_dv^_cosxdx^_^{du dx}_v^_sinx ^{  J 2}

+ Tính K x x dx

2x

0

.sin 1 cos





 ^{. Đặt x   t dx dt}

t t t t x x

K dt dt dx

t t x

2 2 2

0 0 0

( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin

1 cos ( ) 1 cos 1 cos

      



   

   

   

  

x x x x dx x dx

K dx K

x x x

2 2 2

0 0 0

( ).sin sin . sin .

2 1 cos 1 cos 2 1 cos

 ^{ }   

    

  

  

Đặt tcosx K dt t

1 1 2

2 1





 



 ^{, đặt ttanudt (1 tan )2u du}

K u du du u

u

2 2

4 4

2 4

4 4 4

(1 tan ) .

2 1 tan 2 2 4

 



  

   

  

     







Vậy I ² 2

4

 

Câu 57.

2

2 6

I cos

sin 3 cos









^{x dx}

x x

 Ta có: ²

2 2

6

sin cos

sin 3 cos









^x  ^x

I dx

x x

. Đặt t 3 cos ²x

 I ^dt

 

t

15 2

3 2

1 ln( 15 4) ln( 3 2) 4 2

    





Dạng 3: Đổi biến số dạng 2

Câu 58. I 2sinx sin2x 1.dx 2 6



  

 Đặt cosx 3sin , 0t t

2 2



 

      I = ^{4 2}tdt

0

3 cos 2





^{= 3}_{2 4 2}^_^{ 1}_^.

Câu 59.

2

2 2

0

3sin 4 cos 3sin 4 cos



 



^x ^x

I dx

x x

 ² ₂ ² ₂ ² ₂

0 0 0

3sin 4 cos 3sin 4 cos

3 cos 3 cos 3 cos

  

   

  



^{x x}



^x



^x

I dx dx dx

x x x

2 2

2 2

0 0

3sin 4 cos

3 cos 4 sin

 

 

 



^x_x^dx



^x_x^dx

+ Tính

2

1 2

0

3sin 3 cos







 ^x

I dx

x . Đặt t cosxdt sinxdx  ₁ ¹ ₂

0

3

 3



^dt

I t

Đặt t 3 tanudt 3(1 tan ²u du  ) ₁ ⁶ ₂²

0

3 3(1 tan ) 3

3(1 tan ) 6





  



 ^{u du}

I u

+ Tính

2 4 cos







^{x . Đặt    }



^{1 4dt1 }

Vậy: ³ ln 3 6

  I

Câu 60. I x dx

x x

4

2 6

tan cos 1 cos











 Ta có: I x dx x dx

x x

x x

4 4

2 2

2

6 2 6

tan tan

1 cos tan 2

cos 1

cos

 

 

 

 

 

Đặt u x du dx

2x tan 1

  cos  I u dx

u

1 1 2 3

 2



 ^{. Đặt t u dt u du}

u

2

2 2

    2

 .

I ³dt t ³

7 73

3

7 3 7

3 .

3 3

 



    

Câu 61.

x

I dx

x x

2

4

sin 4 2sin cos 3







  

 

 







 Ta có:

 

x x

I dx

x x

2

2 4

1 sin cos

2 sin cos 2





  

 



^{. Đặt tsinxcosx  I 1}_t2 ^dt

0

1 1

2 2

 





Đặt t 2 tanu  I u du

u

arctan 1

2 2

0 2

1 2(1 tan ) 1arctan 1

2 2tan 2 2 2

    





Dạng 4: Tích phân từng phần

Câu 62. I x xdx x

3 2 3

sin cos









^.

 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:

x dx

I xd J

x x x

3 3 3

3 3 3

1 4 ,

cos cos cos 3

  

  



  

 

     

 

 

^{với J 3 dx}_x

3

cos









Để tính J ta đặt tsin .x Khi đó J ^{dx dt t}

x t t

3 3

3 2 2

2 3

3 2

3 2

1ln 1 ln2 3

cos 1 2 1 2 3



 _

 

 

     

 

 



Vậy I 4 ln2 3.

3 2 3

 

 



Câu 63. I x e dx^x x

2 0

1 sin . 1 cos



  

 



  

 Ta có:

x x

x x

x x

x 2 2

1 2sin cos

1 sin 2 2 1 tan

1 cos 2cos 2cos 2

2 2

 

  



 I e dx^x e^x xdx x

2 2

0 2 0

tan2 2cos 2

 









^{= e2}



Câu 64.

 

x x

I dx

x

4 0 2

cos2 1 sin2









 Đặt ^{u x}dv x dx ^{du dx}v

x x ²

cos2 1

1 sin2 (1 sin2 )

   

 

    

   



 I x dx dx

x x x

4 4

0 0 2

1 1 1 1 1 1 1

. 2 1 sin2. 40 2 1 sin2 16 2 2.cos

4

 

 



 

           

 

 

 

1 1. tan x 4 1 2. 0 1 2

16 2 2 4 0 16 2 2 4 16

     

           

 