• Không có kết quả nào được tìm thấy

Bất đẳng thức lớp 10 và cách giải bài tập | Toán lớp 10

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Bất đẳng thức lớp 10 và cách giải bài tập | Toán lớp 10"

Copied!
65
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình Dạng 1: Bất đẳng thức lớp 10 và cách giải 1. Lý thuyết

a. Định nghĩa bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a < b” được gọi là bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề “a < b c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b c < d.

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b c < d.

b. Tính chất của bất đẳng thức:

Tên gọi và điều kiện Nội dung

Cộng hai vế của bất đẳng thức với số bất kì a  +  +b a c b c Nhân hai vế của bất

đẳng thức với một số

c > 0 a b acbc c < 0 a b acbc Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều a b

a c b d

c d

 

 +  +

  Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều 0 a b

ac bd

0 c d

  

 

  

 Nâng hai vế của bất

đẳng thức lên một lũy thừa

n * a b a2n 1+ b2n 1+ n * và a > 0 a b a2n b2n Khai căn hai vế của

một bất đẳng thức

a > 0 a b a b

a bất kỳ a b 3a 3 b

Chú ý

Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

(2)

c. Bất đẳng thức Cô-si:

a 0; b 0

   thì ta có: a b 2 ab.

+  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

a 1 2, a 0.

+ a  

Hệ quả 2: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.

Hệ quả 3: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

d. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có các tính chất cho trong bảng sau:

Điều kiện Nội dung

| x | 0, | x | x, | x | −x

a > 0

| x | a  −  a x a

x a

| x | a

x a

  −

   

| a | | b |

| a | | b | | a−  +b | + 2. Các dạng toán

Dạng 1.1: Chứng minh bất đẳng thức nhờ định nghĩa a. Phương pháp giải:

Để chứng minh A B (hoặc A > B), ta làm các bước sau:

Bước 1: xét hiệu A – B.

Bước 2: chứng minh A B 0−  ( hoặc A – B > 0).

Sử dụng linh hoạt kiến thức ở phần lý thuyết để chứng minh ở bước 2.

Bước 3: kết luận.

Bước 4: xét A = B khi nào?

b. Ví dụ minh họa:

(3)

Ví dụ 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: a b 2 b + a . Hướng dẫn:

Ta có:

2 2

2

b 2a 0

a b a (a b)

b a 2 ab a

b

b

+ − = + − = −  (do a, b > 0)

Vậy a b 2 b + a .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý, chứng minh rằng: a2 +b2 + c ab2 +bc+ca. Hướng dẫn:

Xét biểu thức: M a= 2 +b2 +c – ab bc ca2

(

+ +

)

. Suy ra:

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2M 2a 2b 2c 2ab – 2bc – 2ca

a – 2ab b b – 2bc a

( ) ( c c – 2ca

a – b b – c c –

) a

) (

= + +

= + +

+

+ + +

= +

Vì:

(

a – b

)

2 0; b – c

( )

2 0; c – a

( )

2 0.

Do đó

(

a – b

) (

2 + b – c

) (

2 + c – a

)

2 0.

Suy ra 2a2 +2b2 +2c2 −2ab – 2bc – 2ca 0 hay a2 +b2 +c – ab bc ca2

(

+ +

)

0 Vậy a2 +b2 + c ab2 +bc+ca.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 1.2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si a. Phương pháp giải:

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

- Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì các số phải là những số không âm

- Bất đẳng thức Cô-si thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích

- Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau

(4)

- Bất đẳng thức Cô-si còn có hình thức khác thường hay sử dụng:

Đối với hai số: x2 +y2 2xy; x+y2 xy với mọi x; y0 Đối với ba số:

3 3 3

abc a

3 b +c

 +

; a+ + b c 3 abc3 với mọi a;b;c0 b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:

x y z 1 1 1

yz + zx + xy  + +x y z. Hướng dẫn:

Vì x, y, z là các số thực dương suy ra x , y , z

yz zx xy là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

x y x y 2

2. .

yz + xz  yz xz = z (1)

x z x z 2

2. .

yz + xy  yz xy = y (2)

z y z y 2

2. .

xy+ zx  xy zx = x (3)

Cộng các vế của (1), (2) và (3) ta được 2 x y z 2 1 1 1

yz zx xy x y z

 + +   + + 

   

   

Hay x y z 1 1 1

yz +zx + xy  + +x y z

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Ví dụ 2: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

1 4 9

a + + b c 36? Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương ta có:

(5)

1 1

36a 2 .36a 12

a +  a = (1)

4 4

36b 2 .36b 24

b +  b = (2)

9 9

36c 2 .36c 36

c +  c = (3)

Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) ta được

1 4 9 1 4 9

36(a b c) 72 36

a + + +b c + +   + + a b c (do a + b + c = 1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 36a; 4 36b; 9 36c

a = b = c = và a + b + c = 1 hay

1 1 1

a ; b ; c

6 3 2

= = = .

Dạng 1.3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nhờ bất đẳng thức

a. Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,… để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 16

P x , x 0

= + x  . Hướng dẫn:

Ta có: 2 16

P x

= + x 2 8 8

x x x

= + + . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số, ta có:

2 8 8

x + +x x 3 x . .3 2 8 8 12

 x x = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 8 8

x x 2

x = x

=  = .

(6)

Ví dụ 2: Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 300 m, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Giả sử hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là a, b (0 < a, b < 150) (đơn vị: mét)

Từ giả thiết, ta có a + b = 300 : 2 = 150 (m) Diện tích hình chữ nhật là S=a.b (m2). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

a b

a.b a.b 75 ab 5625 S 5625

2

 +       .

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 5625 m . 2 Dấu bằng xảy ra a b

a b 75.

a b 150

 =

 = =

 + =

3. Bài tập tự luyện 3.1 Tự luận:

Câu 1: Cho a, b là hai số tùy ý. Chứng minh rằng :

2 2 2

a b a b

2 2

+  + 

   . Hướng dẫn:

Xét hiệu:

2 2 2

a b a b

2 2

+ −  +  = 2 a

(

2 b2

)

a2 2ab b2

4 4

+ + +

= 1

(

2a2 2b2 a2 b2 2ab

)

4 + − − − = 1

(

a b

)

2 0

4 − 

Vậy

2 2 2

a b a b

2 2

+  + 

   . Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực, chứng minh rằng:

( )

2 2 2 2 2

a +b + +c d +e a b+ + +c d e . Hướng dẫn:

(7)

Xét hiệu:

( )

2 2 2 2 2

4(a +b + +c d +e )−4a b+ + +c d e

(

a2 4ab 4b2

) (

a2 4ac 4c2

) (

a2 4ad 4d2

) (

a2 4ac 4e2

)

= − + + − + + − + + − +

(

a 2b

) (

2 a 2c

) (

2 a 2d

) (

2 a 2e

)

2 0

= − + − + − + − 

Vậy 4(a2 +b2 + +c2 d2 +e )2 4a b

(

+ + +c d e

)

suy ra

( )

2 2 2 2 2

a +b + +c d +e a b+ + +c d e Dấu “=” xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e.

Câu 3: Chứng minh rằng:

(

b+c c

)(

+a

)(

a+b

)

8abca, b,c0.

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

( )( )( )

a b 2 ab

b c 2 bc a b b c c a 8abc c a 2 ca

+  

+   + + +  +  

. Dấu “=” xảy ra  = =a b c.

Câu 4: Chứng minh rằng:

2 2

a 8

4

a 4

+ 

+

( )

a .

Hướng dẫn:

Ta có:a2 + =8 (a2 +4)+42 (a2 +4).4( theo bất đẳng thức Cô-si)

Do đó: 2

(

2

)

2 2

2 a 4 .4 a 8

4

a 4 a 4

+  + =

+ +

Dấu “=” xảy ra a2+ =  =4 4 a 0.

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

a 2bc+b 2ac +c 2ab 9

+ + + (1)

Hướng dẫn:

Đặt x = a2 +2bc; y = b2 +2ac; z = c2 +2ab( do a, b, c > 0 nên x, y, z > 0) Ta có: x + + =y z

(

a+ +b c

)

2 =1
(8)

Với x + y + z = 1 và x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta có:

x+ + y z 3.3 xyz và 1 1 1

x + + y z 3.3 1 xyz

(

x y z .

)

1 1 1 9

x y z

 

+ +  + + 

 

Suy ra 1 1 1 9 x y z

 + + 

 

  hay 2 1 2 1 2 1 9

a 2bc+b 2ac +c 2ab 

+ + + .

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 2

2

4x 3x 9

y x

− +

= ; x0. Hướng dẫn:

Xét hàm số

4 2

2

4x 3x 9

y x

− +

= 2 92

4x 3

= + x − . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 2 92

4x + x 2 4x .2 92

 x =12 y 9 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 2

2

4x 3x 9

y x

− +

= là 9 khi 2 92

4x = x 2 3

x 2

 = x 6

 =  2 .

Câu 7: Cho x2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x

( )

x 2

x

= − . Hướng dẫn:

Ta có f x

( )

0

( )

2 2 2 2

( )

x 2 1 2 1 1 1 1 1 2

f x 2 0 f x

x x x 8 x 4 8 2 2 4

−  

= = − = − −     =

   

    .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2

4 đạt được khi x=4.

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất Mvà giá trị nhỏ nhất m của hàm số

y= 6 2x− + 3 2x+ . Hướng dẫn:

(9)

Tập xác định của hàm số D 3;3 2

 

= − .

Ta thấy y 0 x 3;3 2

 

   − .

y2 9 2

(

6 2x 3

)(

2x

)

9 x 3;3

2

 

= + − +    − .

Suy ra y3; x 3;3 2

 

  − .

Dấu bằng xảy ra khi x 3

2 x 3

 = −



 =

. Vậy

x 3;3 2

Min y 3

 −

= .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 2

(

62x 3 2x

)(

+

) (

62x

) (

+ +3 2x

)

=9 với

x 3;3 2

 

  − .

Suy ra y2 18, x 3;3 y 3 2, x 3;3

2 2

   

   −     − .

Dấu bằng xảy ra khi 3

6 2x 3 2x x

− = +  =4. Vậy

x 3;3 2

Max y 3 2

 −

= .

Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn ab 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 2

a b 2a 2b

P 1

b a b a

= + − − − . Hướng dẫn:

Ta có:

2 2

2 2

a b 2a 2b

P 1

b a b a

= + − − −

(10)

2 2

2 2

a 2a b 2b

1 1 3

b b a a

   

= − + +  − + −

   

2 2

a b

1 1 3 3

b a

   

= −  + −  −  −

    .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a 1

b a b 0

b 1 a

 =  = 

 =



.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi a=b (a,b0).

Câu 10: Người ta dùng 100 m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được?

Hướng dẫn:

Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x, y > 0; y là cạnh của bức tường).

Ta có: 2x+ =y 100.

Diện tích hình chữ nhật là :

( ) ( )

2

Cosi 2 2

x y

y 2 1 1

S xy 2.x. 2. 2x y 100 1250

2 2 8 8

 + 

 

= =    = + = =

 

 

.

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 1250 m khi 2 y

x y 2x x 25m

=  =2  =

; y=50m.

3.2 Trắc nghiệm:

Câu 1: Cho các bất đẳng thức a > b và c > d. Bất đẳng thức nào sau đây đúng A. a−  −c b d.

B. a+  +c b d. C. acbd. D. a b

c  d.

(11)

Hướng dẫn:

Chọn B.

Theo tính chất bất đẳng thức, a b

a c b d

c d

   +  +

  .

Câu 2: Suy luận nào sau đây đúng?

A. a b 0

ac bd

c d 0

  

 

  

.

B. a b

a c b d

c d

 

 −  −

  .

C. a b

ac bd

c d

 

 

  . D. a b a b

c d c d

   

  . Hướng dẫn

Chọn A.

a b 0

ac bd

c d 0

  

 

  

 đúng theo tính chất nhân hai bất đẳng thức dương cùng chiều.

Câu 3: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?

A. 6a 3a. B. 3a6a.

C. 6 3a−  −3 6a. D. 6+  +a 3 a. Hướng dẫn Chọn D.

Ta có 6+  +a 3 a  + − − 6 a 3 a 0 3 0 đúng với mọi số thực a.

Câu 4: Cho a, b là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(12)

A. a  − b a b 0. B. a b 0 1 1

a b

    . C. a  b a3 b3. D. a b a2 b2. Hướng dẫn

Chọn D.

Các mệnh đề A, B, C đúng.

Mệnh đề D sai. Ta có phản ví dụ: 2−  −5 nhưng

( )

2 2 = 4 25= −

( )

5 .2

Câu 5: Cho a > b khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 2a2b.

B. a −  b c, c . C. −  −a b.

D. accb, c  . Hướng dẫn

Chọn C.

Đáp án A sai ví dụ 2 0 2.22.0 Đáp án B sai với a = 3, b = 2, c = -2.

Đáp án C đúng vì −  −  a b a b.

Đáp án D sai khi c0.

Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. a + b a + b .

B. x   −  a a x a,

(

a0

)

.

C. a b acbc,

(

 c

)

.

D. a+ b 2 ab,

(

a0, b0

)

.

Hướng dẫn

(13)

Chọn C.

Các đáp án A, B đều đúng theo tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đáp án D đúng theo bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm a và b.

Đáp án C sai khi c < 0 (vì khi nhân 2 vế của một bất đẳng thức với một số âm thì ta được bất đẳng thức mới đổi chiều bất đẳng thức đã cho).

Câu 7: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a + b = 4. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tích a.b có giá trị nhỏ nhất là 2.

B. Tích a.b không có giá trị lớn nhất.

C. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 4.

D. Tích a.b có giá trị lớn nhất là 2.

Hướng dẫn Chọn C.

Với mọi số thực a và b ta luôn có:

(

a b

)

2

a.b a.b 4.

4

 +   Dấu “=” xảy ra  = =a b 2.

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x

( )

2x 3

= + x với x > 0 là:

A. 4 3. B. 2 6. C. 6. D. 2 3. Hướng dẫn Chọn B.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 3

2x 2 6

+ x suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng 2 6 .

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x− +2 4 x− .

(14)

A. 2.

B. 2. C. 2− 2. D. 0.

Hướng dẫn Chọn B.

A= x− +2 4 x− có tập xác định D=

 

2;4 .

Ta có: A2 = +2 2

(

x2 4

)(

x

)

  2 A 2, dấu bằng xảy ra khi x = 2 hoặc x

= 4.

Câu 10: Cho các mệnh đề sau a b

( )

b + a 2 I ; a b c 3 II

( )

b + + c a ; 1 1 1 9

( )

III

a + + b c a b c + + Với mọi giá trị của a, b, c dương ta có:

A. (I) đúng và (II), (III) sai.

B. (II) đúng và (I), (III) sai.

C. (III)đúng và (I), (II) sai.

D. (I), (II), (III) đúng.

Hướng dẫn Chọn D.

Với mọi a, b, c dương ta luôn có:

a b a b a b

2 . 2

b + a b a  + b a , dấu bằng xảy ra khi a = b. Vậy (I) đúng.

a b c 3 a b c a b c

3 . . 3

b + + c a b c a  + + b c a , dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (II) đúng.

(15)

(

a b c .

)

1 1 1 3 abc.33 3 1 9

a b c abc

 

+ +  + +  =

1 1 1 9

a b c a b c

 + + 

+ + , dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy (III) đúng.

(16)

Dạng 2: Bất phương trình bậc nhất 1. Lý thuyết

a. Bất phương trình một ẩn:

- Bất phương trình ẩn x là một mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x)

(

f (x)g(x)

)

trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức của x.

- Điều kiện xác định của bất phương trình là điều kiện của ẩn số x để các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa.

- Giá trị x0 thỏa mãn điều kiện xác định sao cho f (x0)g(x ) (f (x )0 0 g(x ))0 là một mệnh đề đúng thì x0 là một nghiệm của bất phương trình f(x0)g(x0)

0 0

(f (x )g(x )).

- Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

b. Một số phép biến đổi bất phương trình:

- Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng). Ta dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

- Một số phép biến đổi tương đương:

Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình P(x) < Q(x); f(x) là biểu thức xác định với  x D thì:

+) P(x) < Q(x)P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

Nhận xét: P(x) < Q(x) + f(x)P(x) − f(x) < Q(x) +) P(x) < Q(x) P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0,x P(x) < Q(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0,x

+) P(x) < Q(x) P (x)2 Q ( )2 x nếu P(x)0, Q(x) 0, x.

2. Các dạng toán

Dạng 2.1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất a. Phương pháp giải:

(17)

- Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: ax+ b 0, ax+ b 0, ax+ b 0, ax+ b 0 với a, b .

- Giải và biện luận bất phương trình dạng: ax+ b 0 (1).

+) Nếu a0 thì (1) ax b x b

  −   −a

Tập nghiệm của bất phương trình là S b; a

 

= − +  +) Nếu a0 thì (1) ax b x b

  −   −a

 Tập nghiệm của bất phương trình là S ; b a

 

= − − 

+) Nếu a=0 thì (1)0.x  −b. Khi đó, ta xét:

Với b−  0 Tập nghiệm của bất phương trình là S=  Với b−  0 Tập nghiệm của bất phương trình là S=

Lưu ý: Ta giải tương tự với ax+ b 0, ax+ b 0, ax+ b 0.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình sau: mx + 6 < 2x + 3m (1).

Hướng dẫn:

Ta có: (1)(m−2 x) 3m−6.

+) Với m – 2 = 0m = 2: bất phương trình trở thành 0.x0, suy ra bất phương trình vô nghiệm.

+) Với m−   2 0 m 2: 3m 6

(1) x 3

m 2

  − =

− , suy ra bất phương trình có nghiệm x < 3.

+) Với m−   2 0 m 2: 3m 6

(1) x 3

m 2

  − =

− , suy ra bất phương trình có nghiệm x > 3.

Vậy:

Với m = 2 tập nghiệm của bất phương trình là S= .

(18)

Với m > 2 tập nghiệm của bất phương trình là S= −( ;3). Với m < 2 tập nghiệm của bất phương trình là S=(3;+).

Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2

(

x 1− 

)

2x 1+

tập nghiệm là S =

1;+

)

.

Hướng dẫn:

Bất phương trình tương đương với

(

2m2 x

)

m 1.+

+) Với 2m− =  =2 0 m 1: bất phương trình trở thành 0.x2, suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Với 2m−   2 0 m 1 , bất phương trình tương đương với

m 1 m 1

x S ; .

2m 2 2m 2

+  + 

 −  =  − +  Do đó, yêu cầu bài toán m 1

1 m 3

2m 2

 + =  =

− (thỏa mãn m > 1).

+) Với 2m−   2 0 m 1, bất phương trình tương đương với

m 1 m 1

x S ;

2m 2 2m 2

+  + 

 −  = − − : không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

Dạng 2.2: Dấu của nhị thức bậc nhất a. Phương pháp giải:

- Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b trong đó a, b là hai số

đã cho, a 0 .

- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất: Nhị thức f(x) = ax + b ( a0) cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng b,

a

− +

 

  và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng , b

a

− − 

 

 .

Ta có bảng xét dấu của nhị thức f(x) = ax + b ( a0) như sau:

(19)

x − b

−a +

f(x) = ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a Minh họa bằng đồ thị

- Áp dụng vào giải phương trình:

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

Ta vận dụng định lý dấu của nhị thức bậc nhất để xét dấu f(x).

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu nhị thức: f(x) = 16 - 8x.

Hướng dẫn:

Ta thấy nhị thức f(x) có nghiệm x = 2, hệ số a = -8 < 0 nên ta có bảng xét dấu như sau:

x − 2 +

f(x) + 0 −

Vậy f(x) > 0 khi x −( , 2); f(x) < 0 khi x(2;+).

Ví dụ 2: Xét dấu nhị thức f(x) = mx - 1 với m là một tham số đã cho.

Hướng dẫn:

+) Nếu m = 0 thì f(x) = -1 < 0 với mọi x.

+) Nếu m ≠ 0 thì f(x) là một nhị thức bậc nhất có nghiệm 0 1

x = m. Ta có bảng xét dấu nhị thức f(x) trong hai trường hợp m > 0 và m < 0 như sau:

(20)

Với m > 0:

x − 1

m +

f(x) − 0 +

Vậy f(x) < 0 khi 1

x ,

m

 

 − ; f(x) > 0 khi 1

x ;

m

 

 +. Với m < 0:

x − 1

m +

f(x) + 0 −

Vậy f(x) > 0 khi 1

x ,

m

 

 − ; f(x) < 0 khi 1

x ;

m

 

 +. Dạng 2.3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Phương pháp giải:

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:

ax+by+ c 0,ax+by+ c 0,ax+by+ c 0,ax+by+ c 0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.

- Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax+by+ c 0, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng d: ax by c 0+ + = Bước 2: Lấy điểm M x ; y

(

0 0

)

không thuộc d.

Bước 3: Tính ax0+by0+c và so sánh ax0 +by0 +c với 0.

Bước 4: Kết luận:

Nếu ax0 +by0 + c 0 thì nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0+ +  .

Nếu ax0 +by0 + c 0 thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+ c 0.

(21)

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình sau:

x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 – x).

Hướng dẫn:

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3x + 4y + 11 < 0.

Ta vẽ đường thẳng d: 3x + 4y + 11 = 0.

Ta thấy (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình 3x + 4y + 11 < 0.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm (0;

0).

Ví dụ 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình:

2x− 2y+ 2− 2 0. Hướng dẫn:

Trước hết, ta vẽ đường thẳng d : 2x− 2y+ 2− =2 0.

Ta thấy (0; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho (vì 2− 2 0).

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm (0; 0).

(22)

Dạng 2.4: Xét dấu một biểu thức a. Phương pháp giải:

- Trước tiên ta biến đổi biểu thức P(x) về dạng gồm tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất. Sau đó, để xét dấu biểu thức P(x), ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm các nghiệm P(x) hoặc những điểm làm cho P(x) không xác định (tức nghiệm của mẫu thức, nếu có).

Bước 2: Lập bảng xét dấu của P(x).

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu để kết luận.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức f x

( )

4 3 .

3x 1 2 x

= − −

+ −

Hướng dẫn:

Ta có: f x

( )

= −3x 14+ 23x = x323x 14+ =

(

x5x 112 3x 1

)(

+ +

)

.

Ta có: 5x 11 0 x 11; x 2 0 x 2

+ =  = − 5 − =  = và 3x 1 0 x 1. + =  = −3 Bảng xét dấu:

(23)

x − 11

− 5 1

−3 2 +

5x + 11 − 0 + + + x - 2 − − − 0 + 3x + 1 − − 0 + +

f(x) − 0 + − + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng:

( )

11 1

( )

f x 0 khi x ; 2; .

5 3

 

  − −  +

11 1

f (x) 0 khi x ;2

5 3

;  

   −−  − 

 

  . f(x) = 0 khi x = 11.

5

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức f(x) = (2x + 8)(1 – x).

Hướng dẫn:

Ta có: 2x+ =  = −8 0 x 4 và 1 x− =  =0 x 1.

Bảng xét dấu:

x − -4 1 +

2x + 8 − 0 + + 1- x + + 0 − f(x) − 0 + 0 − Từ bảng xét dấu ta thấy:

( ) ( )

f x 0 khi x −4;1 .

(

4

) ( )

f (x)0 khi x − −;  1;+ f(x) = 0 khi x = - 4 hoặc x = 1.

Dạng 2.5: Giải bất phương trình bậc nhất quy về việc xét dấu một tích hoặc một thương

a. Phương pháp giải:

(24)

- Giải bất phương trình P(x) > 0 (P(x) < 0; P(x)0; P(x)0) thực chất là xét xem biểu thức P(x) nhận giá trị dương (giá trị âm) với những giá trị nào của x, tức là ta đi xét dấu biểu thức P(x).

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

(

x 1 x

)(

3

)

0.

Hướng dẫn:

Ta có:

(

x 1 x

)(

3

)

0 x 1

x 3

 =

− − =   = . Bảng xét dấu:

x − 1 3 +

x - 1 − 0 + + x - 3 − − 0 + (x - 1)(x - 3) + 0 − 0 +

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [1; 3].

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x 2 x 1

x 1 x 2

− +

+  − . Hướng dẫn:

Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho:

x 2 x 1 x 2 x 1

x 1 x 2 x 1 x 2 0

−  +  − − + 

+ − + −

(

x 1 x6x

)(

+3 2

)

0

(

x 1 x1 2x

)(

2

)

0

   

+ − + −

Ta có: 1

1 2x 0 x

− =  = 2;x 1 0+ =  = −x 1;x− =  =2 0 x 2. Bảng xét dấu:

(25)

x − -1 1

2 2 +

1 - 2x + + 0 − − x + 1 − 0 + + +

x - 2 − − − 0 +

(

x 1 x+1 2x

)(

2

)

+ − 0 + −

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình: S

(

; 1

)

1;2

2

 

= − −  . Dạng 2.6: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a. Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+)

2 2

g(x) 0 g

x (x) 0 f (x) g(x)

f (x) g ( )

 

 

   

+) g(x) 0

f (x) g(x)

g(x) f (x) g(x)

 

  −  

hoặc g(x)2 0 2

f(x) g(x) x

) f ( ) g (x

 

  

 

+) f(x)  g(x) f (x2 )g2(x) b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2− +x 3x 1 6−  . Hướng dẫn:

Ta có: 2− +x 3x 1 6− 

2 2

7 3x 0

2 x 7 3x

(2 x) (7 3x)

− 

 −  −  

−  −

(26)

2 2

(2 x) (7 x 7

3

3x) 0

 

− −

 −

(2x 5)(9 0 x 7

3

4x)

 

 − x 7

3 5 9 x x

2 4 x 9

4

 



   

 



.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S = ;9 4

− 

 

 . Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x 1+ − − x 2 3.

Hướng dẫn:

Xét bất phương trình x 1+ − − x 2 3(*) Ta có bảng xét dấu các giá trị tuyệt đối:

x − -1 2 +

x + 1 − 0 + + x - 2 − − 0 +

+) Trường hợp 1: Với x −1, khi đó

( )

  − − + −   − x 1 x 2 3 3 3 (vô lý), suy ra S1 = .

+) Trường hợp 2: Với 1 x−  2, khi đó

( )

  + + −  x 1 x 2 3 2x  4 x 2.

Kết hợp với điều kiện 1 x−  2, ta được tập nghiệm S2 = .

+) Trường hợp 3: Với x 2, khi đó

( )

  + − +   x 1 x 2 3 3 3 (luôn đúng).

Kết hợp với điều kiện x2, ta được tập nghiệm S3 =

2;+

)

.
(27)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= S1 S2 S3 =

2;+

)

. 3. Bài tập tự luyện

3.1 Tự luận

Câu 1: Giải và biện luận bất phương trình: m(m x2 +2) +x m2+1. Hướng dẫn:

Bất phương trình tương đương với

2

3 2

2

(m 1) (m 1)x m 2m (m 1)x < 1

1 m

−  −  − m

+ + −

+

+) Với m = 1: bất phương trình trở thành 0x < 0, suy ra bất phương trình vô nghiệm.

+) Với m > 1: bất phương trình tương đương với 2

1 x m 1

m m

 −

+ + +) Với m < 1 bất phương trình tương đương với 2

1 x m 1

m m

 −

+ + Vậy:

m = 1, bất phương trình vô nghiệm.

m > 1, bất phương trình có nghiệm là 2

1 x m 1

m m

 −

+ + . m < 1, bất phương trình có nghiệm là 2

1 x m 1

m m

 −

+ + .

Câu 2: Tìm m để bất phương trình

(

m2 3m x

)

+  −m 2 2x vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Bất phương trình tương đương với

(

m2 3m 2 x+

)

 −2 m.

Rõ ràng nếu 2

m 3 0 m

2 m 2

m  1

  

− + 

 bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m = 1 bất phương trình trở thành 0x 1 : vô nghiệm.

Với m = 2 bất phương trình trở thành 0x0: vô nghiệm.

Vậy với m = 1 hoặc m = 2, bất phương trình đã cho vô nghiệm.

(28)

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2x− m 3 x 1

(

)

tập nghiệm là

(

4;+

)

.

Hướng dẫn:

Ta có: 2x− m 3(x 1)−   −x 3 m.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S=

(

3m;+

)

Để bất phương trình trên có tập nghiệm là

(

4;+

)

thì 3 m− =  = −4 m 1.

Câu 4: Xét dấu biểu thức f x

( )

2 x

2x 1

= −

+ . Hướng dẫn:

Ta có: 2− =  =x 0 x 2; 1

2x 1 0 x

+ =  = −2. Bảng xét dấu:

x − 1

−2 2 +

2 - x + + 0 − 2x + 1 − 0 + +

f(x) − + 0 − Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

f (x) 0 khi x 1;2 2

 

  − ; f (x) 0 khi x ; 1

(

2;

)

2

 

  − −  + . Câu 5: Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình

( )( )

x x−2 x 1+ 0. Hướng dẫn:

Đặt f x

( )

=x x

(

2 x 1 .

)(

+

)

Ta có: x=0; x− =  =2 0 x 2 và x 1 0+ =  = −x 1.

Bảng xét dấu:

x − -1 0 2 +

x − − 0 + +

(29)

x + 1 − 0 + + + x - 2 − − − 0 +

f(x) − 0 + 0 − 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x

( )

   −0 x

(

1;0

) (

2;+

)

.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3.

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình 3x 1+ 2. Hướng dẫn:

Ta có 3x 1+ 2 3x 1 2

3x 1 2

 + 

  +  −

x 1 3 x 1

 



  − .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

(

; 1

)

1;

3

 

= − −  +.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị nguyên x trong [-2017; 2017] thỏa mãn bất phương trình 2x 1+ 3x.

Hướng dẫn:

2x 1+ 3x x 0

3x 2x 1 3x

 

 −  −  x 0

x 1 5

x 1

 

 

  −



x 1

  5.

x −

2017;2017

x 1;2017

5

 

   

Vậy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn đề bài.

Câu 8: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 5 10 x 2 x 1

− 

+ − . Hướng dẫn:

(30)

Điều kiện xác định: x 2 x 1 .

  −

 

Bất phương trình 5 10 1 2 x 1 2 x 2 0

( )

.

x 2 x 1 x 2 x 1

−     − − +  

+ − + −

Ta có bảng xét dấu các giá trị tuyệt đối:

x − -2 1 +

x - 1 − − 0 + x + 2 − 0 + +

+) Trường hợp 1: Với x −2, khi đó

( )

  − + +x 1 2 x

(

+2

)

   −0 x 5.

Kết hợp với điều kiện x −2, ta được tập nghiệm S1= − −

(

; 5 .

)

+) Trường hợp 2: Với 2−  x 1, khi đó

( )

  − + −x 1 2 x

(

+2

)

 0 3x −   −3 x 1.

Kết hợp với điều kiện 2−  x 1, ta được tập nghiệm S2 = −

(

1;1 .

)

+) Trường hợp 3: Với x 1 khi đó

( )

  − −x 1 2 x

(

+2

)

   −0 x 5.

Kết hợp với điều kiện x 1, ta được tập nghiệm S3 =

(

1;+

)

. Vậy tập nghiệm bất phương trình là

( ) ( ) ( )

1 2 3

S= S S S = − −  −; 5 1;1  1;+ .

Câu 9: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 3x− + + y 2 0. Hướng dẫn:

Trước hết, ta vẽ đường thẳng d : 3x y 2 0.− + + = Ta thấy (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm (0; 0)

(31)

Câu 10: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x + y > 1.

Hướng dẫn:

Trước hết, ta vẽ đường thẳng d: 2x + y = 1.

Ta thấy (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm (0; 0).

3.2 Trắc nghiệm

Câu 1: Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình x+ 5 0?

A. x2

(

x+ 5

)

0.

B. x+5 x

(

+ 5

)

0.

C.

(

x 1

) (

2 x+5

)

0.

D. x+5 x

(

− 5

)

0.

Hướng dẫn:

(32)

Chọn D.

Ta có x+    −5 0 x 5. Ta xét các bất phương trình:

Đáp án A: x2

(

x+    −5

)

0 x 5.

Đáp án B: x+5 x

(

+5

)

   −0 x 5.

Đáp án C:

(

x 1

) (

2 x+5

)

   −0 x 5.

Đáp án D: x+5 x

(

−   5

)

0 x 5.

Câu 2: Cho f x

( )

=2x4, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f x

( )

0  x

(

2;+

)

.

B. f x

( )

0  − −x

(

; 2

)

C. f x

( )

0   − +x

(

2;

)

.

D. f x

( )

=0  = −x 2.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Ta có:

( )

f x 0  2x− 4 0 x2.

( )

f x 0  2x− 4 0 x2.

( )

f x =0  2x− =4 0 x=2

Câu 3: Bất phương trình m x 12

(

)

9x+3m có nghiệm đúng với mọi x khi:

A. m 1.= B. m= −3.

C. m= . D. m= −1.

Hướng dẫn:

(33)

Chọn B.

Bất phương trình tương đương với

(

m2 9 x

)

m2 +3m.

Dễ thấy nếu m2 −    9 0 m 3 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng

 x

Với m=3 bất phương trình trở thành 0x18: vô nghiệm

Với m= −3 bất phương trình trở thành 0x0: nghiệm đúng với mọi x . Vậy giá trị cần tìm là m= −3.

Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình 4 x 1

(

− +

) (

5 y3

)

2x9 là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A.

( )

0;0 .

B.

( )

1;1 .

C.

(

1;1

)

.

D.

( )

2;5 .

Hướng dẫn:

Chọn D.

Ta có: 4 x 1

(

− +

) (

5 y3

)

2x94x− +4 5y 15 2x92x+5y 10 0.

Dễ thấy, tại điểm

( )

2;5 ta có: 2.2 5.5 10+ − 0 (đúng).

Câu 5: Cho nhị thức bậc nhất f x

( )

=ax+b a

(

0

)

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nhị thức f x

( )

có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng

; b a

− − 

 

 .

B. Nhị thức f x

( )

có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng b;

a

− +

 

 .

(34)

C. Nhị thức f x

( )

có giá trị trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng

;b a

− 

 

 .

D. Nhị thức f x

( )

có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng b;

a

 +

 

 . Hướng dẫn:

Chọn B. Theo định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.

Câu 6: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Bất phương trình ax + b < 0 có tập nghiệm là khi a = 0 và b < 0.

B. Bất phương trình bậc nhất một ẩn luôn có nghiệm.

C. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0 và b0. D. Bất phương trình ax + b < 0 vô nghiệm khi a = 0.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Xét ax + b < 0, khi a = 0 thì bất phương trình có dạng 0x+ b 0 +) Nếu b0 thì tập nghiệm là

+) Nếu b0 thì bất phương trình vô nghiệm.

Câu 7: Cho f(x), g(x) là các hàm số xác định trên , có bảng xét dấu như sau:

x − 1 2 3 +

( )

f x + 0 − | 0 +

( )

g x − | 0 + | +

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình

( ) ( )

f x 0

g x  là:

A.

 

1; 2 .

B.

1;2

) (

3;+ 

)

.

C.

1;2

)

3;+

)

.
(35)

D.

  

1;2 3;+

)

.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Bảng xét dấu:

x − 1 2 3 +

( )

f x + 0 − | 0 +

( )

g x − | 0 + | +

( ) ( )

f x

g x 0 + || − 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

( )

( )  )  )

f x 0 x 1;2 3;

g x     + . Câu 8: Cho bất phương trình 2 8

x 13  9

− . Số nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất phương trình là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có: 2 8

x 13  9

2 8

x 13 9

2 8

x 13 9

  −

  −

 

 −

( )

( )

8x 86 9 x 13 0 122 8x 9 x 13 0

 − 

 −



 − 

 −

43 x 13 4

13 x 61 4

  

 

  



Nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất phương trình là 11; 12.

(36)

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên nhỏ hơn 13.

Câu 9: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình

(

2x

)(

x 1 3+

)(

x

)

0 là:

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có: 2− =  =x 0 x 2. x 1 0+ =  = −x 1.

3 x− =  =0 x 3. Bảng xét dấu vế trái:

x − -1 2 3 +

x + 1 − 0 + + + 2 - x + + 0 − − 3 - x + + + 0 − Vế trái − 0 + 0 − 0 + Suy ra x − − 

(

; 1

  

2; 3 .

Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình trên là 2.

Câu 10: Hàm số có kết quả xét dấu như dưới đây là hàm số nào?

x − 0 3 +

f(x) − 0 + 0 −

A. f x

( )

= −x 3.

B. f x

( )

x

x 3

= + . C. f x

( )

=x 3

(

x

)

.
(37)

D. f x

( )

=x x

(

3

)

.

Hướng dẫn Chọn C.

Từ bảng xét dấu ta thấy f x

( )

=0 khi x=0; x=3 nên đáp án chỉ có thể là

( ) ( )

f x =x 3−x hoặc f x

( )

=x x

(

3

)

.

Mặt khác f x

( )

0 khi x

( )

0;3 nên đáp án là f x

( )

=x 3

(

x

)

.
(38)

Dạng 3: Bất phương trình bậc hai 1. Lý thuyết

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 +bx+ c 0 (hoặc

2 2 2

bx c 0; bx c 0; bx c 0

ax + +  ax + +  ax + +  ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a 0 .

- Giải bất phương trình bậc hai ax2 +bx+ c 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f (x)=ax2 +bx+c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).

2. Các dạng toán

Dạng 3.1: Dấu của tam thức bậc hai a. Phương pháp giải:

- Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2 +bx+c. Trong đó a, b, c là nhứng số cho trước với a 0 .

- Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho f (x)=ax2 +bx+c ( a0),  =b2 −4ac.

Nếu  0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x . Nếu  =0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x b

= −2a .

Nếu  0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi xx1 hoặc x x2, trái dấu với hệ số a khi x1 x x2 trong đóx1, x (x2 1x )2 là hai nghiệm của f(x).

Lưu ý: Có thể thay biệt thức  =b2 −4ac bằng biệt thức thu gọn  =' (b ')2 −ac. Ta có bảng xét dấu của tam thức bậc hai f (x)=ax2 +bx+c ( a 0) trong các trường hợp như sau:

 0:

x − +

f(x) Cùng dấu với a

(39)

 =0:

x − b

−2a +

f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

 0:

x − x1 x2 +

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Minh họa bằng đồ thị

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức f x

( )

= − −x2 4x+5

Hướng dẫn:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x 1= , x= −5 và hệ số a = -1 < 0 nên:

f(x) > 0 khi x −( 5;1); f(x) < 0 khi x − −  +( ; 5) (1; ). Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức f x

( )

=

(

3x2 10x 3 4x 5+

) ( − ).

(40)

Hướng dẫn:

Ta có: 2

x 3

3x 10x 3 0 1

x 3

 =

− + = 

 =

và 5

4x 5 0 x .

− =  = 4 Lập bảng xét dấu:

x − 1

3 5

4 3 +

3x2 −10x+3 + 0 − − 0 +

4x−5 − − 0 + +

f(x) − 0 + 0 − 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

( )

1 5

f x 0 x ; ;3

3 4

   

   −    ; f x

( )

0 x 1 5;

3;

)

3 4

 

    + . Dạng 3.2: Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

a. Phương pháp giải:

Giải và biện luận bất phương trình bậc hai Ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: a = 0 (nếu có).

+) Trường hợp 2: a  0, ta có:

Bước 1: Tính  (hoặc ' )

Bước 2: Dựa vào dấu của  (hoặc ' ) và a, ta biện luận số nghiệm của bất phương trình

Bước 3: Kết luận.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình x2+2x+6m0.

Hướng dẫn:

(41)

Đặt f (x)=x2 +2x+6m

Ta có Δ' = 1 - 6m; a = 1. Xét ba trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu m 1

0 6

 

 f (x)  0 x . Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S= .

+) Trường hợp 2: Nếu m 1

0 6

= =

 f (x) 0 x \{-1}. Suy ra nghiệm của bất phương trình là S= \{-1}.

+) Trường hợp 3: Nếu m 1

0 6

 

 .

Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = − −1 1 6− m; x2 = − +1 1 6− m( dễ thấy x1 x2) f (x)0 khi xx1 hoặcx x2. Suy ra nghiệm của bất phương trình là S= −

(

; x1

) (

 x ;2 +

)

.

Vậy:

Với m 1

 6 tập nghiệm của bất phương trình là S= . Với m 1

= 6 tập nghiệm của bất phương trình là S= \{-1}. Với m 1

 6 tập nghiệm của bất phương trình là S= −

(

; x1

) (

 x ;2 +

)

với

1 m

x = − −1 1 6− , x2 = − +1 1 6− m.

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình 12x 2 m 3 x2+

(

+

)

+ m 0.

Hướng dẫn:

Đặt f (x) 12x 2 m 3 x= 2+

(

+

)

+m, ta có a = 12 và  = (m−3)2 0 Khi đó, ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu  =  0 m=3, suy ra f (x)  0 x . Do đó, ng

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Lấy phần hình quạt gò thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là A , cung MN thành đường tròn đáy của hình nón (như hình vẽ).. Tính thể tích

b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì x và y thỏa mãn điều kiện gì?.. a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên. Đường thẳng này

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB. Khi đó ta tính được:.. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ d 2 ). + Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Vì vậy, miền nghiệm của bất phương trình (2) là nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng d (không kể đường thẳng d) phần nửa mặt phẳng còn lại không phải miền nghiệm của

Do tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị gạch

Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng..

Vậy bất phương đã cho trình vô nghiệm... Vậy hai bất phương trình