Tỉ lệ thức. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

(1)

Trang 1 Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa tỉ lệ thức, các thành phần và các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức.

+ Nắm được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

 Kĩ năng

+ Dựa vào định nghĩa tỉ lệ thức, thành lập được các tỉ lệ thức từ các số, tỉ số đã cho.

+ Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để thành lập các tỉ lệ thức mới từ tỉ lệ thức hoặc đẳng thức đã cho.

+ Vận dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để xác định các thành phần chưa biết.

+ Chứng minh đẳng thức, tỉ lệ thức.

+ Giải được một số bài toán lời văn chia theo tỉ lệ đơn giản.

(2)

Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Tỉ lệ thức Định nghĩa

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số ^a ^c

bd hay a b c d:  : . Ví dụ. Đẳng thức ¹² ⁶

147 là một tỉ lệ thức.

Các thành phần của tỉ lệ thức a, b, c, d là các số hạng, trong đó a, d: Số hạng ngoại tỉ;

b, c: Số hạng trung tỉ.

Trong tỉ lệ thức trên:

12 và 7 là số hạng ngoại tỉ;

14 và 6 là số hạng trung tỉ.

Tính chất

 Nếu ^a ^c

bd thì ad bc .

 Nếu ad bc và a b c d, , , 0 thì

; ; ;

a c b d a b c d bd ac c d a b.

Từ ¹² ⁶

147 suy ra 12.7 14.6 . Nếu 12.7 14.6 thì

12 6 14 7 12 14 6 7

; ; ;

147 126 6  7 12 14 2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Cho ^a ^c

bd. Khi đó: ^a ^c ^{a c} ^{a c}



^b ^d



b d b d b d

 

    

  .

Mở rộng

a c ma nc ma nc; b d mb nd mb nd a c e a c e a c e b d f b d f b d f

 

  

 

   

   

   

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).

Từ tỉ lệ thức ¹² ⁶

147, ta có:

12 6 12 6 18 14 7 14 7 21

   

 .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số ^a ^c

bd. Nếu ^a ^c

bd thì ad bc .

Nếu ad bc và a b c d, , , 0 thì

; ; ;

a c b d a b c d b d a c c d a b.

Cho tỉ lệ thức ^a ^c

bd. Khi đó:



^;



a c a c

b d b d b d b d

     

 .

a c ma nc b d mb nd

  



a c e a c e a c e b d f b d f b d f

   

   

   

(3)

Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên Phương pháp giải

Bước 1. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số tối giản. Ví dụ: ^{3 4}: ^{3 1}: 5 125 3

Bước 2. Thực hiện phép chia phân số. ^{3 3 9}. 9 : 5 5 1 5

   Ví dụ mẫu

Ví dụ. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:

a) ^{2 20}:

7 28 b) 2,4 : 3,2 c) 0,4 : ⁶

22

Hướng dẫn giải

a) ^{2 20}: ^{2 5}: ^{2 7}. ² 2 : 5 7 287 77 5 5 Vậy ^{2 20}: 2 : 5

7 28 .

b) 2,4 : 3,2 ^{24 32}: ²⁴ ³ 3: 4 10 10 32 4

   

Vậy 2,4 : 3,2 3 : 4 .

c) 0,4 : ⁶ ⁴ : ³ ^{2 11 22}. 22 :15 22 10 11 5 3  15 Vậy 0,4 : ⁶ 22 :15

22 .

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:

a) ^{3 15}: 5 6

 b) 1,5 : 8,25 c) ⁵: 0,75

8

Câu 2: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:

a) 1,2 : 3,36 b) 3 : 2¹ ⁵

7 14 c) ³: 0,54

8

Dạng 2: Lập các tỉ lệ thức

Bài toán 1. Lập các tỉ lệ thức từ các số đã cho Phương pháp giải

Ví dụ. Cho bốn số 2, 4, 7, 14, hãy lập thành tỉ lệ thức từ các số đã cho.

Hướng dẫn giải Bước 1. Từ các số đã cho, ta thiết lập tích hai số để

được hai tích bằng nhau dạng ad bc .

Bước 1. Ta có: 2.14 4.7 .

(4)

Trang 4 Bước 2. Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để thiết

lập tỉ lệ thức.

Bước 2. Suy ra các tỉ lệ thức sau:

2 7 2 4 4 14 7 14

; ; ;

4 14 7 14 2   7 2 4 Ví dụ mẫu

Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bốn số sau: 12; 3;40; 10  Hướng dẫn giải

Ta có ^{12. 10}



^



^^{40. 3}

 

^ ^{. Suy ra:}¹² ³ ^; ¹⁰ ^{3 40}^; ^{10 40}^; ¹²^.

40 10 40 12 12 3 10 3

   

   

   

Bài toán 2. Kiểm tra tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức hay không?

Phương pháp giải

Để kiểm tra các tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức hay không, ta thường làm như sau:

Ví dụ: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không:

3: 6

5 và ⁴: 8 5 ? Hướng dẫn giải Bước 1. Thay tỉ số giữa hai số hữu tỉ thành phân

số: Thường đưa hai tỉ số về dạng hai phân số cùng mẫu.

Bước 1. ³: 6 ^{3 1}. ^{1 4}; : 8 ^{4 1}. ¹ 5 5 6 10 5 5 8 10

Bước 2. Áp dụng định nghĩa tỉ lệ thức: Nếu giá trị hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành tỉ lệ thức.

Bước 2.

Suy ra ³: 6 ⁴: 8

5 5 nên ³: 6

5 và ⁴: 8

5 lập thành tỉ lệ thức.

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không?

a) ²: 8

5 và ⁴:16 5 . b) 4 : 8¹

3 và 3 :13² 3 . c) 2 : 7¹

3 và 3 :13¹ 4 . Hướng dẫn giải a) ²: 8 ^{2 1}. ¹

5 5 820 và ⁴:16 ^{4 1}. ¹ 5 5 1620. Do đó ²: 8

5 và ⁴:16

5 lập thành tỉ lệ thức.

b) 4 : 8¹ ^{13 1 13}.

3  3 824 và 3 :13² ^{11 1}. ¹¹ 3  3 13 39 . Do ¹³ ¹¹

24 39 nên 4 : 8¹

3 và 3 :13²

3 không lập thành tỉ lệ thức.

(5)

Trang 5 c) Ta có 2 : 7¹ ^{7 1 1}.

3 3 73 và 3 :13¹ ^{13 1}. ¹ 4  4 134. Do ¹ ¹

34 nên 2 : 7¹

3 và 3 :13¹

4 không lập thành tỉ lệ thức.

Bài toán 3. Lập tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức đã cho Phương pháp giải

Từ tỉ lệ thức ^a ^c

bd, ta có thể lập được ba tỉ lệ thức khác bằng cách: Ví dụ: Cho tỉ lệ thức ³ ⁹ 5 15 . Các tỉ lệ thức được lập từ tỉ lệ thức ban đầu là:

Giữ nguyên ngoại tỉ a, d và đổi chỗ các trung tỉ b, c ta được: ^a ^b

cd.  ³ ⁹ ³ ⁵ 5 15  9 15. Giữ nguyên trung tỉ b, c và đổi chỗ các ngoại tỉ a, d ta được: ^d ^c

ba.  ³ ⁹ ^{15 9} 5 15  5 3. Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau, ta được ^d ^b

c a.  ³ ⁹ ^{15 5} 5 15  9 3. Ví dụ mẫu

Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ tỉ lệ thức sau: ⁵ ^1,2 15 3,6

  .

Hướng dẫn giải Vì ⁵ ^1,2

15 3,6

  nên ta lập được các tỉ lệ thức sau: ^3,6 ^{1,2 15}; ^{5 15}; ^3,6 . 15 5 3,6 1,2 5 1,2

 

  

   

Bài toán 4. Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho Phương pháp giải

Áp dụng tính chất:

Nếu ad bc và a b c d, , , 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: a c a; b d; c d; b

bd cd ba ca.

Ví dụ: Cho đẳng thức 3.4 6.2 , hãy lập tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho.

Ta có 3.4 6.2 nên ta có các tỉ lệ thức sau:

3 6 3 2 4 2 6 4

; ; ; .

24 6 4 6 3 32 Chú ý:

Luôn đảm bảo các cặp số 3 và 4; 2 và 6 nằm ở vị trí chéo nhau.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau:

a) 14.15 10.21 b) ^^{5.8 20. 2}^

 

^

a) Vì 14.15 10.21 nên ta có các tỉ lệ thức sau: ¹⁴ ^{21 15} 21 10 15 10 14

; ; ; .

10 15 10 14 14  21 1521

(6)

Trang 6 b) Vì ^^{5.8 20. 2}^

 

^ nên ta có các tỉ lệ thức sau: ⁵ ²; ⁵ ²⁰; ² ^{8 20}; ⁸ .

20 8 2 8 5 20 5 2

      

   

Ví dụ 2. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau:

a) AB CD. 2.3 b) 4.AB5.MN

a) Vì AB CD. 2.3 nên ta có các tỉ lệ thức sau: ³ ; ³ ; ² ; ² .

2 2 3 3

AB CD AB CD

CD AB CD AB

   

b) Vì 4.AB5.MN nên ta có các tỉ lệ thức sau: ;⁴ ; ⁵ ⁴ ;⁵ .

5 4 5 4

AB MN MN AB

AB AB MN MN

   

Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 4.

Câu 1: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức?

a) ^{3 5}:

8 2 và ^{3 4}:

5 3. b) ^{4 2}:

7 9 và ^{1 7}:

3 2. c) 0,3:³

8 và ^{2 3}:

5 6. d) 1,2 :³

8 và 1,6 :10. Câu 2: Tỉ lệ thức nào sau đây không được lập từ tỉ lệ thức ¹⁴ ²¹

8 12? A. ¹⁴ ⁸

21 12 B. ^{21 12}

14 8 C. ^{21 14}

8 12 D. ¹² ⁸

21 14 Câu 3: Điền số vào ô trống để được tỉ lệ thức đúng: ⁵

125 100

 . Số cần điền là:

A. 4. B. 4. C. 2. D. 8.

Câu 4: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức?

A. ^{3 5}:

8 2 và ^{3 4}:

5 3. B. ^{4 2}:

7 9 và ^{1 7}:

3 2. C. 2 : 5³ ¹

4 2 và ⁷: 2⁴

5 5. D. 1,2 : 2,4 và 4 :10. Câu 5: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức hay không?

a) 3,6 : 4,8 và 0,6 :⁴

5. b) 4 : 8¹

3 và 3 :13² 3 . Câu 6: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các đẳng thức

 

2 .15 3. 10







Câu 7: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 3;9;27;81. Câu 8: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 5;2;8;20. Dạng 3: Tìm thành phần chưa biết

Bài toán 1: Tìm số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức Phương pháp giải

Ta sử dụng tính chất Nếu ^a ^c

bd thì bc; ad; ad; bc

a b c d

d c b a

   

Ví dụ: Tìm x biết: ⁴ 2 7 x . Hướng dẫn giải

Cách ghi nhớ: Để tìm x trong tỉ lệ thức ta áp dụng quy tắc “nhân chéo, chia ngang”.

Vì ⁴

2 7

x nên ^2.4 ⁸

7 7

x  .

(7)

Trang 7 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm x trong các đẳng thức sau:

)12 : 5 :1,5

a x b) 3,75 :x4,8 : 2,5

Hướng dẫn giải )12 : 5 :1,5

12 5 1,5

12.1,5 5 18

5

a x

x

x x



 

Vậy ¹⁸

x 5 .

) 3,75: 4,8 : 2,5 3,75 4,8

2,5 3,75.2,5

4,8 125

64

b x

x x x



 

  Vậy ¹²⁵

x 64 . Ví dụ 2. Tìm x biết:

60 )15 a x

x

2 3 1

) 4 3

x x

b   

 Hướng dẫn giải



 

2 2

) 60 15

15.60 900 a x

x x x

Mà ^{900 30}^ ²^{ }



³⁰



²^nên^x^{ }³⁰^.

Vậy x 30

   

2 3 1

) 4 3

3 2 4 3 1

6 3 12 4

3 12 4 6

9 2

2 9 x x b

x x

  



    

    

    

  

 

Vậy ²

x9 .

Bài toán 2. Tìm nhiều thành phần chưa biết (x, y, z,…) thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải

Ví dụ: Cho 2 3

x y và x y 10. Tìm x, y.

Hướng dẫn giải Cách 1:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi để xuất hiện điều kiện đã cho của đề bài.

Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách 1: Ta có 2 3 xy.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

10 2

2 3 2 3 5

x y x y  

 .

Suy ra x2.2 4 và y2.3 6 . Cách 2: Đặt ^x ^y ^z k

a  b c . Cách 2:

(8)

Trang 8 - Suy ra x a k y b k z c k . ;  . ;  . .

- Thay các giá trị trên của x, y, z vào điều kiện đã cho của đề bài, tìm được giá trị của k.

- Tính giá trị của x, y, z từ giá trị k vừa tìm được.

Đặt 2 ; 3

2 3 x y

k x k y k

    

Vì x y 10 nên 2k3k105k10 k 2 Vậy x2k2.2 4 và y3k3.2 6 . Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho 3 6

xy. Tìm x, y biết:

a) x y 90 b) 4x y 42.

Hướng dẫn giải a) Ta có:

3 6 xy.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ⁹⁰ 10 3.10 30; 6.10 60.

3 6 3 6 9

x y x y

x y

         

 Vậy x30 và y60.

b) Từ 3 6

x y suy ra ⁴ 12 6

xy.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ⁴ ⁴ ⁴² 7 12 6 12 6 6

x  y x y  

 .

Suy ra 4x12.7 84; y6.7 42 . Suy ra x21;y42.

Vậy x21 và y42. Ví dụ 2. Cho

2 3 5

x  y z. Tìm x, y, z biết:

a) x y z  30 b) x2y3z33. Hướng dẫn giải

a) Ta có:

2 3 5 x y z.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ³⁰ 3 2 3 5 2 3 5 10

2.3 6; 3.3 9; 5.3 15 x y z x y z

x y z

      

 

      

Vậy x6;y9;z15. b) Từ

2 3 5

x  y z suy ra ² ³ 2 6 15 x y z.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:    ^ ^  

 

      

   

2 3 2 3 33 3

2 6 15 2 6 15 11

3.2 6; 2 3.6 18; 3 3.15 45 6; 9; 15.

x y z x y z

x y z

Vậy x6;y9;z15.

(9)

Trang 9 Ví dụ 3*. Cho 2x3y z 42. Tìm x, y, z biết:

a) ¹ ² ¹.

3 4 13

x y z b) ;

3 5 2 7

x y y z

  .

a) ¹ ² ¹ ² ² ³ ⁶ ¹

3 4 13 6 12 13

x y z  x  y z . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

2 2 3 6 1 2 2 3 6 1 2 3 7 42 7 49

6 12 13 6 12 13 7 7 7 7

2 2 6.7 42 2 40 20

3 6 7.12 84 3 90 30

1 13.7 91 92 92

x y z x y z x y z

x x x

y y y

z z z

                  

 

    

  

  

       

       

  

Vậy x20;y30;z92.

b) Ta có 3 5 x y

 nên

6 10 x y

 và

2 7 10 35

y  z y  z

  .

Suy ra

6 10 35

x y  z

 . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

2 3 42 6 36 60 210

; ; .

6 10 35 12 30 35 77 11 11 11 11

x y z x y z

x y z

  

        

  

Vậy ³⁶; ⁶⁰; ²¹⁰.

11 11 11

x y z

Chọn đáp án đúng nhất trong mỗi câu (Câu 1 đến câu 5) Câu 1: Cho

3 5

x y và x y 24. Giá trị của 3x5y là:

A. 132. B. 80. C. 102. D. 78.

Câu 2: Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. ² ³

3 5 15

x y x y. B. ² ⁴

4 5 28

x  y x y C. ³

3 7 25

x  y x y D. ²

5 6 15

x y x y

Câu 3: Cho ¹ ⁹

4 1

x x

 

 và x0. Giá trị của x là:

A. 5. B. 6. C. 6. D. 5.

Câu 4: Biểu thức nào dưới đây là đúng?

A. ³ ⁴

4 7 40

x y x y B. ² ⁴

4 5 12

x  y x y C. ³

5 7 28

x  y x y D.

5 6 10 x y x y

Câu 5: Cho ^{3 27}

8 4

x  . Giá trị của x là:

A. 54. B. 56. C. 57. D. 58.

Câu 6: Tìm x biết:

a) 3 :^{4 8} 0,25:

5 5 x. b) ² ^{3 3} ¹

24 32

x  x . c) ¹³ ² ⁷⁶ 2 5 17

x x

 

 .

(10)

Trang 10 Câu 7: Tìm các số x, y biết:

a) ⁶

5 x

y và x y 121. b) 4x5y và 2x5y40. Câu 8: Tìm các số x, y, z biết:

a) 3 4 6

x y z và x y z  52.

b) 3 5 7

x y z và 2x y 3z110. Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ thức

Phương pháp giải Để chứng minh tỉ lệ thức ^a ^c

bd, ta thường sử dụng một trong ba cách sau:

Ví dụ: Chứng minh rằng:

Nếu ^a ^c

bd thì ^{a b} ^{c d}

b d

   . Hướng dẫn giải

Cách 1. Chứng tỏ ad bc . Cách 1. Do ^a ^c

bd nên ad bc . Xét

   

  

   

   a b c d

b d

d a b b c d ad bd bc bd ad bc (đúng).

Vậy ^{a b c d}

b d

 

 . Cách 2. Chứng tỏ ^a

b và ^c

d có cùng giá trị. Cách 2. Đặt ^a ^c t

b d . Khi đó a bt và c dt .

Do đó

 

1 1

a b bt b b t

b b b t

c d dt d d t

d d d t

      

Vậy ^{a b c d}

b d

   . Cách 3. Dùng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số

bằng nhau. Cách 3. Ta có: ^a ^c ^a ^b

b  d c d.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a b a b b a b c d c d d c d

 

   

  .

a b c d

b d

 

  (điều phải chứng minh).

Ví dụ mẫu

(11)

Trang 11 Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức ^a ^c

bd. Chứng minh: ^a ^c a bc d

  . Hướng dẫn giải

Ta có ^a ^c

bd nên ad bc . Xét ^a ^c ^{a c d}^.

  

^{a b c}



^. ac ad ac bc ad bc

a bc d          

  (đúng).

Vậy ^a ^c

a bc d

  .

Ví dụ 2. Cho tỉ lệ thức ^a ^c

bd. Chứng minh: ^{a b} ^{a b} c d c d

  

  (giả sử các tỉ lệ thức đều có nghĩa).

Hướng dẫn giải Đặt ^a ^c t a bt

b   d và c dt .

Do đó

 

1 ;

1

1 .

1 a b bt b b t b c d dt d d t d a b bt b b t b c d dt d d t d

     

  

     

  

Suy ra ^{a b} ^{a b} c d c d

  

  .

Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Cho ab

c d. Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa. Chứng minh:

a) ^{a c} ^{b d}

c d

 

 . b) ^{a c} ^{a c}

b d b d

 

   . Câu 2: Cho ^a ^c

b d. Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa. Chứng minh:

a) ^{a b} ^{c d}

b d

   . b) ^{a b c d}

a b c d

  

  .

Câu 3: Cho tỉ lệ thức ^a ^c

bd, chứng minh:

a) ^a ²^{b c} ²^d

b d

   . b) ^a ³^{b c} ³^d

b d

   . Dạng 5: Giải các bài toán lời văn chia theo tỉ lệ

Phương pháp giải

Với các bài toán có lời văn chia theo tỉ lệ, ta thường làm như sau:

Ví dụ: Mẹ và con có tổng số tuổi bằng 35. Biết rằng tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người.

Hướng dẫn giải Bước 1. Gọi các đại lượng cần tìm là x, y, z (tùy

đề bài yêu cầu).

Gọi tuổi mẹ là x, tuổi con là y (tuổi).

Điều kiện: x y, ^*,x y . Bước 2. Từ điều kiện bài toán cho, đưa về dãy tỉ Theo đề ra, ta có: x y 35 và

4 1 x y.

(12)

Trang 12 số bằng nhau.

Bước 3. Sử dụng các phương pháp ở dạng 3 để giải.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

35 7

4 1 4 1 5

x y x y

   

 .

Suy ra x4.7 28; y1.7 7 .

Vậy tuổi mẹ bằng 28, tuổi con bằng 7.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. An và Chi có số viên bi lần lượt tỉ lệ với 4; 5. Biết rằng An có số bi ít hơn Chi là 4 viên. Tính số viên bi của mỗi bạn.

Gọi số bi của An và Chi lần lượt là x và y (viên) với x y, ^*;x y . Theo đề bài, ta có:

4 5

x y và y x 4.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ⁴ 4 4.4 16; 4.5 20

4 5 5 4 1

x y y x

x y

         

 .

Vậy số bi của An là 16 viên, số bi của Chi là 20 viên.

Ví dụ 2. Các cạnh của một tam giác có số đo tỉ lệ với các số 3, 5, 7. Tính số đo mỗi cạnh của tam giác đó biết chu vi của nó là 40,5 cm.

Gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z (cm) với x y z, , 0. Theo đề bài ra ta có mối liên hệ:

3 5 7

x y z và x y z  40,5.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ^40,5 2,7 3 5 7 3 5 7 15

8,1; 13,5; 18,9 x y z x y z

x y z

      

 

   

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là 8,1 cm; 13,5 cm; 18,9 cm.

Câu 1: Số sản phẩm của hai công nhân lần lượt tỉ lệ với 8; 5. Biết rằng người thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai 60 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi người làm được.

Câu 2: Tỉ số hai cạnh của hình chữ nhật bằng ²

5. Chu vi hình chữ nhật là 42 m. Tính diện tích của hình chữ nhật.

Câu 3: Lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh bằng 105, biết số học sinh lớp 7A bằng ²

3 số học sinh lớp 7B, số học sinh lớp 7B bằng ⁶

11 số học sinh lớp 7C. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m². Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn.

(13)

Trang 13 ĐÁP ÁN

Dạng 1. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên Câu 1:

a) ^{3 15}: ^{3 5}: ^{3 2}. ⁶ 6 : 25

5 6 5 2 5 5 25

      .

Vậy ^{3 15}: 6 : 25 5 6

   .

b) 1,5 : 8,25 ^{15 825}: ^{3 33}: ^{3 4}. ² 2 :11 10 100 2 4 2 33 11

     .

Vậy 1,5 : 8,25 2 :11 .

c) ⁵: 0,75 ^{5 3}: ^{5 4}. ⁵ 5 : 6 8 8 48 3 6 . Vậy ⁵: 0,75 5 : 6

8  .

Câu 2: Tương tự câu 1.

a) 1,2 : 3,36 5 :14 . b) 3 : 2¹ ⁵ 4 : 3

7 14 . c) ³: 0,54 25: 36

8  .

Dạng 2. Lập các tỉ lệ thức Câu 1: Chọn C.

3 3 8 8 4

0,3: .

8 10 3 10  5 và ^{2 3}: ^{2 1}: ^{2 2}. ⁴ 5 65 25 15. Vậy 0,3:³

8 và ^{2 3}:

5 6 lập thành tỉ lệ thức.

Câu 2: Chọn C.

Từ tỉ lệ thức ¹⁴ ²¹

8 12, ta có các tỉ lệ thức sau: ¹⁴ ^{8 21 12 12}; ; ⁸ 21 12 14  8 21 14 . Đẳng thức ^{21 14}

8 12 không là tỉ lệ thức vì 21.12 8.14 . Câu 3: Chọn B.

Vì ^{5. 100}



^



^^{125. 4}

 

^ ^nên ⁵ ⁴

125 100

 

 . Câu 4: Chọn C.

Ta có ³ 1 11 11 1 7 4 7 14 7 1

2 : 5 : ; : 2 :

4 2 4 2 2 5 55 5 142 Vậy 2 : 5³ ¹

4 2 và ⁷: 2⁴

5 5 lập thành tỉ lệ thức.

Câu 5:

a) Ta có 3,6 : 4,8 ³⁶ ³ 48 4

  và 0,6 :⁴ ^{6 5}. ³

5 10 4 4 nên hai tỉ số đã cho lập thành tỉ lệ thức.

b) Ta có 4 : 8¹ ^{13 1 13}.

3  3 824 và 3 :13² ^{11 1}. ¹¹ 3  3 13 39

(14)

Trang 14 Vì ¹³ ¹¹

2439 nên hai tỉ số không lập thành tỉ lệ thức.

Câu 6:

Ta có

 

2 .15 3. 10







nên ta có các tỉ lệ thức sau: ² ^{10 15}; ^{10 3}; ² ; ³ ¹⁵ .

3 15 3 2 15 10 2 10

     

   

Câu 7:

Nhận thấy 3.81 9.27 nên ta có các tỉ lệ thức sau: ³ ^{27 81 27 9}; ; ^{3 9}; ⁸¹. 981 9  3 81 27 3 27 Câu 8:

Nhận thấy 5.8 2.20 nên ta lập được các tỉ lệ thức sau: ⁵ ^{20 2}; ^{8 8}; ^{20 2}; ⁵. 2 8 520 2 5 820 Dạng 3. Tìm thành phần chưa biết

Câu 1: Chọn C.

Vì 3 5

xy và x y 24 nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

              



24 3 3.3 9; 5.3 15 3 5 3.9 5.15 102.

3 5 3 5 8

x y x y

Câu 2: Chọn B.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ² ⁴ ² ⁴ . 4 5 2.4 4.5 28 x  y x y  x y

 Câu 3: Chọn D.

 

²

1 9

4 1

1 36 x

x x

 



   x 1 6

   hoặc x  1 6 x 5

  hoặc x 7 Vì x0 nên x5. Vậy x5.

Câu 4: Chọn A.

Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ³ ⁴ ³ ⁴ . 4 7 3.4 4.7 40 x y x y x y

  

 Câu 5: Chọn C.

3 27 27.8

3 3 54 54 3 57

8 4 4

x x x x x

            Vậy x57.

Câu 6:

(15)

Trang 15 ) 3 :4 8 0,25:

5 5 19 0,25

8

8.0,25 19 2 19

a x

x x x



 



Vậy ²

x19.

   

2 3 3 1

) 24 32

2 3 3 1

3 4

4 2 3 3 3 1 8 12 9 3

8 9 3 12

15 15

x x

b

x x

x x x x

  

   

  

   

  

 Vậy x15.

   

13 2 76 ) 2 5 17

17 13 2 76 2 5 221 34 152 380 221 152 380 34 69 414 6 c x

x

x x

 



   

  



 Vậy x6.

Câu 7:

a) Vì ⁶ 5 x

y nên 6 5 x y.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ¹²¹ 11 66; 55 6 5 6 5 11

x y x y

x y

       

 Vậy x66 và y55.

b) Do 4x5y nên 5 4 xy.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ² ⁵ ⁴⁰ 4 20; 16 5 4 2.5 5.4 10

x y x y

x y

          

 

Vậy x 20;y 16. Câu 8:

a) 3 4 6

x y z và x y z  52.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ⁵² 4 12; 16; 24

3 4 6 3 4 6 13 x y z x y z

x y z

          

  Vậy x12;y16;z24.

b) 3 5 7

x y z và 2x y 3z110.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ² ³ ¹¹⁰ 5 15; 25; 35 3 5 7 3.2 5 3.7 22

x y z x y z

x y z

          

  Vậy x15;y25;z35.

Dạng 4. Chứng minh tỉ lệ thức Câu 1:

Đặt a b ;

k a ck b dk c   d  .

a) Ta có:

 

1 1;

1 1.

a c ck c c k

c c c k

b d dk d d k

d d d k

      

Vậy ^{a c} ^{b d}

c d

 

 .

(16)

Trang 16

b) Ta có:

 

1 ;

1

1 .

1 a c ck c c k c b d dk d d k d a c ck c c k c b d dk d d k d

     

  

     

  

Vậy ^{a c} ^{a c} b d b d

  

  . Câu 2:

Đặt a c ;

k a bk c dk b   d 

a) Ta có:

 

1 1;

1 1.

a b bk b b k

b b b k

c d dk d d k

d d d k

  

   

      

Do đó ^{a b} ^{c d}

b d

   .

b) Ta có:

 

1 1

1 1;

1 1

1 1. a b bk b b k k a b bk b b k k c d dk d d k k c d dk d d k k

      

   

      

   

Vậy ^{a b} ^{c d} a b c d

  

  . Câu 3:

Đặt a c

b d k ta có a bk c dk ;  .

a) Ta có:

 

2 2 2

2;

2 2 2

2.

a b bk b b k

b b b k

c d dk d d k

d d d k

      

Vậy ^a ²^{b c} ²^d

b d

   .

b) Ta có: ³ ³ 3;

3 3

3.

a b bk b b b k c d dk d

d d k

    

Vậy ^a ³^{b c} ³^d

b d

   .

Dạng 5. Giải các bài toán lời văn chia theo tỉ lệ Câu 1:

Gọi số sản phẩm của công nhân thứ nhất và thứ hai lần lượt là x, y. Đơn vị: sản phẩm và điều kiện:

x y, .

Theo đề ra, ta có mối liên hệ:

8 5

xy và x y 60.

(17)

Trang 17 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ⁶⁰ 20 8.20 160; 20.5 100

8 5 8 5 3

x y x y

x y

         

 .

Vậy công nhân thứ nhất làm được 160 sản phẩm, công nhân thứ hai làm được 100 sản phẩm.

Câu 2:

Gọi kích thước của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là y (m) và x (m). Điều kiện: x y, 0. Theo đề ra, ta có: x y: 2 : 5 và ²



^{x y}^



^⁴²^{ }₂^x ₅^y^và^{x y}^{ }²¹^.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: ²¹ 3 6; 15

2 5 2 5 7

x y x y

x y

       

 .

Vậy diện tích hình chữ nhật là ^S^^{6.15 90}^

 

^m² ^.

Câu 3: Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (em) với x y z, , ^*. Theo đề bài, ta có: 105;

2 3 x y x y z    và

6 11 y z .

Từ 2 3 xy và

6 11 y z ta có:

4 6 11 x y z .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ¹⁰⁵ 5 20; 30; 55.

4 6 11 4 6 11 21 x y z x y z

x y z

          

 

Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 20 học sinh, 30 học sinh và 55 học sinh.

Câu 4:

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x, y (m) với x y, 0 Do diện tích bằng 300m² nên ^{x y}^. ^³⁰⁰

 

¹

Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3 nên 4 3 xy.

Đặt ₄^x^{   }₃^y ^k ^x ^{4 ,}^{k y}^³^{k k}



^⁰



, thay vào (1) ta có: 12k²300k²25 k 5(do k0) . 20; 15

x y

   .

Vậy chiều dài của khu vườn là 20 m và chiều rộng là 15 m.