SỞ GD & ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT SÓC SƠN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II - NĂM 2016 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát đề
Câu 1 ( 1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1
2 3
y x x
.
Câu 2 ( 1,0 điểm) Tìm m để hàm số: 1 3
2 2
2
5 2 7
2y3x m m x m x m đạt cực tiểu tại x 2. Câu 3 (1,0 điểm)
a) Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm phức của phương trình:z22z 2 0 . Tính giá trị của biểu thức A z1 z2 b) Giải phương trình :
52
x1
52
x23.Câu 4 (1,0 điểm )
a) Giải phương trình : sin 2x48 cosxsin .x
b) Cho nlà số nguyên dương thỏa mãn An22Cn2124. Tìm số hạng chứa x6trong khai triển nhị thức Niu- tơn của
nx3 x
n,x0.Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân
4
1
2 1
2 1
I x x dx
x
.Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho điểm A
0; 1; 2
và mặt phẳng
P :2xy3z 2 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua Avà vuông góc với mặt phẳng
P .Tìm tọa độ điểm đối xứng của Aqua mặt phẳng
P .Câu 7 ( 1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC. có ABa AC, 2 ,a BAC 120 ,0 cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
ABC
, góc giữa đường thẳng SBvà mặt phẳng đáy
ABC
bằng 60 .0 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh SB SC, . Tính thể tích khối chóp S ABC. theo avà tính góc giữa hai đường thẳngAM và BN.
Câu 8 ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCDcó N là trung điểm của cạnh CDvà đường thẳng BNcó phương trình là 13x10y 7 0; điểm M(1; 4)thuộc đoạn thẳng ACsao choAC 4AM. Gọi Klà điểm đối xứng với N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng
3AC2ABvà điểm K thuộc đường thẳng :x y 1 0. Câu 9 ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2 2 2
2 2
,
2 1 2 3 2 4
xy y x
x y
y x x x x x
Câu 10 ( 1,0 điểm) Cho ba số thực dương x y z, , . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
4 4 5
.
2 2 2 2
4 P
x y x z y z y z y x z x
x y z
.... Hết....
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM.
Chú ý:
+) Đáp án dưới đây có bước chỉ là hướng dẫn chấm, nên thí sinh phải làm chi tiết mới được điểm tối đa.
+) Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu Đáp án Điểm
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 1
2 3
y x x
1)Tập xác định: 3
D \
2
2)Sự biến thiên:
+)Chiều biến thiên:
2' 5 0,
2 3
y x D
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 3
; 2
và 3; 2
. +) Cực trị: hàm số không có cực trị.
Lưu ý: Thí sinh có thể không nêu kết luận về cực trị của hàm số.
0,25
+)Giới hạn và tiệm cận:
3 3
2 2
lim lim 1; lim ; lim
2
x x
x x
y y y y
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng 1 y 2 Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng 3
x 2
0,25
+)Bảng biến thiên:
x 3
2
1
2
1
2
0,25
3)Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Oxtại A
1; 0
và cắt trục Oytại 1 0;3 B
x y
O 1
0,25
Câu Đáp án Điểm 2 Tập xác định: D
2 2
2 2
5 2 7y x x m m x m
0,25
2
'' 2 2 2
y x x m m 0,25
Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 2 1
'( 2) 0 4 3 0
3
y m m m
m
0,25
Với m 1ta có y’’ 2x8; ''( 2)y 4 0 m 1 (tm)
Với m 3ta có y’’2x28; ''( 2)y 240m 3 (tm) Vậy giá trị m cần tìm là : m 1 hay m 3.
0,25
Câu Đáp án Điểm
3 a)Phương trình : z22z20có ' 1 2 1 0 Nên phương trình có hai nghiệm phức phân biệt:
1 1 ; 2 1
z i z i
0,25
22 2 2
1 2
| | | | 1 1 1 1 2 2
A z z 0,25
b)Ta có: 1 1
( 5 2)( 5 2) 1 5 2 ( 5 2)
5 2
Do đó ta có:
52
x1
52
x23
52
x1
52
x230,25
2 2
1
1 3 2 0
2
x x x x x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S
1; 2
.0,25
Câu Đáp án Điểm
4
a)Biến đổi phương trình về dạng:
sin 4 (vn)
(sin -4)(2 cos 1) 0 1
cos 2
x
x x
x
0,25
Với 1
cos 2
2 3
x x k
, k Z
Kết luận: phương trình có nghiệm: 2 , x 3 k k
. 0,25
b)Ta có: An22Cn2124 n n
1
n n
1 – 24
(với đk n2,n; ) n 12
0,25
Xét khai triển nhị thức Niu-tơn của:
12x3 x
12, số hạng tổng quát của khai triển là:12 12 3
1 12k12 k k( )k
Tk C x x
1 12
12 12 3 12 3
1212 ( 1) ( ) 1212 ( 1)
k k
k k k k k k k k
C x x C x (đk 0k12;k )
Số hạng chứa x6 tương ứng với 12 6 9 3
k k k
(tm).
Do đó số hạng cần tìm là: C12912 ( 1)3 9x6 C129.12 .3x6
0,25
Câu Đáp án Điểm 5 Ta có I =
4 4
1 1
2 1
2 1
xdx x dx
x
Tính
4 24
1 1
1
1 15
2 2
I
xdx x 0,25
Tính
4 2
1
2 1
2 1
I x dx
x
Đặt 2 1
1
t x dt dx dx tdt
x
Đổi cận:
x 1 4
t 3 3
Suy ra
3 2
2 3
(t 2) t
I dt
t
0,25
3
2 3 3
3 3
(t 2) (1 2 ) (9 6) ( 3 2 3) 3 3
dt 3t t
0,25Vậy I = 15 21
3 3 3
2 2
0,25
Câu Đáp án Điểm
6. +)Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
P là n
2; 1; 3
+) Gọi là đường thẳng cần tìm,
P nhận n
2; 1; 3
làm một vec tơ chỉ phương.0,25
+) Đường thẳng đi qua A
0; 1; 2
và nhận vectơ n
2; 1; 3
làm vec tơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng là:
2
1 2 3 x t
y t t
z t
0,25
+) Gọi Blà điểm đối xứng của A qua
P B B
2 ; 1t t; 2 3 t
0,25+) Trung điểm của ABthuộc mặt phẳng
P nên ta có1 3
2 1 3 2 2 0 1
2 2
t t t t
Do đó B
2; 2; 1
0,25
Câu 7 ( 1,0 điểm)
F E M
N
A
C B
S
+) Lập luận chỉ ra
SB ABC,
SBA600+) SAAB. tan 600 a 3 0,25
3 .
1. .
3 2
S ABC ABC
V SA S a 0,25
+) CMNBE ( E là trọng tâm tam giác SBC).
+) Xét AMC: Kẻ / /
23 EF CF EF AM F AC
AM CA
+)
AM BN,
EF BN,
.0,25
+) SB2 4a SC2, 27a BC2, 2 7a2 +) SBC có
2 2 2 2 2
2 2 2 15 2 4 2 15
4 4 9 9
BS BC SC a a
BN BE BN
+)
2
2 2 2
2 1 2 2 19
, , 2 . .cos
3 3 3 3 9
a a a
EF AM SB AF BF BA AF BA AF BAF
+)
2 2 2
0 0
cos 0 , 90 , 90 .
2 .
BE EF BF
BEF EF BN AM BN
BE EF
0,25
Câu 8 Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD. Điểm
G N K
M I D
A
C
B
+)
2 2
|13 10.4 7 | 20 ,
13 10 269
d M BN
+)K K m m
, 1
0,25
+)Gọi Ilà tâm của hình bình hành ABCD G, là giao điểm của BN&ACGlà
trọng tâm tam giác 2 1
3 3
BCDCG CI AC
+)Có 1 5 4
,
4
,
4 12 5 5
AM ACMG ACCG MGd C BN d M BN
Có Clà trung điểm của
,
2
,
8
,
325 269
KNd K BN d C BN d M BN
5|13 10 1 7 | 32
| 3 17 | 32 49
269 269
3 m m m
m m
+)Với m 5 K
5; 4
Với 49 49 52
3 3 ; 3
m K
Có M&Knằm khác phía với BN K
5; 4
thỏa mãn.0,25
+)Có 3 2
4 4 2 2
AB AB CD
CM AC CNCK MNKlà tam giác vuông tại M MNMK
Phương trình đường thẳng MK y: 4 0 MN x: 1 0 +)N BNMNN
1; 2
Clà trung điểm của NKC
3;3 ,
Nlà trung điểm của CDD
1;1
0,25
+) 1 13
3 ;
CM MA A3 3
13 19 3 ; 3 DA CB B
+) Kết luận: A 1 13; , 13 19; ,
3;3 ,
1;1
3 3 B 3 3 C D
0,25
Câu 9 ( 1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2 2 2
2 2 1
,
2 1 2 3 2 4 2
xy y x
x y
y x x x x x
Điểm
+)Ta có: (1)y
x22x
2 (3)+) Vì x22x x2x x x 0, x , nên:
3 2 2 2 22
y x x
x x
0,25
+) Thay vào phương trình
2 ta được:
2
x22x
22
x1
x22x32x24x
2 2
2 2
1 2 2 1 2 3 0
1 1 1 2 1 2 3
x x x x x x
x x x x
0,25
+) Xét hàm số đặc trưng: f t
t
1 t22
t
2
' 2
1 2 2 0,
2
f t t t t
t
hàm số f t
đồng biến trên 0,25+) Khi đó
3
1
1 1f x f x x x x 2
y1
+) Vậy hệ có 1 nghiệm
;
1;1x y 2
0,25
Câu 10 (1,0 điểm)
+) Với mọi số thực dương x y z, , . Ta có:
2
2
4
2
2
42 2
x y z x y z
x z y z x y x z y z x y
+) Mặt khác
xy
xy24z x2y22xy24yz4xz2
x2y2z2
Vì 2xyx2y2; 4yz2
y2z2
; 4xz2
x2z2
+) Tương tự
zy
y2x
z2x
2
x2y2x2
0,25
+) Từ đó suy ra
2 2 2
2 2 2
4 9
4 2
P x y z x y z
+) Đặt x2y2z24 t t
2
. Khi đó
2
4 9
2 4
P t t
0,25
+) Xét hàm số
'
2
2 2 2
4 9 4 9
( ) 2 ;
2 4 4
f t t f t t
t t t t
' 0 4
f t t tm
0,25
+) Lập bảng biến thiên của hàm số ta được
2;
4 5 Max f t f 8
+) Khi 5
2 8
x yz P . Vậy 5
MaxP8 khi
x y z; ;
2; 2; 2
0,25