CÁC D ẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI D ạng 1. XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp giải

Ví dụ 1. Đường thẳng ^y=

(

^m+1

)

^x+5 đi qua điểm ^F

(

^−1;3

)

^{có h}ệ số góc bằng bao nhiêu?

Giải

Kí hiệu

( )

^d là đường thẳng ^y=

(

^m+1

)

^x+5.

Vì ^F

(

^−1;3

) ( )

^{∈ d nên 3=}

(

^m+1

)( )

^{− + ⇔ =1 5 m 1.}

Vậy hệ số góc của đường thẳng

( )

^{d là a= + = + =m 1 1 1 2}

Ví dụ 2. Tính hệ số góc của đường thẳng

( )

^{d :y=}

(

^m−2

)

^{x+3 bi}ết nó song song với đường thẳng

( )

^{d' : 2x− − =y 1 0. V}ẽ đồ thị

( )

^{d v}ừa tìm được.

Giải

+ Đường thẳng

( )

^d' có phương trình 2x− − = ⇔ =y 1 0 y 2x−1.

Vì

( ) ( )

^{d / / d' ⇔ =a a' và b≠b' nên m− =2 2 và}

3≠ −1.

Do đó hệ số góc của đường thẳng

( )

^{d là 2.}

+ Ta có

( )

^{d :y=2x+3. V}ẽ đường thẳng đi qua hai điểm ^A

( )

^{0;3 và 3;0}

B−2 

 

  là đường thẳng

( )

^{d c}ần vẽ. (h.17)

Ví dụ 3. Tính hệ số góc của đường thẳng

( )

^{d :y= −}

(

^{1 m x}

)

^{+1, bi}ết nó vuông góc với đường thẳng

( )

^{d' :x−2y− =4 0. V}ẽ đồ thị

( )

^{d v}ừa tìm được.

Giải

y

-3 2

A

o

Hình 17 3

B

x Vận dụng định nghĩa hệ số góc của đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và trục Ox; vận dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

+ Đường thẳng

( )

^d' có phương trình

2 4 0 1 2

x− y− = ⇔ =y 2x−

Vì

( ) ( )

^{' . ' 1 (1 ).1 1 1 2}

d ⊥ d ⇔a a = − ⇔ −m 2= − ⇔ − = −m Do đó hệ số góc của đường thẳng

( )

^{d là −2}

+ Ta có

( )

^{d :y−2x+1. V}ẽ đường thẳng đi qua hai điểm

( )

^0;1

A và 1 2;0 B 

 

  là đường thẳng

( )

^{d c}ần vẽ (h.18).

Ví dụ 4. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm ^A

(

^−1;1

)

^{và B}

(

^{2; 3−}

)

Giải

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ^A

(

^−1;1

)

^{và B}

(

^{2; 3−}

)

^là

:

AB y =ax+b

Ta có: A∈AB nên: ^1=a.

( )

− + ⇔ − + = ⇔ = +^{1 b 1 b 1 b a 1} (1) B∈AB nên: 3− =a.2+ ⇔ = − −b b 2a 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 4

2 3 1

a a a 3

− − = + ⇔ = −

Vậy hệ số góc của đường thẳng AB là: 4 a= −3.

Dạng 2.XÁC ĐỊNH GÓC Phương pháp giải

Vận dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng y=ax+b

(

^a≠0

)

^{và tr}ục Ox; vận dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn; vận dụng tam giác đồng dạng.

Ví dụ 1. Tính góc tạo bởi đường thẳng y= − +2x 3 và trục Ox.

Giải

Vẽ đường thẳng y= − +2x 3. Khi đó BAx là góc tạo bởi đường thẳng y= − +2x 3 với trục Ox (hình 19)

y

1 2

o

Hình 18 1

x

Vận dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và trục Ox; vận dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn; vận dụng tam giác đồng dạng.

y

1,5 A x 3 B

o

Hình 19

Xét tam giác vuông ABO, ta có:

 3  ⁰

tan 2 63 26 '

1,5

OAB OB OAB

= OA = = ⇔ ≈

 180⁰  116 34 '⁰

BAx OAB

⇒ = − ≈

(Trong đó 2 chính là giá trị tuyệt đối của hệ số góc của đường thẳng y= − +2x 3).

Ví dụ 2. Cho đường thẳng

( )

^{d :y=mx+ 3}. Tính góc tạo bởi đường thẳng

( )

^{d v}ới trục Ox, biết

( )

^d đi qua điểm ^A

(

^−3;0

)

^.

Giải

Vì

(

^3;0

) ( )

^{: 3 1 .}

A − ∈ d y=mx+ ⇒ =m 3 Khi đó

( )

^d có phương trình 1

3 3.

y= x+

Gọi α ^{là góc t}ạo bởi đường thẳng

( )

^{d v}ới trục Ox. Khi đó ta có:

1 0

tan 30 .

α = 3 ⇒ =α

Vậy góc tạo bởi đường thẳng

( )

^{d v}ới trục Ox là 30 . ⁰

Ví dụ 3.Cho hai đường thẳng

( )

d1 : y= −2x và

( )

2

1

d = 2x.

( )

^{d là} đường thẳng song song với trục Ox và cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3;

( )

^{d c}ắt

( )

d1 và

( )

d2 lần lượt tại A và B. Chứng minh rằng: AOB=90⁰

Giải

Vẽ ba đường thẳng ,

( )

^{d ,}

( )

d1 ,

( )

d2 như hình 21.

Xét hai tam giác AHO và OHB, ta có:

^ ^

0 1

90 ; .

2 HA HO AHO OHB

HO HB

= = = =

Do đó: ∆AHO ∽ ∆OHB⇒  AOH =OBH .

y

Hình 20 3 α

-3 A

o d

( ):y = 1

3x + 3

x

y

x

Hình 21

d2

( ) d1

( ) H 3

-3 6 2

O

B A

Mà  AOH +HOB=90⁰ ⇒AOB=90⁰

Chú ý:

( )

d1 : y= −2x có hệ số góc a1= −2;

( )

2

1

d = 2x có hệ số góc 2

1. a = 2 Ta thấy: 1 2

( )

. 2 .1 1

a a = − 2 = − , do đó:

( ) ( )

d1 ⊥ d2 . Dạng 3. XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp giải

Ví dụ 1. Xác định đường thẳng

( )

^d đi qua điểm ^A

(

^−2;3

)

^{và có h}ệ số góc bằng −2. Giải

Gọi phương trình đường thẳng

( )

^{d là: y=ax+b.}

Vì

( )

^{d có h}ệ số góc là −2 nên ^{a= − ⇒2}

( )

^{d :y= − +2x b}

Vì ^A

(

^−2;3

) ( )

^{∈ d nên 3= −}

( ) ( )

^{2 . − + ⇔ = −2 b b 1.}

Do đó phương trình đường thẳng

( )

^{d là y= − −2x 1}

Ví dụ 2. Xác định đường thẳng

( )

^d đi qua điểm ^A

(

^−1;1

)

^{và t}ạo với trục Ox một góc bằng 45 . 0

Giải

Đường thẳng

( )

^{d có d}ạng y=ax+b. Vì ^A

(

^−1;1

) ( )

^{∈ d nên}

( )

1=a − + ⇔ = +1 b b a 1.

Vì

( )

^{d t}ạo với trục Ox một góc bằng 45 nên ⁰ a=tan 45⁰ = ⇒ =1 b 2 Do đó phương trình đường thẳng

( )

^{d là y= +x 2}

Ví dụ 3. Xác định đường thẳng

( )

^d đi qua điểm ^A

( )

^{0;1 và t}ạo với đường thẳng y=2 một góc bằng 60 . ⁰

Giải

• Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là . Ta cần xác định a và b.

• Chú ý rằng: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox.

Ta có:

− Khi góc nhọn thì

− Khi góc tù thì .

Đường thẳng

( )

^{d có d}ạng y=ax+b. Vì ^A

( ) ( )

^{0;1 ∈ d nên 1=a.0+ ⇔ =b b 1.}

Vì đường thẳng y=2 song song với trục hoành nên từ đề bài ta có

( )

^{d t}ạo với trục Ox một góc bằng 60 . ⁰

Ta có: a=tanα =tan 60⁰ = 3. Vậy

( )

^{d :y= 3x+1.}

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Đường thẳng

( )

^d đi qua giao điểm của hai đường thẳng y= +x 1, y=2x và song song với đường thẳng y=2 x+ +2 2 là:

(A) y= 4x+ −2 2; (B) ^y=

(

^{2+ 2}

)

^x+1;

(C) y= 2x+ −2 2; (D) y= +x 2. 2. Đường thẳng 1 3

2 2

y= x+ vuông góc với đường thẳng nào dưới đây?

(A) 1 3

2 2

y= − x− ; (B) 3

2 2

y= x− ;

(C) 3

2 2

y= − +x ; (D) 1 3

2 2

y= x− .

3. Đường thẳng ^y=

(

^m+1

)

^x−2 vuông góc với đường thẳng 1 2 2011

y= x+ thì m bằng ?

(A) −2 (B) −3 (C) −1 (D)1

4. Xác định đường thẳng

( )

^{d bi}ết nó có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm ^A

(

^{−3; 2}

)

5. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm ^A

( )

^{1; 2 và B}

( )

^{3; 4}

6. Cho đường thẳng

( )

^{d :mx+3}. Tính góc α tạo bởi đường thẳng

( )

^{d v}ới trục Ox, biết:

a)

( )

^d đi qua điểm ^A

(

^{− 3;0}

)

b)

( )

^d đi qua điểm ^B

(

^{6; 3−}

)

^.

7. Xác định đường thẳng

( )

^d đi qua điểm ^A

( )

^{0;3 và t}ạo với đường thẳng y=2 một góc bằng 60 .0

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1. (C).

2. (C).

3. (B).

4. y=2x+8.

5. AB y: = + ⇒x 1 đường thẳng AB có hệ số góc a=1.

6. a) α =60 .⁰

b) m= − <1 0 nên ^{−tan 180}

(

^0−α

)

^{= − ⇔1 1800− =α 450 ⇔ =α 135 .0}

7. y= 3x+3.

ÔN TẬP CHƯƠNG II A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1. Hàm số.

+ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x theo quy tắc f sao cho với mỗi giá trị x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y mà ^{y= f x}

( )

thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.

+ Cách cho hàm số: Hàm số thường được cho bằng công thức.

Chú ý: Có một số cách khác cho hàm số như: Bảng, sơ đồ Ven, đồ thị.

+ Đồ thị của hàm số: Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng

(

^{x f x;}

( ) )

^trên

mặt phẳng tọa độ gọi là đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

+ Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: Cho hàm số ^{y= f x}

( )

xác định trên tập hợp D là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn, với mọi x x1, 2∈D:

Nếu x1<x2 mà f x

( )

1 < f x

( )

2 thì hàm số ^{y= f x}

( )

đồng biến trên D Nếu x1<x2 mà f x

( )

1 > f x

( )

2 thì hàm số ^{y= f x}

( )

^nghịch biến trên D 2. Hàm số bậc nhất

+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y=ax+b, trong đó a, b là các số cho trước và a≠0.

+ Tập xác định: 

+ Khi a>0 thì hàm số đồng biến trên ^{; Khi a<0 thì hàm s}ố nghịch biến trên  + Đồ thị hàm số là một đường thẳng.

+ Hệ số ^{a a}

(

^≠0

)

được gọi là hệ số góc của đường thẳng y=ax+b

+ Cho hai đường thẳng ( ) :d y=ax+b

(

^a≠0

)

và đường thẳng ( ') :d y=a x' +b'

(

^a'≠0

)

^{. Ta có:}

( ) ( )

^{d / / d' ⇔ =a a' và b≠b'}

( ) ( )

^{d ≡ d' ⇔ =a a' và b=b'}

( )

^{d c}ắt

( )

^{d' ⇔ ≠a a'}

( )

^{d ⊥}

( )

^{d' a a. '= −1.}

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trong tài liệu Phương pháp giải các dạng toán hàm số bậc nhất - THCS.TOANMATH.com (Trang 42-49)