BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ DẠNG 3.2

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Hàm số y f}

 

^x có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình ^{f x}

 

^{ ex m} đúng với mọi ^{x }



^1;1



khi và chỉ khi:

A.

 

^{1 1}

m f  e. B. ^{m f}

 

^{1 e. C. m f}

 

^{1 e. D.}

 

^{1 1}

m f  e. Câu 8. Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên và có đạo hàm

     

' 1 2 sin 2 2019

f x  x x x  . Hàm số ^{y f}



^1x



^{2019x2018} nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A.



^3;



^{. B.}

 

^{0;3 . C.}



^;3



^{. D.}



^1;



^.

Câu 9. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm xác định và liên tục trên thoả mãn

 

^.

  

¹



²



f x x f x x x x ,  x . Hàm số ^{g x}

 

^{x f x.}

 

đồng biến trên khoảng nào?

A.



^;0



. B.

 

^{1; 2} . C.



^2;



. D.

 

^{0; 2} . Câu 10. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị là đường cong

trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình ^{f x}



^2019



^{1 là}

A. ¹. B. ².

C. 3. D. 4.

Câu 11. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ dưới đây

1 1

m f m f 1 e² m f 1 e² m f 1 1

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

trình ^{x f x.}

 

^mx1 nghiệm đúng với mọi ^x



^1;2019



^khi

A. ^{m f}

 

^{1 1. B. m f}

 

^{1 1.}

C.



²⁰¹⁹



¹

m f 2019. D.



²⁰¹⁹



¹

m f 2019. Câu 13. Cho hàm số ^{y f x}

 

. Hàm số ^{y f}

 

^x có đồ thị như sau:

Bất phương trình ^{f x}

 

^{x22x m} đúng với mọi ^x

 

^1;2 khi và chỉ khi

A. ^{m f}

 

² . B. ^{m f}

 

^{1 1. C. m f}

 

^{2 1}. D. ^{m f}

 

^{1 1}. Câu 14. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Hàm số y f}

 

^x có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình f x( )3e^x2m có nghiệm ^{x }



^{2; 2}



khi và chỉ khi:

A. ^{m f}

 

^{ 2 3. B. m f}

 

^{2 3e4. C. m f}

 

^{2 3e4. D. m f}

 

^{ 2 3.}

Câu 15. Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Bất phương trình ^{f x}

 

^{ex2 m} đúng với mọi ^{x }



^1;1



khi và chỉ khi

A. ^{m f}

 

^{0 1}. B. ^{m f}

 

^{ 1 e}. C. ^{m f}

 

^{0 1}. D. ^{m f}

 

^{ 1 e}. Câu 16. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log2



2x m



2log2xx² 4x2m1 có

hai nghiệm thực phân biệt?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

+ ∞

∞

4

∞ 2 +∞

f'(x)

x 3

0

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ Câu 17. Cho hàm số

 

2 3 2019

2

1 ... e khi 0

2! 3! 2019!

10 khi 0

x x x x

x x

f x

x x x

       

 

  



. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương và chia hết cho 5 của tham số m để bất phương trình ^{m f x}

 

^{0 có}

nghiệm?

A. 25. B. 0. C. 6. D. 5.

Câu 18. Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số để bất phương trình đúng với mọi . Số phần tử của tập là

A. 4038. B. 2021. C. 2022. D. 2020.

Câu 19. Cho hàm số y f x

 

. Đồ thị hàm số y f

 

x được cho như hình vẽ bên. Hàm số

  

^{2 4 1}



g x  f x  đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.



^{ ; 1}



^{. B. 1;1}

2

 

 

 . C. 1;³ 2

 

 

 . D.



^2;



^.

Câu 20. Cho hàm số ^{f x}

 

^{cos 2x}. Bất phương trình ^f2019

 

^{x m} đúng với mọi 3 12 8; x   

 

 

khi và chỉ khi

A. m2²⁰¹⁹. B. m²⁰¹⁸. C. m2²⁰¹⁸. D. m2²⁰¹⁹. Do đó bất phương trình ^f2019

 

^{x m} đúng với mọi 3

12 8; x 

  khi và chỉ khi 22018

m .

Câu 21. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm đến cấp hai trên . Bảng biến thiên của hàm số '( )

y f x như hình vẽ. Bất phương trình ² ( ) ^{1 3}

mx  f x 3x nghiệm đúng với mọi

 

^0;3

x khi và chỉ khi

A. ^{m f}

 

⁰ . B. ^{m f}

 

³ . C. ^{m f}

 

⁰ . D.

 

^{1 2}

m f 3.

S ^{m }



^{2019; 2019}





^1m3



^{x33 2}



^m3



^x2



^{13 m 3m3}



^{x10 m m30 x}

^{ }

^1;3

S

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ A. 2 6 ;^{11 3}

m  3 

 . B. ^m



^{2 6 ;3 3}_^.

C. m 2 6 ;3 3. D. ^m_^{3 3 ;11 3}₃ ^_^

 

^{2 6}

  .

Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 ¹ 8 ^{1 2} 2

x^   x m có 3 nghiệm thực phân biệt?

A.8. B.9. C.6. D.7.

Câu 24. Cho bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .

A. . B. . C. . D. .

Câu 25. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Đồ thị y f}

 

^x như hình bên. Hàm số

 

^{1 1 2 }

2

f x

g x

  

    nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.

 

^{0;1 . B.}



^;0



^{. C.}



^1;0



^{. D.}



^{1; }



^.

Câu 26. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của n để phương trình sau có nghiệm ^x . ^f



^{16sin2x6 sin 2x8}



^{ f n n}

 ^

^1

^ 

 

3 4 2 3 2 2 2

2 1 1 1

x x  m x  x x   m

m x1

1

m 2 m1 ¹

m 2 m1

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

A. 10. B. 6. C. 4. D. 8.

Câu 27 Cho hàm số y f x

 

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây .

Số nghiệm của phương trình

     

   

3 2

3 4 2

3 2

3 1

f x f x f x

f x f x

  

 

 là:

A.6 . B.9 . C.7 . D.8.

Câu 28. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ^{f x}



^33x22



^m23m có nghiệm thuộc nửa khoảng



^{1; 3}



^là

A.



^1;1

 

^{ 2; 4}



^{. B.}

 

^{1; 2 }



^{4;  }



^{. C.}



^{  ; 1}

  

^{2; 4 . D.}



^1;1

 

^{ 2; 4}



_.

Câu 29. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{thỏa mãn f}

 

^{x   x2 2  x} . Bất phương trình ^{f x}

 

^{m có}

nghiệm thuộc khoảng

 

^0;1 khi và chỉ khi

A. ^{m f}

 

^{1 . B. m f}

 

^{0 . C. m f}

 

^{0 . D. m f}

 

^{1 .}

Câu 30. Cho cấp số cộng

 

an , cấp số nhân

 

bn thoả mãn a₂  a₁ 0, b₂  b₁ 1 và hàm số

 

^{3 3}

f x x  x sao cho f a

 

2  2 f a

 

1 và f



log2b2



 2 f



log2b1



. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho b_n 2019a_n

A. 17. B. 14. C. 15. D. 16.

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

A. 4. B. 5. C. 8. D. 10.

Câu 32. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m m 1 1 sin x sinx có nghiệm là đoạn

 

^{a b;} . Khi đó giá trị của biểu thức 1

4 2

T a

  b bằng

A. 4. B. ⁵. C. 3. D. ³.

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f



^{3 f x( )m}



^{x3m có}

nghiệm ^x

 

^1;2 biết f x( )x⁵3x³4m.

A. 16. B. 15. C. 17. D. 18.

Câu 34. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

4 2 4

1 2 2 0

x  x x mx  m đúng với mọi ^x là ^{S }

 

^{a b; . Tính a 28b.}

A. 2. B. 3. C. 6. D. 5.

Câu 35. Biết rằng phương trình ax⁴bx³cx²dx e 0



^{a b c d e, , , ,  ,a0,b0}



^{có 4}

nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực?



^{4ax33bx22cxd}



^{22 6}



^{ax23bxc}

 

^{. ax4bx3cx2dxe}



^0

A. ⁰. B. 2. C. 4. D. ⁶.

Câu 36. Cho hàm số ^{f x}

 

^{x34x2 x 4} có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau có bốn nghiệm thuộc đoạn

 

^{0; 2}



²



²

2019f 15x 30x16 m 15x 30x16 m 0

A. 4541. B. 4542. C. 4543. D. 4540.

Câu 37. Có bao nhiêu số nguyên x ( 100;100) thỏa mãn bất phương trình

2 3 2019 2 3 2019

1 ... 1 ... 1.

2! 3! 2019! 2! 3! 2019!

x x x x x x

x x

  

          

  

  

A. 199 B. 0 C. 99 D. 198

Câu 38. Cho hàm số f x

 

³7 3 x³7 3 x2019x. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện ^f



^{x32x23x m}



^{ f}



^{2x2x2   5}



^{0, x}

^{ }

^0;1 . Số phần tử của S là?

A. 7. B. ³. C. ⁹. D. ⁵.

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

A. 4 B. 6 C. 2 D. 8

Lời giải Chọn A

Ta thấy phương trình f x( ) 4 có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.

Do đó phương trình f x( ) 4²  có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 2. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm ^{f '}

  

^{x  3x}

 

^{x2 1}



^{2x , x} . Hàm số

   

^{2 1}

g x  f x  x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A.



;1



. B.



1;0



. C.

 

1; 2 . D.



3;



. Lời giải

Chọn C

Ta có: g x'

 

 f '

 

x 2x.

 

' 0

g x  ^{ f '}

 

^{x 2x0}



^3x

 

^{x2 1}



^{0 13}

1 x x x

 

 

  



.

Ta có bảng biến thiên của hàm g x

 

như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng



 ^{; 1}



và

 

^1;3 . Suy ra hàm số đồng biến trên

 

^{1; 2 .}

Câu 3. Cho hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên đoạn



^3;1



thỏa mãn ^f

 

^{ 3 1,f}

 

^{0 2, f}

 

^{1 3.}

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. ^{1 f}

 

^{ 2 2}. B. ^{2 f}

 

^{ 2 3}. C. ^f

 

^{ 2 1}. D. ^f

 

^{ 2 3}. Lời giải

Chọn A

y’

y

0 0

5

1

- + -

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Do hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên đoạn



^3;1



^{và    3 2 0 nên}

 

³

 

²

 

^{0 1}

 

^{2 2}

f   f   f   f   .

Câu 4. Cho hàm số ^{y f x} có đạo hàm ^f

 

^{x x2}



^x1



^{x4 .}

  

^{u x với mọi x và u x}

 

^0

với mọi x . Hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

² đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A.

 

1; 2 . B.



1;1



. C.



 2; 1



. D.



 ; 2



. Lời giải

Chọn C

Ta có ^g'

 

^{x 2 . 'x f}

 

^{x2 2 .x x}

  

^{2 2 x21}



^{x24 .}

  

^{u x2 .}

Thấy ^'

 

^{0 01}

2 x

g x x

x

 

   

  



. Bảng xét dấu ^{g x'}

 

^{như sau}

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng



^{ 2; 1}



^.

Câu 5. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên (;1)và (1;)có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2 ( ) 1 0f x   là

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Lời giải Chọn B.

Ta có : ^{2 ( ) 1 0}

 

¹

f x    f x  2 .

Dựa vào bảng biến thiên thấy phương trình có hai nghiệm.

Câu 6. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ sau. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

y f x y f x

1 e^x2

f x m x 1;1

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn D

Ta có đúng với mọi tương đương với

đúng với mọi . Xét với .

Ta có .

Nhận xét:

+) Với thì nên và suy ra .

+) Với thì nên và suy ra .

+) Với thì nên và suy ra .

Bảng biến thiên

Để nghiệm đúng với mọi suy ra .

Câu 7. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Hàm số y f}

 

^x có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình ^{f x}

 

^{ ex m} đúng với mọi ^{x }



^1;1



khi và chỉ khi:

A.

 

^{1 1}

m f  e. B. ^{m f}

 

^{1 e. C. m f}

 

^{1 e. D.}

 

^{1 1}

m f  e. Lời giải

Chọn D 1 1

m f m f 1 e² m f 1 e² m f 1 1

1 e^x2

f x m x 1;1 m f 1 x e^x2

x 1;1 g x f 1 x e^x2 x 1;1

1 2 .e^x2 1 2 e^x

g x f x x f x x

1 x 0 1 1 x 2 f 1 x 0 xe^x2 0 g x 0

0 x 1 0 1 x 1 f 1 x 0 xe^x2 0 g x 0

0

x 1 x 1 f 1 x 0 xe^x2 0 g x 0

1 e^x2

m f x x 1;1 m f 1 1

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Theo giả thiết ta có: ^{m f x}

 

^{ ex g x}

 

^{,  x}



^{1;1 *}

  

^.

Xét hàm số ^{g x}

 

^trên



^1;1



^{ta có: g x}

 

^{ f}

 

^{x ex}. Ta có hàm số

y  e

^x đồng biến trên khoảng



^1;1



^{nên: e e 1 1 0,}



^1;1



e

x  ^     x . Mà ^f

 

^{x    0, x}



^1;1



^.

Từ đó suy ra ^{g x}

 

^{ f}

 

^{x     ex 0, x}



^1;1



. Nghĩa là hàm số ^{yg x}

 

nghịch biến trên khoảng



^1;1

  

^{** .}

Từ

 

^{* và}

 

^{** ta có: m g}

 

^{1 m f}

 

^{1 1}

     e.

Câu 8. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{xác định trên và có đạo hàm}

     

' 1 2 sin 2 2019

f x  x x x  . Hàm số ^{y f}



^1x



^{2019x2018} nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A.



^3;



^{. B.}

 

^{0;3 . C.}



^;3



^{. D.}



^1;



^.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ^{y f}



^1x



^{2019x2018} xác định trên . Ta có ^{y f}



^{1 x}



²⁰¹⁹

     

1 1 x . 2 1 x sin 1 x 2 2019 2019

           



³



^{sin 1}

 

²

x x x

      . Mặt khác ^{sin 1}



^{  x}



^{2 0 với mọi x .}

Do đó ^{y   0 x}



^3x



^{0 0}

3 x x

 

   . Dấu của y là dấu của biểu thức ^x



^3x



^.

Ta có bảng biến thiên.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ^{y f}



^1x



^{2019x2018} nghịch biến trên khoảng

 

^{0;3 .}

Câu 9. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm xác định và liên tục trên thoả mãn

 

^.

  

¹



²



f x x f x x x x ,  x . Hàm số ^{g x}

 

^{x f x.}

 

đồng biến trên khoảng nào?

A.



^;0



^{. B.}

 

^{1; 2 . C.}



^2;



^{. D.}

 

^{0; 2 .}

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

 

^{0 1}

2

g x x

x

   

  . Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g x

 

đồng biến trên khoảng



2;



. Câu 10. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị là đường cong

trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình ^{f x}



^2019



^{1 là}

A. ¹. B. ².

C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị, ta có đường thẳng y1 cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A B C, , .

Do đó



²⁰¹⁹



¹

f x 

2019 2019 2019

A B C

x x

x x

x x

 



  

  

 2019 2019 2019

A B C

x x x x x x

 



  

  



Vậy số nghiệm thực của phương trình ^{f x}



^2019



^{1 là 3.}

Câu 11. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x

 

log2m có hai nghiệm phân biệt.

x

 

g x

 

g x

 0 1 2 

0  0  0 



N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

A. m0. B. 0 m 1;m16. C. m1; m16. D. m4.

Lời giải Chọn B

Số nghiệm của phương trình f x

 

log2m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

 

y f x (hình vẽ) và đường thẳng ylog₂m.

Dựa vào hình vẽ ta có: phương trình f x

 

log2m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

2 2

log 4 16

log 0 0 1

m m

m m

 

 

    

 .

Câu 12. Cho hàm số ^y ^{f x}

 

. Hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình dưới. Bất phương trình ^{x f x.}

 

^mx¹ nghiệm đúng với mọi ^x



^1;2019



khi

A. ^{m f}

 

^{1 1}. B. ^{m f}

 

^{1 1}. C.



²⁰¹⁹



¹

m f 2019. D.



²⁰¹⁹



¹

m f 2019. Lời giải

Chọn B

Ta có ^{x f x.}

 

^mx1nghiệm đúng với mọi ^x



^1;2019



 

¹

f x m

  x với mọi ^x



^1;2019



^.

Xét hàm số ^{h x}

 

^{f x}

 

¹

 x với mọi ^x



^1;2019



^.

Ta có ^{h x}

 

^f

 

^{x 1}₂

   x .

Vì ^f

 

^{x 0 với mọi} x



1;2019



(dựa vào BBT) và ¹₂ 0

x  với mọi x



1;2019



nên

 

⁰

h x  với mọi x



1;2019



 

h x đồng biến trên khoảng



^{1; 2019}



   

¹

h x h

  với mọi ^x



^1;2019



^.

Mà ^{h x}

 

^{m với mọi x}



^1;2019



^{nên mh}

 

^{1  m f}

 

^{1 1 .}

Câu 13. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Hàm số y f}

 

^x có đồ thị như sau:

+ ∞

∞

4

∞ 2 +∞

f'(x)

x 3

0

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Ta có ^{f x}

 

^{ x2 2x m , x}

 

^{1; 2  f x}

 

^{ x2 2x m , x}

 

^{1; 2 .}

Xét hàm số ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{ x2 2 ,x x}

 

^{1; 2}

Ta có ^{g x}

 

^{ f}

 

^{x 2x 2 f}

  

^{x  2x2}



Vẽ đường thẳng y2x2

Ta thấy ^f

 

^{x 2x  2, x}

 

^{1; 2 do đó g x}

 

^{  0, x}

 

^{1; 2} suy ra hàm số ^{g x}

 

^nghịch

biến trên khoảng

 

^{1; 2 .}

Vậy ^{mg x}

 

^{, x}

 

^{1; 2  m g}

 

^{2  f}

 

^{2  22 2.2 f}

 

^{2 .}

Câu 14. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Hàm số y f}

 

^x có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình f x( )3e^x2m có nghiệm ^{x }



^{2; 2}



khi và chỉ khi:

A. ^{m f}

 

^{ 2 3. B. m f}

 

^{2 3e4. C. m f}

 

^{2 3e4. D. m f}

 

^{ 2 3.}

Lời giải Chọn B

Ta có: f x( )3e^x2 m f x( ) 3e ^x2 m. Đặt ^{h x}

 

^{ f x( ) 3e x2 h x}

 

^{ f}

 

^{x 3ex2.}

Vì ^{  x}



^{2; 2 ,}

  

^{f x 3và x }



^{2; 2}



^{  x 2}

 

^{0; 4 3ex2}



^3;3e4



Nên ^{h x}

 

^{ f}

 

^{x 3ex2    0, x}



^{2; 2}



^{ f(2) 3e 4 h x}

 

^{ f( 2) 3  .}

Vậy bất phương trình f x( )3e^x2m có nghiệm ^{x }



^{2; 2}



khi và chỉ khi

 

^{2 3 4}

m f  e .

Câu 15. Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Bất phương trình ^{f x}

 

^{ex2 m} đúng với mọi ^{x }



^1;1



khi và chỉ khi

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

A. ^{m f}

 

^{0 1. B. m f}

 

^{ 1 e. C. m f}

 

^{0 1. D. m f}

 

^{ 1 e.}

Lời giải Chọn C

Có ^{f x}

 

^{ex2m,  x}



^1;1



   

^x2,



^1;1

  

^*

m g x f x e x

      

Ta có ^{g x}

 

^{ f}

 

^{x 2 .x ex2} có nghiệm ^{x  0}



^1;1



^và

 

^0,



^{1;0 ;}

  

^0,

 

^0;1

g x    x g x   x . Bảng biến thiên:

Do đó

 

     

max1;1 g x g 0 f 0 1

    .

Ta được

 

^{*  m f}

 

^{0 1.}

Câu 16. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log2



2x m



2log2xx² 4x2m1 có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải Chọn C

Điều kiện: 0

2 0.

x x m

 

  



Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

2 2

2 2

log (2xm) log x x 4x2m1 .

 

2 2

2 2

log x x log 2x m 4x 2m 1

       .

2 2

2 2

log x x log (4x 2 ) 4m x 2m (1)

      .

Xét hàm số f t( )log₂tt trên D(0;).

Ta có '( ) ¹ 1 0 0

f t ln 2 t

t     nên hàm số f t( ) luôn đồng biến trên D.

Suy ra phương trình (1) tương đương với phương trình: x² 4x2m

2 4 2 0 (2)

x x m

    .

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

' 0 4 2 0

0 4 0 2 2 0.

0 2 0 0

m m

S m

P m m

   

 

  

 

          Vậy có duy nhất số nguyên m 1.

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ nghiệm?

A. 25. B. 0. C. 6. D. 5.

Lời giải.

Chọn D

+) Với x0:

 

^{1 2 ... 2018 e}

2! 2018!

x x x

f x   x    ;

 

^{1 2 ... 2017 e ;...}

2! 2017!

x x x

f x   x   

²⁰¹⁹

 

^{1 ex 0, 0}

f x     x  ^f2018

 

^x  ^f2018

 

⁰ ^0, ^{x 0};<

 

^{0, 0}

f x x

    ^{ f x}

 

^{ f}

 

^{0   0, x 0.}

Nên  m ^*_ thì ^{m f x}

 

^{  0, x 0.}

Do đó bất phương trình ^{m f x}

 

^0 vô nghiệm trên



^{0; }



,  m ^*_. +) Với x0: Bpt: m x ² 10x 0 x²10x m.

Ta có bảng biến thiên

Bất phương trình có nghiệm      m 25 m 25 m



5;10;15; 20; 25



.

Câu 18. Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số để bất phương trình đúng với mọi . Số phần tử của tập là

A. 4038. B. 2021. C. 2022. D. 2020.

Lời giải Chọn B



^1m3



^{x33 2}



^m3



^x2



^{13 m 3m3}



^{x10 m m3  0, x}

^{ }

^{1;3 .}



^{x 2}



^{3 x 2 m x}



¹



^{3 m x}



^{1 ,}



^x

 

^{1;3 .}

 

^*

          

Xét: ^{f t}

 

^{   t3 t, t , ta có f t}

 

^{3t2   1 0, t .}

Hàm số ^{f t}

 

luôn đồng biến trên .

Đặt

 

2 1 u x v m x

  

  

 .

 

^{* f u}

 

^{ f v}

 

^{    u v x 2 m x}



^1



.

 

_{ }

1;3

2 2 5

, 1;3

1 ^x 1 4

x x

ycbt m x m Min m

x ^ x

   

           .

S ^{m }



^{2019; 2019}





^1m3



^{x33 2}



^m3



^x2



^{13 m 3m3}



^{x10 m m30 x}

 

^1;3

S

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ Mà ^m



^{2019; 2019}



m

  



  nên m ^2019;54



2019; 2018;..., 1; 0;1



m m

   

       

 



. Vậy có 2021 giá trị cần tìm.

Câu 19. Cho hàm số ^{y f x}

 

. Đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x được cho như hình vẽ bên. Hàm số

  

^{2 4 1}



g x  f x  đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.



^{ ; 1}



^{. B. 1;1}

2

 

 

 . C. 1;³ 2

 

 

 . D.



^2;



^.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{g x}

 

^



^f



^2x41

 

^{8x f3 }

^

^{2x4 1}

^

⁰

 

3

4 4

4

4 4

0 0 0

2 1 1 2

' 2 1 0

2 1 3 2

x x x

x x

f x

x x

 

 

   

            .

Dựa vào đồ thị hàm số ^f

 

^x và dấu của ^{g x}

 

, ta có BBT như sau:

 

g x đồng biến trên



^{ ; 42}



^và



^{0; 24}



^.

Vậy ^{g x}

 

đồng biến trên khoảng ¹;1 2

 

 

 .

Câu 20. Cho hàm số ^{f x}

 

^{cos 2x}. Bất phương trình ^f2019

 

^{x m} đúng với mọi 3 12 8; x   

 

 

khi và chỉ khi

A. m2²⁰¹⁹. B. m²⁰¹⁸. C. m2²⁰¹⁸. D. m2²⁰¹⁹. Lời giải.

Chọn B

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

3 3

; 2 ;

12 8 6 4

x   x 

1 3

sin 2 sin , ;

6 2 12 8

x  x  

     

²⁰¹⁹

 

^{22018, ;3}

f x x 12 8  

    

 .

Do đó bất phương trình ^f2019

 

^{x m} đúng với mọi 3 12 8; x  

 

  khi và chỉ khi 22018

m .

Câu 21. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm đến cấp hai trên . Bảng biến thiên của hàm số '( )

y f x như hình vẽ. Bất phương trình ² ( ) ^{1 3}

mx  f x 3x nghiệm đúng với mọi

 

^0;3

x khi và chỉ khi

A. ^{m f}

 

^{0 . B. m f}

 

^{3 . C. m f}

 

^{0 . D.}

 

^{1 2}

m f 3. Lời giải

Chọn C

2 1 3

( ) 3

mx  f x  x 1 ^{3 2} ( ) 3

f x x x m

    .

Đặt

 

^{( ) 1 3 2}

g x  f x 3x x . Theo bài ra, ta có: ^{g x}

 

^{m, x}

 

^{0;3 (*).}

Ta có g x'( ) f x'( )x²2x 1 x²2x(x1)²   0, x (0;3). Do đó g(0)g x( )g(3) , x (0;3). Mà: ^g

 

^{0  f}

   

^{0 ;g 3  f}

 

^{3 .}

(0) ( ) (3) , (0;3)

f g x f x

    

Vì vậy (*) m f(0).

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

 

2 2

5x 12x16m x2 x 2 có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

2 1 2 1

2018 ^{x x} 2018 ^{ x} 2019x2019. A. 2 6 ;^{11 3}

m  3 

 . B. ^m



^{2 6 ;3 3}_^.

C. m 2 6 ;3 3. D. ^m_^{3 3 ;11 3}₃ ^_^

 

^{2 6}

  .

Lời giải Chọn B

Xét bất phương trình 2018^{2x x1}2018^{2 x1}2019x2019 (1). Điều kiện: x 1.

Đặt ^{2 1} 2( 1) 1

2 1 2

a x x a b

a b x x

b x

    

       

   

 .

Bất phương trình (1) thành:

2018 2018 2019 0 2(2018) 2019 2(2018) 2019 (2) 2

a b a b a b

a b

        .

Xét hàm số f t( )2(2018)^t 2019t liên tục trên . ( ) 2.2018 ln 2018 2019^t 0,

f t     t nên f t( ) đồng biến trên . Bất phương trình (2) f a( ) f b( )  a b 2x x  1 2 x    1 1 x 1. Với   1 x 1, ta có:

 

2 2

5x 12x16m x2 x 2

 

²



²

 ^{ }

²

3 2 2 2 2 2

 x  x  m x x 

2 2

2 2

3 2 (3)

2 2

 

  

 

x x

x m

x .

Đặt 2

2 2 t x

x

 

 với ^{x }



^1;1



^.



^{2 22 x2}



^{3 0,}

^

^1;1

^

t x

x

      

 nên hàm t đồng biến trên



^1;1



^{, suy ra 1 3}

3 t . Do hàm t đơn điệu trên



^1;1



nên ứng với mỗi giá trị của 1

; 3 3

t  

   ta tìm được đúng một giá trị của ^{x }



^1;1



và ngược lại.

Viết lại phương trình (3) theo ẩn t: 2

 

3t m 4

t với ^{1 3}

3 t .

(3) có 2 nghiệm thực phân biệt ^{x }



^1;1



^(4) có 2 nghiệm thực phân biệt 1 ; 3

t  3 

   ^(*). Xét hàm số g t( ) 3t ²

  t liên tục trên 1

; 3 3

 

 

 .

2

( ) 3 2

  

g t t . Cho ( ) 0 ^{2 2 2 1} ; 3

3 3 3

 

        

g t t t .

Bảng biến thiên:

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Dựa vào bảng biến thiên, ta có (*)  ^m



^{2 6 ;3 3}_

Vậy ^m



^{2 6 ;3 3}_ thoả yêu cầu bài toán.

Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 ¹ 8 ^{1 2} 2

x^   x m có 3 nghiệm thực phân biệt?

A.8. B.9. C.6. D.7.

Lời giải Chọn A

Phương trình đã cho tương đương với: 2 ¹ 8 ^{1 2}(*).

2 m x^   x Xét hàm số:

1 2

1

1 2

1

1 2

2 8 1 ( 2)

( ) 2 ln 2 ( 2)

1 2

( ) 2 8 ( ) .

1

2 ( ) 2 ln 2 ( 2)

8 2 ( 2)

2

x

x x

x x

x x

g x x x

f x x f x

h x x x

x x

 



 

   

    

  

     

   

    



(Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 2).

Ta có:

1 2 2 1 2 3

( ) 2^x ln 2 1 2 ln 2 1 0, 2 ( ) (2) 2 ln 2 0, 2 g x  ^   ^     x g x g    x (1).

1 2

( ) 2^x ln 2 1 0, 2

h x   ^    x và ( 1) ln 2 1 0 (0) 2 ln 2 0 h

h

    

   

 h(0). ( 1)h  0 do đó h x( )0 có nghiệm duy nhất x₀ ( 1;0). Dùng máy tính tìm được x₀  0, 797563 lưu nghiệm này vào biến nhớ A, ta có f x

 

0  f A( )6,53131.

Vậy ta có f x( )    0 x x₀ ( 1;0). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:

2 m f x( )0 6,53131

    .

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ Do m là số nguyên nên m 



1, 0,1, 2,3, 4,5, 6



. Có tất cả 8 số nguyên thoả mãn yêu cầu.

Câu 24. Cho bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn D

Ta có:

(1)

Xét hàm số , .

Có nên hàm số đồng biến trên .

Bất phương trình (1) có dạng

.

Xét hàm số với .

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi , . .

Bảng biến thiên:

Tập giá trị của hàm số trên là .

Vậy , .

Câu 25. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Đồ thị y f}

 

^x như hình bên. Hàm số

 

^{1 1 2 }

2

f x

g x

  

  

  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.

 

^0;1 . B.



^;0



. C.



^1;0



. D.



^{1; }



.

 

3 4 2 3 2 2 2

2 1 1 1

x x  m x  x x   m

m x1

1

m 2 m1 ¹

m 2 m1

 

3 4 2 3 2 2 2

2 1 1 1

x x  m x  x x   m



^{x4 x2 m}



^{3 x4 x2 m 3 2x2 1}



^{2x2 1}



⁰

          



^{x4 x2 m}



^{3 x4 x2 m 3 2x2 1}



^{2x2 1}



         

 

³

f t  t t t

 

^{3 2 1 0,}

f t  t    t ^{f t}

 



^{3 4 2}

 

^{32 2 1}



^{3 4 2 3 2 2 1}

f x x m  f x   x x  m x 

4 2 2

2 1

x x m x

        m x⁴ x²1

 

^{4 2 1}

g x   x x  ^{x }



^1;



1

x ^{ m g x}

 

^{ x 1}

 

^{4 3 2 2}



^{2 2 1}



^{0, 1}

g x   x  x  x x    x

 

g x



^1;

 

^;1



 

mg x  x 1 m 1

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ Lời giải Chọn D

Từ đồ thị hàm số ^{y f}

 

^{x ta có}

 

^{0 1}

1 2

f x x

x

  

      . Xét hàm số

 

^{1 1 2 }

2

f x

g x

  

    .

Ta có

 

^{1 1 2 .}

  

^{2 . 1 2}



^{.ln 1}

2 2

f x

g x f x

    

       

   

 

 

1 1 2

2 ln 2. . 1 2

2

f x

f x

   

   

  .

 

⁰



^{1 2}



⁰

g x   f  x 

1 2 1 1

1 1 2 2 1 0

2 x x

x x

 

  

 

       .

Vậy hàm số g x

 

nghịch biến trên khoảng



1; 



. Chọn D.

Câu 26. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của n để phương trình sau có nghiệm ^x . ^f



^{16sin2x6 sin 2x8}



^{ f n n}

 ^

^1

^ 

A. 10. B. 6. C. 4. D. 8.

Lời giải Chọn B

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số ^{f x}

 

luôn đồng biến trên , do đó



^{16 sin2 6 sin 2 8}

  ^

¹

^ 

^{16 sin2 6 sin 2 8}

^

¹

^

f  x x  f n n   x x n n Ta xét

 

   

 

16sin2 6sin 2 8 1

8 1 cos 2 6sin 2 8 1 0 8cos 2 6sin 2 1 0

x x n n

x x n n

x x n n

    

       

    

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ Để phương trình có nghiệm ^x thì

 

²

 

²

2 2 2 2 2

8 6  n n  n n 100  10 n  n 10

2 1 41 1 41

10 2 2

n n   n  

      (do n²  n 10,n).

Vì n nguyên nên n   



3; 2; 1;0;1; 2



.

Câu 27 Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây .

Số nghiệm của phương trình

     

   

3 2

3 4 2

3 2

3 1

f x f x f x

f x f x

  

 

 là:

A.6 . B.9 . C.7 . D.8.

Lời giải Chọn B

Đặt ^{t f x}

 

đưa phương trình về hàm đặc trưng

   

^{t13  t 1}



^3t1



^{3 3t1 .}

Xét hàm đặc trưng ^{f x}

 

^x3x đồng biến R nên ta được t 1 3t 1 t0;t1. Với t0 ta có ^{f x}

 

^0 từ đồ thị ta được số nghiệm là 3.

Với t 1 ta có ^{f x}

 

^1 từ đồ thị ta được số nghiệm là 6. Vậy phương trình có 9 nghiệm phân biệt.

Câu 28. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ^{f x}



^33x22



^m23m có nghiệm thuộc nửa khoảng



^{1; 3}



^là

A.



^1;1

 

^{ 2; 4}



^{. B.}

 

^{1; 2 }



^{4;  }



^{. C.}



^{  ; 1}

  

^{2; 4 . D.}



^1;1

 

^{ 2; 4}



_.

Lời giải Chọn D

Đặt tx³3x²  2 t 3x²6x.

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Khi đó ^{f x}



^{3x 2}



^{m 3m (1)} trở thành: ^{f t}

 

^{m 3m(2)}

Phương trình

 

¹ có nghiệm thuộc



^{1; 3}



khi phương trình

 

² có nghiệm ^{t }



^{2; 2}



^.

Dựa vào đồ thị ta có

2 2

2

1 4

3 4 0 1 1

2 3 4 1

2 4

3 2 0

2

m m m m

m m m

m m m

m

  

       

 

             . Vậy phương trình

 

¹ có nghiệm thuộc

 

^{1; 3 khi m }



^1;1

  

^{ 2; 4 .}

Câu 29. Cho hàm số y f x

 

thỏa mãn f

 

x   x² 2  x . Bất phương trình f x

 

m có nghiệm thuộc khoảng

 

^0;1 khi và chỉ khi

A. ^{m f}

 

^{1 . B. m f}

 

^{0 . C. m f}

 

^{0 . D. m f}

 

^{1 .}

Lời giải Chọn D

 

^{2 2 0}

f x      x x  Hàm số nghịch biến trên nên f(0) f(1) Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình ^{f x}

 

^m có nghiệm thuộc khoảng

 

^0;1 

 

¹

m f .

Câu 30. Cho cấp số cộng

 

an , cấp số nhân

 

bn thoả mãn a₂  a₁ 0, b₂  b₁ 1 và hàm số

 

^{3 3}

f x x  x sao cho f a

 

2  2 f a

 

1 và f



log2b2



 2 f



log2b1



. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho b_n 2019a_n

A. 17. B. 14. C. 15. D. 16.

Lời giải Chọn D

Xét hàm số ^{f x}

 

^{x33x với x [0, ). Ta có f}

 

^{x 3x2    3 0 x 1} từ đó ta suy ra bảng biến thiên của ^{f x}

 

^{trên [0,) như sau:}

x 0 1 

 

f x - 0 +

 

f x 0 

2 Vì a₂ 0 nên f a

 

2   2 f a

 

1  f a

 

2  2 0 (1)

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Giả sử a₁1, vì ^{f x}

 

đồng biến trên [1,) nên f a

 

2  f a

 

1 suy ra f a

 

1  2 f a

 

1

vô lý. Vậy a₁[0,1) do đó f a

 

1 0 (2).

Từ (1) và (2) ta có:

 

 

1 0

2 1

0 0

1 1

f a a

f a a



  

 

   



Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng

 

an là an 



n¹



.

Một cách tương tự, đặt t₁log₂b₁ và t₂ log₂b₂ suy ra f t

 

2  2 f t

 

1 , vì 1 b₁ b₂ nên

1 2

0 t t ,

theo lập luận trên ta có:

1 2 1 1

2 2 2 2

0 log 0 1

1 log 1 2

t b b

t b b

  

  

 

     

  

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân

 

bn là b_n 2^n1.

Do đó b_n 2019a_n 2^n12019



n1



(*). Trong 4 đáp án n16 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa (*).

Câu 31. Cho bất phương trình m 1 x 12 1x² 16x3m 1 x 2m15. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^9;9



để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi



^1;1



x  ?

A. 4. B. 5. C. 8. D. 10.

Lời giải Chọn B

 Bpt: m 1 x 12 1x² 16x3m 1 x 2m15

 ^m



^{1 x 3 1 x 2}



^{2 8}



^{x6 1x2}



^{15 (1).}

 Đặt t 1 x 3 1x với ^{x }



^1;1



^.

 

1 3

0 1;1

2 1 2 1

t x

x x

       

  .

Suy ra t nghịch biến trên



^1;1



^.

Nên ^t

 

^{1    t t}

 

^{1 3 2 t 2.}

 Ta có t² 8x 10 6 1x²  ^{2t2 5 2 8}



^{x6 1x2}



^15.

Khi đó (1) trở thành: ^{m t}



^{ 2}



^{2t25 với t }_ ^{3 2 ; 2}_^.

 ^{2 2 5} 2 m t

t

 

 (2) với ^t ^ ^{3 2 ; 2} (vì ^t ^ ^{3 2 ; 2} nên



^{t 2}



^0).

 Xét hàm số

 

^{2 2 5}

2 f t t

t

 

 trên đoạn 3 2 ; 2.

     

   

2 2

2 2

4 2 2 5 2 8 5

2 2

t t t t t

f t

t t

    

  

  .

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ 62 93 2

( 3 2) 4,97

f 14

    ; ( 2) ^{2 2} 1, 7

f 2

  ; ^{4 6} 8 2 6 3,1

f  2   

(1) nghiệm đúng với mọi ^{x }



^1;1



^(2) nghiệm đúng với mọi t  3 2 ; 2

 ^m _{3 2 ; 2}^min _ ^{f t}

 

^f



^{3 2}



^{62 93 2}₁₄ ^4,97

 

       .

Kết hợp với điều kiện bài toán ta có:



^9;9



62 93 2

4, 97 14

m m m

 

  

 

   



 m     



9; 8; 7; 6; 5



.

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 32. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m m 1 1 sin x sinx có nghiệm là đoạn

 

^{a b;} . Khi đó giá trị của biểu thức 1

4 2

T a

  b bằng

A. 4. B. 5. C. 3. D. 3.

Lời giải Chọn A

Ta có  1 sinx   1 0 1 sinx  2 0 1 sin x  2, x . Đặt t 1 sin x. Ta có 0 t 2 và sinx t² 1.

Khi đó phương trình có dạng: m m       1 t t² 1 m 1 t m   1 t t² t

 

^{* .}

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t2 t t, 0}. Ta có ^f

 

^{t     2t 1 0, t 0.}

Do đó hàm số ^{f t}

 

^{ t2 t} luôn đồng biến trên



^{0; }



. Vì thế

 

^{*  t m}     ^{1 t m t2 t 1}

 

**

Xét hàm số ^{g t}

 

^{  t2 t 1,t}_{ }^{0; 2}_^.

 

^{2 1}

g t  t .

 

^{0 2 1 0 1}

g t      t t 2.

Bảng biến thiên của hàm số ^{g t}

 

^{  t2 t 1,t}_{ }^{0; 2}_

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Phương trình đề bài có nghiệm ^

 

^** có nghiệm 5

0; 2 1 2

t     4 m .

Vậy ⁵;1 2

m  4   nên 5

; 1 2 4

a 4 b    T .

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f



^{3 f x( )m}



^{x3m có}

nghiệm ^x

 

^{1;2 biết f x( )x53x34m.}

A. 16. B. 15. C. 17. D. 18.

Lời giải Chọn A

Đặt t ³ f x( )  m t³ f x( )m. Ta được hệ phương trình sau:

3 3 3

3

3 3

( ) ( ) ( ) (*)

( )

( ) ( ) ( )

f t x m f t t f x x f t x m

t f x m f x t m f x t m

      

    

        

   .

Vì f x( )x⁵3x³4 ,m f '( )x 5x⁴9x²   0, x nên hàm số h x( ) f x( )x³đồng biến trên . Do đó: (*) x t.

Khi đó ta được: ^{3 5 3 5 3} 1 ⁵ 2 ³

( ) 3 4 2 3 ( ) (**)

3 3

f x x  m x  x  mx  x  mg x  x  x m .

Dễ thấy 1 ⁵ 2 ³

( ) 3 3

g x  x  x đồng biến trên

 

^1;2 nên phương trình (**) có nghiệm trên đoạn

 

^1;2 khi và chỉ khi: g(1) m g(2)  1 m 16.

Vì m thuộc số nguyên nên có 16 số thỏa mãn bài toán.

Câu 34. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

4 2 4

1 2 2 0

x  x x mx  m đúng với mọi x là ^{S }

 

^{a b; . Tính a 28b.}

A. 2. B. 3. C. 6. D. 5.

Lời giải Chọn A

Xét bất phương trình: x⁴ 1 x²x 2mx⁴2m0

 

^*

 

^* xác định khi 2mx⁴2m0 ^{2m x}



^{4 1}



^{02m 0 m0.}

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

 

^* trở thành:

4 4

2 1

1

x x

m x x

  

 .

Đặt 4

1 t x

x

  ,

 

4 4 3

1 ;

1 t x

x

  



0 1

t    x BBT

2; 0 t  2 

   

 .

 

^* trở thành: ^{2m  f t}

 

với ^{f t}

 

^{t 1}

 t

 

^{1 1}₂ ⁰

f t

  t  , ²; 0 t  2 

  

Yêu cầu bài toán

 

2;0 2

2m Min f t

 

 

 

  2

2m f  2 

   

2 1

2m 2 m 4

    .

Do đó 1

0;4 m  

   

0, 1 a b 4

   . Vậy a 28b2.

Câu 35. Biết rằng phương trình ax⁴bx³cx²dx e 0



a b c d e, , , ,  ,a0,b0



có 4 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực?



^{4ax33bx22cxd}



^{22 6}



^{ax23bxc}

 

^{. ax4bx3cx2dxe}



^0

A. ⁰. B. 2. C. 4. D. ⁶.

Lời giải Chọn A

Gọi các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

và trục hoành là x x₁, ₂, x₃, x₄. Suy ra: f x

 

a x



x1



xx2



xx3



xx4



.

         

       

2 3 4 1 3 4

1 2 4 1 2 3 .

f x a x x x x x x a x x x x x x a x x x x x x a x x x x x x

         

       

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Ta có: g x

 

i f

 

xi ² f

   

xi ^.f xi f

 

xi ²  ^0, xi.

 

⁰

g x  không có nghiệm x_i.

Xét x x_i, ta có

     

⁴

1 2 3 4 1

1 1 1 1 1

.

i i

f x f x f x

x x x x x x x x _ x x

 

          



 ^.

     

 

4 4

1 1

1 1

i i i i

f x f x

f x  x x f x  x x

 

 

   

 



   



  ^.

     

   

2 4

2 2

1

. 1

0,

i i

f x f x f x

x x x

f x 

    

    

  

 



^{hay }^f

^{ }

^{x }^{2 f}

^{   }

^{x .f x   0, x xi}. Vậy trong mọi trường hợp phương trình ^{g x}

 

^0 đểu vô nghiệm.

Câu 36. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ x3 4x2 x 4} có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau có bốn nghiệm thuộc đoạn

 

^{0; 2}



²



²

2019f 15x 30x16 m 15x 30x16 m 0

A. ⁴⁵⁴¹. B. ⁴⁵⁴². C. ⁴⁵⁴³. D. ⁴⁵⁴⁰.

Lời giải Chọn B

Đặt ^{t x}

 

^{ 15x230x16}

 

¹⁵₂ ¹⁵

15 30 16

t x x

x x

 

 

  , ^{t x}

 

^{  0 x 1.}

Ta có bảng biến thiên

N GU Y Ễ N CÔN G Đ ỊNH

GI ÁO VIÊ N TRƯ Ờ NG THPT Đ Ầ M D Ơ I

N.C.Đ

Hay ^{4 4 2} 5 4

1 2109 2019

t t t m m

t t t

  

    

 (*) (vì t 1 0). Phương trình đã cho có 4

nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt t(1; 4]

Xét hàm g t( )  t² 5t 4 trên

 

^{1; 4 ta được 9 0 4542, 75 0}

4 2019

m m

       .

Vì mZ nên có 4542 giá trị thỏa mãn.

Câu 37. Có bao nhiêu số nguyên x ( 100;100) thỏa mãn bất phương trình

2 3 2019 2 3 2019

1 ... 1 ... 1.

2! 3! 2019! 2! 3! 2019!

x x x x x x

x x

  

          

  

  

A. 199 B. 0 C. 99 D. 198

Lời giải Chọn D

Đặt

2 3 2019 2 3 2018 2019

2 3 2019 2 3 2018 2019

( ) 1 ... '( ) 1 ... ( )

2! 3! 2019! 2! 3! 2018! 2019!

( ) 1 ... '( ) 1 ... ( )

2! 3! 2019! 2! 3! 2018! 2019!

x x x x x x x

u x x u x x u x

x x x x x x x

v x x v x x v x

 

             

 

 

 

                 

 

 

Và đặt ^{f x}

     

^{u x v x. . Ta có}

 

^{( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 2019 ( ) ( ) 2019 ( )}

2019! 2019!

x x

f x u x v x v x u x u x  v x   v x  u x

   

 

2019

( ) ( ) 2019!

x u x v x

  

Nhận xét:

2 4 2018

( ) ( ) 2 1 0,

2! 4! 2018!

x x x

u x v x   x

         

  nên suy ra

Suy ra

2019

'( ) 0 ( ( ) ( )) 0 2019 0 0.

2019!

f x    x u x v x  x   x Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số y f x( ) là

Từ bảng biến thiên suy ra f x( ) 1     x 0 x



99,..., 1,1,...,99 .



Có tất cả 198 số nguyên thoả mãn.