Câu 38: Cho hàm số = ( )liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số ( ) = ( + ) đồng biến trên khoảng (0; 2).
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Lời giải Chọn A
Từ giả thiết suy ra hàm số = ( ) đồng biến trên các khoảng (−1; 1), (1; 3) và liên tục tại = 1nên đồng biến trên (−1; 3).
Ta có ( ) = ( + ) và ∈(0; 2)⇔ + ∈( ; + 2).
( ) đồng biến trên khoảng (0; 2) ⇔( ; 2 + )⊂ (−1; 3)⇔ ≥ −1
2 + ≤3⇔ −1≤ ≤ 1.
Vì ∈ ℤ nên có 3 giá trị là =−1; = 0; = 1.
Câu 44: Cho = ( ) là hàm số bậc ba và có bảng biến thiên như hình vẽ
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Có bao nhiêu giá trị nguyên ∈(−5; 5) để hàm số ( ) = ( ( ) + ) có 4 điểm cực trị?
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Lời giải Chọn B
( ) = ( ). ( ( ) + ).
( ) = 0 ⇔ ( ) = 0
( ( ) + ) = 0
⇔
=−2
= 2
( ) + = −2 ( ) + = 2
⇔
= −2
= 2
( ) + 2 =− ( )−2 =−
, trong đó =−2 và = 2 là hai nghiệm bội lẻ.
Đặt ( ) = ( ) + 2 và ( ) = ( )−2, ta có đồ thị sau
Với ∈(−5; 5)
∈ ℤ và nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số ( ) có 4 điểm cực trị ( ) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ⇔ ∈ {−4;−3;−1; 1; 3; 4}..
Câu 29: Cho hàm số = ( )có đồ thị = ( )như hình vẽ và ( ) < 0∀ ∈(−∞;−3,4)∪(9; +∞).
Đặt ( ) = ( )− + 5với ∈ ℕ. Có bao nhiêu giá trị của để hàm số = ( )có đúng hai điểm cực trị?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. 8. B. 11. C. 9. D. 10.
Lời giải Chọn C
Ta có ( ) = ( )− . Suy rA. ( ) = 0⇔ ( ) = .
Do đó: Số nghiệm của phương trình ( ) = 0tương đương với số giao điểm của đồ thị hàm số ( )và đường thẳng = .
Nhận xét: Hàm số = ( )có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ( ) = 0có số nghiệm lớn hơn bằng 2, trong đó có đúng 2nghiệm đơn.
Dựa vào đồ thị và các lập luận trên, suy ra ≤ 5
10≤ < 13, mà ∈ ℕnên ∈{0; 1; 2; 3; 4; 5; 10; 11; 12}.
Vậy có 9giá trị thỏa mãn.
Câu 30: Cho hàm số = ( ) có đồ thị hàm số = ( ) (như hình vẽ). Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng (−5; 5) sao cho hàm số = ( )− + 2020 có đúng một điểm cực trị. Tổng các phần tử của bằng
A. −5.−3. B. 2. C. −1. D. Lời giải
Chọn B
Ta có = ( )− ; = 0⇔ ( )− = 0 ⇔ ( ) = (1).
Hàm số có đúng một điểm cực trị khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất hoặc có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép ⇒ ≤ −1
≥ 3
Vì ∈(−5; 5)⇒ ∈ −5;−1∪3; 5).
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Mặt khác nguyên nên ∈{−4;−3;−2;−1; 3; 4}⇒ = {−4;−3;−2;−1; 3; 4}.
Tổng các phần tử của bằng: −4−3−2−1 + 3 + 4 =−3.
Câu 31: Cho hàm số = ( ) = | −1| + | −5| + | −8|. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ∈[−23; 23] để hàm số = (| | + ) có ba điểm cực trị?
A. 46. B. 27. C. 19. D. 28.
Lời giải Chọn D
+ Xét hàm số = ( ) = | −1| + | −5| + | −8| có bảng biến thiên kép như hình vẽ:
+ Hàm số ( ) có điểm cực trị là = 5 → hàm số ( + ) có một điểm cực trị là: = (5− ).
+ Hàm số (| | + ) có 3 điểm cực trị thì hàm số: ( + ) phải có một điểm cực trị dương + Suy ra: 5− > 0⇔ < 5⇒ −23≤ ≤4⇒ có 28 giá trị nguyên của thỏa mãn.
Câu 34: Cho hàm số = ( ) có đồ thị là một đường parabol như hình vẽ bên dưới. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số = 3 . ( ( ) + ) có hai điểm cực trị. Tập là
A. −∞; . B. −2; . C. ; +∞ . D. (0; +∞).
Lời giải Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta thấy parabol có dạng: = ( ) = + + v à đi qua các điểm (0; 2); (1; 0);
(3; 0).
Ta có hệ phương trình:
= 2
+ + = 0 9 + 3 + = 0
⇔
=
=−
= 2
⇒ ( ) = − + 2
Suy ra hàm số = 3 . ( ( ) + ) = 3 − + 2 + = 2 −8 + 3( + 2)
′= 6 −16 + 3( + 2)
′= 0⇔6 −16 + 3( + 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔(−8) −3.6( + 2) > 0⇔ < . Câu 36: Cho hàm số = ( ). Hàm số = ( ) có đồ thị như hình bên. Tìm để hàm số =
( + ) có 3 điểm cực trị?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. ∈ [0; 3]. B. ∈0; 3). C. ∈(3; +∞). D. ∈(−∞; 0).
Lời giải Chọn B
Ta có: ( ) = 0⇔
= 0
= 1
= 3
và ( ) không đổi dấu khi qua 1 hay 1 là nghiệm bội chẵn.
= [ ( + )] = ( + ). 2
= 0⇔ ( + ) = 0
= 0 ⇔
+ = 0 + = 1( ) + = 3
= 0
⇔
= −
= 3−
= 0
.
Hàm số = ( + ) có 3 điểm cực trị = 0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua ba nghiệm đó ⇔ ∈0; 3).
Câu 39: Cho hàm số ( )xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ:
Để hàm số = ( + + 1), với , ≠0có năm cực trị thì điều kiện cần và đủ là
A. 4 < ≤ 8 . B. ≤4 . C. 4 ≤ < 8 . D. ≥8 .
Lời giải Chọn A
Ta có: ′= (2 + ). ′( + + 1);
′= 0⇔ 2 + = 0
′( + + 1) = 0⇔
⎣
⎢⎢
⎢
⎡ = − 2
+ + 1 = 0 + + 1 =−1 + + 1 = 1
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡ =− 2
= 0
=−
+ + 1 = 0(1) + + 2 = 0(2)
Để hàm số = ( + + 1), với , ≠ 0có năm cực trị thì điều kiện cần và đủ là phương trình ′= 0có 5 nghiệm đơn phân biệt
2
0 1 2 3 x
y
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kờnh Youtube: Thầy Đặng Việt Đụng
TH1: (1) cú 2 nghiệm phõn biệt ∉ − ;− ; 0 , phương trỡnh (2) vụ nghiệm hoặc cú nghiệm kộp.
⇔ −4 > 0
−8 ≤0⇔4 < ≤8
TH2: (2) cú 2 nghiệm phõn biệt ∉ − ;− ; 0 , phương trỡnh (1) vụ nghiệm hoặc cú nghiệm kộp.
⇔ −4 ≤ 0
−8 > 0⇔8 < ≤4 vụ lý.
Cõu 41: Cho hàm số = ( ), trong đú ( ) là một đa thức. Hàm số = ( ) cú đồ thị như hỡnh vẽ sau:
Hỏi cú nhiờu giỏ trị nguyờn của thuộc (−5; 5) để hàm số = ( ) = ( −2| | + ) cú 9 điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải Chọn B
Ta cú hàm = ( ) là hàm số chẵn nờn đồ thị đối xứng qua trục .
Xột ≥ 0, = ( ) = ( −2 + ), = ( ) = (2 −2) ( −2 + ).
( ) = 0⇔(2 −2) ( −2 + ) = 0⇔
⎣
⎢⎢
⎢⎢
⎡ = 1(nghieọmđơn)
−2 + = −2(nghieọmđơn)
−2 + = −1(nghieọmđơn)
−2 + = 1(nghieọmđơn)
−2 + = 2( ℎ ọ ọ ℎ ỹ )
⇔
⎣
⎢⎢
⎢⎢
⎡ = 1(nghieọmđơn)
( −1) =−1− (nghieọmđơn) ( −1) =− (nghieọmđơn) ( −1) = 2− (nghieọmđơn)
( −1) = 3− ( ℎ ọ ọ ℎ ỹ ) .
Để hàm số cú 9 cực trị thỡ hàm số = ( ) cú 4 điểm cực trị trờn miền > 0 ⇔ ( ) cú 4 nghiệm đơn dương
−1− > 0
− > 0 2− > 0
⇔
< −1
< 0
< 2
⇔ <−1, kết hợp ∈ ℤ, ∈(−5; 5) nờn ∈ {−4;−3;−2}.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 42: Cho hàm số đa thức bậc bốn = ( ), biết hàm số có ba điểm cực trị =−3, = 3, = 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số sao cho hàm số ( ) = − có đúng 7 điểm cực trị
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Lời giải Chọn D
Ta có ( ) = (3 + 6 ) . −
( ) = 0⇔(3 + 6 ) . − = 0
⇔
⎣
⎢⎢
⎢
⎡ = 0
=−2
− =−3
− = 3
− = 5 ⇔
⎣⎢
⎢⎢
⎢
⎡ = 0
=−2
= −3, (1)
= + 3, (2)
= + 5, (3) .
Hàm số ( ) có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác 0 và −2 của các phương trình (1), (2), (3) là 5.
Xét hàm số ℎ( ) = có ℎ ( ) = (3 + 6 ) .
Ta có ℎ( ) = 0⇔ = 0
= −2. Bảng biến thiên:
Khi đó có 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Khi đó: + 3≥
1 < −3 < ⇔ ≥ −3≈51,6 4 < < + 3≈57,6 Do nguyên nên ∈{52; 53; 54; 55; 56; 57}.
Trường hợp 2:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Khi đó:
+ 5 ≥ 1 < + 3 <
0 < −3≤ 1
⇔
> −5≈49,6
−2 < < −3 3 < ≤ 4
⇔ ∈ ∅.
Trường hợp 3:
Khi đó:
1 < + 5 <
+ 3 ≤1
−3 > 0
⇔
−4 < < −5≈49,6
≤ −2
> 3
⇔ ∈ ∅.
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 46: Cho hàm số = ( ) = + + + + có đồ thị = ( ) như hình vẽ và (0) = 0.
Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số = ( )− ( ) có đúng 11 điểm cực trị ?
A. ∈ (0; 1). B. ∈ 1− √2; 1 +√2 .
C. ∈ 1− √2; 1 +√2
∉{0; 1; 2} . D. ∈(0; 2).
Lời giải Chọn C
+) ( ) = 4 ( −1)( −2) = 4 −12 + 8 ⇒ ( ) = −4 + 4 + . +) Do (0) = 0 ⇒ = 0 suy ra ( ) = −4 + 4 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
( ) = 1⇔ −4 + 4 −1 = 0⇔
= 1
= 1− √2
= 1 +√2. +) Bảng biến thiên
Đặt ( ) = ( )− ( ) ⇒ ( ) = ( )− ( ) . ( )
( ) = 0⇔ ( ) = 0
( )− ( ) = 0⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡ = 0
= 1
= 2
( ) = ( )(1) ( ) = ( ) + 1(2) ( ) = ( ) + 2(3) Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra ( )≥0,∀ ∈ ℝ nên ta xét các trường hợp
* Trường hợp 1: ( ) = 0, khi đó
Phương trình (1) cho 2 nghiệm kép = 0; = 2.
Phương trình (2) cho 3 nghiệm: = 1 là nghiệm kép và 2 nghiệm đơn , ∉ 1− √2; 1 +√2 . Phương trình (3) cho 2 nghiệm đơn , ∉ 1− √2; 1 +√2 .
Suy ra hàm số = ( ) có tất cả 7 điểm cực trị là ∈{0; 1; 2; ; ; ; } (loại).
* Trường hợp 2: ( ) > 0, khi đó phương trình (2) và (3) luôn cho 4 nghiệm không thuộc khoảng 1− √2; 1 +√2 .
Vậy hàm số = ( ) có 11 điểm cực trị ⇔ phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔0 < ( ) < 1.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số = ( ) ta có: 0 < ( ) < 1⇔ ∈ 1− √2; 1 +√2
∉{0; 1; 2} . Vậy ∈ 1− √2; 1 +√2
∉{0; 1; 2} .
Câu 48: Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và đồ thị hàm số ( ) như hình vẽ. Có bao nhiêu số nguyên để hàm số = ( + ) có đúng 3 điểm cực trị?
A. 2. B. Vô số. C. 4 D. 3.
Lời giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
= 2 . ( + ).
= 0⇔ = 0
( + ) = 0⇔
= 0 + = 0 + = 1 + = 3
⇔
= 0
= − + = 1
= − + 3 .
Đồ thị hàm số ( ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. Do đó hoặc phương trình +
= 1 vô nghiệm hoặc nghiệm của phương trình + = 1 là nghiệm bội chẵn của phương trình = 0.
Nếu − ≠0
− + 3≠ 0⇔ ≠ 0
≠ 3 thì = 0 là nghiệm đơn của phương trình = 0.
Nếu − = 0
− + 3 = 0⇔ = 0
= 3 thì nghiệm = 0 là nghiệm bội ba của phương trình = 0.
Suy ra = 0 là một điểm cực trị của hàm số = ( + ),∀ . Xét các phương trình: = − (1) và = − + 3 (2).
Nhận xét: Phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung; − <− + 3,∀ Minh họa đồ thị
Xét − > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ; và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
; . Khi đó đổi dấu 5 lần qua các nghiệm ; ; ; và 0 nên hàm số = ( + ) có 5 điểm cực trị.
Xét − + 3≤ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm; phương trình (2) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
= 0. Khi đó hàm số = ( + )có 1 điểm cực trị.
Xét − ≤0
− + 3 > 0⇔ ≥0
< 3⇔0≤ < 3. Khi đó phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép = 0; phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Suy ra hàm số = ( + )có 3 điểm cực trị.
Do đó, để hàm số = ( + )có 3 điểm cực trị thì 0≤ < 3.
Mặt khác nguyên nên ∈{0; 1; 2}.
Vậy có 3 giá trị nguyên của để hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
Câu 129. Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = ( + 1) ( −4 ). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số thực để hàm số ( ) = (2 −12 + ) có đúng 5 điểm cực trị?
A. 18. B. 17. C. 19. D. 16.
Lời giải Chọn B
Từ giả thiết ta có ′( ) = 0⇔( + 1) ( −4 ) = 0
⇔
= 0
=−1
= 4 .
Ta có ′( ) = (4 −12) ′(2 −12 + ) nên:
′( ) = 0⇔(4 −12) ′(2 −12 + ) = 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇔
= 3
2 −12 + =−1 2 −12 + = 0 2 −12 + = 4
⇔
= 3
2 −12 + = −1
ℎ( ) = 2 −12 + = 0 (1) ( ) = 2 −12 + −4 = 0 (2)
.
Ta có ( ) có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ′( ) = 0 có đúng 5 nghiệm đơn hoặc bội lẻ. Điều này xảy ra khi PT và PT đều có 2 nghiệm phân biệt khác 3. Điều kiện này tương đương với:
⎩
⎨
⎧ ′ > 0
′ > 0 (3)≠ 0 ℎ(3)≠ 0
⇔
36−2 > 0 36−2( −4) > 0
−18≠0
−22≠0
⇔
< 18
< 22
≠18
≠22
⇔ < 18.
Vậy có 17 giá trị nguyên dương của tham số thực thỏa mãn đề bài.
Câu 35: Cho hàm số = ( )có đạo hàm ( ) = ( + 1) ( −3) ( + ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số = (2 + 1)có đúng 1 điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải Chọn A
Ta có
( ) = ( + 1) ( −3) ( + ) = ( ) = ( + 1) ( −3) ( + ).
′= 2 ′(2 + 1) = 2(2 + 1) (2 + 2) (2 −2) (2 + 1 + )
= 0⇔
⎣
⎢
⎢
⎡(2 + 1) = 0 (1) (2 + 2) = 0 (2) (2 −2) = 0 (3) 2 + 1 + = 0 (4)
.
Phương trình (1)có 1 nghiệm bội lẻ = − . Phương trình (2)có 1 nghiệm bội chẵn =−1.
Phương trình (3)có 1 nghiệm bội lẻ = 1.
Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình = 0. Do đó, hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (4)có nghiệm = 1hoặc =− ⇔ = 0
=−3.
Câu 37: Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝvà có ( ) = ( −2) ( + 3 −4). Gọi S là tập các số nguyên ∈[−10; 10]để hàm số = ( −4 + ) có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của S bằng
A. 10. B. 5. C. 14. D. 4.
Lời giải:
Chọn B
Ta có: ( ) = 0⇔ ( −2) = 0 + 3 −4 = 0 Đặt = ( ) = ( −4 + )
( ) = (2 −4) ( −4 + ) ( ) = 0⇔ 2 −4 = 0
( −4 + ) = 0⇔
⎣
⎢
⎢
⎡ = 2
( −4 + −2) = 0
ℎ ( ) = −4 + −1 = 0(1) ℎ ( ) = −4 + + 4 = 0(2)
Hàm số có 3 cực trị khi một trong 2 phương trình và có 2 nghiêm phân biệt khác 2 và phương trình có lại có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
1 1 2 2
1 2
(2) 0 0
0 (2) 0
0 0 h
h
0≤ < 5
≥ 3
< 0
⇔0≤ < 5
mà ∈[−10; 10] do đó ∈ {0; 1; 2; 3; 4} có 5 phần tử.
Câu 49: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ( ) = ( −1) ( −2 ) với ∀ ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = ( −8 + ) có 5 điểm cực trị?
A. 17. B. 18. C. 16. D. 15.
Lời giải Chọn D
Ta có ( ) = (2 −8). ( −8 + ).
Vì ( ) = ( −1) ( −2 ) nên
( ) = (2 −8)( −8 + −1) ( −8 + )( −8 + −2).
( ) = 0⇔
= 4
−8 + −1 = 0(1)
−8 + = 0(2)
−8 + −2 = 0(3) .
Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một và ( −8 + −1) ≥ 0 với
∀ ∈ ℝ.
Suy ra ( ) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình (2) và (3) có hai nghiệm phân biệt khác 4
⇔
= 16− > 0
= 16− + 2 > 0 16−32 + ≠ 0 16−32 + −2≠0
⇔
< 16
< 18
≠16
≠18
⇔ < 16.
Vì nguyên dương và < 16 nên có 15 giá trị thỏa mãn.
Câu 50: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ( ) = ( −1) ( −2 ), với ∀ ∈ ℝ. Số giá trị nguyên của tham số để hàm số ( ) = ( −3 + ) có 8 điểm cực trị là
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải Chọn C
Ta có ( ) = (3 −6 ). ( −3 + ).
( ) = 0⇔
3 −6 = 0
−3 + = 1
−3 + = 0
−3 + = 2
⇔
⎣
⎢⎢
⎢
⎡ = 0
= 2
−3 + = 1
−3 + = 0
−3 + = 2 .
Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình −3 + = 1 (nếu có) dấu của ( −3 + ) không đổi nên dấu của ( ) chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai phương trình còn lại.
Vậy hàm số = ( ) có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình −3 + = 0 và −3 +
= 2 phải có ba nghiệm phân biệt (khác 0 và khác 2).
Xét hàm số ℎ( ) =− + 3 , ta có ℎ ( ) =−3 + 6 ; ℎ ( ) = 0⇔ = 0
= 2.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Bảng biến thiên của hàm số =ℎ( )
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để mỗi phương trình − + 3 = và − + 3 = −2 phải có ba nghiệm phân biệt (khác 0 và khác 2) là
0 < −2 < < 4⇔2 < < 4.
Vậy chỉ có một giá trị nguyên của thỏa mãn là = 3.
Câu 51: Cho hàm số ( )có đạo hàm ( ) = ( + 1) ( −4 ).Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = (2 −12 + )có đúng 5 điểm cực trị ?
A. 18. B. 17. C. 16. D. 19.
Lời giải.
Chọn B Ta có:
( ) = 0⇔( + 1) ( −4 ) = 0⇔
= −1
= 0
= 4
, trong đó = −1là nghiệm kép.
( ) = (2 −12 + ) ⇒ ( ) = (4 −12) (2 −12 + ) Xét ( ) = 0⇔(4 −12) (2 −12 + ) = 0(*)
⇔
= 3
2 −12 + = −1 2 −12 + = 0 2 −12 + = 4
⇔
= 3
2 −12 + = −1( ) 2 −12 =− (1) 2 −12 = 4− (2)
(Điểm cực trị của hàm số ( )là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình 2 − 12 + =−1)
Xét hàm số = 2 −12 có đồ thị (C).
′= 4 −12 Ta có bảng biến thiên
Để ( )có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình (1); (2)đều có hai nghiệm phân biệt khác 3.
Do đó, mỗi đường thẳng = 4− và =− phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng = 4− luôn nằm trên đường thẳng = − .
Ta có: −18 < − ⇔ < 18. Vậy có 17giá trị nguyên dương.
Câu 52: Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới và
với mọi . Đặt . Có bao nhiêu giá trị
dương của tham số để hàm số có đúng hai điểm cực trị?
y f x y f '
x
' 0
f x x
; 3, 4
9;
g x
f x
mx5m g x
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. 4. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải Chọn C
Ta có ; . Để hàm số có đúng hai
điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm bội lẻ phân biệt . Khi đó ∈{1,2,3,4,5,10,11,12}. Vậy có 8 giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 43: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ( ) = +√12 − (3 + −24) ∀ ∈ ℝ. Biết rằng hàm số không có điểm cực trị nào và , là hai số thực không âm thỏa mãn 3 − ≤6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = 2 + .
A. 8. B. 9. C. 11. D. 10.
Lời giải Chọn B
Vì ( ) là tam thức bậc hai có hệ số = 1 > 0 nên ( ) không có điểm cực trị nào ⇔ ( )≥0∀ ∈ ℝ ⇔ ≤0 ⇔12 + (3 + −24)≤ 0⇔3 + ≤12.
⇒ , là hai số thực thỏa mãn hệ bất phương trình:
0 0
3 12
3 6
m n
m n n m
( ).
Biểu diễn miền nghiệm của ( ) trong mặt phẳng tọa độ , ta được hình tứ giác với (0; 2), (3; 3), (4; 0) dưới đây:
Đặt ( ; ) = 2 + , ta biết rằng ( ; ) có GTLN và giá trị ấy đạt được tại 1 trong 4 đỉnh của tứ giác . Mà (0; 0) = 0, (0; 2) = 2, (3; 3) = 9, (4; 0) = 8.
Vậy ( ; ) = (3; 3) = 9.
g x f x m g x
0 f
x m0 f
x m yg x
0g x 5
10 13
m m
m
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 53: Cho hàm số = ( )có đạo hàm ( ) = ( − )( −4 + 3), ∀ ∈ ℝ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( ) = ( + ) có 3 cực trị.
A. 0. B. 6. C. 3. D. 2.
Lời giải Chọn C
Ta có ( ) = ( −1) ( −3) = 0⇔
= 0
= 1
= 3 .
Lại có ( ) = 2 . ( + ) = 0⇔ = 0
( + ) = 0⇔
= 0 + = 0 + = 1 + = 3
⇔
= 0
= − (1)
= 1− (2)
= 3− (3) .
Do (2)có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình (1),(3) có nghiệm không chung nhau và
− < 3− nên:
Hàm số ( )có 3 cực trị ⇔ ( ) = 0có 3 nghiệm bội lẻ⇔ 3− > 0
− ≤0 ⇔0≤ < 3.
Vì ∈ ℤ ⇒ ∈{0; 1; 2}. Vậy tổng các giá trị nguyên bằng 3.
Câu 55: Cho hàm số = ( ). Hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số = ( − ) có ba điểm cực trị?
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Lời giải Chọn A
Cách 1:
Ta có = 2 . ( − ).
= 0⇔ = 0
( − ) = 0 ⇔
= 0
− = 0
− = 2
− = 4 ⇔
= 0
=
= + 2
= + 4 . Từ đồ thị ta thấy
( − ) > 0⇔0 < − < 4 ⇔ < < + 4.
( − ) < 0⇔ − < 0
− > 4 ⇔ <
> + 4. TH1: Với ≤ −4.
= 2 . ( − ) = 0⇔ = 0.
Suy ra hàm số = ( − ) không thể có ba cực trị.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
TH2: Với −4 < ≤ −2.
= 2 . ( − ) = 0⇔ = 0
= ±√ + 4. Bảng xét dấu của = 2 . ( − )
Từ bảng trên suy ra hàm số có 3 cực trị.
TH3: Với −2 < ≤0.
= 2 . ( − ) = 0⇔
= 0
= ±√ + 2
= ±√ + 4 . Bảng xét dấu của = 2 . ( − )
Từ bảng trên suy ra hàm số có 3 cực trị.
TH4: Với > 0.
= 2 . ( − ) = 0⇔
⎣
⎢⎢
⎡ = 0
= ±√
= ±√ + 2
= ±√ + 4 . Bảng xét dấu của = 2 . ( − ).
Từ bảng trên suy ra hàm số có 5 cực trị.
Từ các trường hợp trên, hàm số = ( − ) có ba cực trị khi ∈ −4; 0.
Vì ∈ ℤ nên ∈{−3;−2;−1; 0}.
Cách 2:
Ta có = 2 . ( − ).
= 0⇔ = 0
( − ) = 0 ⇔
= 0
− = 0
− = 2
− = 4 ⇔
= 0
=
= + 2
= + 4 . Dễ thấy
= 0 là nghiệm bội lẻ của phương trình = 0⇒ = 0 là 1 điểm cực trị của hàm số = ( − ).
= + 2 là nghiệm bội chẵn của phương trình = 0.
Mặt khác < + 4∀ nên hai phương trình = và = + 4 không có nghiệm trùng nhau.
Vậy để hàm số = ( − ) có 3 điểm cực trị thì có 2 nghiệm phân biệt khác 0 đồng thời vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép bằng 0 ⇒ −4 < ≤ 0⇒ ∈ {−3;−2;−1; 0}.