Chọn ï A

Câu 89: Cho hàm số f x

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1 thỏa mãn e.f 1

 

^4f 0

 

^4 và đồng thời 0^{1 2x}

  

²

 

²



0^{1 x}

^{ }

e f ' x f x dx 4 e .f x dx 8

  3

   

   

 

. Tính tích phân



0¹f x dx

 

?

A. ^{4 e 1}



^



e B. ^{3 e 1}



^



e C. ^{2 e 2}



^



e D. ^{5 e 2}



^



e Lời giải

Xét tích phân 0^{1 2x}

  

²

 

²



0^{1 x}

^{ }

K e f ' x f x dx 4 e f x dx 8





    



3

Đặt u x

 

e f x^x

 

u' e f x ^x

 

e f ' x^x

 

e f ' x^x

 

 u' u, khi đê ta được

         

1 2 2 1 2

0 0

K



 u' u u 4u dx 



 u' 2u.u' 4u dx u 1  4,u 0 1 Ta có

2 1

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0

u 15

u.u'dx , udx xu xu'dx 4 xu'dx

2 2

     

   

^.

Suy ra K ₀¹

 

u' ² 4xu' dx ⁸

  3





    . Đến đây ta chọn m sao cho

     

1 2 1 2 1 1 2

0 0 0 0

2

u' 2x m dx 0 u' 4xu dx 2m u'dx 2x m dx 0

8 6m m 2m 4 0 m 2

3 3

 

          

       

   

Vậy ta được



₀¹



u' 2x 2 dx 0 



²  e f x^x

 

e f ' x^x

 

2x 2

158 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học



^x

   ^{ }

² x ^{f 0 1 }

^{ }

² x 0¹

^{   }

5 e 2

x 2x C x 2x 1

e f x ' 2x 2 f x f x f x dx

e e e

 

   

       





Chọn ï D.

Câu 90: Cho hàm số f x

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1 thỏa mãn đồng thời các

điều kiện

       

 

 

 

    

 

 

 

3

1 3 1

0 0 2

1 1 f x 1

f 0 ; x 1 f ' x dx ; dx

16 8 f ' x 64. Tính tích phân



0¹f x dx

 

? A. ¹

24 B. ¹

32 C. ¹

8 D. ¹

4 Lời giải

Áp dụng nguyæn hàm từng phần ta cê:

       

¹

       

1 3 3 1 2 1 2

0 0 0 0

1 1

x 1 f ' x dx x 1 f x 3 x 1 f x dx x 1 f x dx

8 16

         

  

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

 

       

     

1 2

3 3 3 3

2 2 2

1 2 3 1 0 2 3

2 2

0 0 0

3 3

f x f x

1 x 1 f ' x dx dx x 1 f ' x dx

16 f ' x f ' x

     

       

                 

  

 

 

^{3 13}

     

^{2 13 23}

1 1 3 3

0 2 0

f x dx x 1 f ' x dx 1 1 1

64 8 16

f ' x

       

 





  



       Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

 

       

     

3 3 3

2 2

2 3

2 3 3

3

f ' x

f x 1

k x 1 f ' x 1

k x 1 f ' x f x

     

           

       

  

 

Ta có

 

 

         

3 3

1 1 1 3

0 2 0 0

f x dx f x f ' x dx k x 1 f ' x dx 1 k 1

f ' x 64 8

f ' x

    

         

   

 

  

Khi đê ta được

   

   

^{ }

 

   

f 0 1 1

16 2 0

f ' x 2 1 1

1 ln f x 2 ln x 1 C f x f x dx

f x x 1 16 x 1 32

           

 



Chọn ï B.

Câu 91: Cho hàm số f x

 

liæn tục træn đoạn thỏa f 0

 

0, f x

 

f y

 

 sin x sin y với mọi x, y . Giá trị lớn nhất của tèch phân 0²

 

f x

  

² f x dx

  

 



^bằng

A. 1

4

 B.

8

 C. ³

8

 D. 1

4

 Lời giải

Theo giả thiết ta cê f x

 

 f x

 

 0 f x

   

f 0  sin x sin 0  sin x

Chinh phục olympic toán | 159

 

²

 

² 0²

  

²

  

0²

^

²

^

f x f x sin x sin x f x f x dx sin x sin x dx 1 4

  

     



   



  

Dấu “=” xảy ra khi f x

 

 sin x. Chọn ï A.

Câu 92: Cho hàm số f x

 

cê đạo hàm cấp hai træn



0;



thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0

 

1;f ' 0

 

0;f '' x

 

5f ' x

 

6f x

 

0, x



0;



; ₀^{ln 2}f x dx

 

¹

6

       



  . Tính giá trị của tích phân



₀^{ln 2 2}f x dx

 

^.

A. ¹⁵

4 B. ³⁵

17 C. ²⁷

20 D. ²⁴

7 Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê ^{f '' x}

 

^{5f ' x}

 

^{6f x}

 

^{ 0 f '' x}

 

^{2f ' x}

 

^{3 f ' x}_

 

^{2f x}

 

^_^0

Đặt g x

 

f ' x

 

2f x

 

g ' x

 

3g x

 

0

Xåt hàm số ^{h x}

 

^{e g x3x}

 

^{h' x}

 

^{ 3e g x3x}

 

^{e g ' x3x}

 

^e3x



^{g ' x}

 

^{3g x}

  

^0

Suy ra ^{h x}

 

đồng biến træn



^{0; }



^{h x}

 

^{h 0}

 

^{g 0}

 

^{f ' 0}

 

^{2f 0}

 

^{ 2}

       

3x 2x x

e g x^ 2 e^ f ' x 2f x 2e 0

      

Xåt hàm số ^{k x}

 

^{e f x2x}

 

^{2ex k ' x}

 

^e2x



^{f ' x}

 

^{2f x}

  

^{2ex 0}

Suy ra k x

 

đồng biến træn



0;



k x

 

k 0

   

f 0  2 3

   

^{ln 2}

 

2x x 2x 3x

0

e f x 2e 3 f x 3e 2e f x dx 1 6

       



 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f x

 

3e^2x 2e^3x ₀^{ln 2} f x

 

²dx ²⁷

  



   20 Chọn ï C.

Câu 93: Cho hàm số f x

 

liæn tục và cê đạo hàm đến cấp 2 trên

 

^{0; 2} thỏa mãn điều kiện

     

f 0 2f 1 f 2 1. Giá trị nhỏ nhất của tèch phân



₀²f '' x

 

²dx ^bằng

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Holder ta cê

       

1 2 1 2 1 2 1 2

0 0 0 0

f '' x dx 3 x dx. f '' x dx 3 x.f '' x dx

   

   

   

Ta đặt

 

u x

dv f '' x dx

 

 

 3

 

₀¹xf '' x dx

  

² 3 f ' 1

     

f 0 f 1 ² Sử dụng bất đẳng thức Holder một lần nữa ta được

           

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

f '' x dx 3 x 2 dx. f '' x  dx 3 x 2 .f '' x dx

   

   

   

160 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Ta đặt

  

₁²

    

²

     

²

u x 2

3 x 2 f '' x dx =3 f ' 1 f 2 f 1 dv f '' x dx

        

   





Suy ra ²

 

²

     

²

     

²

0

2 f '' x



  dx 3 f ' 1  f 0 f 1  3 f ' 1 f 2 f 1  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

     

²

     

²

3 f ' 1 f 0 f 1  3 f ' 1 f 2 f 1  f 0

 

2f 1

   

f 2 ² 3

3. .

2 2

 

 

 

 

Chọn ï B.

Câu 94: Cho tích phân ^I

_

_¹¹₇



^{x 7  11 x dx}



, gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của I. Tènh S M m  ?

A. 54 2 108 B. 36 2 108 C. 6 3 54 D. 6 3 36 Lời giải

Đặt y x 7  11 x với ^{x }



^7;11



^{. Ta có y 1 1 0 x 2}

2 x 7 2 11 x

     

 

Nhận thấy y’ khëng xác định tại 7;11, vẽ bảng biến thiæn ta cê 18 y 6 

 

11 11 11

7 18dx 7 x 7 11 x dx 76dx

  









   



 

11

54 2 _7 x 7 11 x dx 108

 



   

Chọn ï A.

Câu 95: Cho tích phân ¹

2 3

0

I dx

4 x x





  , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của I được viết dưới dạng a 1 c

b d

 

  

 , trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và ^c d là phân số tối giản. Tènh S a b c d    ?

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

Lời giải

Ta có ^x

 

^{0;1  0 x3x2}       ^{x2 x3 0 4 2x2}  ^{4 x2}^x3  ^{4 x2}

1 1 1

2 2 3 2 2 2 3 2

0 0 0

I J

1 1 1 1 dx 1 dx 1 dx

4 2x 4 x x 4 x 4 x 4 x x 4 2x

     

   







 





Đặt x 2 sin t dx 2 cos tdt

 

6 6

0 2 0

2 cos t

I dt dt

4 2 sin t 6

 

   







Đặt x 2 sin tdx 2 cos tdt

 

4 4

0 2 0

2 cos t 2 2

J dt

2 8

4 2 2 sin t

 

   





Chinh phục olympic toán | 161 Vậy ¹

2 3

0

1 dx 2

6 4 x x 8

 

 

 



Chọn ï D.

Câu 96: Cho tích phân

1

2 *

0 2n

I dx , n

 1 x 



 , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của I được viết dưới dạng ^{a c}

b d

 , trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và a c,

b d là phân số tối giản. Tènh S a b c d    ?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

Lời giải

Ta có ^{2n 12 12 12}

2n 0 0 2n 0 2n

1 1 1 1

x 0 1 dx dx dx

1 x 1 x 1 x 2

      



 







Dấu “=” xảy ra khi x 0

Ta thấy ^{2n 2 12 12}

2n 2

0 0

1 1 1

n *,x 0; x x dx dx

2 1 x 1 x

 

    



 





Đặt ^{21 6 6}

2 2

0 0 0

1 dx costdt dx dt

1 x 1 s 6

x sin t d

x cos t i t n

d t

 

  

 



  





 

Dấu “=” xảy ra khi x 1 Chọn ï B.

Câu 97: Cho tích phân ^{3 x}₂

1

e sin x

I dx

x 1

 



 , biết rằng giá trị lớn nhất của I được viết dưới dạng ^a

be

, với a, b là các số nguyæn dương và ^a

b tối giản. Tènh tổng S a b 

A. 13 B. 14 C. 14 D. 15

Lời giải Ta cê với mọi x 1; 3 x 1 e ^{x 1}

e

  

      

   

x 3 x 3

2 2 1 2 1 2

e sin x 1 e .sin xdx 1 dx

x 1 e x 1 x 1 e x 1

 

   

 









Xét tích phân

 

3 1 2

1 dx e x 1



^{. Đặt x tant dx}



^{tan t 1 dt2 }



^{ta được}

   

 

3 2

3 3

2 2

1 4 4

tan t 1 dt

1 dx dt

e 12e e x 1 e tan t 1

 

 

 

  

 

  

Vậy I 12e

  . Chọn ï A.

162 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Câu 98: Cho hàm số f x

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

^{0;1 thỏa mãn} f 1

 

1, f x

 

0 và đồng thời ^{f x ln f x}

   

^{xf ' x f x}

   

^_ ^{1 , x}_ ^{ }

 

^0;1 . Tính tích phân



₀¹f x dx

 

^.

A. e 1 3

 B. e 6

6

 C. 4 D. 1

Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương

             

   

       

¹_{0 0}¹

   

¹_{0 0}¹

 

f ' x

f x ln f x xf ' x xf ' x f x ln f x x xf ' x f x

xln f x ' xf ' x xln f x xf ' x dx xf x f x dx

     

   



 



Vậy ta được



₀¹f x dx f 1

 



 

1 Chọn ï D.

Câu 99: Cho hàm số f x

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

0;1 thỏa mãn điều kiện

   

f 2018x 2017 2018f x , x  . Tính tích phân



₀¹f x

 

²dx^? A. ^{4 f 1}

 

²

3   B. ^{5 f 1}

 

²

3   C. ^{7 f 1}

 

²

3   D. ^{8 f 1}

 

²

3   Lời giải

Xåt biểu thức f 2018x 2017







2018f x

 

. Lấy đạo hàm 2 vế ta được

   

2018f ' 2018x 2017 2018f ' x

Thay x bởi 2018x 2017 , ta được

 

²₂

x 20172018 2018 1 x 2018 1

f ' x f ' f '

2018 2018

    

     

    

 

 

 

Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được

 

^{x 2018n}_n ^{1 x} _n ¹ _n

f ' x f ' f ' 1

2018 2018 2018

     

      

 

 

Khi n  f ' x

 

f ' 1

   

 f x f ' 1 x C *

 

 

 

Thay x    1 f 1

 

2018f 1

 

   f 1

 

0

Thay x  1

   

* : f 1      f ' 1

 

C 0 f ' 1

 

 C Vậy f x

 

f ' 1 x 1

  

₀¹ f x

 

²dx ⁷ f 1

 

²

   



   3   Chọn ï C.

Chinh phục olympic toán | 163 Câu 100: Cho hàm số f x

 

cê đạo hàm liæn tục træn đoạn

 

1; 2 thỏa mãn f 1

 

⁷

3 và

đồng thời

 

 

2 ³

 

2

   

3x f x

f ' x x, x 1; 2 f ' x xf ' x x    

 

 

  . Tính giá trị của f 2

 

?

A. ^{7 7 1} 3

 B. ^{7 7 1}

3

 C. ^{2 7 1}

3

 D. ^{2 7 1}

3

 Lời giải

Biến đổi giả thiết tương đương

           

           

 

3 2 2

3 3

3 3 3

3

3x f x f ' x x f ' x xf ' x x

f ' x

3x f x f ' x x x 3f x 1 f ' x x

3f x 1

     

          

 

       

       

2 2 2 1

3

1 3 1 1

2 2 2 2

3 3 3

1

f ' x dx xdx 3 1 3f x 1 d 3f x 1 3

2 3 2

3f x 1

1 3. 3f x 1 3 3f 2 1 3f 1 1 3 f 2 7 7 1

3 2 2 3

         

              

  

Chọn ï A.

Câu 101: Cho hàm số f x

 

liên tục træn

 

^{0;1 , hàm số} f ' x

 

liæn tục træn đoạn

 

^{0;1 và}

   

f 1 f 0 2. Biết rằng ^{0 f ' x}

 

^{2 2x, x }

 

^0;1 . Khi đê, giá trị của tèch phân

   

1 2

0

f ' x dx



thuộc khoảng nào sau đây.

A.



2; 4



B. ^{13 14}; 3 3

 

 

  C. ^{10 13};

3 3

 

 

  D.

 

1; 3 Lời giải

Biến đổi giả thiết ta cê 0 f ' x

 

2 2x, x 

 

0;1

 

²

 

₀¹

 

² ₀¹

 

0 f ' x 8x, x 0;1 0 f ' x dx 8xdx 4 1

       



  



 Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

 ^

^{01f ' x dx}

  

^{2  }

^

^{01f ' x}

^{ }

^2dx

Mặt khác

 

0¹f ' x dx

  

² 

^{ }

f x

^{ }

^{10 2} 

^

f 1

^{   }

f 0

^

²  4



0¹f ' x

^{ }

²dx 4 2

^{ }

Từ

   

1 ; 2 



₀¹f ' x

 

²dx 4 ^.

Chọn ï A.

164 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Câu 102: Cho hàm số f x

 

liæn tục træn , cê đạo hàm đến cấp hai træn và thỏa mãn

     

²

   

3 x

f x . 4 f ' x f x .f '' x e , x  , biết f 0

 

0. Khi đê ^{5ln 2 5}

 

0

f x dx



^bằng?

A. 25ln 2²

5 31 5ln 2

2

 

 

 

  B. ¹ 31 ^{355ln 2}

5 2

  

 

 

C. 1 25ln 2²

31 5ln 2

5 2

 

 

 

  D. 5 31 ^{355ln 2}

2

  

 

 

Lời giải

Giả thiết tương đương



f x .f ' x ' e⁴

    

 ^x f x f ' x⁴

^{   }

e^x C mà f 0

 

   0 C 1

           

4 x 4 x 5 x

f x f ' x e 1 f x f ' x dx e x D f x 5 e x D

   



      

Mặt khác ^{f 0}

 

^{ 0 D  1 f x5}

 

^{5 e}



^{x x 1}



   

²

5ln 2 5 5ln 2 x

0 0

25ln 2

f x dx 5 e x 1 dx 5 31 5ln 2

2

 

        

 

 

Chọn ï A.

Câu 103: Cho hàm số f x

 

liên tục træn và



₁²f x dx 1

 

 . Tènh giới hạn của dãy số:

n

 

1 n n 3 n n 6 n 4n 3

u f 1 f f ... f

n n 3 n n 6 n 4n 3 n

         

            

A. 2 B. ²

3 C. 1 D. ⁴

3 Lời giải

Chî ï đây là một câu sử dụng định nghĩa tèch phân bằng tổng Riemann khëng nằm trong phạm vi kiến thức THPT næn chỉ mang tènh tham khảo, khëng đi sâu!

Xåt hàm số

   

^{n 1 n 1}

i 0 i 0

f 1 3i

f x 1 3 n 1 3 3i

g x S g 1

3 n 3 n n

x 1 3i

n

 

 

 

  

 

 

  



 



  

Ta chia đoạn

 

1; 4 thành n phần bằng nhau bằng các điểm chia

  ^{ }

i 0 n

x 1 i.4 1 i 0, n x 1,...,x 4 n

     

Mỗi đoạn con cê độ dài là _{i 1 i} ^{n 1}

 

_{i i 1 i}



i 0

4 1 1

x x S g x x x

n 3



 



    





       

4 4 4

1 1 1

f x

1 1 1 2

lim S g x dx 2f x d x

3 3 x 3 3

 













Chọn ï B.

Chinh phục olympic toán | 165 Câu 104: Cho hàm số f x

 

và g x

 

thỏa mãn f ' 1

 

g 1

 

1; f 2 .g 2

     

f 1 và đồng thời 1 f ' x g ' x

   

g x f '' x

   

¹f ' x , x

 

\ 0

 

x

 

       . Tính tích phân ^I



₁²f x g ' x dx

   

^?

A. ^{3 1}ln 2

4 2 B. ^{3 1}ln 2

 4 2 C. ^{3 1}ln 2

4 2 D. ^{3 1}ln 2

 4 2 Lời giải

Biến đổi giả thiết tương đương

           

           

   

     

   

^{   }

   

   

2

f' 1 g 1 1

2 2

1 1

x xf ' x g ' x xg x f '' x g x f ' x x x g ' x f ' x g x f'' x g x f ' x x xf ' x g x ' xf ' x g x x C

2

x C x 1

f ' x g x f ' x g x

2 x 2 2x

x 1 3 1

f ' x g x dx dx ln 2

2 2x 4 2

 

  

    

    

     

 

      

 

 

Sử dụng tèch phân từng phần ta cê

           

   

2 2 2

1 1 1

2 1

I f ' x g x dx g x f x f x g ' x dx 3 1ln 2 4 2 f x g ' x dx 3 1ln 2

4 4

    

   

 



Chọn ï D.

Câu 105: Cho hàm số y f x

 

cê đạo hàm

 

^{0;1 thỏa mãn} f 0

   

f 1 0 và đồng thời điều kiện



₀¹ f ' x dx 1

 

 . Tçm giá trị lớn nhất của f x

 

trên

 

0;1 ?

A. ¹

2 B. ¹

3 C. ¹

4 D. 1

Lời giải Ta có:

 Với x 0;¹ 2

 

  ^{f x}

 

^



₀^xf

 

^{t dt }



₀^{x f ' t d}

 

^t



₀^{21 f ' t dt}

 

 Với

 

x¹

 

x¹

 

1¹

 

2

x 1;1 f x f ' t dt f ' t dt f ' t dt 2

 

  











 

0¹²

 

1¹

 

0¹

 

2

1 f ' t dt f ' t dt 1 f ' t d 1

f x 2 t 2

2

 

     



 





Chọn ï A.

Trong tài liệu Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng cao - Nguyễn Minh Tuấn (Trang 159-168)