| Chủ đề 2 : GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG

| Chủ đề 2 ^: GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP

2. GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG

a) Chú ý phân biệt: Góc nằm trên đường tròn khác với góc nằm trong đường tròn.

b) Hai góc cùng chắn một cung thì bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn. Trên hình 179a:

sđƒABC=sđƒADC=sđƒAEC=1

2sđ–AC.

c) Các góc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau. Trên hình179c:

AD=CD⇔sđ–AD=sđCD–⇔sđƒABD=sđC AD.ƒ B

C

O

A

D

Hình 179c cccVÍ DỤ MINH HỌAccc

#Ví dụ 1. Trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC về phía ngoài ta dựng hình vuông với tâm tại điểmO. Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc vuông ƒB AC.

#Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ đỉnh A ta kẻ đường cao AH (HthuộcBC). Chứng minh rằngB AHƒ=ƒO AC.

#Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung BC không chứa A ta lấy điểm P bất kì (P khácBvà P khácC). Các đoạn P A vàBC cắt nhau tạiQ.

a) Giả sử D là một điểm cố định trên đoạn P A sao cho P D=PB. Chứng minh rằng tam giácP DB đều.

b) Chứng minh rằng P A=PB+PC. c) Chứng minh hệ thức ¹

PQ = 1 PB+ 1

PC.

!

• Tứ giác ABCD có tính chất AB·CD=BC·AD (∗)nói ở ví dụ trên được gọi là tứ giác điều hòa. Loại tứ giác đặc biệt này có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học phẳng khác.

• Nếu viết hệ thức (∗) dưới dạng ^AB AD = BC

CD và nhớ lại tính chất đường phân giác trong tam giác ta có thể nêu thêm một tính chất của tứ giác điều hòa.

• Tứ giác ABCD là một tứ giác điều hòa khi và chỉ khi các đường phân giác của góc B ADƒvà ƒBCDcắt nhau tại một điểm trên đường chéoBD.

• Tứ giácABCD là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi các đường phân giác của gócƒABC và ƒADC cắt nhau trên đường chéo AC.

cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc

#Bài 1. Cho góc xA y và điểm M là một điểm bất kì nằm trong góc đó. Kẻ các đường vuông góc MP và MQ theo thứ tự lên các cạnh Ax, A y (P thuộc Ax, Q thuộc A y). Kẻ AK vuông góc với đoạnPQ. Chứng minh rằng ƒP AK=M AQƒ.

#Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi A⁰, B⁰, C⁰ là chân các đường vuông góc vẽ từ A,B,Ctrên cạnhBC,C A, AB; H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng A A⁰là đường phân giác trong của gócBà⁰A⁰C⁰. b) ChoƒB AC=60^◦. Chứng tỏ rằng tam giác AOH cân.

#Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác của góc B AC cắt BCở Dvà cắt đường tròn(O)tạiE.

Chứng minh AB·AC=AD·AE.

a) b) Chứng minh ED·E A=EB².

Dạng 2: GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Phương pháp giải:

a) Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (tại một điểm trên đường tròn) bằng nửa số đo cung bị chắn.

b) Trên hình183ta có sđƒB AC=sđxBC=1

2sđBC–.

B x

O

C A

Hình 183

m

cccVÍ DỤ MINH HỌAccc

#Ví dụ 1. Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O)tại A và B cắt nhau tại điểm M. Từ A kẻ đường thẳng song song với MB, cắt đường tròn (O)tại C. MC cắt đường tròn (O)tại E. Các tia AE và MB cắt nhau tại K. Chứng minh rằng MK²=AK·EK và MK=K B.

#Ví dụ 2. Cho đường tròn(C) tâmO, AB là một dây cung của (C)không đi qua O và I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn(C1)tâm O bán kínhOI tạiP vàQ. Chứng minh rằng tích AP·AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giácBPQ luôn đi qua một điểm cố định khácB.

#Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâmH vàƒB AC=60^◦. Gọi M, N,P theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A,B,C của tam giác ABC và I là trung điểm củaBC.

a) Chứng minh rằng tam giác I N P đều.

3. GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

b) Gọi Evà K lần lượt là trung điểm củaPBvà NC. Chứng minh rằng các điểm I, M,E, K cùng thuộc một đường tròn.

c) Giả sử I Alà phân giác của N I P. Tìm số đo gócBCP.

cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc

#Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm D trên cạnh AC(AC>2DC) làm tâm vẽ đường tròn tiếp xúc với BCtạiE. Từ Bkẻ tiếp tuyến thứ hai BF cắt AD tại I và cắt AE tạiK. Trung tuyến AM của tam giác ABC cắtBF tại N.

a) Chứng minh năm điểm A,B,E,D,F cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh hệ thức ^{I F} I K = BF

BK. c) ChoƒAEC=130^◦, tính số đo góc ƒANB.

#Bài 2. Cho hai đường tròn(O)và(O⁰)tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Một tiếp tuyến của đường tròn(O)tại điểmB cắt đường tròn(O⁰)tạiC và D (C nằm giữa B vàD). Các tia C A,D A cắt đường tròn(O)theo thứ tựtạiE và F.

a) Chứng minh rằng EF∥CD.

b) Gọi M là điểm chính giữa của cungCD (Mvà Akhác phía đối vớiCD). Tính số đo góc B AMƒ.

#Bài 3. Cho đường tròn(O)và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa Avà E). Tia phân giác của gócƒDBE cắtDE tại I. Chứng minh rằng

BD BE =CD

CE.

a) b) A I=AB=AC.

C I là tia phân giác của gócƒDCE. c)

#Bài 4. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AK D sao choBD song song với AC. NốiBK cắt ACở I.

a) Nêu cách vẽ cát tuyến AK D sao choBD∥AC. b) Chứng minh hệ thức IC²=I K·IB.

c) Cho góc ƒB AC=60^◦. Chứng tỏ rằng cát tuyến AK D đi qua điểmO.

#Bài 5. Cho hai đường tròn(O)và(O⁰)cắt nhau tại hai điểm AvàB. Qua Akẻ hai đường thẳng d và d⁰. Đường thẳng d⁰ cắt (O) tại M và cắt (O⁰) tại N. Đường thẳng d cắt đường tròn(O)tạiC và cắt đường tròn(O⁰)tạiD sao choABlà tia phân giác của gócM ADƒ. Chứng minh rằngCD=M N.

| Chủ đề 3 ^: GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGOÀI