IH   ABC 

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. Suy ra ¹

R2SC a. Vậy Ra .

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 187

CÂU 3: Chọn B

Gọi:

- H là trung điểm của ^{ADSH }



^ABCD



^.

- I là trung điểm của MN  I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. - d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt đáy.

- E là hình chiếu của I lên AD.

- O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN. . - K là hình chiếu của O lên SH.

Đặt OI x.

Ta có: 1 2

2 4

CI  MN  a ;

2

2 2 2

8

OC IC IO  a x ;

2 2

2 2 3 10

4 4 4

a a a

KOHI  IE EH         ^;

2 2

2

2 2 3 10 2 22

2 4 3 16

a a a

SO SK KO  x   x ax

           ^. Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN. nên SOOC Suy ra:

2 2

2 2 22 5 2 5 3

3 3 .

8 16 4 12

a a a

x x ax ax a x

       

Vậy:

2 2

25 93

8 48 12 .

a a

ROC   a CÂU 4: Chọn B

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 188

Ta có



^SAB

 

^{ ABC}



^,



^SAB

 

^{ ABC}



^{ AB, BCABBC}



^SAB



^.

Vẽ BM SA tại M ^SA



^BMC



^



^SAC

 

^{ BMC}



^{, vẽ BHMC tại H}

 

BH SAC

   r BH.

Ta có BM sin 60 .^oSB 3 2 BM a

  ,

2 2

. BC BM BH

BC BM

  2 ²

2 . 3 2 4 3

4 a a a a





2 3 a 19

 .

Vậy bán kính của mặt cầu

 

^{S bằng 2 3}

a 19. CÂU 5: Chọn A

. Gọi O là trung điểm AD. Khi đó, SO vuông góc với



^ABCD



^.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:



^0;0;0



O , 1

2;0;0 D 

 

 ^{, M}



^0;1;0



^{, 1;1;0}

C2 

 

 ^,

1 1; ;0 N2 2 

 

 ^, 0;0; 3 S 2 

 

 

 ^. Gọi

 

^S là phương trình mặt cầu đi qua S, M , N , C. Ta có hệ phương trình:

3 3 0

4

1 2 0

5 2 0

4

1 0

2

c d b d a b d a b d

   



  

    



    



4 3 4 5 3

12 1 2 a b c d

  



 

  

 



nên ^{2 2 2} 93

R a    b c d 12 .

CÂU 6: Chọn B

I N M

H A

B

D

C S

.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 189

Gọi O là tâm của đáy,  là trục của đáy ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và d là trục của mặt bên SAB.

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. . Ta có I là giao điểm của  và d . Ta có

2 2

2 2 3 1 1 21

2 3 4 3 6

AD AB

RIS IG SG         . CÂU 7 : Chọn A

. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ^SG



^ABC



^..

Do CB CA CD  nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.. Gọi Id là tâm mặt cầu cần tìm, đặt IC x SK SG x ..

Kẻ IKSG.

2 2

2 3 3

. , .

3 2 3

a a

IK CG AG SG SA AG a

        .

Ta có ^{2 2 2 2 2}

 

^{2 2 2 .}

3 6

a a

ISIDIK SK IC CD   a x    x a x _. Vậy tâm cầu I được xác định, bán kính mặt cầu là ^{2 2} 37

6 . R x a  a . CÂU 8:

x x

O P

M

N

O C

D S

B A A

B

S

D

C

E I

E

Lời giải Chọn C

Gọi O là trung điểm của CD. Kẻ tia Ox SA thì Ox(ABCD).

Ta có: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông CDE và Ox(ABCD), nên Ox là trục của đường tròn (CDE).

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 190

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB SC, .

Ta có: ^{2 2} 5

2

SM  SA AM  a ; ^{2 2} 5 2

MC MB BC  a nên suy ra SM MC. Do đó tam giác SMC cân tại M , suy ra MN SC^.

Dễ thấy (MNO) / /(SAD) và CE(SAD) nên suy ra CE(MNO) và do đó CEMN^. Vậy nên MN (SEC), do đó MN là trục của đường tròn (SEC).

Gọi I là giao điểm của MN và SO thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD. . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD. là R IC  IO²OC² .

Trong đó 5

2

OC  a và 3

3 3.

2 2

SA a

IO NP  (P là giao điểm của MO và AC).

Vậy thì

2 2

5 3 11

2 2 2

a a a

R      ^{. Chọn C.}

CÂU 9: Chọn A

d

x K

E I

H N

M

B

A D

C S

O

Gọi I là trung điểm của MN. Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.. d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt đáy.

E là hình chiếu của I lên AB..

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S DMN. .K là hình chiếu của O lên SH..

Đặt OI x.Ta có a .

DI 1MN  5

2 4 ^{Suy ra .}

OD ID² OI²  5a² x²

16 .

; .

SK SH x a x KO HI AM HN a

EI

    

  

3 2

3

2 2

. a a a .

HI  EI²HE²  9 ²  ²  37

4 16 4 .

Suy ra a

SO SK² KO²  49 ² a xx²

16 3 .Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:

.

a a

SO DO a x x x a x

R OD a

       

  

2 2 2

49 11

3 5

16 4 3

102 6

.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 191

CÂU 10: Chọn A

d

x K

E I

H N

M

B

A D

C S

O

.

Gọi I là trung điểm của MN. Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.. d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt đáy.

E là hình chiếu của I lên AB..

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S DMN. .K là hình chiếu của O lên SH. Đặt OI x.

Ta có a .

DI 1MN  5

2 4 ^{Suy ra .}

OD ID² OI²  5a² x² 16

; .

SK SH x a x KO HI AM HN a

EI

    

  

3 2

3

2 2

.

a a a . HI  EI²HE²  9 ²  ²  37

4 16 4 Suy ra a

SO SK²KO²  49 ² a xx²

16 3 .

Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:

.

a a

SO DO a x x x a x

R OD a

       

  

2

2 2

49 11

3 5

16 4 3

102 6

.

CÂU 11: Chọn A

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 192

Gọi H là trung điểm ABSHAB (vì SAB đều).

Mặt khác



^SAB

 

^{ ABCD}



^{SH }



^ABCD



^.

Gọi O là giao điểm của AC BD, O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Gọi G là trọng tâm SBCG là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SBC.

Qua O dựng đường thẳng d SH// d là trục của đường tròn

 

^{O , qua G} dựng đường thẳng

//OH  là trục của đường tròn

 

^{H . d  I IAIBICIDISI} là tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp .S ABCD.

Xét tam giác đều SAB có cạnh là 3 ³ 2

a SH  aSGa. Mặt khác

2 2

AD a IGOH   . Xét tam giác vuông

2 2

2 2 2 2 5 5

: 4 4 4

a a a

SIG IS SG IG a   IS  . Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp .S ABCDlà: S 4R² 5a². CÂU 12: Chọn B

I

B

D C

A

S

H

Gọi D là hình chiếu của S trên



^ABCD



^.

Do SAABDAAB, và SCCBDCCB. Vậy suy ra ABCD là hình vuông.

Trong



^SCD



^{kẻ DHSC tại H.}

Ta có ^AD//



^SBC



^{d A SBC}



^,

  

^{d D SBC}



^,

^{ } 

^DH.

Ta có ¹ ₂ ¹ ₂ ¹₂ SD a 6

DH  DC SD   . Suy ra SB2a 3. Gọi I là trung điểm SB suy ra I là tâm mặt cầu và 3

2

R SB a . Vậy diện tích mặt cầu bằng S 4R² 12a².

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 193

CÂU 13: Chọn A

Gọi AB là đường kính mặt nón, O là đỉnh, M , N lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung của hai mặt cầu và OA, OB (hình vẽ).

N M

A B

O

Ta có tam giác OAB đều nên bán kính đường tròn nội tiếp bằng ¹ 3 r3h .

Tương tự, tam giác OMN đều, có chiều cao h 9 2r3 nên có bán kính đường tròn nội tiếp 1.3 1

r 3  .

Thể tích hai khối cầu bằng ⁴ . ^{3 4} . ^{3 112}

3 3 3

V   r   r^    . CÂU 14: Chọn A

Góc giữa SC và



^ABCD



^{là góc SCA bằng 45o} nên tam giác SAC vuông cân tại A nên 2

SC a.

Ta có ^CB



^SAB



^{CBSB  SBC} vuông tại B.

 

CD SAD CDSD SCD vuông tại D.

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. là trung điểm SC, bán kính

2 R SC a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. là 4 π ³

V 3 a . CÂU 15: Chọn D

.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 194

Gọi OACBD và I là trung điểm SC.

Khi đó OI là trục của hình chữ nhật ABCD nên IA IB ICID. Mặt khác do và I là trung điểm SC nên ISIC.

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. .

Do ^SA



^ABCD



^nên AC là hình chiếu của SC lên



^ABCD



^{. Vậy}

 



^,



⁴⁵

SCA SC ABCD  .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. là 1 1 5

2 2. 2 2 2

AC a

R SC  . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. là

3 3

4 5 5 10

3 2 2 3

a a

V _  ^{ } _ 

 

 

  .

CÂU 16: Chọn D

Ta có AB²AC² 3²4² 25BC²  ABC vuông tại A.

Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng



^ABC



^{ H} là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC.

Vì khoảng cách từ O đến mặt phẳng



^ABC



bằng 1 nên OH1.

OHB vuông tại H có: OB OH²BH²

2

2 5

1 2

     

29

 2 . Vậy mặt cầu

 

^S có bán kính 29

ROB 2 . Do đó thể tích khối cầu

 

^{S là: 4 3}

V  3R

3

4 29

3^ 2 ^

  

 

29 29 6

  .

CÂU 17 : Chọn D

D F

E A

C

B

S

H

O K

Giả sử ,E F là chân đường vuông góc hạ từ O xuống AB AC, . Khi đó ta có ,

HEAB HF AC. Do OEOF1 nên HEHF. Do đó AH là phân giác của góc BAC. GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 195

Khi đó AHBCD là trung điểm của BC.

Do ^{BC ADBC}



^SAD



^{. Kẻ} OKSD thì ^{OK }



^SBC



^{. Do đó} OK1 và SDA60. Đặt ^{ABBCCA2a a}



^0



^{thì , .cot 60}

3 SH a HDa   a .

Do đó ADa 33HD nên H là tâm tam giác đều ABC S ABC. là hình chóp tam giác đều và E F, là trung điểm AB AC, .

Mặt khác trong tam giác SOK có : 2 sin 30 SO OK 

 . Do DEF đều có ^{OH }



^DFE



^nên

1

OEOFOD  K D.

Khi đó DSO vuông tại D và có DHSO. Từ đó

2 .

DH HS HO ²



²



3

a a a

   3

a 2

  3

3, 2

AB SH

   .

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. thì

2 7

2 4

R SA

 SH  .

3 /

4 7 343

3 . 4 48

Vm c   ^{ }    . CÂU 18 : Chọn C

I K

G H

A C

B S

. Gọi G K, lần lượt là trọng tâm tam giác ABC SAB, .

Dựng d d,  lần lượt là hai đường thẳng qua G K, và vuông góc với



^ABC

 

^{, SAB}



Dễ thấy d d,  đồng phẳng. Gọi I  d d. Tứ giác GIKH là hình vuông.

3 3

6 ; 3

GH GC

   15

R IC 6

   .

3

4 15 15 5 15

3 . 6 54

V  

   .

CÂU 19:

Chọn B

.

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 196

 Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng đáy bằng 2 2

a và chiều cao bằng

a

nên

có thể tích

2 3

1

2 .

2 2

a a

V ^ ^ a

  .

 Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính bằng 2

a nên có thể tích

3 3

2

4

3 2 6

a a

V  ^{ }    .

 Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng 3 2 a .

nên có thể tích

3 3

3

4 3 3

3 2 2

a a

V  ^ ^ 

  .

Từ đó suy ra

3

1 2

2 3 V _{ }V a

. Vậy

3 3

1 2

3

2 3 4 3

3 : 2 9

V V a a

P V

 

    .

CÂU 20: Chọn C

.

Hình hộp ABCD A B C D.     nội tiếp trong hình trụ nên là hình hộp chữ nhật. Gọi O là tâm ABCD, E là trung điểm AB.

Ta có: OE3, OA 5 AD6.

Xét AEOvuông tạo E, có: AE OA²OE²  4 AB8.

Vì ^AD



^{ABB A }



^{nên AB} là hình chiếu vuông góc của DB lên



^{ABB A }



^{DB A 60o.}

Xét tam giác AB D vuông tại Acó: AB  ADtan 60^o 6 3, B D  AD²AB² 12. Xét tam giác ABB vuông tại Bcó: BB AB²AB² 2 11.

Thể tích khối hộp là VABCD A B C D_{.    } BB S. ABCD 2 11.8.696 11. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là 6

2

R B D  . Thể tích khối cầu là ^{4 3} 288

V  3R   .

Vậy tỉ số thể tích khối hộp và khối cầu ngoại tiếp hình hộp là 11 3 ^.

CÂU 21: Chọn A

Gọi mặt phẳng vuông góc với đường kính của khối cầu là mặt phẳng

 

^P

Ta có mặt phẳng

 

^P cắt khối cầu theo một đường tròn

 

^C . Khi đó đường kính của đường tròn

 

^{C bằng R 3}. Suy ra khoảng cách từ tâm I đếm mặt phẳng

 

^{P là}

2 R .

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 197

Mặt phẳng

 

^{P cách tâm I} một khoảng 2

R chia khối cầu thành hai phần, phần lớn là phần chứa tâm I còn phần nhỏ là phần không chứa tâm I gọi là chỏm cầu. Khi đó thể tích của chỏm cầu là

2 2 3

5 5

2 . .

2 2 3 2 4 3 24

R R R R R

V  R R       . CÂU 22: Chọn A

Gọi H là trung điểm BC.

Có ABa, BAH  60 ;

 a2

AH 3

a2

BH và BCa 3.

1 .

3

ABCD ABC

V DH S

3

1 1 2 3

16 3 .2 2

 a 

DH a 3

  a4

DH .

Vậy ^{2 2} 7

   a4

DA AH DH .

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì bán kính đường tròn đó là

2 sin

  BC 

R AO a

A . Vậy H là trung điểm AO.

Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng này cắt AD tại S với D là trung điểm SA.

Vậy 3

2 2

  a

SO DH , 7

2 2

  a

SA DA và 3 3 7

4 8

  a

SM SA .

Từ trung điểm M của đoạn AD kẻ đường vuông góc với AD, cắt SO tại I . Dễ dàng có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Hai tam giác vuông SAO và SIM đồng dạng nên 3 7 21

. 3 4

8. 2

   

MI SM a a

MI a

OA SO a ^.

Bán kính mặt cầu bằng ^{2 2} 91

    8

ABCD

R ID MI MD a .

CÂU 23:Chọn B

GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 198

Trong tài liệu Chuyên đề vận dụng cao Hình học 12 - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 188-200)