6
Chứng minh các bất đẳng thức
2
1 1 2 n n
+ ≤ và 2 1 1, 2 n
n
+ ≥ ∀ ∈n N∗.
Định nghĩa 2
Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
un ≤ M, ∀n ∈ `*.
Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un ≥ m, ∀n ∈ `*.
Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho
m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ `*. Ví dụ 9
a) Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới vì un ≥ 1 với mọi n ∈ `*. b) Dãy số (un) với un =
2 1
n
n + bị chặn vì 0 <
2
1 1 2 n n
+ ≤ .
B ạ n c ó b i ế t ?
h o a , l á v à d ã y s ố P h i - b ô - n a - x i
Dãy số Phi-bô-na-xi thường gặp trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên cành cây mọc cách nhau các khoảng ứng với các số trong dãy số Phi-bô-na-xi (còn gọi là các số Phi-bô-na-xi) 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... (F) Số cánh hoa trong hầu hết các bông hoa là các số trong dãy (F). Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa phi yến có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ 13 cánh, hoa cúc tây 21 cánh, còn hoa cúc thường có 34 hoặc 55, hoặc 89 cánh.
Trong hoa hướng dương cũng xuất hiện các số Phi-bô-na-xi. Những nụ nhỏ kết thành hạt ở đầu bông hoa và xếp thành hai lớp đường xoắn ốc. Một lớp cuộn theo chiều kim đồng hồ, lớp đường xoắn kia cuộn theo chiều ngược lại. Số các đường xoắn ốc theo chiều kim đồng hồ thường là 34 hoặc 55, còn số đường xoắn theo chiều ngược lại thường là 55 hoặc 89, ...
Ngoài những điều thú vị trên, một số vấn đề của kiến trúc, hội hoạ, âm nhạc, … cũng liên quan đến các số Phi-bô-na-xi.
Hoa hướng dương
Fibonacci (1170 ư 1250)
Bài tập
1. Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức : a) un =
2n 1 n
ư ; b) 2 1
2 1
n
n n
u ư
= + ;
c) 1
1
n
un
n
⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ; d)
2 1
n
u n
n
=
+ . 2. Cho dãy số (un), biết :
u1 = ư1, un+1= un + 3 với n ≥ 1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp : un = 3n ư 4.
3. Dãy số (un) cho bởi :
u1 = 3 ; un+1 = 1+un2 , n ≥ 1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
4. Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết :
a) 1
n 2
u = n ư ; b) 1
n 1 u n
n
= ư
+ ; c) un = (ư1)n (2n + 1) ; d) 2 1
5 2
n
u n
n
= +
+ .
5. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ? a) un = 2n2ư 1 ; b) 1
( 2) un
= n n
+ ;
c) 2
1
2 1
un
n
= ư ; d) un=sinn+cos .n
C ấ p s ố c ộ n g
I ư Định nghĩa
1
Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là ư1, 3, 7, 11.
Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó.
Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi
1 với *. (1)
n n
u + = u +d n∈N
Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Ví dụ 1. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng : 1, ư3, ư7, ư11, ư 15.
Giải. Vì ư3 = 1 + (ư 4) ; ư11 = ư7 + (ư 4) ; ư7 = ư3 + (ư 4) ; ư15 = ư11 + (ư 4)
nên theo định nghĩa, dãy số 1, ư3, ư7, ư11, ư15 là một cấp số cộng với công sai d = ư 4.
2
Cho (un) là một cấp số cộng có sáu số hạng với u1= 1 3,
ư d = 3. Viết dạng khai triển của nó.
II − Số hạng tổng quát
3
Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp đ−ợc thể hiện trên Hình 42.
1 tầng 2 tầng 3 tầng
Hình 42
Hỏi : Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp ? Định lí 1
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un đ−ợc xác định bởi công thức :
un = u1 +(n−1) vớid n ≥ 2. (2) Chứng minh. Ta sẽ chứng minh công thức (2) bằng quy nạp.
Khi n = 2 thì u2 = u1 + d, vậy công thức (2) đúng.
Giả sử công thức (2) đúng với n = k ≥ 2, tức là uk = u1 + (k − 1)d.
Ta phải chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk+1 = u1 + kd.
Thật vậy, theo định nghĩa cấp số cộng và giả thiết quy nạp ta có uk+1 = uk + d = [u1 + (k − 1)d] + d = u1 + kd.
Vậy un = u1 + (n − 1)d với n ≥ 2.
Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (un), biết u1 = − 5, d = 3.
a) Tìm u15.
b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu ?
c) BiÓu diÔn c¸c sè h¹ng u1, u2, u3, u4, u5 trªn trôc sè. NhËn xÐt vÞ trÝ cña mçi ®iÓm u2,u3,u4 so víi hai ®iÓm liÒn kÒ.
Gi¶ị CÊp sè céng cã u1 = −5, d = 3.
a) Theo c«ng thøc (2) ta cã u15 = −5 + (15 − 1) . 3 = 37.
b) Theo c«ng thøc (2) ta cã un = −5 + (n − 1) . 3. V× un = 100 nªn
−5 + (n − 1) . 3 = 100, tõ ®ã n = 36.
c) N¨m sè h¹ng cña cÊp sè céng lµ −5, −2, 1, 4, 7 ®−îc biÓu diÔn bëi c¸c
®iÓm u1, u2, u3, u4, u5 t−¬ng øng trªn H×nh 43.
H×nh 43
§iÓm u3 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n u2u4, hay u3 = 2 4 2 u +u
. Ta còng cã kÕt qu¶ t−¬ng tù ®èi víi u2 vµ u4.
§©y lµ mét tÝnh chÊt ®Æc tr−ng cña cÊp sè céng mµ ta sÏ xÐt d−íi ®©ỵ III − TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña cÊp sè céng
§Þnh lÝ 2
Trong mét cÊp sè céng, mçi sè h¹ng (trõ sè h¹ng ®Çu vµ cuèi) ®Òu lµ trung b×nh céng cña hai sè h¹ng ®øng kÒ víi nã, nghÜa lµ
− + +
= 1 1 víi ≥ 2 2
k k
k
u u
u k . (3)
Chøng minh. Gi¶ sö (un) lµ cÊp sè céng víi c«ng sai d. Sö dông c«ng thøc (1) víi k ≥ 2, ta cã uk −1 = uk − d ; uk+1 = uk + d.
Suy ra uk −1 + uk+1 = 2uk hay 1 1 2
k k
k
u u
u = − + + .
IV − Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
4
Cấp số cộng gồm tám số hạng −1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 đ−ợc viết vào bảng sau :
−1 3 7 11 15 19 23 27
a) Hãy chép lại bảng trên và viết các số hạng của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ng−ợc lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột.
b) Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.
Ta công nhận định lí sau đây.
Định lí 3
Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un. Khi đó
( 1 )
2
n n
n u u
S +
= . (4)
Chú ý
Vì un = u1 + (n − 1)d nên công thức (4) có thể viết
1
( 1)
. (4 ')
n 2
S nu n n − d
= +
Ví dụ 3. Cho dãy số (un) với un = 3n − 1.
a) Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu.
c) Biết Sn = 260, tìm n.
Giải
a) Vì un = 3n – 1 nên u1 = 2.
Với n ≥ 1, xét hiệu un+1− un = 3(n + 1) − 1 − (3n − 1) = 3, suy ra un+1 = un + 3. Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d = 3.
b) Vì u1 = 2, d = 3, n = 50 nên theo công thức (4') ta có S50 = 50.49
50.2 .3
+ 2 = 3775.
c) Vì u1 = 2, d = 3, Sn = 260 nên theo công thức (4') ta có Sn = ( 1)
.2 .3
2
n + n n ư = 260 hay 3n2 + n ư 520 = 0.
Giải phương trình bậc hai trên với n∈`*, ta tìm được n = 13.
Bài tập
1. Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tính số hạng đầu và công sai của nó.
a) un = 5 ư 2n ; b) un = 1 2 n ư ;
c) un = 3n; d) 7 3
n 2
u = ư n. 2. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết :
a) 1 3 5
1 6
10 17 ;
u u u
u u
ư + =
⎧⎨ + =
⎩ b) 7 3
2 7
8
. 75.
u u
u u
ư =
⎧⎨ =
⎩
3. Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn.
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại ?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống :
u1 d un n Sn
ư2 55 20
ư 4 15 120
3 4
27 7
17 12 72
2 ư5 ư205
4. Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm.
a) Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
5. Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh