DẠNG TOÁN 10: PTMP CHỨA 1 ĐƯỜNG THẲNG, THỎA ĐK VỚI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC

 DẠNG TOÁN 10:

PTMP CHỨA 1 ĐƯỜNG THẲNG, THỎA ĐK VỚI ĐƯỜNG

Mặt phẳng

 

^P đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB nên nhận vectơ ^{AB}



^{1; 2;1}



làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

 

^P là :



^{x 0}

 

^{2 y   1}

 

^{z 1}



^{0 x 2y z  3 0}.

Câu 94: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng

 

^P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

 

^{ :x3y5 4 0z } và

 

^{ :xy z2  7 0} đồng thời song song với trục Oy là: A. 4x z 17 0 . B. y 3 0. C. z0. D. 4xz17 0 .

Lời giải Chọn D

Gọi M là điểm thuộc giao tuyến của

   

^{ ,} thì ^M



^{0; 27;17}



.

   

^{ ,} lần lượt có vectơ pháp tuyến a



1; 3; 5 ,



b



1; 1; 2 



. Suy ra giao tuyến của

   

^{ , } có một vectơ chỉ phương ^u_^{a b,}_^{ }



^{1;7; 4}



.

 

^P có một vectơ pháp tuyến ^n_^{u j,}_^



^{4;0; 1}



và đi qua M nên có phương trình 4xz17 0 .

Câu 95: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1

3

: 2

1 2

x t

d y t

z t

  

   

  



, gọi d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng

 

^{P x y:  2z0} và

 

^{Q x: 2y z  3 0}. Viết phương trình mặt phẳng

 

^ chứa d1 và song song với d2_.

A.

 

^{ :19x13y3z28 0} . B.

 

^{ :19x13y3z80 0} . C.

 

^{ :19x13y3z80 0 . D.}

 

^{ :19x13y3z28 0 .}

Lời giải Chọn D

Đường thẳng d d1, 2 có VTPT lần lượt là u1



1; 1;2 ,



u2 



5;8;3



. Mặt phẳng

 

^ có VTPT là n  _{ }  u1 u2 



19; 13;3



. PTMP

 

^{ :19x13y3z28 0 .}

Câu 96: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai mặt phẳng

 

^{ : 2x y z   3 0,}

 

^{ : 2x y  5 0.} Viết phương trình của mặt phẳng

 

^P song song với trục Oz và chứa giao tuyến của

 

^ và

 

^{ .}

A.

 

^{P :x2y 5 0.} B.

 

^{P : 2x y  5 0.}

C.

 

^{P : 2x y  5 0.} D.

 

^{P : 2x y  5 0.}

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng

 

^P chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

 

^{a và}

 

^ nên có dạng.



^{2 3}

 

^{2 5}



⁰



^{2 2}

  

^{3 5 0}

m x y z   n x y    m n x m n y mz   m n . Mặt phẳng

 

^P song song với trục Oz _nên m0_.

Chọn n1 ta có phương trình mặt phẳng

 

^P là

 

^{P : 2x y  5 0.}.

 

^{ : 2x y  5 0.} Viết phương trình của mặt phẳng

 

^P song song với trục Oz _{và chứa} giao tuyến của

 

^ và

 

^{ .}.

A.

 

^{P :x2y 5 0}. B.

 

^{P : 2x y  5 0}. C.

 

^{P : 2x y  5 0}. D.

 

^{P : 2x y  5 0}.

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng

 

^P chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

 

^a và

 

^ nên có dạng.



^{2 3}

 

^{2 5}



⁰



^{2 2}

  

^{3 5 0}

m x y z   n x y    m n x m n y mz   m n . Mặt phẳng

 

^P song song với trục Oz _nên m0_.

Chọn n1 ta có phương trình mặt phẳng

 

^{P là}

 

^{P : 2x y  5 0..}

Câu 98: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 qua điểm ^M



^{3; 2; 1}



và có VTCP



1; 1; 2



u 

, gọi d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng

 

^{P x y:  2z0} và

 

^{Q x: 2y z  3 0}. Viết phương trình mặt phẳng

 

^{ chứa} d1 và song song với d2_.

A.

 

^{ : 5x13y4z45 0} . B.

 

^{ : 5x13y4z 7 0}. C.

 

^{ : 5x13y4z45 0} . D.

 

^{ : 5x13y4z 7 0}.

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng

 

^{P x y:  2z0}vó một VTPT n1



1; 1; 2



. Mặt phẳng

 

^{Q x: 2y z  3 0}vó một VTPT n2



1; 1; 1



. Đường thẳng d2 có một VTCP an n 1, 2 



5; 1; 3



.

Mặt phẳng

 

^ chứa d1 và song song với d2 có một VTPT ^n_^{u a , }_^{  }



^{5; 13; 4}



. Mặt phẳng

 

^ đi qua điểm ^M



^{3; 2; 1}



và có VTPT ^{n  }



^{5; 13; 4}



có phương trình.

 

^{ : 5x13y4z 7 0}.

Câu 99: Trong không gian Oxyz, cho ^A



^1;1;0



, ^B



^{0; 2;1}



, ^C



^{1;0; 2}



,^D



^1;1;1



Mặt phẳng

 

^ đi qua



^1;1;0



A , ^B



^{0; 2;1}



,

 

^ song song với đường thẳng CD . Phương trình mặt phẳng

 

^ là.

A. x y  2 0. B. x y z   3 0. C. 2x y z   3 0. D. 2x y z   2 0.

Lời giải Chọn C



^{1 1 1}

 

^{0 1 1}



AB  ; ; ,CD ; ;

  ^_^{ AB,CD}_^{   }



^{2 1 1; ;}



.

Suy ra mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là ^n



^{2 1 1; ;}



. Vậy phương trình mặt phẳng: 2x y z   3 0..

Thử lại thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.

Câu 100:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng thẳng 1 2

: 2 1 1

   

x y z

d . Viết

phương trình mặt phẳng

 

^P chứa đường thẳng d song song với trục Ox. A.

 

^{P y z:   2 0}. B.

 

^{P x: 2y 1 0}.

C.

 

^{P x: 2z 5 0}. D.

 

^{P y z:   1 0}. Lời giải

Chọn A

Đường thẳng dđi qua điểm ^M



^{1;0; 2}



và có vectơ chỉ phương ^u



^2;1;1



; trục Ox _{có vectơ} đơn vị ^i



^1;0;0



.

Vì

 

^P chứa đường thẳng d song song với trục Ox _nên

 

^P đi qua điểm ^M



^{1;0; 2}



và có vectơ pháp tuyến ^n_^{u i , }_^



^{0;1; 1}



.

 Phương trình của

 

^P là : y z  2 0.

 DẠNG TOÁN 11:

PTMP LIÊN QUAN ĐƯỜNG THẲNG & MẶT CẦU (VDC)

Câu 101:Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD _{có điểm} ^A



^{1;1;1 ,}

 

^{B 2;0; 2}



,



^{1; 1; 0 ,}

 

^{0;3; 4}



C   D . Trên các cạnh AB AC AD, , lần lượt lấy các điểm B C D', ', ' _thỏa:

' ' ' 4

AB AC AD

AB  AC  AD  . Viết phương trình mặt phẳng



^{B C D' ' '}



biết tứ diện AB C D' ' ' _{có thể} tích nhỏ nhất?

A. 16x40y44z39 0 _{. B.} 16x40y44z39 0 _. C. 16x40y44z39 0 _{. D.} 16x40y44z39 0 _.

Lời giải Chọn B

Áp dụng bất đẳng thức AM GM _{ta có:} ³ . .

4 3

' ' ' '. '. '

AB AC AD AB AC AD AB AC AD AB AC AD

   

'. '. ' 27

. . 64

AB AC AD AB AC AD

   ^{' ' '} '. '. ' 27

. . 64

AB C D ABCD

V AB AC AD

V  AB AC AD  _{' ' '} 27

AB C D 64 ABCD

V V

 

Để V_{AB C D' ' '} nhỏ nhất khi và chỉ khi ' ' ' 3 4 AB AC AD

AB  AC  AD  ' ³ ' ^{7 1 7}; ;

4 4 4 4

AB AB B  

    

 

Lúc đó mặt phẳng



^{B C D' ' '}



song song với mặt phẳng



^BCD



^{và đi qua B'}_^{7 1 7}_{4 4 4}^{; ; }_

 



^{B C D' ' ' :16}



^{x 40y 44z 39 0}

     .

Câu 102: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm^A



^{1;3; 1 ,}

 

^{B 0; 2;1 ,}

 

^{C 4;3; 2}



. Trong các mặt phẳng chứa đường thẳngAB, xác định mặt phẳng mà khoảng cách từ điểm C _đến mặt phẳng đó là lớn nhất.

A. 13x5y4z 6 0. B. 13x5y4z 6 0. C. 13x5y4z14 0 . D. 13x5y4z14 0 .

Lời giải Chọn A

Gọi

 

^P là mặt phẳng chứa AB và d là khoảng cách từ C đến mặt phẳng

 

^P . Gọi I H, lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên

 

^{P và AB.}

Ta có: d CI CH  , dấu " " xảy ra khi I H.

d lớn nhât khi

 

^P nhận CH

là véc tơ pháp tuyến.

A

B C

H

I

Dễ thấy 11 23 8 13 5 2

; ; ; ;

6 6 3 6 6 3

H  CH  

  Phương trình

 

^{P :13x5y4z 6 0}.

Câu 103:Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1;2; 4}



, ^B



^0;0;1



và mặt cầu

  

^{S : x1}

 

^{2 y1}



^2z24. Mặt phẳng

 

^{P ax by cz:    3 0} đi qua A, B và cắt mặt cầu

 

^S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a b c_. A. 27

T  4 . B. 31

T  5 . C. 3

T  4. D. 33 T  5 . Lời giải

Chọn C

Mặt cầu

 

^{S có tâm I}



^1;1;0



và bán kính R2.

Đường thẳng AB đi qua điểm B, có một VTCP là ^{BA}



^{1; 2;3}



^{ : 2}

 

1 3 x t AB y t t

z t

 

  

  







^{1; 1;1}



IB 

 IB 3R^

 

^P luôn cắt mặt cầu

 

^S theo giao tuyến là đường tròn

 

^C

 

^C có bán kính nhỏ nhất ^{d I P}



^,

  

lớn nhất.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên

 

^P và AB, ta có:



^,

  

d I P IH IK

Do đó ^{d I P}



^,

  

^{lớn nhất H K} hay mặt phẳng

 

^P vuông góc với IK Tìm ^{K K: ABK t t}



^{;2 ;1 3 t}



^{IK }



^{t 1; 2 1;3 1t t}



Ta có . 0 1

IK ABIK AB    t 7 ^{6; 9 4; 1}



^{6; 9; 4}



7 7 7 7

IK 

    



Mặt phẳng

 

^P đi qua ^B



^0;0;1



, có một VTPT là ⁿ



^{6; 9;4}





 

^{: 6 9 4 4 0 9 27 3 3 0}

2 4

P x y z    x y z  . Vậy 3 T  4.

Câu 104: Trong không gian Oxyz, Tìm tất cả các mặt phẳng

 

^ chứa đường thẳng d:

1 1 3

x  y  z

  và tạo với mặt phẳng

 

^P : 2x z  1 0 _góc 45_.

A.

 

^ : x y 3z0. B.

 

^ : x3z0_. C.

 

^ : 3x z 0 _hay

 

^ : 8x5y z 0. D.

 

^ : 3x z 0_.

Lời giải Chọn C

d đi qua điểm ^O



^0;0;0



có vtcp ^u



^{1; 1; 3 }



.

 

^ qua O _{có vtpt} ^n



^{a b c; ;}



có dạng ax by cz  0, do n u . 0  a b 3c0_.

 

^P : 2x z  1 0 _vtpt ^k



^{2;0; 1}



.

Ta có .

cos 45 

 

n k

n k



^{2 2 2}



2 5

a c a b c

 

 

2

 2 ^10



^a2b2c2



^



^4a2c



²



^{2 2 2 2}

  

²

10 b 6bc 9c b c 4b 12c 2c

        ^{10 2}



^{b26bc10c2}



^



^4b10c



²

4b2 20bc 0

   0

5 b b c

 

   .

+ b0 a 3c ^

 

^ : x3z0.

+ b5c_{, chọn} c1 b 5_, a8^

 

^ : 8x5y z 0.

Câu 105:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho

 

^{P x: 4y2z 6 0},

 

^{Q x: 2y4z 6 0}. Lập phương trình mặt phẳng

 

^ chứa giao tuyến của

   

^{P , Q} và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho hình chóp O ABC. là hình chóp đều.

A. x y z   6 0. B. x y z   6 0. C. x y z   6 0. D. x y z   3 0. Lời giải

Chọn B

Chọn ^M



^{6;0;0 ,}

 

^{N 2; 2;2}



thuộc giao tuyến của

   

^{P , Q}

Gọi ^{A a}



^{;0;0 ,}

 

^{B 0; ;0 ,b}

 

^{C 0;0;c}



lần lượt là giao điểm của

 

^ với các trục Ox Oy Oz, ,



 

^{:x y z 1 , ,}



^{a b c 0}



a b c

    

 

^{ chứa M N,}

6 1 2 2 2

1 a

a b c

 

 

   



Hình chóp O ABC. là hình chóp đềuOA OB OC   a  b  c Vây phương trìnhx y z   6 0.

Câu 106:Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     _{có điểm} A trùng với gốc của hệ trục tọa độ, ^{B a}



^;0;0



, ^D



^{0; ;0a}



, ^A



^0;0;b



^{(a0,b0)}. Gọi M là trung điểm của cạnh CC. Giá trị của tỉ số a

b để hai mặt phẳng (A BD ) _và



^MBD



vuông góc với nhau là A. 1

3^{. B.}

1

2^{. C. 1. D. 1.}

Lời giải Chọn D

Ta có



^{; ;0}



^{' ; ;}

 

^{; ;}

2 AB DC C a a C a a b M a a b

 

Cách 1.

Ta có 0; ; 2 MB  a b

 ; ^{BD }



^{a a; ;0}



và ^{A B' }



^a;0;b



Ta có ; ; ; ²

2 2 ab ab uMB BD  a 

  

và ^_^{BD A ; 'B  }_



^{a2;a2;a2}



Chọn ^v



^1;1;1



là VTPT của



^{A BD'}





^'

  

^{. 0 2 0 1}

2 2

ab ab a

A BD MBD u v a a b

          b Cách 2.

' ' '

A B A D A X BD AB AD BC CD a

MB MD MX BD

 

 

        với X là trung điểm BD

Trong tài liệu Phân dạng và bài tập phương pháp tọa độ trong không gian - TOANMATH.com (Trang 92-99)